~ KORGEMA ¨O MATEMAATIKA EKSAMITO ¨ 1. variant1 Perekonnanimi, nimi, kuup¨ aev.......................... 1. Antud 2 LVS laiendatud maatriksit 2 Milline LVS on lahenduv 1 0 15 3 5 1 0 5 3 · esimene 5 0 1 5 0 5 ja 0 1 - 45 0 1 5 · teine 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
Karakteristlik aktsepteeriv TM on selline, mis aktsepteerib, kui x kuulub keelde. Muul juhul lükkab tagasi. Genereeriv aktsepteeriv TM on selline, mis aktsepteerib, kui x kuulub keelde. Muul juhul ei peatu. DEF: Hulka (keelt), millel leidub karakteristlik Turingi masin, nimetatakse lahenduvaks ehk rekursiivseks. DEF: Hulka (keelt), millel leidub genereeriv Turingi masin, nimetatakse rekursiivselt loenduvaks ehk genereeritavaks. Lemma: Iga lahenduv hulk on rekursiivselt loenduv. T: Igal lahenduva hulga karakteristlikku masinat saab tesendada nii, et ta jääks olekusse qr jõudmise asemel tsüklisse ehk muutuks genereerivaks masinaks. Registermasin sisaldab registreid R1… (sisuks naturaalarv) ja märgendeid N1… Operaatorid on INC (+1), DEC (-1), CLR (nullimine), R → R (omastad ühe väärtuse teisele), JMP Na (go to N), JMP Nb (go to N+1), R JMP Na (kui R=0…), R JMP Nb, CONTINUE (ei tee midagi)
an : am = an-m (an )m = anm = b a Korrutamise abivalemid (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 b3 , a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = , 2a siis vastav ruutkolmliige ax2 + bx + c lahutub lineaartegurite korrutiseks ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ).
asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahendeid, siis öeldakse, et võrrand on lahenduv. Kui võrrandil lahendid puuduvad, siis on võrrand mittelahenduv. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit. Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Saadud lahendeid tuleb alati kontrollida, selleks asendatakse muutuja iga leitud väärtus esialgsesse võrrandisse ja veendutakse, kas need väärtused rahuldavad võrrandit või mitte. Neid lahendeid, mis ei rahulda
Kujundi S-f(x)0 lõik, siiis trapets on ülalt piiratud joonega y=f(x), alt x-telg, vasak ja parem sirgega x=a,x=b, S= . Ruumala-vaja h, ristlõike S(x) lõikekoha x funkt.na V=. DV-võrrand, mis seob f-ne, tuletisi ja argumente. Lahend-f y=y(x), mis y'võrrand muudab samaks muutuja x suhtes. I järku DV-F(x,y,y')=0, x-argum, y-otsitav, F 3 muutuja f. Lin DV-y'+p(x)y=g(x), kus p(x), g(x) on teatavad f-id. Kron-Cap teoreem-lin VS on lahenduv kui maatriks ja laiend maatr on =. Maatr astak-leidub r-järku0 erinev miinor, kuid mitte kõrgemat miinorit, siis maatr astak on r. Maatr- arvuliste elementidega tabel, n-rida, m-veerg. Liitm-liidetavate suurused =. A+B=) +)=()+). Korrut-AxB, A veergude arv=B ridade arvuga. Kor arvuga-maatriksi skalaararvuga k, mille element algmaatriksi korrut selle arvuga.Alamdet-= . Gramer-D, Dx/D=x
A*C=C*B A=C*B*C^-1. Võrdsussarnasuse erijuht. Kõik kolm maatriksit peavad olema sama järku. A~B. Suurimat naturaalarvu, mille korral maatriksil leidub nullist erinev k-ndat järku miinor, nimetatakse selle maatriksi astakuks ja märgitakse üles järgmiselt: rang(A). Vastavalt sellele definitsioonile peab leiduma suurim naturaalarv k, mille korral Mvk pole null. Kui on naturaalarv, mis on k-st suurem, siis on vastavad miinorid nullid. Kronecker-Capelli teoreem: Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis(parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriksi ja võrrandite süsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Kui teatava ruutmaatriksi korral leidub maatriks nx1, ei tohi olla nullmaatriks ja leidub reaalarv lambda nii, et on täidetud tingimus A*X=lambda*X, siis arvu lambda nimetatakse maatriksi A omaväärtuseks ja maatriksit X maatriksi A omavektoriks. Arvpolünoom ja selle nullkoht: avaldis Pn(x)=x01+x1x+x2x^2+...xnx^n Reaalarv x0, mille korral
mõõtmiseks ja võrdlemiseks. 3. DEA ei nõua mingit kindlat funktsionaalset seost, valemit sisendite ja väljundite sõltuvuse kohta. 4. DEA annab väärtuslikku infot vähemefektiivsete DMU-de jaoks, kuidas tulemuslikkust parandada. Dea näitab analüüsitavate DMU-de seast konkreetse mitteefektiivse DMU jaoks DMU-de grupi, mille tegevusest tasub oma efektiivsuse tõstmisel eeskuju võtta 28. Milline tingimus peab olema täidetud, et transpordiülesanne oleks lahenduv? Transpordiülesanne on lahenduv siis, kui pakkumine on suurem või võrdne kui nõudlus (reservid suuremad või võrdsed kui vajadused) 29. Mida tähendab, et transpordiülesanne on tasakaalustatud? Transpordiülesanne on tasakaalustatud kui nõudlus ja pakkumine (ladude reservid ja vajadused) on võrdsed 30. Milliste tingimuste täidetust tuleb jälgida transpordiülesande lahendamisel potentsiaalide meetodiga?
. n ry, kus
i i+1 parajasti siis, kui
i = uqav, = uaq'v ja p(q,a) =
determinant kahe sama järku võrrandisüsteemi saab kirjutada segakorrutiseks nimetatakse kahe determinandi summaks, kus esimeses maatrikskujul AX = B, Teoreem vektori skalaarset korrutist determinandis koosneb vaadeldav rida (Kronecker-Capelli). Lineaarne kolmanda vektoriga esimestest liidetavatest ja teises võrrandisüsteem on lahenduv II järku jooned. Ellips Ellipsiks determinandis teistest liidetavatest; parajasti siis, kui võrrandisüsteemi nimetatakse tasandi nende ülejäänud read jäävad aga endisteks. 6. omadus maatriksi A ja laiendatud maatriksi punktide hulka , milliste kauguste Determinant ei muutu kui determinandi AB astakud on võrdsed (Öeldakse summa kahest antud punktist, mida
3. Pöördmaatriks. M-ksi astak. Kronecker-Cappeli teoreem. Gaussi meetod. Kui m-s leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor, kuid mitte ühtki nulllist erinevat kõrgemat järku miinorit, siis öeldakse, et M-i astak on r. A-1 = (1/ |A|) A, kus |A| on M-i A determinant, nimetatakse M-i A pöördmaatriksiks. M-il A on olemas pöördmaatriks A-1 parajasti siis, kui ta on regulaarne, s.t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused
DEF 1: suurimat nat arvu k, mille korral maatriksil A leidub 0 erinev k-järku miinor nim selle maatriksi A astakuks ja märgitakse üles sümboliga rank(A) Maatriksi elementaarteisendused · M mistahes rida võib korrutada mistahes 0 erineva arvuga · M mistahes reale/veerule võib liita/lahutada mistahes arvuga korrutatud rida/veergu · 2 suvalist rida/veergu võib omavahel ära vahetada DEF 2: m A mk0 kõrgeimat järku nim rank(A)=mk KRONEKER-CAPELLI TEOREEM: LVS on lahenduv siis ja ainult siis, kui võrrandite süst maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed CRAMERI peajuhtum m= n ja D 0 Xn = Dn / D Lugejas olev det Dn tuletatakse det D kindla rea kinni katmisel ja selle asendamisel vabaliikmete veeruga. Kompleksarvud X2 + 1 = 0 X2 = -1 x=i i2 = -1 i = sqrt(-1) = =a+b*i kui b 0, siis on imaginaararv (kompleksarv) kui a = 0, siis on puhtimaginaararv kui b = 0, siis on reaalarv
võrranditesse tundamatute asemel saame samasused. LVS-i erilahend Kui avaldame juhtelemendid vabade tundmatutega ja asendame vabad tundatud mingite arvudega, siis saame erilahendid. LVS-i elementaarteisendused Lineaarvõrrandisüsteemi elementaarteisendusteks nimetatakse 1. tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2. tema mingile võrrandile teise mistahes reaalarvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist 3. süsteemi kaks võrrandit omavahel vahetamist. Lahenduv LVS Võrrandisüsteemi nimetatakse kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt üks lahend. Vastuoluline LVS Lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse vastuoluliseks, kui tal ei ole lahendeid. Gaussi meetod Gaussi meetod baseerub võrrandisüsteemi laiendatud maatriksi elementaarteisendustel. Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega.
Arvutamise abivalemid. 1. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 2. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 3. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 4. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 5. a 2 b 2 (a b)(a b). 6. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). 7. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks. Kui võrrand ax 2 bx c 0 on lahenduv (lahendid x1 ja x2), siis vastav ruutkolmliige ax 2 bx c lahutub lineaartegurite korrutiseks: ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ). Näide Et ruutvõrrandi 3x 2 8 x 3 0 lahendid on 1/3 ja 3, siis 3x 2 8 x 3 3( x 1 / 3)( x 3) (3x 1)( x 3). algusesse eelmine slaid esitluse lõpp
III. Teguriteks lahutamise võte a n = a1 q n -1 IV. Ruutvõrrandiks taandamine 75. Logartimvõrrandid Sn = ( a1 q n - 1 ) ; kus q 1 I. Logaritmi definitsiooni järgi lahenduv q -1 võrrand 90. Funktsiooni piirväärtus II. Logaritmi omaduste põhjal lahenduv võrrand lim k = k x a III. Ruutvõrrandiks teisendamine IV. Üleminek ühel aluselt teisele 76. Trigonomeetria lim x = a
.;y(n-1)) **Moodustame
Cauchy ülesande, selleks lisame lineaarsele võrrandile n algtingimust:** {y(x 0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1)
(kus xo,yo,yn-1 on konstandid) (4) **Teoreem: Kui võrrandi (3) kordajad p 0(x), p1(x), ..., pn(x) ja vabaliige f(x) on
pidevad vahemikus (a, b) ja x 0 (a, b), y0, y0(1), ..., y0(n-1) (-,), siis võrrandil (3) leidub parajasti üks lahend y = y(x), mis
rahuldab tingimusi (4). ***Cauch teor põhjal Lin dv lahenduv tõestus: Kasut C.teor D={(x,y): x(a,b); -
reisil 4 + 5 = 9 tundi. Ülesanne 2 (9) Kontroll klappis, võime kirjutada vastuse. Vastus : Laeva kiirus seisvas vees on 18 km/h ja jõe voolukiirus on 2 km/h. Nuputamist füüsikahuvilistele Lahendamisel eeldasime salamisi, et laeva kiirus seisvas vees on suurem kui jõe voolukiirus. Kuskohas seda eeldust kasutasime? Mis muutuks lahenduses, kui kehtiks vastupidine jõe voolukiirus oleks suurem kui laeva kiirus? Kas ülesanne oleks lahenduv, kui need kiirused oleksid võrdsed? Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks Ülesanne 3 Kaks lennukit stardivad üheaegselt,et lennata punkti, mis on lennuväljast 3600 km kaugusel. Ühe lennuki kiirus on 100 km/h võrra suurem kui teisel ja seetõttu jõuab ta sihtkohta 30 minutit enne teist. Leida kummagi lennuki kiirus. Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ... Vastus : km km 900 ja 800 .
|| = r a/r = cos b/r = sin = r ( cos + i sin) trigonomeetriline kuju 3. Eksponentsiaalne kuju = r ei 4. Maatrikskuju a -b = b a 5. Vektorkuju = (a ; b) (cos + i sin)n = cosn + i sinn Maatriksi astak Def1 Maatriksi astakuks nimetatakse tema nullist erinevate miinorite kõrgemat järku. Astaku mõistele tugineb üldise l.v.s lahendamise küsimus. Kehtib järgmine Kronecker Capelli teoreem. L.v.s on lahenduv siis ja ainult siis (parajasti siis), kui võrrandite süsteemimaatriks ja võrranditesüsteemi laiendatud maatriksi astakud on võrdsed. Def2 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute ridade maksimaalset arvu. Def3 Maatriksi astakuks nimetatakse tema lineaarselt sõltumatute veergude maksimaalset arvu. Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Olgu meil antud n vektorit E1, E2, E3,..., En ja olgu n reaalaru 1, 2, 3, ..., n
Nxn maatriksi A pöördmaatriks A-1 on olemas ainult siis, kui tema astak r=n Lineaarse võrrandisüsteemi maatrikskuju, Kronecker-Capelli teoreem. Näide. Üldise korrastatud (tunmatud on võrdusmärgist vasakul teineteise all, vabaliikmed on võrdusmärgi paremal pool) lineaarse võrrandisüsteemi saab kirjutada maatrikskujul AX=B, kus võrrandisüsteemi maatriks A, tundmatute maatriks X ja vabaliikmete maatriks B. Teoreem (Kronecker-Capelli) Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi A ja laiendatud maatriksi AB astakud on võrdsed (Öeldakse ka, et süsteem on kooskõlas). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv r = r´ (see on nn. astakutingimus). Gaussi ja Gauss-Jordani meetod. Näited Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi AB kõik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides sealjuures eranditult vaid maatriksi ridadega. Veergusid on vaid
maatriksi mõne teise rea (võrrandi) liitmine/lahutamine Süsteemi laiendatud maatriks tuleb teisendada astmelisele kujule (treppkujule), mille abil saab otsustada süsteemi lahendavuse ja lahendite arvu üle ning leida ka kõik esialgse süsteemi lahendid. tegemist on lahenduva võrrandisüsteemiga, kui leidub vähemalt üks lahend. seejuures lahendeid on kas üks või lõpmata palju. (homogeenne kõik vabaliikmed nullid süsteem on alati lahenduv). tegemist on määratud võrrandisüsteemiga, kui lahendeid on üks. tegemist on mittelahenduva e vasturääkiva võrrandisüsteemiga, kui lahendid puuduvad. Lahendite arv: lahendid puuduvad, kui maatriksi reas ainsaks nullist erinevaks arvuks on vabaliige kui lahenduvas süsteemi tundmatud on n ja astmelisele kujule viidud maatriksi juhtelemendid on k, siis kui n = k on süsteemil ainult üks lahend k < n aga on süsteemil lõpmata palju lahendeid
Nt:
9. Lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetodiga.
Esimeses etapis viiakse laiendatud maatriks elementaarteisendustega astmelisele kujule. Ainult
nullidest koosnev rida paikneb allpool neist ridadest, kus on nullist erinevaid elemente. Sellise
rea võib ka kirjutamata jätta edaspidi. Rea nn juhtelemendiks on võetud rea kõige
vasakpoolsem nullist erinev element, millest allpool samas veerus on ainult nullid.
Teises etapis tehakse kindlaks kas süsteem on lahenduv või mitte. Kui astmelisele kujule
viidud laiendatud maatriksis leidub rida, kus ainsaks nullist erinevaks elemendiks on vabaliige,
siis on süsteem vastuoluline. Kui sellist rida ei ole, on süsteem lahenduv. Kui lahenduvas
süsteemis on n tundmatut ja astmelisele kujule viidud maatriksis on k juhtelementi siis juhul
n=k on süsteemil ainult üks lahend, juhul k
4) (valemi tuletamist pole vaja); kahekordne integraal polaarkoordinaatides (muutujavahetus, jakobiaan ning valem(22.1)). Kahekordses integraalis minnakse muutujatelt x ja y muutujatele u ja v seoste (22.1.) abil. Eeldame, et kahe muutuja funktsioonid x=(u,v) ja y=(u,v) on vaadeldavas uv-tasandi piirkonnas ühesed, pidevad ning omavad pidevaid osatuletisi mõlema muutuja järgi. Lisaks eeldame, et võrrandispsteem (22.1.) on üheselt lahenduv muutujate u ja v suhtes. Sellisel juhul vastab igale xy-tasandi punktile piirkonnas D parajasti üks uv-tasandi punkt piirkonnas D' ja vastupidi. Jacobi determinandiks ehk jakobiaaniks nim. funktsionaaldeterminanti . Piirkondade D ja D' osapiirkondade vaheline ligikaudne võrdus sJs'. Kui f(x,y)s=F(u,v)s, siis f(x,y)sF(u,v)Js', kus paremal olev integraalsumma on võetud üle piirkonna D'. Minnes piirile eeldusel, et diams'0, saame täpse võrduse (21.4
Näitame, et algoritme on sama palju, kui täisarve (lihtne) Näitame, et probleeme on vähemalt sama palju, kui reaalarve (veidi keerulisem) Näitame, et reaalarve on lõpmatult rohkem kui täisarve (Cantori üks teoreeme) Cantori teoreem ütleb üldisemalt, et mingi hulga H kõigi alamhulkade hulk on suurema võimsusega kui see hulk H. Poollahenduvus Olgu ülesandeks tuvastada, kas täisarv X kuulub mingisse lõpmatusse täisarvude alamhulka H. Mõne H jaoks on ülesanne lahenduv: näiteks, kui H on paarisarvude hulk, kui H on algarvude hulk jne, Mõne H jaoks ülesanne ei ole lahenduv: näiteks, kui H on arvude hulk, millele vastavad programmid peatuvad. Poollahenduvus tähendab, et kui X juhuslikult kuulub hulka H, siis me saame seda algoritmiga alati näidata. Kui ei kuulu H-i, siis ei saa alati. Strong AI: "if a machine approaches or supersedes human intelligence, if it can do typically human tasks, if it can apply a wide range of background knowledge and has
Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused.
DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0,
DITEKS. DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks. 16 DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS. LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B. HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO- GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0. TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv. JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0,
13 6 2 2 3 3 1 3 1 3 2 2 2 3.11. 4.Maatriksvõrrandid Maatriksvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mille otsitavaks on maatriks. Vaatleme mõned maatriksvõõrandi tüübid ja nende lahendamist. Olgu A, B, C - n-järku antud maatriksid, E n-järku ühikmaatriks, X n-järku otsitav maatriks. 27. AX = B See võrrand on lahenduv, kui A on regulaarne maatriks, s.t. leidub A- 1 . Siis X = EX = (A- 1A)X = A - 1 (AX) = A- 1B. Võrrandi lahendamiseks on võrrandi pooli korrutatud vasakult pöördmaatriksiga A- 1. -1 3 0 1 A = , B = . Näide1: Lahendada maatriksvõrrand BX = A, kui 5 - 2 2 - 4 Lahendus: Eelpooltoodud materjali põhjal avaldame X = B 1A
4.Maatriksvõrrandid Maatriksvõrrandiks nimetatakse võrrandit, mille otsitavaks on maatriks. - 26 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina Vaatleme mõned maatriksvõõrandi tüübid ja nende lahendamist. Olgu A, B, C - n-järku antud maatriksid, E n-järku ühikmaatriks, X n-järku otsitav maatriks. 1. AX = B See võrrand on lahenduv, kui A on regulaarne maatriks, s.t. leidub A- 1 . Siis X = EX = (A- 1A)X = A - 1 (AX) = A- 1B. Võrrandi lahendamiseks on võrrandi pooli korrutatud vasakult pöördmaatriksiga A- 1. -1 3 0 1 Näide1: Lahendada maatriksvõrrand BX = A, kui A = , B = . 5 - 2 2 - 4 Lahendus:
X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid on y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x. y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. + graafikud ! 4. Üksühene funktsioon- Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub x ainult nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja määramispiirkond. Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1.
lahendust omavate probleemide jaoks eksisteerib lahendamise algoritm. Selleks piisas Turingi veendumust mööda Turingi masina kui universaalse masina teoreetiliste võimaluste uurimisest. Turing tõestas, et tema masina abil ei ole võimalik alati otsustada, kas suvaline predikaatarvutuse keeles kirjutatud väide on õige ja seega predikaatarvutuse reeglitest mehaaniliselt tuletatav või ei. Predikaatarvutus ei ole lahenduv. Mittelahenduvus laieneb predikaatarvutuselt muidugi kõigile süsteemidele, mille kaudu predikaatarvutust esitada saab. Predikaatarvutusest oluliselt lihtsamad loogikasüsteemid on sageli lahenduvad. Juba enne Turingit oli teada, et näiteks klassikaline lausearvutus on lahenduv. On olemas algoritmid, mis suudavad (kui neile piisavalt aega anda) iga lausearvutuse keeles kirjutatud väite kohta öelda, kas see väide on õige ja tuletatav, või vale ja ei ole tuletatav.
jaotusseadus, taimelehe peegeldus- ja läbilaske koefitsient (hajumisindikatriss), kiirguse nõrgenemiskoefitsent (G-funktsioon). - Kui palju kiirgust lendab peale ja mulla peegeldumise omadused keskkonna tingimused, parameetrid. Kiirguslevivõrrandeid raske lahendada üldjuhul vaid numbrilised jt ligikaudsed meetodid, kujutab integro-diferentsiaalvõrrandit (I järku hajunud kiirgusvälja leidmine ka analüütiliselt lahenduv jäetakse ära integraalne liige, mis kirjeldab mitmekordset hajumist tulemuseks kergesti lahenduv diferentsiaalvõrrand). Kaut mitmesuguseid ligikaudseid meetodeid. Homogeense taimkatte heleduse mudelid: horistontaalsuunas (paljud põllukultuurid) heleduse mudelid (kiirguslevi võrrandi ligikaudne lahendamine); Andres Kuuse loodus MCRM2 (ühekordse hajumise ül lahendatakse täpselt, mitmekordse oma ligikaudselt, sama mudelit kasut metsa
Vahel defineeritakse maatriksi astak maatriksi miinorite (ehk alamdeterminantide) kaudu. Nimelt, maatriksi astak on nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. St. kui maatriksil leidub vähemalt üks i- järku miinor, siis on maatriksi astak i. See definitsioon ütleb, et maatriks on täisastakuga, kui tema kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed 5. Pöördmaatriks, p.leidmine, p.abil ülesannete lahendamine Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E.
b. leidub alternatiivne võimalus ülesannet lahendada c. ülesandel leidub alternatiivne eesmärk d. leidub teine tegevusplaan, mis annab sama sihifunktsiooni väärtuse Tagasiside Õige vastus on: leidub teine tegevusplaan, mis annab sama sihifunktsiooni väärtuse . Küsimus 10 Vastamata Marked out of 1,00 Küsimuse tekst Kui suured on minimaalsed veokulud järgmises transpordiülesandes? Vali üks: a. Ülesanne ei ole lahenduv b. 745 c. 520 d. 630 e. ülesandel on palju alternatiivseid sihifunktsiooni väärtusi Tagasiside Õige vastus on: 630 Kui pikk on järgmise ülesande direktiivaeg? Vali üks: a. direktiivaega ei saa leida kuna graafik sisaldab näivtöid b. 8 nädalat c. 9 nädalat d. 7 nädalat Tagasiside Õige vastus on: 7 nädalat . Küsimus 2 Vastamata Marked out of 1,00 Küsimuse tekst Mis tüüpi graafikuga on tegemist? Vali üks: a
1. maatriksi kahe rea ( või veeru ) ümberpaigutamine. 2. maatriksi ühe rea ( või veeru ) kõigi elementide korrutamine ühe ja sama nullist erineva arvuga. 3. maatriksi ühe rea ( või veeru ) elementidele teise rea ( või veeru ) ühe ja sama arvu kordsete elementide liitmine. Maatriksi rea juhtelemendiks nimetatakse selle rea (vasakult) esimest nullist erinevat elementi. Kronecker-Capelli teoreem - Lineaarne võrrndisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed, so rank( A) = rank( AL). 10.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Lineaarvõrrandite süsteemi esimest, teist ja kolmandat tüüpi elementaarteisenduseks. Gaussi meetodi sisu. 11.Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kompleksarvu reaalosa ja imaginaarosa, kompleksarvude võrdsus, kaaskompleksarv. Kompleksarvude liitmise, korrutamise ja jagamise valemid
kaudu. Saadud tabeli abil kirjutatakse välja lahend Kõigi lahendite hulk L = {0 + c11 + c22 + ... + cnn, c1,...,cn R} 11. Võrrandisüsteemi Ax = b pseudolahend. Pseudolahendite seos tavaliste lahenditega. Vahel Ax = b ei oma lahendit, aga on vaja leida x, mis teatud mõttes rahuldab kõige paremini süsteemi Ax = b Süsteemi Ax = b pseudolahendiks nimetatakse süsteemi A TAx = ATb mis tahes lahendit Iga Ax = b lahend on ka ATAx = ATb lahendiks. Saab näidata, et ATAx = ATb on alati lahenduv ning kui Ax = b on lahenduv, siis süsteemidel Ax = b ja A TAx = ATb on ühed ja samad lahendid. Funktsioonile f(x1, ..., xn) = ||Ax - b|| vähima väärtuse annavad parajasti võrrandisüsteemi ATAx = ATb lahendid 12. Substitutsioon. Inversioon, inversioonide arv substitutsioonis. n-ndat järku substitutsiooniks nimetatakse n esimese naturaalarvu 1, 2, ..., n iga ümberjärjestust i1, i2, .., in. Kõigi n-ndat järku substitutsioonide arv S n = n! Olgu substitutsioonist i1, i2, ..
kui süsteemi determinant on nullist erinev. Meil |y1(x0) ... yn(x0)| |y1'(x0) ... yn'(x0)| = W(x0) |... ... ...| |y1 (x0) ... yn(n-1)(x0)| (n-1) sest y1,y2,...,yn on võrrandi Ly=0 LFS. Kuna determinant ei võrdu nulliga, siis süsteem on lahenduv ning leidub parajasti üks komplekt sellist süsteemi rahuldavaid konstante C1=C10,C2=C20,...,Cn=Cn0. Teoreem on tõestatud ning sellega on ka esimene teoreem tõestatud. y(x)=C10y1(x)+C20y2(x)+...+Cn0yn(x)+y*(x) rahuldab tingimusi 7. Lagrange'i konstantide varieerimise meetod. V: Konstantide varieerimist kasutatakse n-järku lineaarse mittehomogeense DV ühe konkreetse lahendi leidmiseks. Vaatame võrrandit Ly=f(x). Olgu teada vastava homogeense DV Ly=0 lahendite
Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad, st kui funktsiooni f argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks y. Samuti vahetuvad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.
Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad, st kui funktsiooni f argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks y, siis funktsiooni f pöördfunktsiooni argumendiks on y ja sõltuvaks muutujaks y. Samuti vahetuvad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk.
X=R ja Y=(0; ). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R { (2k+1)/2 * ||k Z}Y=R y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. 4. Üksühene funktsioon Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub ainult x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis- ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,) ja Y = R
joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844. aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahendeiks. Ta nimetas neid arve transtsendentseteks, s.t. mittealgebralisteks arvudeks. 1882. a. näitas Freiburgi ülikooli professor Ferdinand von Lindemann, et on transtsendentne arv ning järelikult ei ole ringjoone sirgestamise ülesanne sirkli ja joonlaua abil lahenduv. 1777. aastal avaldas prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks: tasandil on joonestatud rida paralleelseid sirgeid, mis asuvad üksteisest kaugusel 2a. Juhuslikult visatakse nõel pikkusega 2k (k < a). Osutub, et tõenäosus, et nõel langemisel lõikab mõnda sirget on: P= . Siit ~ , kus m on lõigete arv ja n visete arv. Selle valemi põhjal on saadud 34080 viskega = 3,1415929.
teisendada treppmaatriksiks, seejärel kasutada teoreemi treppmaatriksi astakust. Näide. Leiame maatriksi astaku. Teisendame maatriksi treppkujule Mittenullridade arv on 2, seega esiaglse maatriksi astak on 2. 14. Kronecker-Capelli teoreem Selles paragrahvis me tuletame LVSi kooskõlalisuse tunnuse. Olgu antud LVS Olgu LVSi maatriks, laiendatud maatriks ning vabaliikmete veerg. Teoreem (Kronecker-Capelli teoreem). LVS on lahenduv parajasti siis, kui süsteemi laiendatud maatriksi astak on sama kui süsteemi maatriksi astak . Tõestus. ,,Tavilikkus"e. ,, " Eeldame, et süsteemil leidub lahend ning näitame, et Kuna on süsteemi lahend, siis Nüüd lahutame maatriksi viimasest veerust 1. veergu korrutatud , 2. Veergu korrutatud jne kuni vimase veergu korda , saame maatriksi See maatriks on saadud maatriksist veerude lementaartesendustega, seega tema astak ona sama, mis astak
x 1=α 1 ; x 1=α 1 Kus α1 sisaldab kõiki x 1 lahendeid 62.LVS- erilahend – ühe konkreetse lahendi komplekti x 1=γ 1 ; x i=γ i kus γ i ∈ R 63.Elementaarteisendused – Ühe võrrandi läbi korrutamine mistahes nullist erineva reaalarvuga Ühele võrrandile mistahes reaalarvuga läbikorrutatud teise võrrandi liitmine 64.Lahenduv LVS- LVS-il leidub vähemalt üks lahend 65.vastuoluline LVS – LVS-il puuduvad lahendid 66.Gaussi meetod – LVS-i üldlahendi leidmine. Jättes võimalikult paljude tundmatute jaoks ühe võrrandi, kus tundmatu kordaja on nullist erinev ja avaldades lõpuks üldlahend. 67.vabad tundmatud – LVS-is olevad fikseeritud reaalarvus, mis ei ole tundmatute kordajateks 68.Maatriksi astak- Öeldakse, et maatriksi A astak on r, kui selle maatriksi
Loetleda absoluutväärtuse omadused funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt = - ü 2 arvule -b lim () = - |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| lahenduv. - + - Funktsiooni ühepoolseste piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline
leidmist. Lineaarse kahe tundmatuga diofantilise võrrandi üldkuju on ax+by=c, kus a0, b0 ja a, b, c on täisarvud. 3.9 Parameetrit sisaldavad võrrandid Võrrandit ax=3 saab vaadelda ka kui ühe tundmatuga võrrandit, kus a on mingi konstant. Sel juhul on see võrrand parameetrit sisaldav võrrand. Lahendada parameetreid sisaldav võrrand tähendab leida, milliste parameetri väärtuste puhul on võrrand lahenduv ja kuidas tundmatu x nende parameetrite väärtuste korral avaldub. Kasulik on leida võrrandi määramispiirkond, samuti parameetri need väärtused, mille korral võrrandi iseloom kvalitatiivselt muutub. Üldisi reegleid parameetritega võrrandite lahendamiseks ei ole. Võrratused 4.1 Arvvõrratuste omadused. Võrratuste samaväärsus. · Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks.
Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Nüüd eeldame, et ka argument x funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Nt: kuupfunktsioon y = x 3 on ¨üksühene. Iga y korral leidub ainult ¨uks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult ¨ühe arvu (so 2) kuup, arv −27 on ainult ¨ühe arvu (so −3) kuup jne. Lahendades võrrandi y = x 3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = √3 y. Seevastu ruutfunktsioon y = x 2 ei ole üksühene. Funktsiooni üks ühesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui suvaline xteljega paralleelne
4. · Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle xi kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. · Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse xi. · Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel: o Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
4. · Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle xi kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. · Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse xi. · Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel: o Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y =cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid: Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Näiteks kuupfunktsioon y = x3 on üksühene. Iga y korral leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kuup. Arv 8 on ainult ühe arvu (so 2) kuup, arv -27 on ainult ühe arvu (so -3) kuup jne. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni
a. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid a.i. Funktsioon f on üksühene, kui igale argumendi x väärtusele vastab määramispiirkonnas üks kindel y ninh iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. a.ii. Üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. b. Seosed funktsiooni ja tema pöördfunktsiooni määramispiirkondade ja väärtuste hulkade vahel, vastastikune kompenseerimine, funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikute omavaheline seos. Pöördfunktsiooni funktsiooni argument ja muutuja vahetavad oma kohad.
laiendatud maatriksiks. Võrrandisüsteemi (1) saame nüüd kirja panna ka maatrikskujul: LVS üldlahend fikseeritud reaalarvude komplekt x1 = 1 jne... LVS erilahend Fikseeritud reaalarvude komplekti x1 = 1, x2 = 2, . . . , xn = n nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi (1) lahendiks ehk erilahendiks, kui nende arvude asendamisel süsteemi (1) võrranditesse tundmatute asemele same samasused. Lahenduv LVS Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse lahenduvaks, kui tal leidub vähemalt üks lahend Vastuoluline LVS - Lineaarvõrrandisüsteemi (1) nimetatakse vastuoluliseks ehk vasturääkivaks, kui süsteemil (1) ei ole lahendeid. Elementaarteisendused: nim. 1) tema mistahes võrrandi korrutamist nullist erineva reaalarvuga 2) tema mingile võrrandile teise mistahes arvuga läbikorrutatud võrrandi liitmist Gaussi meetodi kirjeldus -
dused samasusteks. võrrandist, siis geomeetriliselt tähendab see seda, et otsitakse kolme tasandi lõikepuntki. Kui süsteem on üheselt lahenduv, Definitsioon 2.10 siis lahendiks on nende tasan- dite üks ühine lõikepunkt. Kui Süsteemi (2.5), millel lahend puudub, nimetatakse vastuoluliseks. süsteemil lahend puudub, siis
annaabi.ee 
