10 punkti
Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.
~ 1 leht
Lehekülgede arv dokumendis
2009-04-28
Kuupäev, millal dokument üles laeti
55 laadimist
Kokku alla laetud
1 arvamus
Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
saphyra
Õppematerjali autor
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0.
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete
..................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................................................15 Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem..............................................................................15 Asendusvõtte näide.............................................................................................................15 Liitmisvõtte näide...............................................................................................................15
3x - 3x - 6 + 6 = 0 7=0 0=0 VASTUOLU, seega lahendid puuduvad. SAMASUS, seega lahenditeks on kõik reaalarvud. Kui a0, siis võrrandil on üks lahend. Kui a=0 ja b0, siis lahendid puuduvad. Kui a=b=0, siis on lahendeid lõpmatult. Võrrandi põhiomadused: Võrrandi lahendamise käigus tehakse mitmesuguseid teisendusi, avatakse sulge jne; mille abil saadakse nagu uus võrrand, see peab aga jääma samaväärseks. nt: 3(4 2x) x = 2(x 5) + 4 12 6x x = 2x 10 + 4 Võrrandite pooli võib vahetada Võrrandi mõlemat poolt võib korrutada (jagada) ühe ja sama nullist erineva arvuga. Võrrandi iga liikme võib viia võrdusmärgi ühelt poolt teisele poole. Siis muutub märk vastupidiseks. nt: 12 6x x = 2x 10 + 4 - 6x x - 2x = - 10 + 4 12 - 9 x = -18 | : (-9) x=2
2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2.4 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest e juurte kaotamine murru nimetajas 2.5 Irratsionaalavaldiste lihtsustamine Toimime samamoodi nagu ratsionaalavaldiste puhul sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand. Lineaar- ja ruutvõrrandid · Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. · Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. · Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse otsitavaks e tundmatuks.
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a c
X klassi matemaatika lühikonspekt (I periood) Arvuhulgad Naturaalarvudeks nimetatakse arve N={1; 2; 3; … ; n-1; n; n+1; …} Selles hulgas leidub esimene arv ja iga arvu korral sellele vahetult järgnev arv, kuid ei ole viimast arvu — niisugust naturaalarvu, mis oleks kõigist suurem. Naturaalarvude hulk on kinnine liitmise ja korrutamise suhtes, kuid mitte lahutamise ja jagamise suhtes. Liitmis- ja korrutamistehetel on hulgas N järgmised omadused: 1. Iga a, b N korral a b b a . Liitmis kommutatiivsus. 2. Iga a, b N korral a b b a . Korrutamise kommutatiivsus. 3. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Liitmise assotsiatiivsus. 4. Iga a, b, c N korral a b c a b c . Korrutamise assotsiatiivsus. 5. Iga a, b, c N korral a b c a b a
korral ka võrdused (**) ja (*). Seega on lahendiks iga reaalarv. Näide 3. Lahendame võrrandi 3(x + 1) = 3x + 2000. Avame sulud 3x + 3 = 3x + 2000, millest 3x 3x = 2000 3 ehk 0x= 1997. Viimane võrdus loomulikult ei kehti ühegi x väärtuse korral, sest võrduse vasaku poole väärtus on iga x väärtuse korral võrdne nulliga, parem pool aga mitte. Võrrandil ei ole lahendeid. Kui võrrand sisaldab murde, siis tuleb neist loomulikult vabaneda. x - 1 3 - 5x + = 3. Näide 4. Lahendame võrrandi 3 6 Korrutame võrrandi pooli arvuga 6, siis saame võrrandi 2(x 1) + 3 5x = 18 ehk 2x 2 + 3 5x = 18, millest 3x + 1 = 18, 3x = 17, järelikult 17 -
annaabi.ee 
Kõik kommentaarid