Pi põhikooli matemaatikas (0)

Kallavere Keskkool
Jana Smirnova
8.klass
PI PÕHIKOOLI MATEMAATIKAS
Uurimistöö
Juhendajad:
Maardu 2012

SISUKORD

SISSEJUHATUS 3
1. PI AJALOOLINE ARENG 5
1.1. Pi looduses 9
2. PI päev 11
2.1. Kuidas päeva tähistada? 11
3. PI PÕHIKOOLI MATEMAATIKAS 13
3.1. Matemaatika 6.klassile I raamat 13
3.1.1. Näiteülesanded 13
3.2. Matemaatika 6.klassile II raamat 14
3.2.1. Näiteülesanded 14
3.3. Matemaatika 7.klassile I raamat 15
3.3.1. Näiteülesanded 15
3.4. Matemaatika 7.klassile II raamat 17
3.4.1. Näiteülesanded 17
3.5. Matemaatika 8.klassile 18
3.5.1. Näiteülesanded 19
3.6. Matemaatika 9.klassile 20
3.6.1. Näiteülesanded 21
KOKKUVÕTE 23
KASUTATUD ALLIKAD 25
LISAD 26
Lisa 1. Pi arvutamine enne 20. sajandit 26
Lisa 2. Pi päeva kook 27

SISSEJUHATUS

Arv, mida tähistatakse kreeka tähega , on üks tuntumaid arve matemaatikas ja sellise suuruse olemasolust sai inimkond aimu juba väga ammuses minevikus. Praeguseks on
arvutatud üle 6000000000 komakoha. ligikaudne väärtus on 3,14.
Käesolevas töös on uuritud π kasutatavust põhikooli matemaatikas.
Autor on uurimistöö teemast huvitatud, sest tahtis rohkem tutvuda : mis arv see õieti on ja kus ning milleks seda kasutatakse.
Materjali koostamisel on toetutud isiklikele kogemustele ning kasutatud erialaseid õpikuid ja internetimaterjale.
Uurimistöö on kirjutatud 20 lehel, sisaldab 7 joonist ja 1 diagrammi. Kirjanduse loetelus on 12 nimetust . Sisaldab kokkuvõtet ja sissejuhatust.
Töö koosneb kolmest peatükist . Esimeses peatükis saab ülevaate π ajaloolisest arengust: isikud, kes
arvutada püüdsid ning
olemasolu teistes valdkondades. Teises peatükis on räägitud
päevast: kus, millal ja kuidas seda tähistatakse. Kolmas peatükk põhineb uurimusel. Seal analüüsitakse põhikooli matemaatika õpikuid.

1. PI AJALOOLINE ARENG

Arv
tähistab ringjoone pikkuse ja selle diameetri suhet, kuid see kerkib sageli esile ka sellistes küsimustes, mis pole ringjoonega näiliselt üldse seotud. Inglise matemaatik , rahvuselt prantslane Augustus De Morgan on XIX sajandil kirjutanud:” Imeline arv 3,14159..., mis ronib sisse uksest, aknast ja katusest.” Aegade jooksul on
-l olnud erinevaid nimesid ning tähistusi ja olgugi, et
on tegelikult arv, on seda ikka tähistatud kas sõna või siis mõne abstraktse sümboli abil.
Esimene teadaolev tõend selle kohta, et
oli endast inimestele märku andnud, leiti nn. Ahmese papüüruselt, mis pärineb umbes 1650 . aastast e. m. a. Sellel papüürusel on arvutatud ringi pindala valemi järgi, mis kasutades tänapäevaseid tähistusi, näeks välja järgmiselt:
2
, ja seega annab
väärtuseks murru 2 ~ 3,160...
-st leiame jälgi ka Piiblist, kus I Kuningate raamatus (ja ka II Ajaraamatus) on kirjeldatud Kuningas Saalomoni suure templi ehitust (umbes 950 e. m. a.) ning, kus on järgmine salm: “Ja ta valmistas valatud vaskmere, kümme küünart äärest ääreni, täiesti ümmarguse, viis küünart kõrge; kolmekümneküünrane mõõdunöör ulatas selle ümber.” (1 Ku. 7:23; 2 Aj. 4:2) Seega oli
väärtuseks võetud 3, mis isegi tolle aja kohta oli üsna ebatäpne.
India ühe muistseima usu pühast raamatust on leitud juhis, millest võib jääreldada, et
väärtuseks võeti Vanas Indias
~ 3,162...
Esimeseks, kes arvutas teoreetiliselt arvu
väärtuse, loetakse Archimedest (287 – 212 e. m. a.). Archimedes kasutas ringi sisse ja ümber joonestatud korrapäraseid 3 × 2 n-1- küljega hulknurki (ringi pindala jääb puutuja - ja kõõlhulknurga pindalade vahele). Archimedes töötas läbi kõik võimalused alates korrapärastest kuusnurkadest ja lõpetades korrapäraste 96- nurkadega ning leidis, et 3 >
> 3. Arvu
lähisväärtust 3nimetatakse seepärast ka Archimedese arvuks.
Joonis 1: Archimedese kasutatud hulknurgad pi arvutamiseks
Archimedese meetod ei ole tähelepanuväärne mitte ainult selle poolest, et tema pakutud
väärtuse puhul ei ületa viga , mis on oma aja kohta väga hea saavutus, vaid eelkõige seisneb tema meetodi tähtsus selles, et see võimaldab
väärtust arvutada kuitahes suure täpsusega ning peaaegu kõik taolised arvutused põhinesid järgmised 1800 aastat just sellel meetodil.
Läbi sajandite ei suutnud keegi parandada Archimedese meetodit. Alles üle 700 a hiljem Archimedese tulemust ületas täpsuse poolest hiina matemaatik Tsu Chung-Chic (430 – 501), kellest on väga vähe teada peale tema poolt
väärtuseks pakutud murru
3,141592920354... , mille kuus komajärgset numbritlangevad kokku
tegeliku väärtusega.
XV sajandi esimesel poolel arvutas matemaatik ja astronoom Al-Kashi, kes töötas Samarkandi lähistel, välja arvu
16 kümnendkohta. Ta kasutas Archimedese meetodit ja jõudis 3 × 228-nurksete hulknurkadeni.
Euroopasse tõi renessansiajastu algus värskeid tuuli ning teadused hakkasid taas arenema. Esimeste saavutuste seas on ka mitmed arvu
(lähis)väärtused. Üks esimesi oli John Wallise ( 1616 – 1703) avaldis
arvutamiseks:
... , mis omab siiski vaid teoreetilist tähtsust, sest praktilisteks arvutusteks ei ole see küllalt hõlpus. Enim tuntud on sellest perioodist Wilhelm Leibnizile ( 1646 – 1716) omistatav (selle avastajana nimetatakse mõnikord küll inglise-šoti matemaatikut J. Gregoryt) lõpmatu rida:
= 1-
+ … .
1706. aastal kasutas inglise matemaatik William Jones esimesena ringjoone pikkuse ja selle diameetri suhte tähistajana sümbolit . Sümboliks võttis ta esimese tähe kreeka sõnast περιµετρον, mis tähistab ümbermõõtu. Laiemalt kasutusele võeti see sümbol pärast seda, kui Euler oli seda oma teostes (esimest korda 1736 teoses Mechanica sive motus scientia analytice exposita), kasutanud. Samal aastal täiendas teine matemaatik John Machin Leibnizi ( Gregory ) valemit arvu
arvutamiseks:
= 4 arctan
– arctan . Sama põhimõtet (arkustangenseid) kasutatakse ka
tänapäeval elektronarvutite abil arvu
arvutamiseks.
1767. aastal tõestas saksa matemaatik J. H. Lambert , et
on irratsionaalarv, kuid tema tõestus ei olnud päris korrektne . Arvu
irratsionaalsuse tõestas 1794. aastal lõplikult prantsuse matemaatik A. M. Legendre, ühtlasi tõestas ta ka arvu 2 irratsionaalsuse.
See ei lõpetanud aga sugugi otsinguid ringjoone sirgestamise probleemi lahendamiseks. Nimelt ei olnud teada, kas irratsionaalarvude hulk piirdub algebraliste arvudega , s.t. arvudega, mis on ratsionaalarvuliste kordajatega algebraliste võrrandite lahenditeks, või on olemas veel teisi, mittealgebralisi irratsionaalarve. Kui oletada, et
on irratsionaalne algebraline arv, siis võiksid esineda algebralised võrrandid irratsionaalarvuliste kordajatega, mis aga tähendaks, et sirkli ja joonlaua abil saaks ringjoont sirgestada. Alles 1844 . aastal näitas prantsuse matemaatik J. Liouville, et on olemas irratsionaalarve, mis pole ühegi ratsionaalarvuliste kordajatega algebralise võrrandi lahendeiks. Ta nimetas neid arve transtsendentseteks, s.t. mittealgebralisteks arvudeks. 1882. a. näitas Freiburgi ülikooli professor Ferdinand von Lindemann , et
on transtsendentne arv ning järelikult ei ole ringjoone sirgestamise ülesanne sirkli ja joonlaua abil lahenduv.
1777. aastal avaldas prantsuse loodusteadlane G. L. Leclerc de Buffon
arvutamiseks võtte, mida nimetatakse Buffoni ülesandeks: tasandil on joonestatud rida paralleelseid sirgeid, mis asuvad üksteisest kaugusel 2a. Juhuslikult visatakse nõel pikkusega 2k (k langemisel lõikab mõnda sirget on: P= . Siit
~ , kus m on lõigete arv ja n visete arv. Selle valemi põhjal on saadud 34080 viskega
= 3,1415929.
Et
arvutamiseks olid mitmed matemaatikud välja pakkunud küllalt häid valemeid, siis jäi üle vaid
väärtust arvutada. Leidus terve rida inimesi, kes ei pidanud paljuks raisata aega ja vaeva
arvutamiseks. Inglane Abraham Sharp leidis 1699. aastal arvule
72 õiget kohta. Prantslane T. F. de Lagny andis 1719. aastal 127 kohta, hiljem aga selgus, et 113. koha number oli väär – see ilmnes kuulsa austriajugoslaavia arvutaja ja logaritmitabelite koostaja Georg Vega töö põhjal, kes leidis 1794. aastal 136 õiget kohta arvule . Selle arvu 200 kümnendkohta sai 1844. aastal fenomenaalne saksa arvutaja Zacharias Dase, 250 kümnendkohta aga selleaegne Tartu ülikooli astronoom-vaatleja Thomas Clausen. Inglane William Shanks, alustanud arvutusi 1850, leidis aastaks 1853 arvule
607 ja aastaks 1873 707 kümnendkohta.
Varsti pärast Shanksi arvutustulemuste avaldamist leidis De Morgan kummalise statistilise kõrvalekalde Shanksi poolt arvutatud
kümnendkohtades, kus esines kahtlaselt vähe seitsmeid. Kurioosum leidis lahenduse alles 1945. aastal, kui selgus, et Shanksi arvutustes oli viga 528. kümnendkohast alates. Alates 40.ndate aastate lõpust on arvu
väärtuse arvutamiseks kasutatud elektronarvuteid: 1949. aastal arvutati 2000 kümnendkohta, 1961. aastal juba 100 265 kümnendkohta... Aastal 1991 arvutasid vennad Chudnovskyd New Yorgis arvu
2 260 321 363 (kaks miljardit kakssada kuuskümmend miljonit kolmsada kakskümmend üks tuhat kolmsada kuuskümmend kolm) kümnendkohta. , mis algselt tähistas vaid ringjoone pikkuse ja diameetri suhet, esineb tänapäeva matemaatikas paljudes kõige erinevamates seostes ja valemites , sealhulgas suurepärases Euleri valemis, mis seob omavahel kõik põhilised matemaatilised konstandid: e2i =1, kus i = .

1.1. Pi looduses

ei oma tähtsust ainuüksi matemaatika seisukohast vaid see arv esineb looduses pea kõikjal: silmnähtavalt on
seotud kuu- ja päikesekettaga taevavõlvil, pisut liialdades võiks öelda, et DNA topeltheeliks pöörleb ümber
ning hiljaaegu ilmutas
end ka elementaarosakeste füüsikas on peidus nii vikerkaares kui ka inimsilmas ja kui vihmapiisk langeb vette, ilmutab
end vees levivates ringides.
on seotud lainete, võnkumiste ning igat liiki spektritega ning sedakaudu isegi värvide ja muusikaga.

2. PI päev

on ka oma päev, mida tähistatakse.  Kuna  esimesteks arvudeks on 3, 1 ja 4, tähistatakse seda päeva paljudes riikides 14. märtsil. Samal päeval on ka teadlase Albert Einsteini sünnipäev. Esimene  päeva tähistamine toimus 1988. aastal San Franciscos.
Teatavasti on  lõpmatu kümnendmurd ja 3,14 on lihtsalt Archimedese poolt pakutud hästilevinud ümardus sellele väärtusele. Tegelikult on    väärtusele natuke lähemal. Sealt siis ka Euroopa vastav püha – 22. juuli. Seda nimetatakse  approximation day. Ehk siis ligilähedaselt hinnatud  päev.
Vahel omistatakse tähtsust ka  minutile. See on selline ajahetk, kui 14. märtsil näitab kell neid nubreid, mis on  järgmisteks komakohtadeks.  Täpseks -hetkeks loetakse kell 1:59:26,536.

2.1. Kuidas päeva tähistada?

Traditsiooniliselt sellel päeval peetakse kõnesid
kohta, arutatakse selle tähtsust inimese elus, joonistatakse pilte
sümboliga, küpsetatakse pirukaid ja küpsiseid
sümboliga selle peal  (pirukas inglise keeles hääldub sama moodi nagu ), lahendatakse igasuguseid matemaatilisi
seotud ülesandeid, mängitakse (kitarril, viiulil vms) laule, lauldakse, kantakse riideid
sümboliga, mängitakse mänge ja süüakse toitu, mis algavad tähtedega ,,pi’’, mängitakse sõnamänge, pandes tähed ,, pi’’ sõnade vahele, vaadetakse filme
ja peetakse võistluseid.
Mõndades koolides tähistatakse ka
päeva. Sellel päeval, matemaatika tundides, lahendatakse ülesandeid, arvutatakse komakohti ja luuletatakse luuletusi ning laule.

3. PI PÕHIKOOLI MATEMAATIKAS

3.1. Matemaatika 6.klassile I raamat

Uurimistööks uurisin matemaatika õpikut 6.klassile. Käesolevast raamatust kirjutasin välja
arvutamise valemid,
lühike ajalugu, info taskuarvuti kasutamise kohta ja näiteülesanded.
Esimest korda mainitakse koolimatemaatikas arvu 6.klassis. Antud õpikus vajatakse arvu
ringjoone pikkuse ehk ringi ümbermõõdu ja ringi pindala leidmiseks. Kasutatakse
ligikaudset väärtust 3, 14.
Selles õpikus on juurde lisatud ka lühike info taskuarvutite kohta. Kalkulaatoril peaks olema konstandi
jaoks eraldi nupp . Sellele vajutades ilmub ekraanile
ligikaudne väärtus, tavaliselt 7 kümnendkohaga (3, 1415926).
On ka lühidalt antud ajalugu – kes selle arvu () väärtuse kindlaks tegi ja valemeid seletusteega:
C =
- Ringjoone pikkus on tema diameetrist korda suurem.
C =
– Kuna ringjoone diameeter on raadiusest kaks korda pikem, st d = 2r, võime valemit kirjutada ka nii.
S = 2 – Selleks, et arvutada ringi pindala, tuleb
korrutada raadiuse ruuduga.
Õpikus on antud ka näiteülesandeid ringjoone pikkuse ning ringi pindala arvutamisest.

3.1.1. Näiteülesanded

Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema diameeter d = 10 cm. Arvutamiseks kasutame valemit : C = .
C = 3, 14 x 10
C = 31, 4 (cm).
Arvutame ringjoone pikkuse, kui tema raadius r = 8 cm. Arvutamiseks kasutame valemit : C = .
C = 2 x 3, 14 x 8
C = 50, 24 (cm).

Arvutame ringi pindala, kui r = 3 cm. Kasutame valemit S = 2 , ,
S = 3, 14 x 32 = 3, 14 x 9 = 28, 26 (cm2)
S = 28, 26 cm2

3.2. Matemaatika 6.klassile II raamat

Uurimistöö kirjutamisel uurisin ka 6.klassi matemaatika õpiku teist väljatrükki. Õpikust kirjutasin välja valemid ja näiteülesanded.
Selles õpikus on matemaatilise konstanti kohta samuti lühike ajalugu, 3 valemit ja info taskuarvuti kasutamise kohta. Lisaks ka tutvustatud ringjoone pikkuse tähist – C. Õpikus kasutatakse
ligikaudset väärtust 3, 14.
C =
– Ringjoone pikkus on võrdne arvu
diameetri korrutisega.
C =
- Kuna ringjoone diameeter on raadiusest kaks korda pikem, st d = 2r, võime valemit kirjutada ka nii.
S = 2 - Ringi pindala on võrdne arvu
ja raadiuse ruudu korrutisega.

3.2.1. Näiteülesanded

Ringikujulise lillepeenra diameeter on 5 m. See peenar on vaja ümbritseda murumätta ribaga. Kui pikk peab see riba olema?
Et seda ülesannet lahendada, on vaja osata arvutada ringjoone pikkust ehk ringi ümbermõõtu. Seda oleks võimalik teha otsese mõõtmisega, näiteks välisirkli abil. Saadud tulemus ei ole aga kuigi täpne, sest nii me mõõdame mitte ringjoone, vaid murdjoone pikkust. Ringjoone pikkuse arvutamiseks vajaliku eeskirja saamiseks teeme ühe katse.
Võtame mingi ümmarguse eseme, näiteks konservipurgi. Paneme selle purgi küljeli siledale lauale ning märgime laua ja purgi puutekoha nii laual purgil. Veeretame purki mööda lauda ühe täisringi võrra ning mõõdame läbitud teepikkuse. See ongi purgi ümbermõõt, mida tähistame tähega C. Täpsema tulemuse saamiseks võib purki veeretada mitu täisringi ja siis jagada läbitud teepikkus täisringide arvuga. Seejärel mõõdame purgi diameetri d, kasutades selleks kaht nurklauda ja joonlauda. Nüüd arvutame, mitu korda on purgi ümbermõõt suurem diameetrist. Selleks jagame ümbermõõdu diameetriga. Kui see katse on hoolikalt tehtud, siis jagatis peab jääma piiridesse 3, 1…3, 2. Täpsed arutlused kinnitavad (nendega tutvud vanemates klassides), et iga ringjoone pikkus on selle ringjoone diameetrist üks ja sama arv korda pikem. Seda arvu tähistatakse kreeka väiketähega .
Lahendus ülesandele:
Kuna lillepeenra diameeter on 5 m, siis saame, et C =
x 5 = 3, 14 x 5 = 15, 7 (m).
Vastus: Mättariba pikkus on 15, 7 meetrit.

3.3. Matemaatika 7.klassile I raamat

Uurisin 7.klassi matemaatika õpikut. Antud õpikust kirjutasin välja valemid ning näiteülesanded.
7.klasside matemaatika õpikutes on kordav osa ringist ja ringjoonest, mida 6. klassis esimest korda mainiti. Samuti on ka siin meenutatud
ning antud valemeid:
C =
= 2
S = 2
Õpikus kasutatakse
ligikaudset väärtust 3, 14 või .

3.3.1. Näiteülesanded

Leia antud kujundi ümbermõõt ja pindala, kui R = 12 cm.
Joonis 2
Leida : P, S
Lahendus: Leiame väiksema ringjoone raadiuse r =
= 6 (cm).
Olgu C1 väiksema ringjoone pikkus ja C2 suurema ringjoone pikkus.
P = R + a + b = R +
C1
C2
C1 =
x 2 =
= 6
(cm)
C1 =
x 2 =
= 12
(cm)
P = 12 +
+ 12
= 12 + 18
(cm)
P = 12 + 18 x 3, 14 = 68, 52 (cm)
Olgu S1 väiksema ringi pindala ja S2 suurema ringi pindala.
S = S2 - S1 = 2 -
2 =
( 144 – 36 ) =
= 54
(cm2)
S = 54 x 3, 14 = 169, 56 (cm2)
Vastus: Kujundi ümbermõõt on ligikaudu 68, 52 cm ja pindala ligikaudu 169, 56 cm2.

3.4. Matemaatika 7.klassile II raamat

Käsitlesin ka teist 7.klassi matemaatika õpikut. Raamatust kirjutasin välja valemid, info
kohta ning arvutusülesanded.
Õpikus, 7.klassile, meenutatakse arvu
ringjoone pikkuse ja ringi pindala arvutamisel. Arvu
üleskirjutamiseks tuleks kasutada lõpmatult palju kümnendkohti pärast koma. Praktiliselt kasutatakse alati vaid ligikaudseid väärtusi : 3, 14 või . Õpikus on ka ära seletatud järgmised mõisted: ringjoon , ring, raadius, diameeter.
Valemid on järgmised:
C =
= 2 - Ringjoone pikkuse arvutamise valem.
S = 2 – Ringi pindala arvutamise valem.

3.4.1. Näiteülesanded

Leia antud kujundi ümbermõõt ja pindala, kui R = 12 cm
Joonis 3
Leida: P, S
Lahendus: Leiame väiksema ringjoone raadiuse r =
= 6 (cm).
Olgu C1 väiksema ringjoone pikkus ja C2 suurema ringjoone pikkus.
P = R + a + b = R +
C1
C2
C1 =
x 2 =
= 6
(cm)
C1 =
x 2 =
= 12
(cm)
P = 12 +
+ 12
= 12 + 18
(cm)
P = 12 + 18 x 3, 14 = 68, 52 (cm)
Olgu S1 väiksema ringi pindala ja S2 suurema ringi pindala.
S = S2 - S1 = 2 -
2 =
( 144 – 36 ) =
= 54
(cm2)
S = 54 x 3, 14 = 169, 56 (cm2)
Vastus: Kujundi ümbermõõt on ligikaudu 68, 52 cm ja pindala ligikaudu 169, 56 cm2.

3.5. Matemaatika 8.klassile

Antud uurimistöös kasutasin ka 8.klassile mõeldud matemaatika õpikut. Kirjutasin välja
valemid ja arvutusülesanded.
8. klassi õpikutes tuletatakse meelde
ning ringjoone ümbermõõdust ja ringi pindala valemitest. Õpikus on ära märgitud järgmised mõisted: raadius, ring, ringjoon.
Valemid:
C = 22
S = 2

3.5.1. Näiteülesanded

1. Leiame ringjoone pikkuse ja ringi pindala, kui r = 10 cm. Ringjone pikkus on:
C = 2 x 10 = 20 = 20 x 3, 14 = 62, 8 (cm)
Ja ringi pindala on:
S =
x 102 = 100 = 314 (cm2).
2. 1997.a registreeriti Eestis 46 salakaubaveo juhtumit, valeraha kasutamine avastati 79 korral, registreeriti 484 röövimist ja 194 väljapressimise juhtumit (muid kuriteoliike selles näites me ei vaatle). Kujutame leotletud kuriteod sektordiagrammina.
Joonis 4
Vaadeldavad kuritegusid oli kokku 46 + 79 + 484 + 194 = 803.
Iga kuriteoliik protsentides üldarvust:
Salakaubavedu:
x 100% = 5,7%, valeraha kasutamine :
x 100% = 9,8%, röövimised :
x 100% = 60,3% ja väljapressimised :
x 100% = 24,2%.
Sektordiagrammi joonestamiseks leiame, kui suur nurk on iga sektorit piiravate raadiuste vahel: salakaubavedu – 21, valeraha kasutamine – 35, röövimised – 217 ja väljapressimised – 87.
Saadud andmete põhjal joonestamegi joonisel oleva sektordiagrammi. Selle diagrammi põhjal ei saa loomulikult järeldada, nagu poleks muid kuritegusid toime pandud, kuigi need sellel diagrammil ei kajastu.

Matemaatika 9.klassile

Uurimistööks uurisin 9.klassi matemaatika õpikut. Õpikust kirjutasin välja mõisted, info ja valemid kera kohta.
9. klassi matemaatikaõpikus ei räägita enam ringjoone ümbermõõdust ja ringi pindala valemitest. Antud õpikus on peatükk ‘’Pöördkehad‘’ ning üks alapeatükkidest ‘’Kera‘’. Selles teemas on ära märgitud kera definitsioon, info selle kohta, uued mõisted ning valemid kera pindala ja ruumala leidmiseks:
Keraks nimetatakse keha, mis tekib poolringi pöörlemisel ümber oma diameetri.
Joonis 5
Kera piiravat pinda nimetatakse sfääriks. Sfääri saab defineerida ka ilma kera mõistet kasutamata, nimelt: sfäär on kõigi ühest kindlast punktist antud kaugusel asetsevate punktide hulk ruumis. Seda kindlat punkti nimetatakse sfääri ja kera keskpunktiks ja lõiku, mis ühendab keskpunkti sfääri mingi punktida sfääri raadiuseks . Sfääri kaht punkti ühendavat lõiku, mis läbib kera keskpunkti, nimetatakse sfääri ja kera diameetriks (d = 2R, kus R on kera raadius).
Kera iga tasapinnale lõige on ring. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera raadius ning lõiget nimetatakse kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Kõiki teisi lõikeringe nimetatakse väikeringideks. Suurring jagab kera kaheks poolkeraks.
Joonis 6
Tasandit , millel on kera pinnaga üksainus ühine punkt, nimetatakse puutujatasandiks. Kera puutujatasand on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega .
Kera pindala võrdub neljakordse suurringi pindalaga: S = 42.
Kera ruumala võrdub
ja raadiuse kuubi korrutisega: V = 3.

Näiteülesanded

Leiame kera pindala ja ruumala, kui kera raadius on 3 cm.
S = 42 = 4 x 32 = 36 (cm2) ~ 113,1 (cm2).
V = 3 =
x 33 = 36 (cm3) ~ 113, 1 (cm3).
Saime huvitava tulemuse: kui kera raadius on 3 cm, siis kera pindala ja ruumala arvväärtused on võrdsed.

KOKKUVÕTE

Arv
tähistab ringjoone pikkuse ja selle diameetri suhet, kuid see kerkib sageli esile ka sellistes küsimustes, mis pole ringjoonega näiliselt üldse seotud.
esineb looduses pea kõikjal: silmnähtavalt on
seotud kuu- ja päikesekettaga taevavõlvil; pisut liialdades võiks öelda, et DNA topeltheeliks pöörleb ümber
ning hiljaaegu ilmutas
end ka elementaarosakeste füüsikas. on peidus nii vikerkaares kui ka inimsilmas ja kui vihmapiisk langeb vette, ilmutab
end vees levivates ringides.
on seotud lainete, võnkumiste ning igat liiki spektritega ning sedakaudu isegi värvide ja muusikaga.
päeva tähistatakse paljudes riikides 14.märtsil, kuna
esimesteks arvudeks on 3, 1 ja 4.
Samal päeval on ka teadlase Albert Einsteini sünnipäev. Esimene  päeva tähistamine toimus 1988. aastal San Franciscos. 3,14 on lihtsalt Archimedese poolt pakutud hästilevinud ümardus
väärtusele. Tegelikult on    väärtusele natuke lähemal. Sealt siis ka Euroopa vastav püha – 22. juuli. Seda päeva nimetatakse ligilähedaselt hinnatud  päev.
Põhikooli matemaatikaõpikuid uurides jõuti selgusele, et igas raamatus on vajalik õpilasele info arvu
kohta välja toodud. Arvu
on tutvustatud kui lõpmatu kümnendkohtadega irratsionaalset arvu. 6.-8.klasside õpikutes on märgitud harilikult 2 valemit: C =
= 2 ja S = 2. Esimese valemiga saavad õpilased arvutada ringjoone ümbermõõtu ning teise valemiga saavad teada ringi pindala. Lisaks on mõndades õpikutes tutvustatud ka lühike ajalugu ja taskuarvutite kasutamine
arvu vajalikkusel. 9.klassi matemaatikaõpikus kasutati
kera ruumala ning pindala leidmiseks.
Kõikides uuritud õpikutes on õpilasele teema selgemaks tegemisel toodud ka näiteülesandeid. Neid lahendades saavad õppijad rohkem ja paremini aru käsitletud teemast. Mõnes õpikus on näiteülesanded rohkem elulisemad, kui teises. Teises on aga puhtalt matemaatilised ülesanded.
Arvu teadmine on elus vajalik ning seda oli ka vajatud ning välja arvutatud ka kõige kaugemas minevikus.

KASUTATUD ALLIKAD

Bailey, D. H., Borwein, J. M., Plouffe, S., Peter, M. P. (1996) http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf (22.05.2012).
Kaasik, K., Cibulskaire, N., Strickience, M. (2007). Matemaatika 6.klassile II osa. Tallinn: Avita
Kaldmäe, K., Kontson, A., Matiisen, K., Pais, E. (2005). Matemaatika 7.klassile II osa. Tallinn: Avita
Nõmmiste, K. http://www.koolielu.edu.ee/kyllin/materjalid/pi_ajaloost.pdf (22.05.2012).
Pais, E. (1998). Matemaatika 7.klassile II raamat. Tallinn: Avita
(2009). Pi Day. http://www.mathgoespop.com/2009/03/pi-day.html (22.05.2012).
(2012). Pi Day. http://en.wikipedia.org/wiki/Pi_Day (22.05.2012).
(2010). Pi päev. http://miinor.wordpress.com/2010/03/30/pi-paev/ (22.05.2012).
Telgmaa, A., Nurm , E. (2002). Matemaatika VI klassile 1.osa. Tallinn: Koolibri
Things to do this Pi day. http://www.piday.org/stuff/ (22.05.2012).
Tõnso, T. (1998). Matemaatika VIII klassile. Tallinn: Mathema
Veelmaa , A. (2000). Matemaatika VIII klassile. Tallinn: Mathema

LISAD

Lisa 1. Pi arvutamine enne 20. sajandit

Lisa 2. Pi päeva kook