Matmaatiline analüüs I 1. teooriatöö konspekt (2)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

5 VÄGA HEA

Matemaatiline analüüs I
I KT

Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on maaratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud. Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi.
Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist .
|a| =a kui a ≥ 0
−a kui a Absoluutväärtuste omadused
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-ε;a+ε), kus ε>0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x kaugus a- st on väiksem ümbruse raadiusest | x-a| 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x>M
Suuruse miinus lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (-∞;-M ), kus M0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ∞). Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y= cos x, y = tan x ja y = cot x
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = tan x : X = R \Y=R
y = cot x : X = R \, Y = R.
4. Üksühene funktsioon Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub ainult x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f
väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis - ja maaramispiirkond. Kui x ja y6 vahetada on nad peegelpildis sirge y=x suhtes. Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.ä>0 a ei tohi olla X = (0,∞) ja Y = R. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja 1> a>0. Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid.
y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [−0.5π;0.5π]
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0;π]
y = arctan x : X = R, Y = [−0.5π;0.5π]
y = arccot x : X =R, Y =[0;π]
5.Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama maaramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis .
Liitfunktsioon :Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) maaramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) maaramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga.
Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. Seega võime kirjutada võrduse
z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)].
Liitfunktsiooni g ◦ f maaramispiirkond ei tarvitse kattuda f maaramispiirkonnaga. Liitfunktsioon g ◦ f on maaratud ainult sellistel x-i väärtustel hulgas Xf , mille korral f(x) asub funktsiooni g maaramispiirkonnas. Tõepoolest, ainult sellisel juhul saame me leida funktsiooni g väärtuse kohal f(x) ehk suuruseg[f(x)]. Seega on g ◦ f maaramispiirkond järgmine:
Xg◦
Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne , astme, eksponent , trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil
n- astme polünoom on defineeritud avaldisega
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn ,
kus a0, a1, a2, . . . , an−1, an on konstandid ja an ̸= 0.
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis
R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn
b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm−1xm−1 + bmxm .
6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 − x.
Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y
läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks
x2 − sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis , siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) ≡ 0
Ilmutamata kujul antud funktsiooni ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand
muutuja y suhtes. Kui sellel võrrandil on mitu lahendit, siis defineerib ta
mitu funktsiooni.
Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni
x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid Üles sÜsteemina
x = φ(t)
y = ψ(t) , t ∈ [T1, T2]
See süsteem maarab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi
punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t
erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb
läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat
t selle joone parameetriks.
7. Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on
moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik
öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x
piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist
suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused
kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule
a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse
x → a või lim x = a .
Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse
arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik
järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel
juhul kirjutatakse
x → a−
Muutuva suuruse x piirväärtus on lõpmatus ehk muutuv suurus x lÄheneb
lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab nÄidata sellist
suuruse x väärtust, millest alates kõik jÄrgnevad muutuva suuruse väärtused
kuluvad lõpmatuse Ümbrusesse (M,∞), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist
piirprotsessi tÄhistatakse jÄrgmiselt:
x → ∞ või lim x = ∞.
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga
kuitahes vÄikese positiivse arvu ε korral saab nÄidata sellist jada elementi xn,
millest alates kõik jÄrgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a Ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on jÄrgmine:
xn → a või lim xn = a .
Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul
nimetatakse jada hajuvaks.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult vaikeseks ehk lõpmatult kahanevaks,
kui lim α = 0.
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞.
Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.
Nimelt on nad teineteise pÖÖrdarvud.
Teoreem 2.1. Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus
on lõpmatult kasvav.
Niisiis olgu α lõpmatult kahanev, st α → 0. Me peame tõestama, et suurus
=β on lõpmatult kasvav, st|| =|β|→ ∞. Vastavalt selle piirprotsessi definitsioonile tuleb
meil nÄidata, et suvalise kuitahes suure positiivse arvu M korral eksisteerib selline suuruse β väärtus βM nii, et kõik βM-le jÄrgnevad β väärtused rahuldavad võrratust |β| > M. Fikseerimegi mingi positiivse arvu M ja kasutame eeldust α → 0. Vastavalt piirprotsessi α → 0 definitsioonile eksisteerib suvalise kuitahes vÄikese positiivse arvu ε korral selline suuruse α väärtus αε nii, et kõik αε-le jÄrgnevad α väärtused rahuldavad võrratust|α| lauses võib " olla suvaline positiivne arv, saame me valida ε=
. Siis kehtivad kõigi αε-le jÄrgnevate α väärtuste korral jÄrgmised seosed:
|α|
M ⇔|| > M ⇔|β|> M
βM =
nÄeme, et kõik β-le jÄrgnevad _ väärtused rahuldavad võrratust |β| > M. Seda oligi vaja tõestada.
Suurus α on tõkestatud, kui kõik suuruse α väärtused kuuluvad mingisse lõplikku vahemikku (a, b).
Teoreem 2.2. Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev.
Tõestus. Olgu α lõpmatult kahanev ja β tõkestatud. Me peame nÄitama, et sellisel juhul on γ = α*β samuti lõpmatult kahanev, st → 0. Vastavalt definitsioonile tuleb nÄidata, et suvalise kuitahes vÄikese positiivse arvu ε korral leidub selline suuruse γ väärtus γε nii, et kõik γ-le jÄrgnevad väärtused rahuldavad võrratust |γ| Fikseerimegi mingi positiivse arvu ε ja kasutame eeldusi α ja β kohta. Kuna α → 0, siis suvalise positiivse arvu ε1 korral leidub selline suuruse α väärtus αε1 nii, et kõik αε1 –le jÄrgnevad α väärtused rahuldavad võrratust |α| 0 nii, et kõik suuruse β väärtused rahuldavad võrratust |β| ε1 =
Järgmiseks valime γε nii, et γε = αε1βε, kus βε on mingisugune suuruse β väärtus. Siis iga γε-le järgneva γ väärtuse korral kehtivad seosed
|γ| = |αβ| = |α| |β|

.DOC Laadi alla originaalfail 11 lk · .doc · 250 allalaadimist

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #1

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #2

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #3

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #4

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #5

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #6

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #7

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #8

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #9

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #10

Matmaatiline analüüs I 1-teooriatöö konspekt #11

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 11 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2011-05-04 Kuupäev, millal dokument üles laeti

250 laadimist Kokku alla laetud

2 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

karull Õppematerjali autor

Janno esimese kontrolltöö täisprogrammi konspekt. Lahti seletatud, tõestatud kõik punktid.

arvtelg reaalarvu absoluutväärtus loetleda absoluutväärtuse omadused reaalarvude ümbrused lõpmatuste ümbrused tõkestatud hulk

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs I KT

Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse

Matemaatiline analüüs

doc

Matemaatiline analüüs KT1 vastused

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-, a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a - , a] siis ja ainult siis, kui selle

Matemaatiline analüüs i

doc

Matemaatiline analüüs

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

Matemaatiline analüüs 2

doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrus

Matemaatiline analüüs 1

docx

Matemaatiline analüüs I KT konspekt vähendatud programm

Matemaatiline analüüs I Vähendatud programm I KT Kindlasti peab teadma : 7. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ), st rahuldavad võrratust |x - a| < . Kui arv a on suuruse x piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x a või lim x = a . Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid · Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a - , a]. Sellisel juhul kirjutatakse x a-. · Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui

Matemaatiline analüüs

doc

Matemaatiline analüüs I 1. kt teooria

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Def. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Def. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Absoluutväärtuste omadused: · |-a|=|a| · |ab|=|a||b| · |a+b||a|+|b| · |a-b|| |a|-|b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused: Def. Reaalarv

Matemaatika analüüs i

Rohkem sarnaseid