Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal III osa (2)

Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
III osa
© T. Lepikult, 2003
Liikumisülesanded, ülesanne 1
Ülesanne 1
Kahe linna vaheline kaugus on 600 km. Üks rong läbib selle
vahemaa 2 tunni võrra kiiremini kui teine, sest ta kiirus on 10
km/h võrra suurem kui teise rongi kiirus. Leida, kui kaua aega
kulub kummalgi rongil ühest linnast teise sõitmiseks.
Lahendus
Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud
teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost.
Kiirus v on defineeritud kui läbitud teepikkuse s ja selleks
kulutatud aja t suhe: s
v= , (1)
t
millest järelduvad seosed s = vt (2)
ja s
t= . (3)
v
Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
Tähistame tundides mõõdetud aja, mis kulub esimesel rongil
linnadevahelise vahemaa läbimiseks, otsitavaga t1 .
Kuna on öeldud, et teisel rongil kulus selle tee läbimiseks
2 tundi rohkem, siis teine otsitav t 2 on lihtsalt leitav esimese
kaudu:
t 2 = t1 + 2
Nüüd avaldame kummagi rongi kiirused.
Esimese rongi kiiruseks saame:
s 600
v1 = =
t1 t1
Ülesanne 1 (3)
Lahendus jätkub ...
Teise rongi kiiruseks saame:
s 600
v2 = = .
t 2 t1 + 2
Tingimusest, et esimese rongi kiirus oli 10 km/h võrra suurem
kui teisel rongil, saame murdvõrrandi otsitava t1 suhtes:
600 600
= + 10.
t1 t1 + 2
Tasub tähele panna, et võrrandi määramispiirkonda ei kuulu
otsitava väärtused t1 = 0 ja t1 = -2.
Füüsikaliselt tähendab see seda, et vahemaa läbimiseks
kulutatud aeg ei saa olla 0 ega negatiivne.
Ülesanne 1 (4)
Lahendus jätkub ...
600 600
= + 10.
t1 t1 + 2
Võrrandi lahendamiseks vabaneme esmalt murdudest, milleks
korrutame selle mõlemad pooled läbi avaldisega t1 (t1 + 2) 0
600 600
t1 (t1 + 2) = + 10 t1 (t1 + 2)
t1 t1 + 2
600
600t1 + 1200 = t1 (t1 + 2) + 10 t1 (t1 + 2)
t1 + 2
600t1 + 1200 = 600t1 + 10 t12 + 20t1
10 t12 + 20t1 - 1200 = 0 t12 + 2t1 - 120 = 0
Ülesanne 1 (5)
Lahendus jätkub ...
t12 + 2t1 - 120 = 0
Lahendame saadud ruutvõrrandi:
2
2 2
t1 = - ± + 120 = -1± 121 = -1± 11
2 2
Negatiivne lahend t1 = -1 - 11 = -12 on võõrlahend, sest aeg ei
saa olla negatiivne.
Teiseks lahendiks on t1 = -1 + 11 = 10.
Kontrollime selle sobivust.
Ülesanne 1 (6)
Lahendus jätkub ...
Kontrollime lahendi sobivust.
Kui esimesel rongil kulus aega 10 tundi, siis saame esimese
rongi kiiruseks
600 km
v1 = = 60 .
10 h
Teisel rongil kulus 10 + 2 = 12 tundi ja tema kiiruseks saame
600 km
v2 = = 50 .
12 h
See on tõesti 10 km/h võrra väiksem esimese rongi kiirusest.
Vastus : Esimesel rongil kulub 10 ja teisel 12 tundi.
Ülesanne 2 (1)
Ülesanne 2
Laev sõitis mööda jõge 100 km pärivoolu ja 64 km vastuvoolu
9 tunniga. Teisel korral sõitis ta sama aja jooksul 80 km päri-
ja 80 km vastuvoolu. Leida laeva kiirus seisvas vees ja jõe
voolukiirus.
Lahendus
Selle ülesande lahendamisel tuleb arvestada, et
absoluutkiiruse leidmiseks tuleb pärivoolu liikumisel laeva
kiirusele liita jõe voolukiirus, vastuvoolu liikumisel aga
lahutada see.
Tähistades laeva kiiruse seisvas vees otsitavaga v1 ja jõe
voolukiiruse otsitavaga v2 , saame laeva absoluutkiiruseks
pärivoolu liikumisel v1 + v2 , vastuvoolu aga v1 - v2 .
Ülesanne 2 (2)
Lahendus jätkub ...
Esimesel korral pärivoolu sõitmiseks kulunud aja leidmiseks
tuleb teepikkus jagada kiirusega (vt. valem (3)):
päri 100
t1 = ,
v1 + v2
ja vastuvoolu liikumiseks kulunud aja avaldiseks saame:
vastu 64
t1 = .
v1 - v2
Kokku kulus esimesel korral 9 tundi, seega
100 64
+ = 9.
v1 + v2 v1 - v2
Ülesanne 2 (3)
Lahendus jätkub ...
Ka teisel etapil kulus laeval sõitmiseks kokku 9 tundi, üksnes
vastu- ja pärivoolu liikumise teepikkused olid erinevad.
Saame analoogse murdvõrrandi v1 ja v2 suhtes:
80 80
+ = 9.
v1 + v2 v1 - v2
Otsitavate v1 ja v2 määramiseks saime murdvõrrandite
süsteemi:
80 + 80 = 9,
v + v v - v
1 2 1 2
100 + 64 = 9.
v1 + v2 v1 - v2
Ülesanne 2 (4)
Lahendus jätkub ...
Võrrandisüsteemi lahendamiseks tähistame tundmatud teisiti:
1 (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus
x= ,
v1 + v2 pärivoolu sõitmisel)
1
y= (laeva absoluutkiiruse pöördväärtus
v1 - v2
vastuvoolu sõitmisel)
Uute tundmatute x ja y suhtes saame esialgse süsteemi
asemele juba lineaarse võrrandisüsteemi:
80 x + 80 y = 9,
100 x + 64 y = 9.
Ülesanne 2 (5)
Lahendus jätkub ...
80 x + 80 y = 9,
100 x + 64 y = 9.
Selle võrrandisüsteemi lahendamiseks korrutame ülemise
võrrandi 10-ga, alumise 8-ga ja lahutame ülemisest alumise:
80 x + 80 y = 9, 10
100 x + 64 y = 9 8
800 x + 800 y = 90
­
800 x + 512 y = 72
1
288 y = 18 y=
16
Ülesanne 2 (6)
Lahendus jätkub ...
Teise abitundmatu, x leidmiseks asendame võrrandisüsteemi
esimesse võrrandisse leitud y-väärtuse ja avaldame saadud
seosest x:
1
80 x + 80 y = 9 80 x + 80 = 9 80 x + 5 = 9
16
4 1
80 x = 4 x = = .
80 20
Algsete otsitavate, v1 ja v2 väärtuste leidmiseks kasutame
leitud x ja y väärtusi seostes, mille abil me nad defineerisime:
1 = 1 ,
20 v + v
1 2
1 = 1 .
16 v1 - v2
Ülesanne 2 (7)
Lahendus jätkub ...
Ehkki tulemuseks on jällegi murdvõrrandite süsteem, on see
siiski lihtsalt taandatav lineaarvõrrandite süsteemiks,
kasutades võrde põhiomadust:
v1 + v2 = 20,
v1 - v2 = 16.
Selle süsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja
paremad pooled:
v1 + v2 = 20
+
v1 - v2 = 16
2v1 = 36 v1 = 18
Ülesanne 2 (8)
Lahendus jätkub ...
Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame nüüd leida
teise tundmatu:
v1 + v2 = 20 v2 = 20 - v1 = 20 - 18 = 2
Jääb üle saadud lahendit kontrollida.
Vastuvoolu liigub laev kiirusega 18 ­ 2 = 16 km/h ja pärivoolu
kiirusega 18 + 2 = 20 km/h.
Esimesel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 100 / 20 = 5
tundi ja vastuvoolu sõitmiseks 64 / 16 = 4 tundi. Kokku kulub
esimesel reisil 5 + 4 = 9 tundi.
Teisel reisil kulub tal pärivoolu liikumiseks 80 / 20 = 4 tundi ja
vastuvoolu sõitmiseks 80 / 16 = 5 tundi. Kokku kulub teisel
reisil 4 + 5 = 9 tundi.
Ülesanne 2 (9)
Kontroll klappis, võime kirjutada vastuse.
Vastus : Laeva kiirus seisvas vees on 18 km/h ja jõe
voolukiirus on 2 km/h.
Nuputamist füüsikahuvilistele
Lahendamisel eeldasime salamisi, et laeva kiirus seisvas
vees on suurem kui jõe voolukiirus. Kuskohas seda eeldust
kasutasime? Mis muutuks lahenduses, kui kehtiks
vastupidine ­ jõe voolukiirus oleks suurem kui laeva kiirus?
Kas ülesanne oleks lahenduv, kui need kiirused oleksid
võrdsed?
Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks
Ülesanne 3
Kaks lennukit stardivad üheaegselt,et lennata punkti, mis on
lennuväljast 3600 km kaugusel. Ühe lennuki kiirus on
100 km/h võrra suurem kui teisel ja seetõttu jõuab ta
sihtkohta 30 minutit enne teist. Leida kummagi lennuki kiirus.
Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ...
Vastus : km km
900 ja 800 .
h h
Võrde põhiomadus
Võrdus
a c
= (b 0, d 0)
b d
kehtib parajasti siis, kui
ad = bc.
Näide
8 4
= 8 1 = 2 4.
2 1