Matemaatiline analüüs 1 (2 teooria töö) (2)

KT2
Pöördfunktsiooni tuletis on antud funktiooni tuletise pöördväärtus. Kui l~oigul [a; b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y =f(x) leidub kohal a nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x = g(y) leidub tuletis kohal b = f(a), kusjuures g ’(b)=1/f ’ (a)
Param kujul f tuletis: kui f y=f(x) on antud parameetrilisel kujul x(t)=ϕ(t); y(t)=ψ(t) , t=[a,b], kusjuures f-id ϕ(t) ja ψ(t) on diferentseeruvad vahemikus (a,b) ja ϕ(t) on rangelt monotoonne lõigul[a,b] ning ϕ(t)≠0 (t=(a,b), siis y ’=ẏ(t)/ẋ(t)
F f(x) n-järku tuletiseks nim f-i f(x) (n-1)-järku tuletise tuletits, st fn(x)=(fn-1(x)) ’
F-i y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nim diferentsiaali selle f-i n-1 järku diferentsiaalist dny=d(dn-1y)
Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ(x-δ,x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f(x1) Funktsiooni y = f(x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ(x-δ,x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f(x1) ˃ f(x) ˃ f(x2). Kui funktsioon on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ˃0, et 0˂|Δx|˂δ --˃Δy/Δx˂0
Fermat’ teoreem väidab, et Kui F-il f(x) on punktis a lokaalne ekstreemum ja see f f(x) on diferentseeruv selles punktis, siis f-i tuletis punktis a=0 e f’(a)=0
Punkti a nim diferentseeruva f-i statsionaarseks punktiks, kui f'(a)=0
Punkti a nim f-i kriitiliseks punktiks ,kui a on statsionaare punkt või punktis a ei leidu f-il tuletist
Kui punkt a on f-i statsionaarne punkt ja f’’(x) on pidev punktis a ning f’’(a)≠0, siis f-il on punktis a range lokaalne ekstreemum. Kui f’’(a)˂0—lok max, f’’(a)˃0—lok min
Rolle'i teoreem. Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f’(c) = 0.
Cauchy teoreem. Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g’(x) ≠ 0, siis leidub vahemikus(a; b) punkt c, et f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f’(c)/g’(c)
Lagrange 'i keskväärtusteoreem. Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c ϵ(a; b), et f(b) - f(a) = f’(c)(b - a).
L’ Hospitali reegel: Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g′(x) ≠ 0 iga x korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu f(a) = g(a) = 0 . Kui eksisteerib piirväärtus limx→af′(x)/g′(x) , siis eksisteerib ka piirväärtus limx→af(x)/g(x) ja kehtib valem limx→af(x)/g(x)= limx→af′(x)/g′(x)
Punktis a n korda diferentseeruva funktsiooni f n-järku Taylori polünoomiks punktis a nimetatakse polünoomi:F(x)= (n-järku tayloru valem punktis a) Erijuhul a=0, saame Maclaureni valemi f(x)=
Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb.
Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer , kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
Öeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis ja nõgus hulgal X,kui selle funktsiooni graafik on nõgus hulga X igas punktis.
1.Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus(a, b).
2. Kui f’’(x) Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,nimetatakse selle joone käänupunktiks. F’’(a) 0 nõgus punktis a.
INEGRAAL
Reimanni summa: Sn(f)=
Kui eksisteerib piirväärtus limn→∞;maxΔxi→0, mis ei sõltu lõigu [a; b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv ( Riemanni mõttes) lõigul[a; b] ning seda piirväärtust nim f-i f(x) määaratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse; kui a≥b, siis =-; kui a=b, siis kogu avaldis =0
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas X, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus F ’(x) = f(x). Avaldist kujul F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nim funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse
Kui f-il f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis f-il f(x) eksisteerib määramata integraal (hulgal X).
Muutujate vahetus määramata integraalis: ʃ f(x)dx Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = φ(x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi. Eeldame, et φ on üks ühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega x = ψ(u) . Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx/ du = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame
dx = ψ’(u)du .Asendame x-i ja dx-i integraali all: ∫f(x)dx =∫f[ψ(u)]ψ’(u)du .
Muutujate vahetus määratud integraalis: Kui fϵC[a,b] ja ϕ(t) on pidevalt diferentseeruv lõigul [α,β] ja ϕ(α)=a ja ϕ(β)=b, siis
Ositi integreerimine määramata integraalis: Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise∫d(uv) =∫vdu +∫udv--˃ ∫udv = uv −∫vdu .
Ositi integreerimine määratud integraalis: Kui funktsioonide u(x) ja v(x) tuletised on integreeruvad lõigul [a; b], siis
Olgu antud funktsioon f(t), mis on pidev lõigul [a, b]. Siis on sellel funktsioonil olemas määratud integraal . Asendame selle integraali ülemise raja muutujaga x. Siis saame järgmise lõigul [a, b] defineeritud funktsiooni:Φ(x) =, xϵ[a,b] –määratud integraal on teisendatud määramata integraaliks