Muutuja vahetus määramata integraalis (0)

MUUTUJA VAHETUS MÄÄRAMATA INTEGRAALIS
Meil on funktsioon y = f(t). See tähendab, et suurus t on suuruse igrek funktsioon, y sõltub suurusest t. ÄRME UNUSTA , ET FUNKTSIOON POLE MIDAGI MUUD KUI MUUTUV SUURUS, MIS SÕLTUB mingil viisil MINGITEST TEISTEST SUURUSTEST. Aga seisame vastu olukorrale, kus ka t sõltub omakorda teisest muutujast: t=( x), mis tähendab, et t on omakorda x funktsioon. Nii saame kokkuvõtlikult kirjutada, et y= f[(x)].
Sellist põhimõtet saab kasutada ka integreerimises, kui meil on funktsiooni f(x) integraal f(x) dx , aga me ei saa integraali otseselt leida, kuna meil on tegemist liitfunktsiooniga ja suurus x sõltub omakorda mingist teisest suurusest.
Sel juhul teeme integraalis kõigepealt muutuja vahetuse ja lahendame integraali kõigepealt „uue” muutuja järgi.
Asendame x-i avaldise x=(t)
Võtame eelduseks, et x=(t) on pidev funktsioon, millel leidub ka pöördfunktsioon. Kuna integraalis on vaja avaldada ka diferentsiaal dx, siis teeme seda: diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu (argumendi diferentsiaali) korrutis: järelikult on suurus dx = ’(x) ·dt.
Igal juhul tõestame, et muutuja vahetuse korral, kus x=(t), kehtib seos:
f(x) dx =  f[(t)]·’(t)·dt
Selleks, et võrdust tõestada, peaksime olema suutelised mõlemast poolest võtma tuletise ja saama tulemuseks f(x) /vaata integraali omadusi/.
[f(x) dx]’ = f(x)
see oli kähkukas 
A
ga teist poolt tuleb diferentseerida kui liitfunktsiooni. Liitfunktsiooni diferentseerimisvalem on:
Kui y= f[(t)] ja t=(x), siis
y’(x) =f’[(t)] ·’(x)
ehk y’(x) = f’(x)·’(x) , kus x=(t)
Seega
( f[(t)]·’(t)·dt)’ = ( f[(t)]·’(t)·dt)’·’(x) = f[(t)]·’(t) ·’(x)
f’[(t)]
Nüüd oleks hea kuidagi lahti saada ’(t) ja uskugem, see on võimalik, kui üks neist avaldada pöördfunktsiooni tuletise kaudu:
Kui x=(t) , nagu me asenduses tegime ,
siis järelikult ’(t) = (see on tuletis avaldatuna diferentsiaali kaudu)
x= (t) pöördfunktsioon on aga selline: t=(x) ja selle tuletis: ’(x) =
Võrdleme neid tabelina ja saame kohe aru:
Funktsioon
pöördfunktsioon
x=(t)
t=(x)
’(t) =
’(x) =
Meil on vaja valemis asendada ’(x):
Seega võime ’(x) asendada suurusega
f[(t)]·’(t) · = f[(t)]
aga me leppisime kokku, et (t)=x, seega asendame uuesti, mida tegelikult valem ette näebki, nii et f[(t)]=f(x)
ja käes!!!
KOKKUVÕTLIKULT:
On funktsioon y=f(x), kus lisaks veel omakorda x=(t). Sel juhul:
f(x) dx =  f[(t)]·’(t)·dt
[f(x) dx]’ = f(x)
[ f[(t)]·’(t)·dt]’ = [liitfunktsiooni järgi, kus t=(x)] = [ f[(t)]·’(t)·dt]’·’(x) =
=f[(t)]·’(t) ·’(x) = [asendades pöördfunktsiooni kaudu] = f[(t)]·’(t)·= f[(t)] = [asendades tagasi muutuja x’i seosest x=(t)] = f(x)
M.O.T.T.
OSITI INTEGREERIMINE MÄÄRAMATA INTEGRAALIS
Meil on kaks funktsiooni: u ja v, mõlemad funktsioonid on diferentseeruvad ja mõlemad on argumendi x funktsioonid. Tihti tuleb ette olukordi, kus tuleb integreerida kahe funktsiooni korrutist: u·v . Kuna integreerimisel tuleb alati avaldada ka diferentsiaal, siis alguseks teemegi seda:
Kuna diferentsiaal on tuletise ja argumendi muudu korrutis, siis analoogselt korrutise tuletise valemi järgi (uv)´ = u’v + u·v’ on korrutise diferentsiaal:
d(u·v) = du·v + u·dv
vahetame integraali kujunduse huvides tegurite du ja v omavahelise järjekorra ja saame:
d(u·v) = v ·du + u·dv
Nüüd avaldame siis nende integraalid , ja seega, nagu taibata võib, ka korrutise u·v, sest integraal mingi funktsiooni diferentsiaalist on selle funktsiooni enda ja mingi suvalise kontsandi summa:
d(uv) = uv +C , seega, selguse mõttes jättes välja konstandi C märkimise (mida saab niikuinii teha alles lõpliku integraali leidmisel), saame avaldise d(u·v) = du·v + u·dv mõlemaid pooli integreerides huvitava võrduse:
 d(u·v) =  v·du +  u ·dv ja asendades  d(u·v) ära:
u·v = v·du +  u ·dv
ja siit meie jaoks seda avaldist veel mugavamaks tehes:
 u ·dv = u·v -  v·du
SEEGA SIIT JÄRELDADES: KAHE FUNKTSIOONI KORRUTIST SAAB VÕTTA KUI ÜHE FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI JA TEISE FUNKTSIOONI KORRUTIST JA SEEGA INTEGREERIDA SAADUD VALEMI JÄRGI. Seda valemit nimetatakse ositi integreerimise valemiks .
Paneme nüüd kirja ametliku , korraliku tekstina:
Kui u ja v on diferentseeruvad funktsioonid argumentide hulgal X ja eksisteerib määramata integraal  d(u·v) , siis eksisteerib ka määramata integraal v·du, mis seob funktsioone u ja v järgmise avaldise näol:  u ·dv = u·v -  v·du
Ositi integreerimisel üritatakse kahe funktsiooni korrutise integraali vaatlemisel kui avaldist
f(x)· dx lahutada korrutiseks  u ·dv nii, et ositi integreerimisel saadav integraal oleks võimalikult lihtne. Valemit nähes ei ole vaja kohkuda: siin on lihtsalt väljendatud seoseid funktsiooni, tema diferentsiaali ja integraali vahel ning neid seosesi saab kasutada korrutiste integreerimisel.