Matemaatiline analüüs II 1. kollokviumi spikker (0)

1
1
korral a
14.  Fourier ’  teisenduse  omadusi. Fourier’ teisenduse rakendusi.  
k≠0(k>n) leidub lõplik või  lõpmatu  pi rväärtus  lim
𝑘→+∞ √
𝑘
 , siis selle rea  koonduvusraadius  avaldub kujul 𝑅 = lim
|𝑎
𝑘→+∞ √
𝑘
. 
|𝑎
1.  Arvrea  mõiste. Arvrea osasumma ja  koonduvus . Näiteid koonduvate ja hajuvate  arvridade  kohta.   Avaldist  
𝑘|
𝑘|
Abeli   teoreem : ühtlase ja absoluutse  koonduvuse  seos koonduvusraadiusega.
Kui f ∈ L 1(R) on lokaalselt tükiti sile, siis Fourier’  teisendus  on pööratav, st F −1F f = f . Fourier’ teisenduse omadusi: • F f(t + 
 
∑∞ 𝒂
𝒌=𝟏
𝒌 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐+. . . +𝒂𝒌+. .   , kus 𝒂𝒌(𝒌 ∈ 𝑵) on  reaalarvud , nimetatakse arvreaks. Selle rea esimese 𝒏liikme  summat  𝑺𝒏 
Kui  astmerida  ∑∞ 𝑎
t0) = e i ωt0 fb(ω) • F f(αt) = 1 /α fb( ω/ α ) , α > 0, • F f (r) (t) = (iω)r fb(ω) 
𝑘=0 𝑘 𝑥𝑘 koondub punktis x0, siis see astmerida koondub absoluutselt iga x korral, kui |x|∞
 
Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 
α−1
∞
 
2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt 
siis juhul      0 1 koondub. Seega harmooniline rida  ∑
1
𝑘=1
 koondub , kui α > 1 ja 
𝑘α
Võtame t =  arccos  x ja saame 
hajub , kui α ≤ 1. 
5. Arvridade absoluutne ja  tingimisi  koonduvus. Absoluutselt  koonduva  rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi 
cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) 
koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. 
k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. 
Lause: 
Arvrida   ∑∞ 𝑎
∞
𝑘=1 k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida  ∑
|𝑎
𝑘=1
k| koondub. 
4. Positiivsete arvridade võrdlustunnused. Üks tunnustest tuletada. Positiivseks arvreaks nimetatakse arvrida kujul 
(1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] kaalufunktsiooniga 𝑤(𝑥) ≔
Absoluutselt koonduva rea igaümberjärjestus koondub samaks  summaks . 
∞
∑∞ 𝑎
𝑘=1 𝑘, 𝑎𝑘 ≥ 0 (𝑘 ∈ 𝑁)                                         1.Kui positi vsete arvridade Σk=1 ak ja Σk=1bk üldliikmete vahel kehtib  võrratus  
1
Koonduvat arvrida ∑∞ 𝑎
∞
𝑘=1 k nimetatakse tingimisi koonduvaks, kui ta ei koondu absoluutselt. Tingimisi koonduval  real  ∑
𝑎
𝑘=1 k , 
. Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: {√1 , √2 𝑇
 
a
√1−𝑥2
𝜋
𝜋 𝑘}
k≤bk, siis  
a
𝑘=1
k∈ R leidub sel ine ümberjärjestus, mil e summaks on suvaliselt etteantud arv või ∞ või -∞. 

12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus
  rea Σk=1bk koondumisest järeldub rea Σk=1 ak  koondumine ; 
6. Vahelduvate märkidega read. Leibnizi tunnus.
- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. 
 Vahelduvate märkidega  reaks  nimetatakse arvrida kujul   ∑∞ (−𝟏)

𝒌=𝟏
kak , 
  rea Σ
Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem
k=1 ak hajumisest järeldub rea Σk=1bk  hajumine . 
 
kus ak ≥0. Leibnizi tunnus: Vahelduvate märkidega rida koondub, kui on täidetud tingimused : 1) ak ≥ ak+1, iga k >n0 
Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l. Funktsiooni f Fourier’ rida 
( monotoonsus ), 2) 𝐥𝐢𝐦 𝐚
2.Kui Σ
k = 0 (koondumise tarvilik tingimus) 
k=1 ak  ja  Σk=1bk  on positiivsed arvread ja eksisteerib lõplik nul ist erinev pi rväärtus nende üldliikmete ak ja bk suhtes 
𝒌→∞
selle süsteemi järgi on kujul
𝑙
𝑙
 𝑓(𝑥)~ 𝑎0 + ∑
𝑎
∞
𝑘 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝜋𝑥 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝜋𝑥
𝑑𝑥,   𝑎
cos 𝑘𝜋𝑥 𝑑𝑥, 𝑏
lim
√2𝑙
𝑘=1
, kus: 𝑎
√𝑙
𝑙
√𝑙
𝑙
0 = ∫ 𝑓(𝑥)
−𝑙 √2𝑙
𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥)
−𝑙 √𝑙
𝑙
𝑘 =
k- ∞ ak/bk =γ≠0, siis read koonduvad või hajuvad üheaegselt. Tõestus. Lähtuded jada piirväärtuse definitsioonidt, leiame 
𝑎
𝑙
(lim 𝑘 = 𝛾 ≠ 0) ⇔  (∀𝜀 > 0∃𝑘
− 𝛾|