Matemaatiline analüüs II 2. kollokviumi spikker (0)

1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete  ekstreemumite  mõisted.  Statsionaarne  punkt. Kriitiline punkt. 
piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 
𝑥 =  𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑
 
Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe 
𝑦 =  𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑
omaduse tõttu ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 =   ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 
 
𝐷
𝐷
𝐷
muutuja  funktsioonil on punktis  P
teisendus  on kujul  
𝑧 = 𝑧
.Tavaliselt € [0, + lõpmatus ) φ € [0, 2π). ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
1(x1, y1)  lokaalne  maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus  
integraalid  tähendavad geomeetriliselt kõversilindriruumalasid, esimene neist on pealt piiratud funktsiooni 
 
Uε(x
𝑥2 + 𝑦2 =  𝜌2
1, y1), et iga P(x, y) ∈ Uε(x1, y1) on f(x, y)  f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 
𝑥 =  𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ
 
järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P
integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne  integraal  on võrdne nende 
0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes 
  𝑦 =  𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ
punktist P
funktsioonide kahekordsete integraalide  summaga  ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 =   ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 +
0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2. Funktsioonil z = x2 − y2 ei ole punktis P0(0; 0) 
𝐷
𝐷
𝑧 =   𝜌 𝑐𝑜𝑠ψ
.Tavaliselt ρϵ[0 , +lõpmatus), φ ϵ [0,2Π) ψ ϵ [0, Π].  ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
lokaalset ekstreemumi, sest f(0;0) = 0, aga igasugune Uε(0; 0) sisaldab nii x- kui ka y-telje punkte ning x-telje 
∬ 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Tõestus: Definitsiooni kohaselt ∬ [𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim[𝑓(𝑃
 𝐽(𝜌, 𝜑, 𝑧) =  𝜌2𝑠𝑖𝑛ψ
𝐷
𝑘) + 𝑔(𝑃𝑘)]∆𝑠𝑘 =
𝐷
 
punktides y = 0 ja z = x2 > 0, y-telje punktides x = 0 ja z = −y2  0 puhul, 
5. Muutujavahetus kordses  integraalis . Leida jakobiaan sfäärkoordinaadite korral.  {𝑦 = 𝜌 sin 𝜓 sin 𝜑  
y 
mille korral f(tx,ty) omab mõtet, kehtib samasus f(tx, ty) = 𝑡𝛼 𝑓(𝑥, 𝑦). (1). 
nüüd, kas  y 
 on selle võrrandi  lahendiks ? Selleks asendame avaldise 
 võrrandisse 
𝑧 = 𝜌 cos 𝜓
1
y2
1
y2
Homogeensuse aste 𝛼 võib olla  suvaline   reaalarv .  Vaatleme  lineaarset homogeenset n-järku võrrandit 
((𝜑, 𝜓, 𝜌)𝜖∆) 
(11.5),saame 
n
n

y  y
 p x y  y
 p
x y  y
 p x y  y 
1
2 ( )
1  1
2 (
1
n 1
   1
2 
n   1
2 
𝑦(𝑛) + 𝑝
0
1𝑦(𝑛−1)+ . . . + 𝑝𝑛𝑦 = 0, Mille  kordajad  𝑝1,..., 𝑝𝑛 on konstandid( reaalarvud ). Selle võrrandi 
üldlahend avaldub kujul 𝑦𝑘 =   𝑐1𝑦1(𝑥) + ⋯ + 𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑥), kus 𝑦1(𝑥),..., 𝑦𝑛(𝑥) on võrrandi (1)  lahendite  
Teisendame seda  avaldist  pidades silmas, et summa  tuletis  on  tuletiste  summa, saame 
fundamentaalsüsteem (s.o. n lineaarselt sõltumatut lahendit). Vaatleme lineaarset mittehomogeenset 
𝑥𝜑 𝑥𝜓 𝑥𝜌
−𝜌 sin 𝜑 sin 𝜓 𝜌 cos 𝜓 cos 𝜑 sin 𝜓 cos 𝜑
võrrandit. 𝑦(𝑛) + 𝑝
𝐽(𝜑, 𝜓, 𝜌) = |𝑦
| = | 𝜌 sin 𝜓 cos 𝜑
𝜌 cos 𝜓 sin 𝜑
sin 𝜓 sin 𝜑 | = −𝜌2 sin 𝜓 ≠ 0, kui 𝜌 ≠ 0 ja 
1𝑦(𝑛−1)+ . . . + 𝑝𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥), mille kordajad 𝑝1,..., 𝑝𝑛 on konstandid ja f on argumendi x 
𝜑
𝑦𝜓 𝑦𝜌
funktsioon. Võrrandi (4) üldlahend avaldub kujul  𝑦 = 𝑦
𝑧𝜑 𝑧𝜓 𝑧𝜌
0
−𝜌 sin 𝜓
cos 𝜓
( n)
( n)
( n  )
1
( n  )
1
𝑘 + 𝑦0, kus 𝑦𝑘 on vastava homogeense 
y
 y
 p x y
 p x y
 p
x y 
1
2
1 
 1
1 
 2
n 1 

võrrandi 𝑦(𝑛) + 𝑝
sin 𝜓 ≠ 0. 
1
1𝑦(𝑛−1)+ . . . + 𝑝𝑛𝑦 = 0 üldlahend (2) ja 𝑦0 on võrrandi (4) mingi  erilahend .  Erilahendi  
leidmiseks võib kasutada konstantide varieerimise meetodit või määramata  kordajate  meetodit. 
p
x y  p
x y  p
x y 
n 1 
 2
n 
 1
n 

0
14.  Lineaarsed  konstantsete kordajatega diferentsiaalvõrrandid Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku 
2
 6. Teist liiki joonitegraali ja kahekordse integraali seos. Tuletada  Greeni  valem. Kui funktsioonid X ja Y ning 
diferentsiaalvõrrand on esitatav kuju  
nende  osatuletised  X
Rühmitame selle avaldise liikmed 
yja Yx on  pidevad  xy-tasandi sidusas piirkonnas D, mille rajajoon Γ on tükiti sile, siis kehtib 
y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=f(x). Vastav homogeenne DV on kujul  y(n)+p1y(n-1)+…+pn-1y’+pny=0. Mittehomogeense 
DV üldlahend y on esitatav homogeense DV üldlahendi Y
Greeni valem  ∮ 𝑋𝑑𝑥 + 𝑌𝑑𝑦 = ∬ (𝑌
 ,  kusjuures  piirkonna D rajajoont Γ läbitakse positiivses 
h ja mittehomogeense DV mingi erilahendi Y* 
𝑥 − 𝑋𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
summana y=y
 (n)
y

(n )
1
p x y
 p
x y 
1
1
1
n1
1
p
x
n
1
y 
h+y*.Lineaarne konstantsete kordajatega n-järku homogeense DV y(n)+ p1y(n-1)+ … + pn-1y’+ pny = 0. 
suunas, st liikudes mööda rajajoont jääb piirkond D vasakule. Tõestus:  Kõigepealt  näitame, et ∮ 𝑋𝑑𝑥 =
 
 
 

üldlahend avaldub lahendite fundamentaalsüsteemi (n lineaarselt sõltumatut lahendit) kaudu yh(x) =
− ∬ 𝑋
 . 1) Olgu D normaalne piirkond x-telje suhtes, st 𝐷 =
.Lahendite fundamentaalsüsteemi saame karakteristliku polünoomi P
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
n(k) := kn+ p1kn-1+ … + 
𝐷
  (n)
(n )
1
y
 p x y
 p
x y  p
x y

2
1
2
n 1

2
n

{(𝑥, 𝑦)|(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏) ∧ (𝜑(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓(𝑥))} . Rajajoont Γ läbimepositiivses suunas. Saame ∮ 𝑋𝑑𝑥 =
 
 
 
0
2
 
∫ 𝑋𝑑𝑥 + ∫ 𝑋𝑑𝑥 + ∫ 𝑋𝑑𝑥 + ∫ 𝑋𝑑𝑥 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
𝐶𝐸
𝐸𝐴
𝐴𝐵 ∶
𝐵𝐶 ∶
𝐶𝐸 ∶
𝐸𝐴 ∶
Nüüd on siin esimene  suluavaldis null (11.6a) tõttu ning teine  suluavaldis on null (11.6b) tõttu. Kokkuvõttes 
pn-1k + pn nullkohtadest (karakteristlikest väärtustest) kj, j = 1; 2; … ; n 
𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝜑(𝑥), 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑥 = 𝑏, 𝑦 = 𝑦, 𝑑𝑥 = 0𝑥 = 𝑥, 𝑦 = 𝜓(𝑥), 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑥 = 𝑎, 𝑦 = 𝑦, 𝑑𝑥 = 0
1.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite  piisavad  tingimused. Üks tingimustest 
] =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
0  0 
0 
y 
tõestada.  Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused antakse tavaliselt teist järku tuletiste abil. Selliseid 
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝜑(𝑏) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓(𝑏)
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
𝜑(𝑎) ≤ 𝑦 ≤ 𝜓(𝑎)
saame, et 
0 , ehk 
0 . See aga tähendabki, et  1 y2  on tõesti võrrandi 
𝑏
𝑎
𝑏
tingimusi nimetatakse ka teist järku tingimusteks, eristamaks neid esimest järku tarvilikest tingimustest. Olgu 
∫ 𝑋(𝑥, 𝜑(𝑥))𝑑𝑥 + 0 + ∫ 𝑋(𝑥, 𝜓(𝑥))𝑑𝑥 + 0 = − ∫ (𝑋(𝑥, 𝜓(𝑥)) − 𝑋(𝑥, 𝜑(𝑥)))𝑑𝑥. Kuna  ∬ 𝑋
𝑎
𝑏
𝑎
𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
(11.5) 
lahendiks. 
 
M.o.t.t. 
funktsioonil f(x,y) punktis P(x,y) lokaalne  ekstreemum . Mingi piisavalt väikese muudu (∆x, ∆y) jaoks saame 
𝑏
𝜓(𝑥)
𝑏
𝑏
∫ 𝑑𝑥 ∫
𝑋
= ∫ 𝑋 (𝑥, 𝑦)|𝜓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ (𝑋(𝑥, 𝜓(𝑥)) − 𝑋(𝑥, 𝜑(𝑥)))𝑑𝑥, siis ∮ 𝑋𝑑𝑥 =
10.  Lineaarne  diferentsiaalvõrrand.  Mittehomogeense  lineaarse  diferentsiaalvõrrandi  lahendamine.    Kui 
lokaalse  maksimumi  korral f(x+∆x, y+∆y)≤f(x,y) st ∆f ≤0 ja lokaalse miinimumi korral f(x+∆x, y+∆y)≥f(x,y), st 
𝑎
𝑦(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
𝜑(𝑥)
𝑎
𝜑(𝑥)
𝑎
∆f≥ 0. Kaks korda pidevalt diferentseeruva funktsiooni korral saame kirja panna Taylori valemi f(x+∆x, 
− ∬ 𝑋𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦. 2) Olgu piirkond D jaotatav y- teljega  paralleelsete sirglõikudega m x-telje suhtes normaalseks 
𝐷
y+∆y)=f(x,y) + f
funktsioon 
x(x,y) ∆x +fy(x,y) ∆y +R1(x,y). Kuna P(x,y) on statsionaarne punkt, siis saame   2∆f=2R1(x,y)=fxx(Q)( 
piirkonnaks  Dk vastavalt rajajoontega Γk.Et iga y-teljega paralleelset sirglõiku, mis eraldab kaht normaalset 
1
y  
on 
on 
lineaarse 
homogeense 
diferentsiaalvõrrandi 
∆x)2+2fxy(Q) ∆x∆y+fyy(Q)( ∆y)2, kus Q(x+𝜃∆x,y+ 𝜃∆y), 0 0, • F f (r) (t) = (iω)r fb(ω). Fourier ' teisendust kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Kui f(x) on 
−𝑖𝜔
𝑖𝜔
𝜕𝑓 (P),  𝜕𝑓 (P), …,  𝜕𝑓 (P)). Leiame funktsiooni f(x) tuletise punktis a vektori s suunas. Vektori s  suunaline  uhikvektor on 
 
diferentseeritav funktsioon, Fourier' teisendusega 𝑓̂(𝜉), siis selle funktsiooni tuletise Fourier' teisendus on 2𝑖𝜋𝜉𝑓̂(𝜉). 
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝑛
𝑠𝑘 = (cos𝛼
 
Selle abil saab teisendada diferentsiaalvõrrandid algebralisteks võrranditeks. See meetod toimib ainult probleemide 
kujul n := ||𝑠||
1 … cos 𝛼𝑛) kus 𝛼𝑘 on nurgad vastavate koordinaattelgedega . Et kasutada  eelnevat  tulemust, 
2
puhul, mille määramispiirkonnaks on kogu reaaltelg. Üldistades Fourier' teisendust mitme muutujaga 
defineerime ühe muutuja funktsiooni kujul u(t) := f(x(t)), kus 𝑥
′
𝑘 (𝑡) ≔   𝑎𝑘 +  𝑡 𝑠𝑘 =   𝑎
(𝑡) ≔ 𝑠𝑘 =
||𝑠||
𝑘 +  𝑡  cos 𝑎𝑘  ja 𝑥𝑘
2
||𝑠||2
diferentsiaalvõrranditele määramispiirkonnaga Rn, saab ka neid lihtsustada algebralisteks võrranditeks. 
 
 
𝑑 𝑢 (𝑡)
∑𝑛 𝑓 (𝑥(𝑡))(𝑥′(𝑡) △ 𝑡 + 𝑜(△ 𝑡)) + 𝑜(‖△ 𝑥‖
Võtame viimase seose mõlemast poolest piirväärtuse,  valides  piirprotsessiks (Δ𝑥, Δ𝑦) → (0; 0). Soovitud puutujatasandi 
7. Näidata, et 𝐱 𝛜 𝐑𝐧
𝑖=1 𝑥
𝑖
2)
 korral  rahuldab  normi  aksioome  ‖𝐱‖
𝟐
2
𝑖
𝟐 ∶=   √∑𝐤 𝐱 ‖
𝐤 x‖2 ∶=   √∑k xk 
=   lim
𝑑 𝑡
△𝑡→0
△ 𝑡
võrrandiks on 𝜍 − 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)(𝜉 − 𝑥) + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)(𝜂 − 𝑦)  ehk 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦)(𝜉 − 𝑥) + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)(𝜂 − 𝑦) − (𝜍 − 𝑓(𝑥, 𝑦)) =
1) ‖x‖ = 0  x =  θ 
𝑛
𝑛
𝑜(△ 𝑡)
𝑜(‖△ 𝑥‖
=  ∑
(𝑥′
′
2)
0. 
𝑖 (𝑡)) 𝑥𝑖 (𝑡) +   ∑
(𝑥(𝑡))  lim
+  lim
 x
⃗ =   θ⃗⃗ =>   𝑥
2
𝑘 = 0 => 𝑥
△ 𝑡
△ 𝑡
𝑘 = 0 =>   ‖x‖2 = 0 
𝑖=1
𝑖=1
△𝑡→0
△𝑡→0
𝑛
 ‖x‖
2
2
2 =   ∑k 𝑥𝑘 = 0 =>   𝑥𝑘 = 0 =>   𝑥𝑘 = 0 
= ∑
(𝑥(𝑡)) 𝑥′𝑖(𝑡) 
Viimasest võrrandist on leitav võrrandiga 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) antud pinna  normaalvektor  punktis 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦)) ∶   𝒏 = (𝑓
 ∑ 𝑥2
𝑥(𝑥, 𝑦),
K
𝑖=1
𝑘 ≥ 0 
𝑓
2) ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤   ‖𝑥‖ +   ‖𝑦‖ 
𝑦(𝑥, 𝑦), −1). Et  vektor  n on punktis P pinna  normaali  (normaalsirge) sihivektor, siis soovitud normaali võrranditeks on 
𝜉−𝑥
 ‖𝑥 + 𝑦‖ =   ∑(𝑥2
2
2
2
= 𝜂−𝑦 = 𝜍−𝑓(𝑥,𝑦)
𝑘 +   𝑦𝑘 ) ≤   ∑ 𝑥𝑘 +   ∑ 𝑦𝑘 =   ‖𝑥‖ +   ‖𝑦‖ 
14. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni  osatuletiste  kaudu.Definitsioon. Funktsioon u = f(x,y,z) suunatuletiseks 
 , kusjuures 𝑆(𝜉, 𝜂, 𝜍) on selle normaalsirge suvaline punkt. Kui aga P on pinna fikseeritud punkt, 
𝑓𝑥(𝑥,𝑦)
𝑓𝑦(𝑥,𝑦)
−1
3) ‖∝ 𝑥‖ =   |∝|‖𝑥‖ 
𝑓(𝑥+𝑡𝑙𝑥  ,   𝑦+𝑡𝑙𝑦 ,   𝑧+𝑡𝑙𝑧 )−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
punktis P(x,y,z) vektor l = (𝑙
näiteks 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)), siis puudub vajadus kolmiku (𝜉, 𝜂, 𝜍) kasutamiseks. Sel korral anname punktis 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)) 
𝑥, 𝑙𝑦 , 𝑙𝑧) suunas nimetatakse suurust   lim
 ja tähistatakse 
 ‖∝ 𝑥‖ =   ∑|∝ 𝑥2|
2
2
𝑡→0+
𝑘 =   ∑|∝|𝑥𝑘 =   |∝| ∑ 𝑥𝑘 =   |∝|‖𝑥‖ 
√(𝑡𝑙𝑥)2+(𝑡𝑙𝑦)2+(𝑡𝑙𝑧)2
pinnale 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) puutujatasandi ja normaali võrranditele vastavalt kuju 𝑧 − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎. 𝑏)(𝑦 − 𝑏) 
𝑓(𝑥+𝑡𝑙
𝑥−𝑎
sümboliga 𝜕𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝜕𝑓
𝑥  ,   𝑦+𝑡𝑙𝑦 ,   𝑧+𝑡𝑙𝑧 )−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
, st 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≝   lim
 . Kui tähistada Q(𝑥 + 𝑡𝑙
= 𝑦−𝑏 = 𝑧−𝑓(𝑎,𝑏)
𝑥  ,   𝑦 + 𝑡𝑙𝑦 ,   𝑧 + 𝑡𝑙𝑧) , 
ja 
. 
𝑓
𝑓
−1
8. Näidata, et 𝐱 𝛜 𝐑𝐧
𝜕𝑙
𝜕𝑙
𝑡→0+
𝑥(𝑎,𝑏)
𝑦(𝑎,𝑏)
 korral rahuldab normi aksioome ‖𝐱‖
√(𝑡𝑙
𝟏 ∶=   ∑ |𝐱𝐤|
𝐤
 
𝑥)2+(𝑡𝑙𝑦)2+(𝑡𝑙𝑧)2
 ‖x‖1 ∶=   ∑ |xk|
k
 
𝜕𝑓
𝑓(𝑄)−𝑓(𝑃)
siis 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗ = (𝑡𝑙𝑥, 𝑡𝑙𝑦, 𝑡𝑙𝑧) ja |𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗| = √(𝑡𝑙𝑥)2 + (𝑡𝑙𝑦)2 + (𝑡𝑙𝑧)2   ning  (𝑃) = lim
, kus punkt Q paikneb punktit P 
1) ‖x‖ = 0  x =  θ 
𝜕𝑙
𝑄→𝑃
|𝑃𝑄
⃗⃗ ⃗⃗|
Sõnastame  viimased  tulemused: Kui pind Σ on antud võrrandiga 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) ja 𝑓(𝑥, 𝑦) on  diferentseeruv  punktis 𝐴(𝑎, 𝑏), 
vektori l suunas lähtuval  kiirel . Seega näitab funktsiooni f  suunatuletis  punktis P funktsiooni f muutumise kiirust selles 
 x
⃗ =   θ⃗⃗ =>   x
siis 𝑧 − 𝑓(𝑎, 𝑏) = 𝑓
k = 0 =>   ‖x‖1 = 0 
𝑥(𝑎, 𝑏)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓𝑦(𝑎. 𝑏)(𝑦 − 𝑏) on pinnale punktis 𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)) puutujatasandi võrrandiks ja 
punktis vektori l suunas. Kui funktsioon f on diferentseeruv punktis (x,y,z) , siis 𝑓(𝑥 + 𝑡𝑙
𝑥−𝑎
 ‖x‖
𝑥  ,   𝑦 + 𝑡𝑙𝑦  ,   𝑧 + 𝑡𝑙𝑧 ) −
1 =   ∑ |xk|
k
= 0 =>  xk = 0 
= 𝑦−𝑏 = 𝑧−𝑓(𝑎,𝑏) normaali võrranditeks. 
𝜕
𝜕
𝑓𝑥(𝑎,𝑏)
𝑓𝑦(𝑎,𝑏)
−1
 ∑ |x
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
k|
K
≥ 0 
 = 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑡𝑙𝑥 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑡𝑙𝑦 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑡𝑙𝑧 + 𝜕, kusjuures  lim
 =  lim
 = 0, ja 
𝑡→0+ √(𝑡𝑙
𝑡→0+
2
2
2
𝑥)2+(𝑡𝑙𝑦)2+(𝑡𝑙𝑧)2
𝑡√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
2) ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤   ‖𝑥‖ +   ‖𝑦‖ 
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝑓(𝑥+𝑡𝑙
𝑓
 ‖𝑥 + 𝑦‖ =   ∑|𝑥
𝑥  ,   𝑦+𝑡𝑙𝑦 ,   𝑧+𝑡𝑙𝑧 )−𝑓(𝑥,𝑦,𝑧)
𝑥(𝑥,𝑦,𝑧)𝑡𝑙𝑥+𝑓𝑦(𝑥,𝑦,𝑧)𝑡𝑙𝑦+𝑓𝑧(𝑥,𝑦,𝑧)𝑡𝑙𝑧+𝜕
𝑘 +   𝑦𝑘 | ≤   ∑(|𝑥𝑘 | +   |𝑦𝑘|) =   ∑|𝑥𝑘 | +   ∑|𝑦𝑘| =   ‖𝑥‖ +   ‖𝑦‖ 
suunatuletis   avaldub kujul 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) =  lim
 =  lim
 = 
18. Tuletada pinna normaalsirge võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul 
𝜕𝑙
𝜕𝑙
𝑡→0+
2
2
2
𝑡→0+
2
2
2
3) ‖∝ 𝑥‖ =   |∝|‖𝑥‖ 
𝑡√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
𝑡√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
Sama, mis 17 
 ‖∝ 𝑥‖ =   ∑|∝ 𝑥
𝑓
𝑓
𝑘 | =   ∑|∝||𝑥𝑘 | =   |∝| ∑|𝑥𝑘 | =   |∝|‖𝑥‖ 
𝑥(𝑥,𝑦,𝑧) ∙ 𝑙𝑥
𝑦(𝑥,𝑦,𝑧) ∙ 𝑙𝑦
 + 
+ 𝑓𝑧(𝑥,𝑦,𝑧) ∙ 𝑙𝑧 . Olgu 1° vektori 1 suunaline ühikvektor, st 1° =   1 𝑙 =   1 (𝑙
19. Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Funktsiooni z=f(x,y) nimetatakse n korda 
𝑥, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = 
√𝑙2
2
2
2
2
2
2
2
2
|l|
|l|
𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
diferentseeruvaks punktis P(x,y), kui selle funktsiooni kõik (n-1)-järku osatuletised on diferentseeruvad punktis P. 
Uurime, kuidas leida n+1 korda diferentseeruva funktsiooni f(x,y) väärtust punktis Q(x+∆x, y+∆y), st suurust f(x+∆x, 
9. Näidata, et x ∈ ℝn korral rahuldab normi aksioome ||x||
𝒎𝒂𝒙
∞ ≔ 
|𝒙
𝒌 
𝒌|. Normiks  vektorruumis  V nimetatakse 
1
(𝑙
𝑙𝑦
 𝑙𝑧
y+∆y), kui teame selle funktsiooni ja tema osatuletiste väärtusi punktis P(x,y). Kui suurused x,y, ∆x ja ∆y on fikseeritud, 
reeglit, mis igale vektorile u  ∈ V seab vastavusse skalaari ||u || ∈ R, kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 
𝑥, 𝑙𝑦, 𝑙𝑧) = (
𝑙𝑥
 = (cos𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾), kus suurused cos𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽 ja 𝑐𝑜𝑠𝛾 on vektori l 
√𝑙2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
√𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧 √𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧 √𝑙𝑥+𝑙𝑦+𝑙𝑧
siis abifunktsioon g(t)=f(x+ t∆x + t∆y) on vaid muutuja t funktsioon, kusjuures g(1)=f(x+∆x,y+∆y) ja g(0)=f(x,y). 
1). ∀u ∈ V    ||u |  ≥ 0;    ||u || = 0  u = δ 
Funktsiooni f(x,y) n+1 korda diferentseeruvusest punktis P(x,y) järeldub funktsiooni g(t) n+1 korda  diferentseeruvus  
2). ∀u ∈ V    α  ∈ R     || α u |  =|α | * | u|| 
suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab 
𝑑𝑢(𝑡)
𝑛
vastavalt x-telje, y-telje ja z-telje positiivse suunaga, kusjuures kehtib seos 𝑐𝑜𝑠2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛽 + 𝑐𝑜𝑠2𝛾 = 1. Seega saame 
punktis 0, kusjuures valemi 
= ∑
𝑓
 abil saame g´(t)=f
(x+t∆x, y+t∆y)∆y,  
3). ∀u ∈ V    || u + v |   ≤ |  u || + || v || 
𝑑𝑡
𝑖=1 𝑥𝑖(𝑥(𝑡)) 𝑑𝑥𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
x(x+t∆x, y+t∆y)∆x +fy
𝜕𝑓
𝜕𝑓
Kui funktsioon on pidev, siis f ∈ c[a;b]  ||f||
⟶
⟶
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
g´´(t)=f (x+t∆x, y+t∆y)(∆x)2 + 2f (x+t∆x, y+t∆y) ∆x∆y + f (x+t∆x, y+t∆y)( ∆y)2, … , 
∞ = sup|f(x)| 𝑥  ∈ Rn      ||  𝑥 ||∞ = max |x
suunatuletise   avaldada kujul 
 = 𝑓
xx
xy
yy
k| 
𝜕𝑙
𝜕𝑙
𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑧)cos𝛼 + 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛽 + 𝑓𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑐𝑜𝑠𝛾 = ( grad  f(x,y,z)) ∙ 1°. 
𝜕
𝜕
(X = (x
∆x + 𝜕 ∆y)k
∆x + 𝜕 ∆y)kf(x,y)  (0≤k≤n).
1,..., Xn)) 
g(k)(t)=(
f(x+t∆x,y+t∆y)  (0≤k≤n+1) ja g(k)(0)=(
 
𝜕x
𝜕𝑦
𝜕x
𝜕𝑦
10.Tõestada üks  segatuletiste  võrdsuse piisav tingimus.Osatuletisi  𝑧𝑥𝑦 ja 𝑧𝑦𝑥 nimetatakse segatuletiseks. Teist järku 
15. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga  F(x, y) = 0. Tuletada valem 
𝑛
𝑡𝑛+1
osatuletisi võib uuesti diferentseerida nii x kui ka y järgi,  saades  kolmandat järku osatuletised. Neid on ilmselt juba 
Et funktsiooni g(t) n-järku  Maclaurini  valem on kujul g(t)=∑
𝑔(𝑘)(0)
𝑘=0
𝑡𝑘 + 𝑔(𝑛+1)(𝜃𝑡)
  (0