Kollokvium IV 2.1-2.10 kõik teooria määramata integraalist (1)

Sarnased õppematerjalid

14

doc

Kollokvium III

1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x). Tõestus: ( )'= (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( )= ( )'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V (aditiivsus) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R (homogeensus)

Matemaatiline analüüs

19

doc

Nimetu

b) y´´< 0 graafik on kumer, c) üleminekupunktid kumeruselt nõgususele või vastupidi ­ KÄÄNUPUNKTID. VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta.  9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE: a) üldiselt: f(x)dx = f((x)) ´(x)dx z =a(x)+b; b) alati: f(ax+b)dx z=ax+b. 5. OSITI INTEGREERIMINE: u dv = uv - v du. a) Pn(x) sin x, Pn(x) cos x, Pn(x) ex u(x) = Pn(x);

Kategoriseerimata

13

doc

Matemaatiline analüüs 1 kordaisküsimuste vastused

kx) 5) ekstreemumpunktid: monotoonsus: a)f'(x)=? b) kriitilised punktid: *f'(x)= ->ekstreemump ei ole *f'(x)=0 (stats punktid) c)uurime kriitiliste punktide ümbrusi 6) kumerusom, käänupunktid: a)f''(x)=? B)kriitilised p-d: *f''(x)= *f''(x)=0 =>KP=? c)kriitiliste p ümbruste uurimine 7) f-ni graafiku konstrueerimine: *teljestiku valimine=>punktid *Asümptoodid *vastavalt monotoonsus ja kumerusom-tele tuleb tõmmata graafik asümptootide vahele 24. Algf-n ja määramata integraal Antud on f-n y=f(x) ja leida selline f-n F(x), millest tuletis F'(x)=f(x). F-ni F(x) nim f-ni f(x) algf-niks lõigul [a'st b'ni], kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F'(x)=f(x). *Nt f(x)=x, F(x)=x2/2; F'(x)=1/2 *2x=x=f(x). *Kui F(x) on f-ni f(x) algf-niks, siis ka F(x)+C on antud f-ni algf-niks. Kui f-ni f(x) on üks algfunktsioon F(f) siis on tal neid algf-ne lõpmata palju. *teoreem: olgu F(f) f-ni f(x) üks algf-n, siis kujust F(f)+C sisalduvad f-ni f(x) kõik algf-nid

Kõrgem matemaatika

2

doc

Matemaatiline analüüs

Näitame, et sin(x2) on 2xcos(x2)algf hulgal R. Näitame, et (1+ln(x)) on 1/(2x(1+ln(x)) algf lõpmatul vahemikul (1/e;+). Näitame, et (1-x2) on ­x/(1-x2) algf vahemikul (-1;1). Näitame, et (sin(x)) on cos(x)/(2(sin(x))) algf hulgal UkZ(2k;2k+) * Kui f'id F1(x) ja F2(x) on f'ni f(x) algf'id hulgal X, siis leidub c R, et F1(x)=F2(x)+c iga x X * Avaldist F(x)+C, kus F(x) on f'ni f(x) mingi algf ja C suvaline konstant, nimet f'ni f(x) määramata integraliks f(x)dx f(x)dx=F(x)+C. Kui f'il f(x) leidub hulgal X algf, siis öeldakse, et f'in f(x) on määramata integraal hulgal X C * d(f(x)dx)=f(x)dx dF(x)=F(x)+C D * Kui eksisteerivad määramata integralid f(x)dx ja g(x)dx, siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal (f(x)+g(x))dx, kus (f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx * Olgu f(x)dx=F(x)+C, x=(t)(tT), kus (T)=X, D(T) ja (t) on rangelt monotoonne hulgal T. (t)

Matemaatiline analüüs

32

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

.........................21 Lähendite jada koondumine............................................................................................................21 31. Diferentseeruva funktsiooni kasvamis-, kahanemis-ja konstantsustingimused. ......................21 32. Funktsiooni ekstreemumite tarvilikud ja piisavad tingimused. ............................................... 22 33. Funktsiooni graafiku asümptoot, asümptootide liigid, teha selgitav joonis. ........................... 22 34. Määramata integraal, määramata integraali omadused, määramata integraali arvutusvõtted (ositi integreerimine ja asendusvõte). ............................................................................................23 35. Kirjeldada ratsionaalfunktsiooni integreerimist. ..................................................................... 23 36. Esimest ja teist liiki osamurrud. Tuletada valemid nende integreerimiseks. ...........................24 Osamurdude integreerimine................................

Matemaatika

2

pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. ()

Matemaatika analüüs i

1080

pdf

Matemaatiline analüüs terve konspekt

~ Oppeaine sisu ~ Oppeaine jaotub kahte ossa: 1 Diferentsiaalarvutus (loengud 1-9) 2 Integraalarvutus (loengud 10-16) ~ Oppeaine ~ lopphinne pannakse valja¨ viiepallisusteemis. ¨ Tudengil on ~ voimalik saada oma hinne katte ¨ semestri jooksul sooritatud kontrollto¨ ode ¨ ~ pohjal. Selleks tuleb kirjutada kolm teooria to¨ od ¨ (kollokviumi) loengumaterjali kohta ja kaks ulesannete ¨ to¨ od ¨ harjutustundide materjali kohta. Eksmihindest poole moodustab teooriato¨ ode ¨ hinne, teise poole ulesannete ¨ to¨ ode ¨ hinne.

Matemaatiline analüüs 1

12

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

Küsimused: 1.Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon. Darbouc ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos-viimane pilt. ∫ f ( x ) dx st ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C . Määramata integraali tuletis on f (¿ ξi) ∆ xi SΠn n võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ∫ f ( x ) dx )’= f(x). Tõestus: ( ∫ f ( x ) dx Riemanni summa lõigul [a,b] (f) =

Matemaatiline analüüs 1

Kommentaarid (1)