Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

Mat analüüs 1 (2)

3 HALB
Punktid

Lõik failist

1. Määratud integraali mõiste.
Olgu antud f(x) [a;b] ja geom. tõlgenduse jaoks f(x)>=0. a=x0
[x(k-1);x(k)]. f((k))* x(k) ­ tekib ristrkülik, mida on n tükki. Liidan need kõik kokku: f((k))* x(k), mis annab ligikaudse
kõvertrapetsi pindala. Nüüd toon sisse piirprotsessi 0 (= max x(k). DEF. Kui leidub piirväärtus 0 Sn'ist ja see ei sõltu
kuidas on lõik [a;b] jaotatud osalõikudeks ega sellest kuidas on valitud (k) osalõikudel, siis seda piirväärtust nim. f(x) määratud
b
integraaliks rajades a'st b'ni ja tähistatakse
f ( x)dx
a
2. Määratud integraali põhiomadused.
b n
f ( x)dx = lim f (k )xk
a 0 k =1
b b b
1)
[ f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx
a a a
2) konstandi saab tuua integraali ette, sellest järeldub et ka lahutamistehe sarnaselt liitmisega ekisteerib
3) kui f(x)>=0 [a;b] siis on ka integraal rajades a'st b'ni f(x)'ist >= 0'iga. Järeldus: kui f(x)
kehtib ka integraalide puhul. (tõestada geomeetrilise näite põhjal)
b b
4) f ( x)dx f ( x) dx
a a
5) kui vahetada rajad integraalis, siis tuleb miinus märk ette. Tõestada geom. näite põhjal
b c b
6)
f ( x)dx = f ( x)dx + f ( x)dx - c ei pea olema a ja b vahel
a a c
b
7) m(b - a ) f ( x) dx M (b - a ) , kus m on f(x) vähim väärtus [a;b] ja M suurim
a
b
8) Keskväärtuse omadus. Kui y=f(x) on pidev lõigul [a;b] siis leidub selline [a;b] et
f ( x)dx = f ( )(b - a)
a
3. Määratud integraali arvutamine. Newton-Leibnizi valem.
x
( x ) = f (t ) dt ; x[a;b]. Teoreem:kui y=f(x) on pidev [a;b], siis '(x)=f(x). Tõestus: '(x)=lim(x0) [(x+x)-
a
(x)]/x;
x +x x x x +x x
( x + x ) - ( x ) = a
f (t ) dt - f (t )dt = f (t )dt +
a a
x
f (t )dt - f (t )dt = f ( )( x + x - x ) = f ( )
a
; '(x)=f()x/x=(x0; x+xx; x)=lim(x)f()=f(x). Järeldus: (x) on f(x)'i algfunktsioon. Valem: F(x) rajades a'st
b'ni =F(b)-F(a)= integraal a'st b'ni f(x)dx
4. Muutuja vahetus määratud integraalis.
b b
f ( x)dx = f [(t )] f ' (t )dt
a a
5. Ositi integreerimine (määratud integraali korral).
b b
udv = uv a - vdu
b
a a
6. Lõpmatute rajadega päratud integraalid.
f(x); x[a;[ DEF. kui iga N[a;[ leidub integraal rajades a'st N'ini f(x)dx ja sellest piirväärtus N, siis seda nim lõpmatu
ülemise rajaga päratuks integraaliks f(x)dx (rajad a ja ). Kui see piirväärtus on lõplik, siis öeldakse et päratu integraal koondub,
kui lõpmatu või puudub, siis hajub. Kui tegemist on ]-;[ siis võetakse konstant c ja kirjutatakse kahe integraalina (aditiivsus)
7. Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest.
1) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b[. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a'st b-'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim
päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni ülemise raja ümbruses.
2) kui tegu on integraaliga f(x) rajades ]a;b]. DEF. >0; kui leidub integraal rajades a+'st b'ni ja sellest piirväärtus, siis seda nim
päratuks integraaliks tõkestamata funktsiooni alumise raja ümbruses.
3) kui tegu on integraaliga f(x) rajades [a;b], kuid leidub c (a
integraalina ja tegutsetakse vastavalt kahele esimesele punktile.
Teoreemid: f(x) ja (x) on pidevad [a;b]. 1. kui 0
ja f(x)dx hajub, siis hajub ka (x)dx
8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem.
9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides.
10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides.
11. Kõverjoone kaare pikkus.
12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste.
13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned.
14. Funktsiooni osamuut ja täismuut.
15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus.
16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised.
17. Täismuut ja täisdiferentsiaal.
18. Ilmutamata funktsiooni tuletis.
19. Liitfunktsiooni tuletis.
20. Mistahes järku osatuletised.
21. Tuletis antud suunas.
22. Gradient.
23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid.
24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas.
25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid.
26. Kahekordse integraali mõiste ja omadused.
27. Kahekordse integraali arvutamine.

Mat analüüs 1 #1 Mat analüüs 1 #2
Punktid 10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.
Leheküljed ~ 2 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2008-11-17 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 318 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 2 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor marekag Õppematerjali autor
Määratud integraali mõiste.
Määratud integraali põhiomadused.
Määratud integraali arvutamine.
Newton-Leibnizi valem.
Muutuja vahetus määratud integraalis.
Ositi integreerimine.
Lõpmatute rajadega päratud integraalid.
Päratud integralid tõkestamata funktsioonidest

Sarnased õppematerjalid

thumbnail
11
doc

Määratud integraal

MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg täpsemalt x telje lõik [a,b], neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala P kindel väärtus, seega pindala S on x fu

Kõrgem matemaatika
thumbnail
11
pdf

Määratud integraal

MÄÄRATUD INTEGRAAL Pindfunktsioon ja tema tuletis Kõverjooneliseks trapetsiks nimetatakse kujundit, mille kaks külge on teineteisega paralleelsed sirged (paralleelsed näiteks y teljega). Vaatame siin esialgu veel lihtsustust, kus ka kolmas külg on sirge (x telg või täpsemalt x telje lõik [a,b]), neljas külg funktsiooni y = f ( x ) graafik. Trapetsiga on sarnasus: kahe vastaskülje paralleelsus. y M A X B y = f(x) m P P 0 a x x+x b x Märgime x teljel punkti x ja vaatleme kõverjoonelist trapetsit axXA. Tähistame trapetsi pindala tähega S. Pindala S sõltub x-st, igale kindlale x väärtusele vastab pindala S kindel väärtus, seega pindala

Matemaatika
thumbnail
14
pdf

Matemaatiline analüüs II

Mitmemõõtmelise ruumi mõiste Def: On antud n reaalarvu x1...xn ja nende järjestatud jada (x1...xn)(-punkt) ­ seda nim n- mõõtmelise ruumi punktiks. Rn={(x1,...,xn) | xi R, i=1,...,n}, P(x1,...,xn) ­ punkt koordinaatidega xi n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom ­ hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarv?

Matemaatiline analüüs 2
thumbnail
11
doc

Matemaatiline analüüs - konspekt II

32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsio

Matemaatiline analüüs
thumbnail
7
pdf

Määramata integraalid

KÕRGEM MATEMAATIKA III Matemaatilise analüüsi elemendid 3. Määramata integraalid Õppekirjandus: [1] Abel, E., Kokk, K. Kõrgem matemaatika (Harjutusülesanded). EMS, Tartu, 2003. [2] Lõhmus, A., Petersen, I., Roos, H. Kõrgema matemaatika ülesannete kogu. "Valgus", Tallinn, 1982. [3] Loone, L., Soomer, V. Matemaatilise analüüsi algkursus. "TÜ Kirjastus", Tartu, 2006. [4] Tõnso, T., Veelmaa, A. Matemaatika XII klassile. "Mathema", Tallinn, 1995. [5] Piskunov, N. Diferentsiaal- ja integraalarvutus. "Valgus", Tallinn, 1981. 3.1 Algfunktsioon ja määramata integraal Kursuse eelnevas osas käsitlesime ühe muutuja funktsiooni y = f (x) tuletise y = f (x) leid- misega seotud küsimusi. Teame, et funktsiooni f (x) = 2x tuletis on f (x) = 2 ja funktsiooni f (x) = sin x tuletis on f (x) = cos x. Vaatleme nüüd vastupidist ülesannet. Olgu antud funktsioon y =

Kõrgem matemaatika
thumbnail
25
doc

Määratud integraal ja selle rakendused

MÄÄRATUD INTEGRAAL, SELLE RAKENDUSED 1.1 Määratud integraali rakendused 1.2 SISSEJUHATUS MÄÄRATUD INTEGRAALI a) Integraalne alam ­ja ülemsumma · On antud funktsioon y= f(x), mis on PIDEV lõigul [a;b] (argumendi väärtused) · Sellel lõigul eksisteerib kaks olulist väärtust: funktsiooni suurim väärtus ja funktsiooni vähim väärtus. · Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m · Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y-telg (alati!) N2 B A xn=b · Nüüd jaotame selle lõigu [a, b] mitmeteks osadeks, alamlõikudeks... kuna pole lõplik otsus, mitmeks, siis ütleme, et jaotame selle lõigu n osaks. ·

Matemaatiline analüüs
thumbnail
21
docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika
thumbnail
18
pdf

Määratud integraal

5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust. Edasi valime igalt osal~oigult t¨aiesti suvalise punkti k [xk-1 ; xk ], k = 1, 2, . . . , n, ja moodustame korrutised f (k )xk . Liites need korrutised, saame summa n sn = f (k )xk , k=1 mida nimetatakse funktsiooni f (x) integraalsummaks l~oigul [a; b]. Jaotuspunktid x1 , x2 , . . . on suvalised. Seeaga on osal~oikude pikkused

Matemaatiline analüüs 2




Kommentaarid (2)

R1im profiilipilt
Rain Ungert: mõneti abiks
13:59 12-12-2008
tiitsokk profiilipilt
tiitsokk: hea abi
21:10 15-01-2010



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun