Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker (0)

1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine . Valemite tuletamine ). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus ja g(x)f(x) vaid punktis c ning () [, ] () = (1)( [, ]), siis F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant () = =1 ( )+ (g( ) - f( )) = S(f) + (( ) - f( )) , kus (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja 0 tähistatakse () st () = () + . Määramata integraali tuletis on tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x [, ]) põhjal(( )- f( )) 0. võrdne integreeritava funktsiooniga st ( ())'= f(x). Tõestus: ( ())'= Seega () = lim 0 () = lim ( () + (( ) - f( )) ) = 0 (F(x)+C)'=F'(x)= f(x). d( ())= ( ())'dx = f(x)dx = F'(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: lim () + lim (( ) - f( )) = () ja oleme näidanud 0 0 a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V ( aditiivsus ) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R tõestust. ( homogeensus ). Määramata integraal on lineaarne operaator , st () + ()= () + () ja/või () = c () ( c ). 13). (Määratud integraali lineaarsuse omadus tõestusega). Lause: Määratud integraali 2).(Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator). lineaarsuse omadus: Kui c1, c2R, siis 1 (), 2 () [, ] (1 1 () + 2 2 () Operaatorit L:V W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: [, ] ( 1 1 () + 2 2 () = 1 1 () + 2 2 () ) Tõestus: Et 1° L(f+g) = L(f) + l(g) kui f,g (aditiivsus) funktsiooni 1 1 () + 2 2 () integraasumma korral kehtib seos =1(1 1 ( ) + 2° L(cf) = cL(f) kui f V ja c (homogeensus) 2 2 ( )) = 1 =1 1 ( ) + 2 =1 2 ( ) siis piirväärtus summast on Määramata integraal on lineaarne operaator, st ()+g(x)dx= f(x)dx+ g(x)dx piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning () = () ( ) konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis lim max 0 =1(1 1 ( ) + 2 2 ( )) = 3).( Ositi integreerimine määramata integraalis . Valemi tuletamine.) *Kui u(x) ja v(x) on diferentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata 2 lim =1 1 ( ) + 2 lim 2 ( ) = max 0 max 0 integraal , siis eksisteerib kindlasti ka määramata integraal . Tõestus: 1 () + 2 2 () 1 Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna () = + , = () - . Eeldades, et eksisteerib , on 14).(Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega). Lause: määratud integraali võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal. Et () = aditiivsuse omadus: Kui Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon). kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku [-1 , ], () = =1 ( ) = kontsandi summa on suvaline konstant. Kuna = ja = , siis ongi antud Riemanni summa lõigul [a,b] n (f) = =1 ( ) . -1 -1 seos esitatav kujul = - . Kui eksisteerib piirväärtus lim n = lim =1 ( ) + ( ) + =+1 ( ) = =1 ( ) + ()( - -1 ) + =1 () , mis ei sõltu ()( - ) - ()( - -1 ) - ()( - ) + ( ) + =+1 ( ) = max 0 max 0 4).(Muutujate vahetus määramata integraalis. Valemi tuletamine.) -1 [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et =1 ( ) + ()( - -1 ) + ( ()( - ) + =+1 ( ) ) + (( ) - *Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv , siis kehtib funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust ()) = 1 () + 2 () + (( ) - ()) kus 1 on lõigu [, ] tükeldus muutujate vahetuse valem nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu [, ] tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. = () () () = = () = () + = () + [a,b] ja seda tähistatakse (). Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame () [, ] = () Eelnev tehnika on lühidalt esitatav kujul, mida nimetatakse diferentsiaali märgi alla () = (1) ( [, ]), () [, ] () = (1) ( [, ]), Millest 9). (Darboux ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos). järeldub f(x)=O(1) ( [, ]). Et viimise võtteks: Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a,b]. Siis tükelduse igal osalõigul [-1, ] limmax 0 1 () = () limmax 0 2 () = () () = () () . leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja = sup f(x)[-1, ] ja = inf f(x) [-1, ] ning me saame defineerida () limmax 0 (( ) - ()) = 0 , () = Tõestus: dF(()) = (())() = () () Integreerime, kasutades Darboux' ülemsumma: (f)= =1 ja Darboux' alamsumma: limmax 0 () = lim ( 1 () + 2 () + (( ) - ()) ) = asendust t = (): F(()) = () () = () ehk F(()) = max 0 () (). Seega, () = () () = () (). (f)= =1 . Riemanni integraal () eksisteerib parajasti siis, kui lim () + lim () + lim (( ) - ()) = () + max 0 1 max 0 2 max 0 *Tähistame t= (). Kui eksisteerib ühene pöördfunktsioon x= -1 () ning tuletis limmax 0 ( (f) - (f)) = 0. Sel juhul () + 0 = () + () Seega on lause tõene. () (-1 ()) leidub algfunktsoon G; siis saame määramata () = integraali arvutad kasutades muutujate vahetust: limmax (f) = = limmax (f) = 0 0 = () lim max (f)Näitame, et Riemanni integraali eksisteerimisest järeldub 16). (Lause. Näidata, et f (x) g(x) (f, g I[a,b]) () ()) 0 () () = = () = -1 () = () + = () + . Tõestus [PS. IABB-le: on tegelikult i , ja on ,,sii" täht, mitte epsilon] f(x) g(x); limmax ( (f) - (f)) = 0. Riemanni summa lõigul [a,b] on kujul x = -1 () 0 Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv (f)= =1 ( ) seega (f)= sup (f) ja (f)) = inf (f). Kuna vastavalt [, ] ; () = lim =1 () ; lim =1 () funktsioon. Tähistame g(t): = f(-1 ()). Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. Riemanni integraali definitsioonile eksisteerib piirväärtus maxi 0 0 limmax 0 ( (f),siis limmax 0 (f) = lim max 0 (f) = ü ; g() () ; () () dG( (x))= g(()()= f( -1 (())) () = () (). Integreerides
asendusega t = () saamegi jällegi () = () () = () (). lim max 0 (f). 17). (Lause. Näidata, et): 10). (Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine). Lause: Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning f (x) g(x) () 5). (Polünoomide jagamine. Horneri skeem). Olgu Sl/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, | ()| () - , kus M = [, ] , (f [, ]) ( [, ]), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja x = b piiratud kõverjoonelise kusjuures Pn(x) on n-astme polünoom, st Pn(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an kusjuures suurused ak (0 k n) on konstandid ja a0 0 ja Sl(x) on l ­ astme trapetsi pindala S avaldub kujul = () - () Tõestus polünoom. Selle ratsionaalfunktsiooni integreerimiseks eraldame esmalt (kui l n) Lause: Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste sup () () võrranditega | =1 ()| () = M =1 = M|b ­ a|, täisosa Rk-n(x) ja saame lihtmurru (st m monotoonne ja pidevalt sup () st - () + Polünoomi RL-n integreerimine on = (t) kus M = [, ] , (f [, ]). lim | ()| () () = () () diferentseeruv funktsioon lõigul [, ].Kui () = ja () = , siis joontega 0 elementaarne. Lihtmurru jagame osamurdudeks. Horneri skeem. Polünoomi = (), = 0, = = piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul sup () () p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an on arvud, tahame - [, ] = (t) () arvutada polünoomi kindlal x'l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea: b n := an ; bn-1 := an-1 + bnx0 ; 10). (Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine) b0 := a0 + b1x0 siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada 18). (Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega).Kui funktsioonid ja on kujul p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, siis leidub konstant [, ], kus avaldisse p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) = = inf[,] () ja = sup[,] (), nii et ()() = () a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(bn-1) ... )) = ... = a0 + x0(b1) = b0 Tõestus: Tõepoolest, kuna () 0, siis () ()() ()Integreerides 6). (Osamurdudeks jagamine. Lause tõestus). saame: () ()() () Kui () = 0, siis on võrdus ()() ()() ilmne. Kui () 0, siis = () () Järeldus: Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul [, ] ja () 0, ja on pidev lõigul [, ], siis leidub [, ], nii et ()() = () ()
19).(Määratud integraal ülemise raja funktsioonina . Näidata, et saame pideva funktsiooni. Näidata, et pideva funktsiooni integreerimisel tekib diferentseeruv funktsioon). Lause: Kui f [, ]( pindalad : =1 ( ) . (5.19) Seda valemit saab kasutada määratud integraali 20). (Newton-Leibnizi valem. Valemi tõestus). Kui f C[a; b] ja F on funktsiooni f mingi () ligikaudseks arvutamiseks. Mida väiksem on xi, seda vähem muutub algfunktsioon sellel lõigul, siis () = () - () = () Tõestus: Kuna funktsioon f osalõigu [-1 , ] peal, järelikult seda täpsem on valem (5.18). Mida fC[a; b], siis G´(x) = f (x), seega G on f mingi algfunktsioon ja iga f algfunktsioon F on peenem on [a, b] tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem (5.19). seega esitatav kujul F(x) = G(x) + C: ... Piirprotsessis n 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: Võtame x = a ja saame F(a) = G(a) + C = C: Võttes x = b, saame F(b) = G(b) + C = G(b) + F(a): = () (5.20) Seega G(b) = f (x)dx = F(b) -F(a) 11). (Integreeruva funktsiooni tõkestatus). Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus. Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. 21). (Muutujavahetus määratud integraalis). Lause: Kui [, ] ja () on Näitame, et funktsioon pole integreeruv. = =1 ( ) = ( ) + =1 ( ) () = () () = () () ( ) ­ =1 ( ) =1 ( ) = . Valime ( ) nii, et + + ( ) > . Seega > . - = . Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [a,b] tõkestatud ningpuudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal. 22).(Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks). Kui funktsioonide () ja () tuletised on integreeruvad lõigul [, ], siis = 1. Algfunktsiooni definitsioon. M¨a¨aramata integraali definitsioon. M¨a¨aramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali p¨o¨ordoperaator. 2. N¨aidata, et m¨a¨aramata integraal on lineaarne operaator. - 3. Ositi integreerimine m¨a¨aramata integraalis. Valemi tuletamine. Tõestus: Kui ja on integreeruvad lõigul [, ], siis on integreeruvad ka ja . 4. Muutujate vahetus m¨a¨aramata integraalis. Valemi tuletamine. Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv 5. Pol ¨unoomide jagamine. Horneri skeem. () = + 6. Osamurdudeks jagamine. Lause t ~oestus. 7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine. Integreerime lõigul [, ] ()() = ()() = ()() + 8. Riemanni summa. M¨a¨aratud integraali (Riemanni m~ ottes) definitsioon.
() () = 9. Darboux ¨ ulem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux' summade seos.
10. M¨a¨aratud integraali geomeetriline sisu: k~overtrapetsi pindala leidmine. = ()() + ()() 11. N¨aidata, et integreeruv funktsioon on t ~okestatud. 12. N¨aidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) v¨alja arvatud l ~oplikus arvus punktides, siis
23). (Taylori valemi jääkliikme intergraalkuju). Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n-järku Taylori valemi 13. M¨a¨aratud integraali lineaarsuse omadus t ~oestusega. () ( ) 14. M¨a¨aratud integraali aditiivsuse omadus t ~oestusega. f(x) = =0 ! ( - ) + ( )()Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv 15. Lebesgue'i teoreem. Konstantse funktsiooni integreeruvus. Pideva funktsiooni lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul integreeruvus. 1 (+1) ( )() = ()( - ) Monotoonse funktsiooni integreeruvus. U¨ ks lausetest to~estada. ! 16. N¨aidata, et
17. N¨aidata, et
18. Integraali keskv¨a¨artusteoreem koos t ~oestusega. 19. M¨a¨aratud integraal ¨ ulemise raja funktsioonins. N¨aidata, et saame pideva funktsiooni. N¨aidata, et pideva funktsiooni integreerimisel tekib diferentseeruv funktsioon. 20. Newton-Leibnizi valem. Valemi t ~oestus. 21. Muutujavahetus m¨a¨aratud integraalis. 22. Tuletada ositi integreerimise valem m¨a¨aratud integraali jaoks. 23. Taylori valemi j¨a¨akliikme integraalkuju. 24. Defineerida p¨aratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida l ~opmatute rajadega p¨aratud integraalid. 25. U¨ ks ma¨a¨ratud integraali rakendus omal valikul koos to~ estusega . 26. M¨a¨aratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.
24). (Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid). Lõpmatute rajadega päratud integraalid: b + Kui f(x) [a, b]iga b > limb + a f(x)dx, siis () = lim + (). b Kui f(x) [a, b]iga a erijuhtu : 1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt . Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal () iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist () integraali () tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal () järgmiselt: () = lim- (). 2. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus c (a,b). Päratu integraal () defineeritakse järgmise parempoolse piirväärtusega: () = lim+ ().
26. (Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid). Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetame kvadratuurvalemiteks. Kasutades seda, et () = lim =1 ( ) määratud integraali
ligikaudselt arvutada kasutades Riemanni summat () = =1 ( ) valides konkreetse tükelduse ja funktsiooni väärtused osalõikudes , +1 ]. Ristkülikvalemi saame kui valime () = =1 ( ) Valides ühtlase tükelduse - - = + saame, tähistades , () = =1 ( + ) 1 Trapetsvalemi saame kui valime selliselt , et ( ) = ( ) + (+1 ) ; 2 1 - () = =1(( ) + (+1 )) Valides ühtlase tükelduse = + saame, 2 - tähistades , -1 () = ( + ( - 1)) + ( + )) = ( () + () + ( + ) 2 2 =1 =1 Üldjuhul vaatame kvadratuurvalemit kujul () = =1 ( ) + ( )(, ), kus on kvadratuurvalemi sõlmed ja kvadratuurvalemi kordajad. Trapetsvalemi saame nõudes, et valem oleks täpne juhul n = 2funktsioonide f (x) = 1 ja f (x) = x korral.