MITMEKS ALAMLÕIGUKS SAAKS SIIS SEDA LÕIKU ab jaotada?

Vastus leiad õppematerjalist: Määratud integraal ja selle rakendused

MIS VAHE on määratud ja määramata integraalil?

Vastus leiad õppematerjalist: Määratud integraal ja selle rakendused

Määratud integraal ja selle rakendused (1)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

4 HEA

Esitatud küsimused

MIDA ME TÄHELDAME KUI VAATAME HOOLEGA ALAMSUMMAT?
MIDA TÄHELDAME KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT?
MITMEKS ALAMLÕIGUKS SAAKS SIIS SEDA LÕIKU ab jaotada?
Mis on integraal?
MIS VAHE on määratud ja määramata integraalil?

MÄÄRATUD INTEGRAAL , SELLE RAKENDUSED

Määratud integraali rakendused
1.2 SISSEJUHATUS MÄÄRATUD INTEGRAALI
a) Integraalne alam –ja ülemsumma

On antud funktsioon y= f(x), mis on PIDEV lõigul [a;b] (argumendi väärtused)
Sellel lõigul eksisteerib kaks olulist väärtust: funktsiooni suurim väärtus ja funktsiooni vähim väärtus.
Tähistame funktsiooni f(x) suurima väärtuse tähega M ja väikseima väärtuse tähega m
Funktsiooni väärtusi näitab graafiliselt y- telg (alati!)

A
N2
B
xn=b

Nüüd jaotame selle lõigu [a, b] mitmeteks osadeks , alamlõikudeks… kuna pole lõplik otsus, mitmeks, siis ütleme, et jaotame selle lõigu n osaks.
Tähistame lõigu [a, b] iga osa alguse väärtuse punktidega: a=xo , x1 , x2 , x3, ….. xn-1 , xn=b

algus määramatu lõpp
hulk punkte

Hoolikal jälgimisel märkame väga olulist tõsiasja: kõik iga punkt, mis tähistab uue lõigu algust, on eelnevast punktist oma väärtuselt alati suurem:

Tähistame ära lõikude pikkuse väärtused, mis avalduvad argumendi muuduna:

x1 – xo = ∆x1 , x2 – x1 = ∆x2 ….. , xn - xn -1 = ∆xn

Veel ühel hoolikal jälgimisel märkame tõsiasja, et absoluutselt igal alamlõigul omab funktsioon f(x) omaette üht vähimat ja üht suurimat väärtust, vastavalt lõigule tähistame
vähimat väärtust mn ja suurimat väärtust Mn abil, kus n näitab, mitmenda lõiguga on tegemist.

Olgu lõigul [x0 ; x1] vähim väärtus m1 ja suurim väärtus M1
Olgu lõigul [x1 ; x2] vähim väärtus m2 ja suurim väärtus M2
Olgu lõigul [xn-1 ; xn] vähim väärtus mn-1 ja suurim väärtus Mn

Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva vähima väärtuse vastava lõigu argumendi ning siis saadud korrutised kokku liites, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks alamsummaks:

Sn = m1·∆x1 + m2·∆x2 +…..+ mn∆xn = mi∆xi

Korrutades funktsiooni igal lõigul esineva suurima väärtuse vastava lõigu argumendi muuduga ning liites saadud korrutised, saame suuruse, mida nimetatakse integraalseks ülemsummaks:

Sn = M1·∆x1 + M2·∆x2 +….+Mn∆xn =
Mi∆xi
JA MIDA ME TÄHELDAME, KUI VAATAME HOOLEGA ALAMSUMMAT?
Integraalne alamsumma annab sisuliselt alumise treppkujundi (kollase osa) pindala! VAATA JOONIST JA TAIPAD KOHE, et me liidame kokku nagu eraldi ristkülikuid, mille pindala avaldubki külgede korrutisega…
Ametlikult öeldes:
Kui f(x)0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga.
MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT?
Kui f(x)0, siis integraalne ÜLEMsumma võrdub arvuliselt kõvera peal oleva murdjoonega piiratud „välimise treppkujundi” (viirutatud kujundi) pindalaga.
Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend
b) Integraalse alam –ja ülemsumma omadusi
Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja ∆xn vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud

Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne:
ehk:
Kuna iga i (i=1, 2 , 3 …., n) korral on mi Mi , siis avaldiste mi∆xi ja
Mi∆xi põhjal on alati Sn
Sn ; võrdsed on nad aga ainult siis, kui f(x) on konstantne suurus.

Kuna funktsiooni f(x) üldine vähim väärtus terve lõigu [a, b] ulatuses on alati väiksem kui selle funktsiooni mistahes alamlõigu piires olev vähim väärtus, siis funktsiooni f(x) vähima väärtuse ja lõigu [a,b] väärtuse korrutis on alati kas võrdne integraalse alamsummaga või siis sellest väiksem.
Et lõigu [a,b] väärtus (pikkus) avaldub kujul (b-a), siis saab selle lause kirja panna matemaatiliselt nii:
Kuna m1m , m2 m , … , mnm ,
kus m on funktsiooni vähim väärtus lõigul [a,b],
siis
Sn = m1·∆x1 + m2·∆x2 +…..+ mn∆xn
m·(b-a)

Ülemsumma ja suurima väärtuse kohta analoogne järeldus:
c) Korrutiste m·(b-a) ja M·(b-a) geomeetriline tähendus

MÄÄRATUD INTEGRAALI DEFINITSIOON

Nagu me ennegi tegime nii, et võtsime ette funktsiooni y=f(x), mis on PIDEV lõigul [a, b] ja jaotasime

selle lõigu osadeks [x0 , x1] , [x1, x2] , …. , [xn-1 , xn] , siis nüüd me jätkame… teeme mida veel .

Võtame igal lõigul mingi suvalise punkti , mida igale lõigule vastavalt ξ1 , ξ2 , … , ξn
NB! Kuna punkt ξ jääb iga lõigu otspunktide vahele on ta oma väärtuselt alati suurem kui lõigu

algpunkt ja väiksem kui lõigu lõpppunkt:
x0

.DOC Laadi alla originaalfail 25 lk · .doc · 222 allalaadimist

Määratud integraal ja selle rakendused #1

Määratud integraal ja selle rakendused #2

Määratud integraal ja selle rakendused #3

Määratud integraal ja selle rakendused #4

Määratud integraal ja selle rakendused #5

Määratud integraal ja selle rakendused #6

Määratud integraal ja selle rakendused #7

Määratud integraal ja selle rakendused #8

Määratud integraal ja selle rakendused #9

Määratud integraal ja selle rakendused #10

Määratud integraal ja selle rakendused #11

Määratud integraal ja selle rakendused #12

Määratud integraal ja selle rakendused #13

Määratud integraal ja selle rakendused #14

Määratud integraal ja selle rakendused #15

Määratud integraal ja selle rakendused #16

Määratud integraal ja selle rakendused #17

Määratud integraal ja selle rakendused #18

Määratud integraal ja selle rakendused #19

Määratud integraal ja selle rakendused #20

Määratud integraal ja selle rakendused #21

Määratud integraal ja selle rakendused #22

Määratud integraal ja selle rakendused #23

Määratud integraal ja selle rakendused #24

Määratud integraal ja selle rakendused #25

100 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 100 punkti.

~ 25 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2009-01-26 Kuupäev, millal dokument üles laeti

222 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Janka Õppematerjali autor

Hea, seletatav materjal määratud integralist ja selle rakendustest,definitsioonid, omadused, arvutused, joonised, teoreemid ja nende tõestused. Väga hea nii õppimiseks kui ka kordamiseks/ülevaatamiseks. Koostatud selgitatavas tekstis

matemaatiline analüüs määratud integraal keskväärtusteoreem newton-leibnizi valem

Sarnased õppematerjalid

pdf

Matemaatiline analüüs

Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v  0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma

Matemaatiline analüüs 1

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne

Matemaatiline analüüs i

pdf

Määratud integraal

Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b

Matemaatika

doc

Määratud integraal

Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2 n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b

Kõrgem matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs 1

kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f

Matemaatiline analüüs 1

pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x)

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b

Matemaatiline analüüs 1

docx

Teine osaeksam, matemaatiline analüüs I, teooriaküsimused

Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x y = y - y - x = 0

Matemaatika analüüs i

Rohkem sarnaseid