Määratud integraal ja selle rakendused (1)

Sarnased õppematerjalid

36

pdf

Matemaatiline analüüs

Jääkliikme β võib väikese ∆x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem ∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0. Loetleda diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u − v) = du − dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu, C − konstant, 5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v  0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²); 2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma

Matemaatiline analüüs 1

18

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

muudu peaosaks. jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . Diferentsiaali omadused. 1. d(u + v) = du + dv, 2. d(u - v) = du - dv, 3. d(uv) = vdu + udv, 4. d(Cu) = Cdu , C - konstant, 5. d() = kui v 0. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne

Matemaatiline analüüs i

11

pdf

Määratud integraal

Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigi osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2  n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b

Matemaatika

11

doc

Määratud integraal

Pindala täpse väärtuse saame piirväärtusena n kõigist osalõikude pikkuste lähenemisel nullile: xi 0 2  n SabBA = lim f ( i ) xi (4) n xi 0 i = 1 Kui valemi (4) paremal pool olev piirväärtus eksisteerib ning ei sõltu osalõikudeks jaotamise viisist ja punktide i valikust, siis nimetatakse teda määratud integraaliks funktsioonist f(x) rajades a-st b-ni ning b n tähistatakse f ( x) dx = lim f ( ) x n i i a xi 0 i = 1 Arvu a nimetatakse integraali alumiseks rajaks. Arvu b nimetatakse integraali ülemiseks rajaks. Määratud integraali geomeetriliseks vasteks on kõverjoonse trapetsi pindala. b

Kõrgem matemaatika

3

docx

Matemaatiline analüüs 1

kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f

Matemaatiline analüüs 1

2

pdf

Matemaailine analüüs I kollokvium III spikker

1). (Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata 7).(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x)

Matemaatika analüüs i

12

docx

Matemaatiline analüüs I 3. kollokviumi spikker

max ∆ xi → 0 max ∆ xi →0 i i Määramata integraal on lineaarne operaator, st ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide ξi valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud b

Matemaatiline analüüs 1

5

docx

Teine osaeksam, matemaatiline analüüs I, teooriaküsimused

Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x y = y - y - x = 0

Matemaatika analüüs i

Meedia

Kommentaarid (1)