Kollokvium III (0)

1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator.
Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ()’= f(x). Tõestus: ()’= (F(x)+C)’=F’(x)= f(x). d()= ()’dx = f(x)dx = F’(x)dx= dF(x). Operaatorit L:V->W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused: a)L(f+g)= L(f) + L(g) kui f, g V ( aditiivsus ) b) L(cf) = cL(f) kui f V ja c R ( homogeensus ). Määramata integraal on lineaarne operaator , st = + ja/või = c ( c).

2. Näidata, et määramata integraal on lineaarne operaator.

Operaatorit L:V → W nimetame lineaarseks kui on täidetud tingimused:
1° L(f+g) = L(f) + l(g) kui f,g(aditiivsus)
2° L(cf) = cL(f) kui f V ja c (homogeensus)
Määramata integraal on lineaarne operaator, st +g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx
3. Ositi integreerimine määramata integraalis . Valemi tuletamine .
*Kui u(x) ja v(x) on differentseeruvad funktsiooni hulgal X ja eksisteerib määramata integraal , siis eksisteerib kindlasti ka määramata integraal .
Tõestus: Olgu u(x) ja v(x) differentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna . Eeldades, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast poolest määramaa integraal. Et siis eksisteerib ka ja saamegi tulemuseks: , kusjuures suvalise konstandi C võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise kontsandi summa on suvaline konstat. Kuna ja siis ongi antud seos esitatav kujul .

4. Muutujate vahetus määramata integraalis. Valemi tuletamine.

*Kui funktsioonil f on olemas algfunktsioon F ja t = (x) on diferentseeruv , siis kehtib muutujate vahetuse valem
Eelnev tehnika on lühidalt esitatav kujul, mida nimetatakse diferentsiaali märgi alla viimise võtteks:
Tõestus: dF( Integreerime, kasutades asendust t = : F( ehk F(. Seega,
*Tähistame t=. Kui eksisteerib ühene pöördfunktsioon x= ning tuletis leidub algfunktsoon G; siis saame määramata integraali arvutad kasutades muutujate vahetust: . Lause eeldused on rahuldatud, kui rangelt monotoone ja differentseeruv funktsioon. Tähistame g(t): = f(Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks.
dG( (x))= g(= f(. Integreerides asendusega t = saamegi jällegi

5.Polünoomide jagamine. Horneri skeem.

Olgu Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an
n-astme polünoom, kusjuures suurused ak (0 ≤ k ≤n) on konstandid ja a0 ≠ 0.
Vastavalt algebra põhiteoreemile on polünoomil Pn(x) kompleksarvude hulgal täpselt n
nullkohta, arvestades nullkohtade kordsust. Kui neiks nullkohtadeks on x1, x2, . . . , xr,
vastavalt kordsustega k1, k2, . . . , kr, siis pol¨unoom Pn(x) avaldub kujul
Pn(x) = a0 (x − x1)k1 (x − x2)k2 · · · (x − xr)kr ,
kusjuures k1 + k2 + . . . + kr = n.
Horneri skeem.
Polünoomi p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ... + anxn korral, kus a0, ..., an
on arvud, tahame arvutada polünoomi kindlal x’l näiteks x0 selle saavutamiseks määrame uue konstantide rea:
bn := an
bn-1 := an-1 + bnx0
b0 := a0 + b1x0
siis b0 on p(x0) väärtus. See toimib nii, sest polünoomi saab kirjutada kujul
p(x) = a0 + x(a1 + x(a2 + ... x(an-1 + anx) ... )) seega iteratsiooniliselt asendades bi avaldisse
p(x0) = a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(an-1 + bnx0) ... )) =
= a0 + x0(a1 + x0(a2 + ... x0(bn-1) ... )) = ... = a0 + x0(b1) = b0

6. Osamurdudeks jagamine. Lause tõestus.

Olgu Qm(x)/Pn(x) ratsionaalfunktsioon, kusjuures Qm(x) on m-astme ja Pn(x) on
n-astme polünoom ning m Liigmurru , st (m ≥ n) korral
tuleb esiteks eraldada täisosa. Selleks tuleb polünoomi Qm (x) jagada polünoomiga
Pn (x) . Saame
kusjuures Sk(x) (k lihtmurd .
Lause 1. Kui Qm(x)/Pn(x) on lihtmurd ja polünoomil Pn(x) = a0xn + a1xn−1 + . . . + an−1x1 + an on nullkohad x1, x2, . . . , xr kordsustega k1, k2, . . . , kr (k1 + k2 + . . . + kr = n) , st polünoom
Pn(x) on esitatav kujul Pn(x) = a0 (x − x1)k1 (x − x2)k2 · · · (x − xr)kr , siis Qm(x)/Pn(x) on ühesel viisil lahutatav osamurdudeks

7. Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine.

8. Riemanni summa. Määratud integraali (Riemanni mõttes) definitsioon.
Riemanni summa lõigul [a,b] (f) = .
Kui eksisteerib piirväärtus = , mis ei sõltu [a,b] osalõikudeks jaotamise viisist ega punktide valikust, siis öeldakse, et funktsioon f(x) on integreeruv (Riemanni mõttes) lõigul [a,b] ning seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f(x) määratud integraaliks ehk Riemanni integraaliks lõigul [a,b] ja seda tähistatakse .

9.Darboux ülem- ja alamsummad. Riemanni summa ja Darboux’ summade seos.

Definitsioon
Olgu funktsioon f tõkestatud lõigul [a; b]. Siis tükelduse пn igal osalõigul [xi-1; xi ] leiduvad lõplikud ülemine ja alumine raja Mi := sup f (x) ja mi := inf f (x) ning me saame defineerida
xϵ[xi-1;xi ] xϵ[xi-1;xi ]
Darboux’ ülemsumma
Darboux’ alamsumma
10. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine ( variant1 Tambergi oma)
Lause
Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning
f (x) g(x) (), siis joontega y = f (x); y = g(x), x = a ja
x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul
Lause
Olgu lõigul [a; b] pidev funktsioon y = f (x) 0 antud parameetriliste
võrranditega
Kusjuures on rangelt monotoonne ja pidevalt diferentseeruv
funktsioon lõigul .Kui ja siis joontega piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala avaldub kujul

11. Integreeruva funktsiooni tõkestatus.

Teoreem: Lõigus integreeruv funktsioon on tõkestatud selles lõigus
Tõestus: Oletame, et funktsioon pole lõigus [a,b] tõkestatud. Näitame, et funktsioon pole integreeruv. . Kuna f pole lõigus [a,b] tõkestatud, siis , kus f pole tõkestatud. Selles lõigus
– . Valime nii, et . Seega . . Seega pole Riemanni integraalsumma lõigus [a,b] tõkestatud ningpuudub ka integraalsumma piirväärtus ehk Riemanni integraal.
12. Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis ..
Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) ≠f(x) vaid punktis x=c ∏ selle lõigu tükeldus, kusjuures . Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) ja g(x)≠f(x) vaid punktis c ning siis + (g() - f()) = S∏(f) + () - f(, kus tingimuste f(x) = O(1), g(x) = O(1) (x) põhjal ) - f(0. Seega() - f(() - f( ja oleme näidanud tõestust.
13. Määratud integraali lineaarsuse omadus tõestusega.
Lause: Määratud integraali lineaarsuse omadus: Kui c1, c2R, siis Tõestus: Et funktsiooni integraasumma korral kehtib seos siis piirväärtus summast on piirväärtuste summa , kui piirväärtus mõlemast liidetavast eksisteerib ning konstantne tegur on toodav piirväärtuste märgi ette, siis

14.Määratud integraali aditiivsuse omadus tõestusega.

Lause: määratud integraali aditiivsuse omadus: Kui , siis
Tõestus: Kui  on lõigu tükeldus, kusjuures c kuulub selle tükelduse osalõiku kus 1 on lõigu tükeldus punktidega x0,x1, ..., xk-1 , c ja 2 on lõigu tükeldus punktidega c, xk, ..., xn-1, xn. Lõigul integreeruv funktsioon on tõkestatud sellel lõigul põhjal saame Millest järeldub f(x)=O(1) . Et Seega on lause tõene.

15. Lebesgue’i teoreem. Konstanse funktsiooni inegreerivus. Pideva funktsiooni integreeruvus. Monotoonse funktsiooni integreeruvus. Üks lausetest tõestada.

Lause (Lebesgue’i teoreem)
Funktsioon f on lõigul [a; b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis kui ta on tõkestatud lõigul [a; b] ja pidev peaaegu kõikjal lõigul [a; b], st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null.
Lause
Lõigul [a; b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul,kusjuures
Lause
Lõigul pidev funktsioon on integreeruv sellel lõigul.
POOLIK

16. Näidata, et

f(x) ≤ g(x) (f, g I[a,b]) 
Tõestus. [PS. IABB-le: on tegelikult i , ja on „sii“ täht, mitte epsilon]
f(x) g(x),
g(

17. Näidata, et

, kus M = , (f)
Tõestus.
| = M = M|b – a|, kus M = , (f).
18. Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega.
Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , siis leidub konstant , kus ja , nii et
Tõestus
Tõepoolest, kuna , siis
Integreerides saame:
Kui, siis on võrdus ilmne. Kui , siis
Järeldus
Kui funktsioonid ja on integreeruvad lõigul ja , ja on pidev lõigul , siis leidub , nii et
19.Määratud integraal ülemise raja funktsioonina .Näidata,et saame pideva funktsiooni.Näidata,et pideva funktsiooni integreerimisel tekib diferentseeruv funktsioon.
Lause: Kui f
Tõestus: Näitame,et G on pidev lõigul [a,b], selleks vaatame vahet
.
Tõestus: Leiame funktsiooni G(x) tuletise(lõigu otspunktides ühepoolse tuletise)

20) Newton -Leibnizi valem. Valemi tõestus

Kui f ϵ C[a; b] ja F on funktsiooni f mingi algfunktsioon sellel lõigul, siis
Tõestus:
Kuna fϵC[a; b], siis G´(x) = f (x), seega G on f mingi algfunktsioon ja
iga f algfunktsioon F on seega esitatav kujul F(x) = G(x) + C:
Võtame x = a ja saame F(a) = G(a) + C = C:
Võttes x = b, saame F(b) = G(b) + C = G(b) + F(a):
Seega G(b) = f (x)dx = F(b) - F(a)

21. Muutujavahetus määratud integraalis

Lause
Kui f(x) on lõigul [a, b] pidev funktsioon ja on pidevalt diferentseeruv funktsioon lõigul , kusjuures ja siis
Kui ja on pidevalt diferentseeruv lõigul, kusjuures ja , siis
22. Tuletada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks.
Kui funktsioonide ja tuletised on integreeruvad lõigul , siis
Tõestus
Kui ja on integreeruvad lõigul , siis on integreeruvad ka ja . Kahe integreeruva funktsiooni korrus on integreeruv, seega on integreeruv
Integreerime lõigul

23. Taylori valemi jääkliikme integraalkuju

Kui funktsioonil f eksisteerivad mingis punktis a kõik tuletised kuini järguni n , siis saame n-järku Taylori valemi
f(x) =
Kui (n + 1)-järku tuletis on integreeruv lõigul [a, x], siis jääkliige on esitatav integraalkujul

24. Defineerida päratud integraalid katkevatest funktsioonidest. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Lõpmatute rajadega päratud integraalid:

Kui f(x), siis .
Kui f(x), siis .
Kui f(x) a,b korral, siis +
Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest:
Vaatleme juhtu, kui funktsioon on katkev. Kui f-l on katkevuspunktid lõigul [a, b], siis selle funktsiooni integraalsumma ei tarvitse omada lõplikku piirväärtust, seega ei eksisteeri viimasel juhul ka määratud integraali . Siiski on katkevat funktsiooni teatud juhtudel võimalik integreerida päratu integraali mõttes. Vaatleme kahte erijuhtu:
1. Olgu funktsioon f pidev poollõigul [a, b) ja olgu b selle funktsiooni katkevuspunkt .
Siis on f pidev kõigil lõikudel [a, c], kus c on a ja b vahel, st c (a, b). Järelikult eksisteerib määratud integraal iga c (a,b) korral. Selleks, et saada integraalist integraali tuleb meil lähendada arvuga c arvu b. Kuna c paikneb vahemikus (a,b), on tegemist vasakpoolse piirväärtusega. Seega defineeritakse päratu integraal järgmiselt: = .
2. Olgu funktsioon f pidev poollõigul (a,b] ja olgu a selle funktsiooni katkevuspunkt. Siis on f pidev kõigil lõikudel [c,b], kus c (a,b). Päratu integraal defineeritakse järgmise parempoolse piirväärtusega: = .

25.Üks määratud integraali rakendus omal valikul koos tõestusega

Lause
Kui f (x) ja g(x) on integreeruvad funktsioonid lõigul [a; b] ning
f (x) ≤g(x) (iga x ϵ [a; b]), siis joontega y = f (x); y = g(x); x = a ja
x = b piiratud kõverjoonelise trapetsi pindala S avaldub kujul
Tõestus. Kui 0 ≤f(x) ≤g(x) (x ϵ [a, b]), siis uuritava kõverjoonelise trapetsi
pindala avaldub joontega y = g(x), y = 0, x = a ja x = b määratud kõverjoonelise trapetsi ning joontega y = f(x), y = 0, x = a ja x = b määratud kõverjoonelise trapetsi, mille pindalad on leitavad pindalade vahena

26. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Kvadratuurvalemid.

Määratud integraali ligikaudse arvutamise valemeid nimetame kvadratuurvalemiteks. Kasutades seda, et
määratud integraali ligikaudselt arvutada kasutades Riemanni
summat
valides konkreetse tükelduse ja funktsiooni väärtused osalõikudes [].
Ristkülikvalemi saame kui valime
Valides ühtlase tükelduse saame, tähistades ,
Trapetsvalemi saame kui valime selliselt, et
Valides ühtlase tükelduse saame, tähistades ,
Üldjuhul vaatame kvadratuurvalemit kujul
kus on kvadratuurvalemi sõlmed ja kvadratuurvalemi kordajad.
Trapetsvalemi saame nõudes, et valem oleks täpne juhul n = 2
funktsioonide f (x) = 1 ja f (x) = x korral.