Impulss, energia, töö (0)

KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele)
3.  IMPULSS , TÖÖ, ENERGIA
3.1 Impulss
Impulss, impulsi jäävus
Impulss on  vektor , mis on võrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega
r
r
p = mv  .
Mehaanikas  nimetatakse  impulssi  vahel ka  liikumishulgaks . See on vananenud
mõiste ja selle kasutamine ei ole otstarbekas. Nii näiteks on ka
elektromagnetväljal impulss, mille üheks avaldusvormiks on valgus rõhk.
Elektromagnetvälja korral aga on  liikumishulga  mõiste  kohatu .
Impulsi mõiste on kasulik seetõttu, et teatud juhtudel, näiteks kehade põrgetel,
kehtib impulsi jäävuse seadus. Viimase üldine sõnastus on järgmine. Impulsi
jäävuse seadus: suletud (isoleeritud) süsteemi  koguimpulss  on jääv suurus, st
mistahes ajahetkel on süsteemi kuuluvate kehade impulsside summa  konstantne
r
r
r
p + p + L + p =  const .
1
2
n
Kehade liikumisel ja omavahelistel vastastikmõjudel kehade  impulsid  muutuvad,
muutuda võib ka kehade arv süsteemis. Nii näiteks võivad kehad põrgetel liituda
kui ka laguneda mitmeks kehaks.
Näidisülesanne 1. Milline on 30 kg  poisi  impulss kui ta  jookseb  kiirusega 6 m/s?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
m = 30 kg
v = 6 m/s
p = ?
Vastavalt impulsi definitsioonile
1
p = mv ,
millest arvutamine annab
p
(30 ⋅ 6 ) (kg·m)/s = 180 (kg·m)/s
Vastus: poisi impulss on 180 (kg·m)/s.
r
r
Kommentaar. Mõni sõna terminoloogiast. Impulssi  p = m v  nimetatakse vahel ka
liikumishulgaks. Tänapäeva füüsikas liikumishulga mõistet enam ei kasutata, olgugi et
paljudes õpikutes seda veel kahjuks tehakse, sest see pärineb veel Newtoni aegsest füüsikast,
kus impulss on tõesti ainult massi ja kiiruse korrutis. Impulsi mõiste on märksa üldisem ja
kasutusel ka väljaspool mehaanikat ning kus ta avaldub hoopis teisiti. Nii on näiteks impulss
elektromagnetväljal (sealhulgas ka valgusel) kui ka mikroosakestel (näiteks  elektronil ), mis on
samaaegselt nii osakesed kui lained, jne. Oluline on see, et impulss on alati kindla
dimensiooniga suurus ja paljudes füüsikalistes protsessides kehtib impulsi jäävuse seadus.
Näidisülesanne 2. Kuul massiga 4 g väljub automaadist, mille mass on 4,5 kg, kiirusega 915
m/s. Määrata relva tagasilöögi kiirus  lasu   momendil .
Lahendus.
Antud:
Teeme sümboolse joonise, millel vasakpoolne pilt kujutab algolekut
m = 4 g = 0,004 kg
(kuul on automaadis paigal) ja parempoolne lõppolekut (kuul väljub
M = 4,5 kg
automaadist).
v = 915 m/s
V = ?
Antud ülesandes peab  rakendama  impulsi jäävuse seadust, sest me eeldame, et vaadeldavale
süsteemile mingeid väliseid jõudusid ei mõju ja seetõttu on tegemist isoleeritud süsteemiga.
Kui enne lasku on  automaat  ja kuul paigal, siis summaarset liikumist ei ole ja koguimpulss
võrdub nulliga. Seega peab ka lõppolek olema selline, kus koguimpulss võrdub nulliga
r
r +
mv
MV
0  .
Kirjutades selle teisiti
r
r
MV = −mv
on lihtne näha, et relv ja kuul liiguvad peale lasku  vastassuunas ,  kusjuures  kuuli impulss peab
võrduma automaadi impulsiga
MV = mv  ,
millest relva tagasilöögi kiirus
2
mv
0 004 ⋅ 915
V
)  m = 0,8 m/s.
M
5
4
Kuna relv ei liigu vabalt, vaid  toetub  vastu laskuri õlga, siis laskur tunneb seda relva
tagasilöögina, sest laskuri õlg pidurdab relva liikumise. Antud juhul on tagasilöök suhteliselt
väike, tugevamajõulistel relvadel (näiteks vintpüssidel) on tagasilöök suurem ja laskuri õlg
liigub peale lasu sooritamist märgatavalt tagasi.
Vastus: relva tagasilöögi kiirus peale lasu sooritamist on 0,8 m/s.
3.2 Töö
Muutumatu jõu korral avaldub töö
järgmise valemiga
A = F s cos
 ,
kus s on keha poolt vaadeldava jõu mõjul läbitud  teepikkus  ja α on nurk jõu
mõjumise suuna ja keha liikumissuuna vahel. Sõltuvalt jõu mõjumise  suunast
võib töö olla nii positiivne kui ka negatiive.
Kui aga kehale mõjuv jõud on risti keha liikumissuunaga, siis on selle jõu töö
võrdne nulliga. Nii näiteks on niidi otsas oleva kuulikese ühtlasel  ringliikumisel
(pöörlemisel) niidi tõmbe poolt  tehtav  töö võrdne nulliga, sest niidi tõmme on
risti kuulikese kiirusega ja seetõttu ka kuuli liikumissuunaga.
Raskusjõu töö
Juhul kui kehale mõjub raskusjõud, avaldub töö kujul
A = P h = m g h  ,
kus h on keha algkõrguse ja lõppkõrguse vahe
h = h − h
1
2  .
Elastsusjõu töö
Juhul kui kehale mõjub elastsusjõud  F = −k x , avaldub töö kujul
3
2
k x
A =
 ,
2
kus x on hälve tasakaaluasendist.
Näidisülesanne 3. Poiss pingutas  kelgu  vedamisel nööri jõuga 50 N. Kui palju tööd ta tegi, kui
ta vedas kelku 150 m ja kelgunöör moodustas liikumise suunaga nurga 45 0 ?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
F = 50  N
s = 150  m
0
α = 45
A = ?
Siin ülesandes tuleb lähtuda töö arvutamise põhivalemist
A = F s cos
 .
Kuna meil kõik suurused on antud, jääb ainult tulemus välja arvutada
A = 50 ⋅150 ⋅ cos 450 = 5300 J =
3
5
kJ  .
Vastus: tehtud töö on 5300 J ehk 5,3 kJ (kilodžauli). Vastuses tavaliselt tuhandeid ja  miljoneid
pikalt välja ei  kirjutata , tulemus antakse kas kümne astmetena, antud juhul oleks see 
3
3
5 ⋅10 J
, või siis kordsetes ühikutes kJ või MJ (megadžaul).
Näidisülesanne 4. Kehale massiga 2 kg mõjus 10 s jooksul jõud 20 N. Arvutada seejuures
tehtud töö.
Lahendus.
Teeme joonise.
Antud:
m = 2 kg
t = 10 s
F = 20 N
A = ?
Kuna kehale mõjub üks jõud, siis liigub ta selle jõu suunas. Kuna nüüd on
jõud ja teepikkus samasuunalised, on töö arvutamise valem
A = F s  .
4
Jõud on antud, vaja on leida keha poolt läbitud teepikkus. Kuna jääva jõu mõjul liikumisel on
tegemist ühtlaselt kiireneva liikumisega, siis arvutatakse teepikkus valemiga
2
at
s =
 ,
2
kiirenduse aga saame omakorda Newtoni II seadust kasutades
F
a =
 .
m
F t 2
Teepikkus avaldub seetõttu kujul  s =
 ja töö
2m
(F t)2
A = F s =
2m
Arvutamine annab
(20 ⋅10)2
A
)  J = 10000 J = 10 kJ.
2 ⋅ 2
Vastus: tehtud töö on 10 kJ.
Näidisülesanne 5. Kui palju tööd tuleb teha, et tõsta 2  sekundiga  keha massiga 50 kg kahe
meetri kõrgusele. Tõstmine toimub ühtlaselt kiirenevalt.
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise. Kehale mõjub tõstmisel kaks
m = 50 kg
jõudu, tema raskusjõud P = mg ja tõstejõud T.
h = 2 m
Kõigepealt selgitame, milline jõud meid
t = 2 s
huvitavat tööd teeb. Kui me tõstaks keha
g = 9,8 m/s 2
ühtlaselt, siis oleks T = P ja me võiks arvutada
raskusjõu töö. Kuna aga tõstmine toimub
A = ?
ühtlaselt kiirenevalt, siis tuleb arvutada kehale
rakendatava tõstejõu T töö
A= T h  .
Kui kiirendus on suunatud ülespoole, on tõstejõud
T = P + ma = m(g + a)
(tõstejõud peab ületama raskusjõu ja andma veel kiirenduseks vajaliku jõu F = ma).
Töö avaldub seega järgmiselt
5
A = T h = m(g + a)h  .
2
at
Veel on vaja leida kiirendus, mis  valemist   h =
 avaldub kõrguse ja aja kaudu
2
2h
a =
 .
2
t
Seda kasutades saame lõpliku valemi töö arvutamiseks
2h
A = m(g +
)h  .
t 2
Arvutamine annab lõpptulemuseks
2 ⋅ 2
A
(50 ⋅
8
9
) ⋅ 2 )  J =  1080  J .
22
Vastus: keha tõstmiseks tuleb teha 1080 J tööd.
3.3 Energia
Keha energiaks nimetatakse tema võimet teha tööd. Kehal võib olla energia, mis
sõltub tema  liikumisest  (kineetiline energia) kui ka energia, mis sõltub tema
asukohast (potentsiaalne energia). Lisaks sellele on kehal olemas ka  siseenergia ,
mis on enamasti seotud keha sisemise soojusliikumisega.
Kineetiline energia
Kui keha liigub, siis sõltuvalt kiirusest omistatakse talle kineetiline energia, mis
avaldub kujul
2
m v
E =
 .
k
2
Mistahes jõu töö on avaldatav lõpp- ja algoleku kineetilise energia vahena
2
2
m v
m v
2
1
A = E
− E
−
 .
k 2
k1
2
2
6
Näidisülesanne 6. Keha impulss on 12 (kg·m)/s. Kui suur on selle keha kineetiline energia, kui
keha mass on 6 kg?
Lahendus.
Antud:
Kineetiline energia avaldub valemiga
p = 12 (kg·m)/s
2
m = 6 kg
m v
E =
 .
k
E
k
2
Lahendamiseks on kaks võimalust: arvutada impulsi ja massi kaudu kiirus
ja siis kineetiline energia või avaldada kineetiline energia impulsi kaudu.
Kasutame teist võimalust, sest tihti on kasulik teada kineetilise energia  avaldist  impulsi kaudu.
Selleks avaldame kiiruse impulsi kaudu
p
p = m v
→
v = m
ja asendame selle kineetilise energia valemisse, saame tulemuseks
p2
E =
k
 .
2 m
Arvutamine annab tulemuseks
122
E
)  J = 12 J .
k
2 ⋅ 6
Vastus: keha kineetiline energia on 12 J.
Näidisülesanne 7. Kui palju tuleb teha tööd, et panna autot, mille mass on 3 t, 1) suurendama
oma kiirust 36 kuni 72 km/h, 2)  peatuma , kui  algkiirus  on 90 km/h?
Lahendus.
Antud:
m = 3 t = 3000 kg
Teeme mõlema liikumise kohta joonise. Ülemisel pildil auto
v  = 36 km/h = 10 m/s
1
suurendab kiirust,  alumisel  peatub.
v  = 72 km/h = 20 m/s
2
v3  = 90 km/h = 25 m/s
1) A  = ?
1
2) A  = ?
2
7
Teatavasti on töö ja kineetiline energia teineteisega tihedalt seotud, töö keha liikumisel on
võrdne tema kineetilise energia muuduga, st lõpp- ja algoleku kineetilise energia vahega.
1) Kiirus suureneb. Sel juhul on tehtud töö
2
2
mv
mv
m
2
1
A =
−
( 2
2
v − v )  .
1
2
2
2
2
1
Arvutus annab
3000
A
(202 − 102 ) ) J = 450000 J = 450 kJ .
1
2
2) Auto peatub. Algul liigub auto  teatava  algkiirusega ja siis peatub, Sel juhul läheb auto kogu
esialgne kineetiline energia pidurdustööks
2
mv0
A =
 .
2
2
Asendades  algandmed , saame tulemuseks
3000 ⋅ 252
A
)  J = 940000 J = 940 kJ.
2
2
Vastus: kiiruse suurendamisel 36 kuni 72 km/h on tehtud töö 450 kJ, auto peatumisel kiiruselt
90 km/h on tehtud töö 940 kJ.
Potentsiaalne energia
Lisaks kineetilisele energiale saab mitmete jõudude (nn konservatiivsete jõudude)
jaoks sisse tuua veel keha asukohast sõltuva energia ehk potentsiaalse energia.
Potentsiaalse energia arvel võib keha samuti tööd teha, kusjuures töö avaldub
keha alg- ja lõppoleku potentsiaalse energia vahena. Kuna füüsikaliselt
mõõdetavaks suuruseks on töö, mitte potentsiaalne energia, pole potentsiaalne
energia määratud üheselt, vaid konstandi täpsuseni. Potentsiaalse energia
konkreetne kuju sõltub potentsiaalse energia nullpunkti valikust.
NB! Mehaanikas on konservatiivseks jõuks gravitatsioonijõud, raskusjõud ja
elastsusjõud. Hõõrdejõud ei ole  konservatiivne  jõud. Hõõrdejõu korral ei saa
potentsiaalse energia mõistet sisse tuua.
8
Raskusjõu potentsiaalne energia
Raskusjõu korral avaldub keha potentsiaalne energia kujul
E = m g h
p
 ,
kus h on keha kõrgus vaadeldavast nullnivoost.
Potentsiaalne energia ei ole määratud üheselt, vaid konstandi täpsuseni ja sõltub
sellest, millise punkti me valime potentsiaalne energia  nullpunktist . Raskusjõu
korral võetakse  nullpunktiks  (või nullnivooks) enamasti suvaline punkt Maa
pinnal (potentsiaalne energia sõltub ainult kõrgusest). Sama hästi võib ka
nullpunkti valida mujalt, sõltuvalt konkreetsest ülesandest. Nii näiteks on laua
peal oleva keha korral mõistlik valida nullpunktiks laua peal olev punkt. Sel juhul
on laua pinnast kõrgemal potentsiaalne energia positiivne, allpool aga negatiivne.
Raskusjõu töö avaldub keha alg- ja lõppoleku potentsiaalse energia vahena
A = m g (h − h ) = E − E
1
2
p1
p 2  .
Elastsusjõu potentsiaalne energia
Elastsusjõu korral avaldub potentsiaalne energia kujul
2
k x
E =
 .
p
2
Antud juhul on potentsiaalne energia tasakaaluasendis (x = 0) võetud võrdseks
nulliga.
Näidisülesanne 8. Kui kõrgele võiks tõsta auto massiga 3 t energia 1 kW·h arvel?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
m = 3 t = 3000  kg
E = 1 kW·h =
6
3 6 ⋅10 J
g = 9,8 m/s 2
h = ?
9
Tõstes auto  maapinnast  kõrgusele h oleks tema potentsiaalne energia
E = mgh
p
 .
Ilmselt tuleks auto viimiseks sellisele kõrgusele kulutada ka sama palju energiat. Seega Ep = E
ja kõrgus
E
h =
 .
mg
Asendades arvandmed, saame
3 6 ⋅106
h
)  m = 120 m.
3000 ⋅ 8
9
Vastus: energiaga 1 kW·h võiks auto tõsta 120 meetri kõrgusele.
Kommentaar. Kilovatttund - kW·h on tavaelus kasutatav energia ühik, mis lähtub võimsuse
ühikust  vatt  - W. SI-süsteemi energiaühik džaul (J) avaldub võimsusühiku vatt (W) kaudu
järgmiselt: 1 J = (1 W)·(1 s) = 1 W·s. Siit kilovatttund 1 kW·h = (1000 W)·( 3600  s) = 3,6·106 J
= 3,6 MJ.
Näidisülesanne 9. Vedru kokkusurumiseks 1 cm võrra on vaja rakendada jõudu 100 N. Kui
suur on selle vedru potentsiaalne energia kui ta on 4 cm võrra kokku surutud?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise, kus ülemine pilt
x  = 1 cm = 0,01 m
1
kujutab vedru normaalolekut,
F  = 100 N
1
ülejäänud aga vedru
x = 4 cm = 0,04 m
kokkusurumisel tekkinud
olekuid ja  vedrus  mõjuvat
Ep = ?
elastsusjõudu.
Kokkusurutud vedru potentsiaalne energia avaldub kujul
2
k x
E =
 ,
p
2
millest on näha, et energia arvutamiseks on vaja vedru jõukonstandi väärtust. Selle saab leida
elastsusjõu valemist, teades millist jõudu on deformeerimiseks vaja
F = k x
1
1
10
(kuna märk näitab jõu suunda, siis seda pole antud juhul vaja arvestada). Jõukonstant avaldub
kujul
F1
k =
 .
x1
Asendades selle potentsiaalse energia valemisse, saame
2
F x
1
E =
p
 .
2 x1
Arvutamine annab tulemuseks
100 ⋅ ,
0 042
E
)  J = 8 J.
p
2 ⋅ ,
0 01
Vastus: vedru potentsiaalne energia on 8 J.
3.4 Energia jäävuse seadus
Energia on oluline mõiste ka seetõttu, et looduses kehtib energia jäävuse seadus,
mis väidab seda, et mistahes isoleeritud süsteemis on süsteemi koguenergia jääv
suurus. Selle seaduse rakendamine ei ole alati lihtne, sest koguenergiat ei ole
üldjuhul lihtne leida, eriti siis kui tuleb arvesse võtta ka kehade soojusliikumisest
tingitud siseenergiat. Mehaanikas on see enamasti seotud hõõrdejõudude tööga,
mis läheb  siseenergiaks  (kehad soojenevad) ja see enam  mehaanika  valdkonda ei
kuulu. Hõõrdejõudude korral ei saa seetõttu rääkida potentsiaalsest energiast.
Mehaanilises süsteemis, kus  kehadele  mõjuvad jõud on  konservatiivsed  jõud (st
jõud, millel on potentsiaalne energia), on kineetilise ja potentsiaalse energia
summa jääv suurus
E = E + E = const.
k
p
Kui näiteks keha liigub raskusjõu mõjul, võime kirjutada
2
m v
E =
+ m g h = const.
2
11
Näidisülesanne 10. Keha libiseb hõõrdumiseta alla kaldpinnalt kõrgusega 1 m. Kui suure
kiiruse ta saab kui keha algkiirus oli võrdne nulliga?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise, mia kujutab
h = 1 m
keha libisemist kaldpinda
g = 9,8 m/s 2
mööda alla.
v = ?
Keha kiiruse leidmiseks kasutame energia
jäävuse seadust raskusjõu mõjul liikumisel.
Algolekus on keha  kaldpinnal  paigal, seega on keha koguenergia võrdne tema potentsiaalse
energiaga
E = E = m g h
p
Kui keha on libisenud kaldpinnalt alla ( h = 0 ), siis on tema potentsiaalne energia võrdne
nulliga ja keha koguenergia võrdub nüüd tema kineetilise energiaga
2
m v
E = E =
 .
k
2
Koguenergia jäävusest saame võrduse
2
m v
E = m g h =
 ,
2
mis peale massi taandamist annab
2
v
g h =
 .
2
Kiirus avaldub siin järgmiselt
v =
2 g h  .
Arvutamine annab tulemuseks
v
( 2 ⋅ 8
9 ⋅1 )  m/s = 4,4 m/s .
Vastus: 1 m kõrguselt kaldpinnalt alla libisemisel saavutab keha kiiruseks 4,4 m/s. Tulemus on
huvitav selle poolest, et kasutades energia jäävust,  saime  lõpptulemuse lihtsalt arvutada.
Teiseks on huvitav ka see, et raskusjõu mõjul liikumisel on lõppkiirus alati sama ja ei sõltu
sellest, millist teed pidi keha lõppolekusse jõuab. Eelmise peatüki näidisülesandes 14 me
nägime, et mööda kaldpinda libisemisel liigub keha  kiirendusega , mis sõltub kaldpinna
kaldenurgast. Nüüd näeme, et ükskõik milline see ka ei oleks, saavutab keha ikka ühe ja selle
sama lõppkiiruse (sama lõppkiiruse saab keha ka samalt kõrguselt kukkumisel).
12
Näidisülesanne 11. Kivi massiga 200 g visati 40 m kõrgusest  tornist   horisontaalse  algkiirusega
15 m/s. Milline potentsiaalne ja kineetiline energia on sellel  kivil  2s pärast.
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise.
m = 200 g = 0,2 kg
h = 40 m
v
15
0
m/s
t = 2 s
g = 9,8 m/s 2
Ek = ?,
Ep = ?
Alustame kineetilisest energiast. Visatud keha liigub  parabooli  mööda, kusjuures
horisontaalsuunas liigub ta jääva kiirusega  v0 , vertikaalsuunas on aga tegemist vaba
langemisega kiirusega  v = g t
v
. Kogukiirus on erisuunaliste kiiruste vektorsumma, kiiruse
väärtus aga
2
2
v =
v + (gt)  .
0
Kivi kineetiline energia ajahetkel t
2
mv
m ( 2
v + (gt)2 )
0
E =
 .
k
2
2
Arvutamine annab tulemuseks
0 2 ⋅ 1
( 52 +
8
9
⋅ 2)2 )
E
) J = 61 J .
k
2
Edasi vaatame potentsiaalset energiat.  Lugedes  potentsiaalse energia maa pinnal võrdseks
nulliga, oleks kõrgusel h’ potentsiaalne energia
Ep = mgh’ .
Et saada potentsiaalset energiat etteantud ajahetkel t, peame leidma kui kõrgel maapinnast h’
sel hetkel on. Kuna vertikaalsuunas on tegemist vaba langemisega, siis aja t jooksul langeb
keha
2
gt
h
∆
2
võrra, mistõttu
13
2
gt
h′ = h − h
∆
= h − 2
ja potentsiaalne energia avaldub seetõttu kujul
2
gt
E = m h
g ′ = mg (h −
)  .
p
2
Tehes arvutused, saame
8
9
22
⋅
E
( ,
0 2 ⋅ 8
9 ⋅ (40 −
))  J = 40 J.
p
2
Kuna tegemist on raskusjõu mõjul liikumisega, siis kehtib energia jäävuse seadus. See
tähendab, et keha koguenergia on liikumisel jääv suurus. Antud juhul on koguenergia
E
E
E
101
k
p
 J. See peab olema võrdne koguenergiaga mistahes ajahetkel. Arvutame
koguenergia liikumise alguses. Kõrgusel h on potentsiaalne energia
E
mgh
( ,
0 2 ⋅ 8
9 ⋅ 40 )
p
 J = 78,4 J .
Kuna kehale anti horisontaalsuunaline algkiirus, on keha kineetiline energia
2
m v
0 2 ⋅152
0
E
)  J = 22,5 J .
k
2
2
Antud arvutustäpsuse juures saame koguenergiaks E = 101 J, mis tõepoolest kinnitab seda, et
kogu liikumise jooksul on koguenergia jääv suurus.
Vastus: 2 sekundi pärast on kivi kineetiline energia 61 J ja potentsiaalne energia 40 J.
3.5 Põrked
Jäävusseaduste rakendamine on tihti otstarbekas, sest kehadevahelised jõud
võivad olla üsna  keerukad  ja me nende kuju täpselt ei tea. Sel juhul ei ole
liikumisülesande otsene lahendamine võimalik ja tuleb pöörduda jäävusseaduste
poole. Seejuures tuleb muidugi selgitada, kas nad vaadeldava ülesande korral on
rakendatavad. Üheks oluliseks valdkonnaks, kus saame rakendada jäävusseadusi,
on põrked.
Põrgete korral me eeldame, et enne põrget on kehad üksteisest piisavalt kaugel ja
me võime neid lugeda vabadeks. Seejärel liiguvad nad piirkonda, kus
kehadevahelised jõud muutuvad oluliseks ja need muudavad kehade
liikumisolekuid. Seda osa me nimetamegi põrkeks. Pärast põrget kehad
14
eemalduvad ja neid võib jälle lugeda vabadeks. Niisugusel juhul võime
rakendada alg- ja lõppoleku jaoks impulsi ja energia jäävust,  saades  olulist teavet
vaadeldava põrke kohta. Nii näiteks võime sellisel viisil analüüsida
piljardikuulide põrget, sest  kuulide   otsesel  kokkupuutel mõjuvaid jõudusid ei ole
võimalik täpselt leida ja seetõttu ei saa ka Newtoni II seadust otseselt rakendada.
Põrked jaotatakse elastseteks ja mitteelastseteks põrgeteks.  Elastsel  põrkel
muutuvad põrkuvate kehade kiirused ja liikumissuunad  selliselt , et kehade kogu
kineetiline energia põrkel ei muutu, teisisõnu  summaarne  kineetiline energia enne
põrget ja peale põrget on sama. Mitteelastsel põrkel muutub aga osa energiast
kehade siseenergiaks ja summaarne kineetiline energia jääv ei ole (elastsel põrkel
kehade siseenergia ei muutu).
Näidisülesanne 12.  Kuulike  massiga 50 g liigub kiirusega 5 m/s ja põrkub paigalseisva
kuulikesega massiga 30 g. Millised on kuulide kiirused peale põrget kui kuulid liiguvad samas
suunas ja tegemist on absoluutselt elastse tsentraalse põrkega?
Lahendus.
Teeme lihtsa joonise, mis kujutab kuulikeste põrget. Ülemisel pildil
Antud:
on kehade liikumine ennepõrget, alumisel pärast põrget.
m
50 g
1
m
30 g
2
v
5 m/s
1
v
0  m/s
2
′ =
v
? , ′ =
v
1
2
Mistahes põrkel kehtib alati kaks jäävusseadust – impulsi jäävuse seadus ja energia jäävuse
seadus. Viimase kuju aga sõltub sellest, millise põrkega on tegemist. Absoluutselt elastsel
põrkel on põrkuvate kehade kineetiliste  energiate  summa jääv suurus, st. kineetiliste energiate
summa enne põrget on võrdne kineetiliste energiate  summaga  pärast põrget. (Mitteelastsel
põrkel see nii ei ole, sest osa energiast läheb kehade deformeerumisel nende siseenergiaks.)
Paneme  kõigepealt kirja impulsi jäävuse seaduse. Selle üldkuju on (enne põrget oli teine keha
paigal ja selle impulss võrdne nulliga)
r
r
r
r
r
r
p = p′ + p′
ehk
m v = m v′ + m v′  ,
1
1
2
1 1
1 1
2 2
r
r
kus  v ′  ja  v ′  on kuulikeste kiirused peale põrget.
1
2
Kuna kuulikesed liiguvad samas suunas, siis peale tsentraalset põrget liiguvad nad samas sihis
edasi. Seetõttu võime impulsi jäävuse kirjutada kujul (loeme põrkuva kuulikese kiiruse suunad
positiivseks )
m v = m v′ + m v′  .
1 1
1 1
2 2
15
Millised on kiiruste suunad peale põrget me esialgu ei tea, seetõttu oletame, et mõlemad
kuulikesed liiguvad peale põrget samas suunas edasi. Nii võib alati teha, sest hilisem arvutus
annab kiiruse tegeliku suuna: kui kiirus tuleb plussmärgiga, liigub keha meie poolt oletatud
suunas, kui aga kiirus tuleb miinusmärgiga, liigub keha peale põrget vastassuunas, ehk tagasi.
Energia jäävuse seadus on aga kujul
2
2
2
m v
m v′
m v′
1 1
1 1
2 2
 .
2
2
2
Kuulikeste kiiruste leidmiseks oleme saanud kaks võrrandit
m v = m v′ + m v′  ,
1 1
1 1
2 2
2
2
2
m v = m v′ + m v′
1 1
1 1
2 2
esimene oli impulsi jäävuse seadus, teine aga energia jäävuse seadus, milles  nimetajas  oleva
ühise teguri 2 taandasime.
Edasine on juba puhas  matemaatika . Meil on kaks otsitavat – kiirused peale põrget  v′  ja  v′
1
2
ning kaks võrrandit nende leidmiseks. Seetõttu sõltub kõik järgnev matemaatika oskusest.
Lahendame  selle üldtuntud meetodil (mis ei pruugi olla alati kõige lihtsam), asendades
esimesest  võrrandist ühe lõppkiirustest  v′  või  v′  ja asendades selle teise võrrandisse, mis tuleb
1
2
seejärel lahendada. Avaldame kiiruse  v′2
m (v − v′)
1
1
1
v′ =
2
 .
m2
Enne teise võrrandisse asendamist kirjutame selle võrrandi kujul
2
2
2
m (v − v′ ) = m v′  .
1
1
1
2 2
Võttes  v′   ruutu  ja asendades, saame
2
2
m
2
2
1
2
2
2
2
m (v − v′ ) =
(v − v′)
ehk
m (v − v′ ) = m (v − v′)
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
 .
m2
Viimasest võrrandit tuleb leida kiirus  v′ . Selleks on kaks võimalust: esimene on otsene ehk
1
„jõumeetod”, avame paremal pool  sulud  ja saame  v′  jaoks ruutvõrrandi, mis seejärel tuleks
1
lahendada, teine meetod aga põhineb lihtsal  algebral . Läheme teist teed ja kasutame tuntud
ruutude  vahe valemit (a2-b2) = (a+b)(a-b). Saame
2
m (v + v′)(v − v′) = m (v − v′) .
2
1
1
1
1
1
1
1
16
Nüüd  jagame  mõlemaid pooli  (v − v′) -ga ( v′ = v  ei ole võimalik, sest sel juhul põrget ei
1
1
1
1
toimu ja teine keha jääb edasi paigale [kuulikesed liiguvad teineteisega paralleelselt]) ja saame
v′  arvutamiseks lihtsa võrrandi
1
m (v + v′) = m (v − v′) .
2
1
1
1
1
1
Viies otsitavaga  v′  liikmed ühele poole ja kiirusega  v  liikmed teisele poole, saame kiiruseks
1
1
m − m
1
2
v′ =
v
1
1  .
m + m
1
2
Selle asendamine  eespool  toodud  v′  avaldisse annab tulemuseks (jätame siinkohal arvutused
2
tegemata)
2 m1
v′ =
v
2
1  .
m + m
1
2
Arvutame nüüd tulemused 
50 − 30
′ =
v
) ⋅ )
5  m = 1,25 m/s ,
1
50 + 30
2 ⋅ 50
′ =
v
) ⋅ 5)  m = 6,25 m/s .
2
50 + 30
(Massiühikuid pole vaja teisendada, sest arvutamisel läheb vaja masside suhet.)
Vastus: kuulikeste kiirused peale põrget on vastavalt 1,25 m/s ja 6,25 m/s. Kuna tulemused on
plussmärgiga, liiguvad kuulikesed peale põrget esialgses suunas edasi.
Näidisülesanne 13.  Kuulike  massiga 30 g liigub kiirusega 5 m/s ja põrkub paigalseisva
kuulikesega massiga 50 g. Millised on kuulide kiirused peale põrget kui kuulid liiguvad samas
suunas ja tegemist on absoluutselt elastse tsentraalse põrkega?
Lahendus.
Teeme sama joonise, mis eelmise ülesande korral.
Antud:
m
30 g
1
m
50 g
2
v
5 m/s
1
v
0  m/s
2
′ =
v
? , ′ =
v
1
2
Põrkel kehtib alati kaks jäävusseadust – impulsi jäävuse seadus ja energia jäävuse seadus.
Kuna on tegemist absoluutselt elastse põrkega, on põrkuvate kehade kineetiliste energiate
17
summa jääv suurus, st. kineetiliste energiate summa enne põrget on võrdne kineetiliste
energiate summaga pärast põrget.
Paneme kõigepealt kirja impulsi jäävuse seaduse. Selle üldkuju on (enne põrget oli teine keha
paigal ja selle impulss võrdne nulliga)
r
r
r
r
r
r
p = p′ + p′
ehk
m v = m v′ + m v′  ,
1
1
2
1 1
1 1
2 2
r
r
kus  v ′  ja  v ′  on kuulikeste kiirused peale põrget.
1
2
Kuna kuulikesed liiguvad samas suunas, siis peale tsentraalset põrget liiguvad nad samas sihis
edasi. Seetõttu võime impulsi jäävuse kirjutada kujul (loeme põrkuva kuulikese kiiruse suunad
positiivseks)
m v = m v′ + m v′  .
1 1
1 1
2 2
Millised on kiiruste suunad peale põrget me esialgu ei tea, seetõttu oletame, et mõlemad
kuulikesed liiguvad peale põrget samas suunas edasi. Nii võib alati teha, sest hilisem arvutus
annab kiiruse tegeliku suuna: kui kiirus tuleb plussmärgiga, liigub keha meie poolt oletatud
suunas, kui aga kiirus tuleb miinusmärgiga, liigub keha peale põrget vastassuunas, ehk tagasi.
Energia jäävuse seadus on aga kujul
2
2
2
m v
m v′
m v′
1 1
1 1
2 2
 .
2
2
2
Kiiruste  v′  ja  v′  leidmiseks vajaminevad arvutused  tegime  läbi eelmises ülesandes, seetõttu
1
2
võtame sealt ka kiiruste valemid
m − m
1
2
v′ =
v
1
1  ,
m + m
1
2
2 m1
v′ =
v
2
1  .
m + m
1
2
Arvutamine annab tulemuseks
30 − 50
′ =
v
) ⋅ )
5  m/s = - 1,25 m/s ,
1
30 + 50
2 ⋅ 30
′ =
v
) ⋅ )
5  m/s = 3,75 m/s .
2
30 + 50
Kuna esimese kuulikese kiirus tuli miinusmärgiga, siis liigub see kuulike peale põrget
vastassuunas (tagasi).
Vastus: kuulikeste kiirused peale põrget on vastavalt - 1,25 m/s ja 3,75, mis tähendab, et
esimene kuulike liigub peale põrget tagasi kiirusega 1,25 m/s, teine kuulike hakkab liikuma
kiirusega 3,75 m/s edasi (pealelangeva kuulikese  esialgse  kiiruse suunas).
18
Kommentaar. Kahe kuulikese absoluutselt elastne põrge. Eeltoodud kaks näidisülesannet
iseloomustasid kahe kuulikese absoluutselt elastset põrget kui üks kuulike oli algul paigal.
Need ülesanded olid näiteks, kus füüsikalise sisu poolest lihtsate ülesannete lahendamine
nõudis suhteliselt  pikki   arvutusi . Üldiselt nii ongi, et iga ülesande korral peame kirja  panema
selle  sisule  vastavate füüsikanähtuste kohta käivad valemid ja  nendest  siis midagi  arvutama .
See viimane pool ülesandest on reeglina puhas matemaatika ja nõuab mingi võrrandi või
võrrandisüsteemi lahendamist. Siin tuleb kasutada oma teadmisi matemaatikast, sest võrrandite
või võrrandisüsteemide lahendamine käib matemaatikas õpitud reeglite järgi. Vahe on ainult
selles, et matemaatikas tähistatakse otsitavaid suurusi tavaliselt x, y või z, füüsikavalemis võib
aga otsitavaks suuruseks olla mistahes füüsikaline suurus (kiirus, kiirendus, jõud, jne). Seda
tavaliselt x, y või z-ga ei tähistata, kuid leitakse ta ikka  samade  matemaatikareeglite järgi
(Eelmised kaks ülesannet olid näited sellisest arvutusest).
Kui nüüd põrgete juurde tagasi tulla, siis nägime, et paigalseisev keha liigub peale põrget
samas suunas, kus liikus pealelangev kuul, edasi. Pealelangeva kuuli liikumise suund aga
sõltub kehade massidest. Kui pealelangeva keha mass on paigalseisva keha massist suurem,
liigub ta esialgses suunas edasi (kuid väiksema kiirusega), vastupidisel juhtumil (paigalseisva
keha mass on suurem) aga põrkub tagasi.
Üldjuhul kui mõlemad kehad enne
põrget liiguvad (vaata joonist), saab
tuletada järgmised lõppkiirusse
valemid (neid valemeid pole vaja
meelde jätta)
m v + m (2v − v )
m v + m (2v − v )
1 1
2
2
1
v′ =
2
2
1
1
2
v′ =
1
 , 
 .
m + m
2
m + m
1
2
1
2
Näidisülesanne 14. Kaks mitteelastset keha  massidega  2 kg ja 3 kg liiguvad samas suunas
vastavalt kiirustega 5 m/s ja 4 m/s. Kui suur on kehade kiirus pärast absoluutselt mitteelastset
põrget ja kui palju energiat kulus kehade deformeerimiseks?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise kehadest enne ja peale põrget (vasakul poolel on kujutatud
m
2 kg
1
kehad enne põrget, paremal pärast põrget). Absoluutselt  mitteelastne  põrge
m
3
tähendab seda, et kehad liiguvad peale põrget edasi ühe liitunud kehana.
kg
2
v
5 m/s
1
v
4 m/s
2
V = ?,
E
∆
19
Kirjutame välja impulsi jäävuse seaduse
r
r
r
m v + m v = (m + m V
)  ,
1 1
2
2
1
2
mis kehade liikumissuundasi arvestades annab
m v + m v = (m + m V
)  .
1 1
2
2
1
2
Siit saame valemi kiiruse arvutamiseks peale põrget
m v + m v
1 1
2
2
V =
 .
m + m
1
2
Arvutamine annab tulemuseks
2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 4
V
)  m/s = 4,4 m/s.
2 + 3
Järgnevalt vaatame energiaga seotud probleemi. Absoluutselt mitteelastsel põrkel kehtib ka
energia jäävuse seadus, ainult veidi keerukamal kujul kui elastsel põrkel. Enam ei ole kehade
kineetiliste energiate summa jääv suurus, sest deformeerumisel muutub veel kehade siseenergia
(põrkel kehad soojenevad ja selle tõttu nende siseenergia suureneb). Seetõttu võime energia
jäävuse seaduse kirjutada kujul
T = T + E
∆
e
p
 ,
2
2
m v
m v
(m + m ) 2
V
kus 
1 1
2
2
T =
 on kineetiliste energiate summa enne põrget, 
1
2
T =
e
2
2
p
2
kineetiline energia peale põrget ja  E
∆
 kehade siseenergiate muutus põrkel ehk kehade
deformatsiooniks  kulunud energia.
Arvutame kineetilise energia enne ja pärast põrget
2
2
m v
m v
2 ⋅ 52
3 ⋅ 42
1 1
2 2
T
)  J = 49,0 J,
e
2
2
2
2
m
m ) 2
V
(2 + )
3 ,
4 42
1
2
T
)  = 48,4 J.
p
2
2
Deformatsiooniks kuluv energia on võrdne kineetiliste energiate vahega
∆
−
E
T
T
( 4 ,
9 0 − 4 ,
8 4 )
e
p
J = 0,6 J .
Vastus: kehade kiirus peale põrget on 4,4 m/s ja deformatsiooniks kuluv energia 0,6 J
20
Näidisülesanne 15. Kaks mitteelastset keha massidega 2 kg ja 3 kg liiguvad teineteisele vastu,
kiirustega vastavalt 5 m/s ja 4 m/s. Kui suur on kehade kiirus pärast absoluutselt mitteelastset
põrget ja kui palju energiat kulus kehade deformeerimiseks?
Lahendus.
Antud:
Teeme joonise kehadest enne ja peale põrget. Ülemine pilt kujutab kehade
m
2 kg
1
liikumist enne põrget, alumine aga liikumist peale põrget, kus kehad
m
3
liiguvad peale põrget edasi ühe liitunud kehana.
kg
2
v
5 m/s
1
v
4 m/s
2
V = ?,
E
∆
Impulsi jäävuse seaduse üldkuju on sama, mis eelmise ülesande korral
r
r
r
m v + m v = (m + m V
) ,
1 1
2
2
1
2
skalaarne kuju, arvestades kehade liikumissuundi aga järgmine (võtame esimese keha kiiruse
suuna positiivseks)
m v − m v = (m + m V
)  ,
1 1
2
2
1
2
millest kiirus peale põrget
m v − m v
1 1
2
2
V =
 .
m + m
1
2
Arvutamine annab tulemuseks
2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 4
V =
= − ,
0 4 m / s  .
2 + 3
Nagu näha, on teineteisele vastu liikudes kiirus peale põrget oluliselt väiksem. Miinusmärk
tähendab lihtsalt seda, et antud juhul liiguvad kehad peale põrget teise keha liikumise suunas
(meie poolt alumisel joonisel toodud suunale vastupidiselt).
Energiaga on samamoodi, nagu eelmises ülesandes, kus kehad liikusid samas suunas.
Deformatsiooniks kuluv energia on algoleku ja lõppoleku kineetiliste energiate vahe
E
∆
= T − T
e
p  ,
kus
21
2
2
m v
m v
(m + m ) 2
V
1 1
2
2
T =
    ja    
1
2
T =
 .
e
2
2
p
2
Kineetiline energia enne põrget on sama, nagu eelmisel juhul
2
2
m v
m v
2 ⋅ 52
3 ⋅ 42
1 1
2 2
T
)  J = 49,0 J,
e
2
2
2
2
kineetiline energia pärast põrget
m
m ) 2
V
(2 + )
3 ,
0 42
1
2
T
)  J = 0,4 J.
p
2
2
Deformatsiooniks kuluv energia
∆
−
E
T
T
( 4 ,
9 0 − ,
0 4 )
e
p
 J = 48,6 J.
Vastus: kehade kiirus peale põrget on 0,4 m/s ja deformatsiooniks kuluv energia 48,6 J.
Võrreldes seda eelmise ülesandega, milles kehad ja nende algkiirused olid samad, on
otsekokkupõrkel (laupkokkupõrkel) kiirus pärast põrget üsna väike ja peaaegu kogu esialgne
kineetiline energia läheb kehade deformatsioonienergiaks.
Kommentaar. Autode kokkupõrge. Eelmised kaks ülesannet on kasulikud ka praktilises elus,
sest annavad ettekujutuse võimalikest kahjudest autode kokkupõrkel. Mida suurem on
deformatsioonienergia, seda suuremad on autode kahjustused. Tagant otsasõiduga
liiklusõnnetusi on kahjuks üsna palju, samuti ka autode laupkokkupõrkeid. Tagant otsasõidu
korral põrge enamasti absoluutselt mitteelastne ei ole, kuid autode kahjustused võivad olla
piisavalt suured, sõltuvalt sellest, kui palju energiat läheb kokkupõrkel
deformatsioonienergiaks (lihtne absoluutselt mitteelastse põrke mudel annab maksimaalse
deformatsioonienergia. Laupkokkupõrke korral on aga kahjud ülisuured, sest põrge on
enamasti absoluutselt mitteelastne ja nagu me viimases ülesandes nägime, läheb peaaegu kogu
autode esialgne kineetiline energia deformatsioonienergiaks (tagant otsa sõidul aga muutub
oluliselt väiksem osa esialgsest kineetilisest energiast deformatsioonienergiaks).
22
Näidisülesanne 16. Kaks kuulikest massidega 70 g ja 50 g ripuvad paralleelsete niitide otsas
nii, et nad puutuvad kokku. Esimene kuulike kallutatakse kõrvale nii, et tema masskese tõuseb
10 cm võrra ja lastakse lahti.  Millisele  kõrgusele tõusevad kuulikesed, kui põrge 1)oli elastne,
2) mitteelastne?
Lahendus.
Antud:
Antud ülesandes tuleb kasutada energia jäävust raskusjõu mõjul
m
70
g
0 07 kg
1
liikumisel, kui impulsi ja energia jäävust põrgetel. Teeme joonise,
m
50
g
0 05 kg
mis kajastab kuulide algolekut ja olekut, kus esimene kuul on
2
tõstetud 10 cm kõrgusele.
h = 10 cm = 0,1 m
g = 9,8 m/s 2
1) 
h
? ,
h
1
2
2) 
h
3
Kui esimene kuul lahti lasta, siis liikudes algasendisse tagasi, on ta saavutanud teatava kiiruse,
mis on arvutatav energia jäävuse seadusest raskusjõu mõjul liikumisel. Edasi kuulike põrkub
teise kuulikesega ja sõltuvalt põrke iseloomust saame leida, milliste kiirustega liiguvad
kuulikesed pärast põrget edasi. Kuulide lõppoleku saame jälle arvutada energia jäävusest.
Leiame kõigepealt esimese kuulikese kiiruse enne põrget. Kui kuulike on tõstetud kõrgusele h,
siis on tema potentsiaalne energia  E = m g h
p
1
. See läheb kuulikese kineetiliseks energiaks
2
2
m v
v
1 1
1
m g h =
⇒
g h =
 ,
1
2
2
millest esimese kuulikese kiirus vahetult enne põrget
v =
2 g h  .
1
Arvutades kiiruse, saame
v
( 2 ⋅ 8
9 ⋅ 1
0 )  m/s = 1,4 m/s.
1
Edasine sõltub sellest, millise põrkega on tegemist. Peale elastset põrget hakkavad kuulikesed
liikuma erinevate algkiirustega ja tõusevad kõrgusele, mis sõltub kuulikese kineetilisest
energiast. Mitteelastse põrke järel hakkavad kuulikesed liikuma ühe kehana ja tõusevad
kõrgusele, mis sõltub algsest kineetilisest energiast. Vaatame neid juhte eraldi.
23
1) Kuulide elastne põrge. Elastsel põrkel saame impulsi ja energia jäävusest arvutada
kuulikeste kiirused vahetult peale põrget. Siin on tegemist juhuga, kus üks põrkuvatest
kehadest on paigal  (
v
0) . Kiiruste valemeid me uuesti  tuletama  ei hakka, need on toodud
2
näidisülesandes 12:
m − m
2 m
1
2
1
v′ =
v ,
v′ =
v
1
1
2
1  .
m + m
m + m
1
2
1
2
Arvutame kuulikeste kiirused peale põrget
0 07 − ,
0 05
′ =
v
⋅ ,
1 4)
1
 m/s = 0,23 m/s ,
0 07 + ,
0 05
2 ⋅ ,
0 07
′ =
v
⋅ ,
1 4 )
2
 m/s = 1,63 m/s .
0 07 + ,
0 05
Kuna peale põrget liiguvad kuulikesed jälle
raskusjõu mõjul, kehtib mõlema jaoks energia
jäävuse seadus, mille kohaselt kuulikeste kõrguse määrab ära esialgne kineetiline energia.
Esimese kuulikese jaoks
2
2
m v′
v′
1 1
1
= m g h
⇒
= g h  ,
1
1
1
2
2
millest
v 2
′
h
1
1
 .
2 g
Analoogiliselt saame teise keha kõrguse arvutamiseks valemi
v 2
′
h
2
2
 .
2 g
Arvutamine annab
0 232
h
)  m = 0,03 m ,
1
2 ⋅ 8
9
1 632
h
)  m = 0,14 m .
2
2 ⋅ 8
9
24
2) Mitteelastne põrge. Mitteelastsel põrkel liiguvad kuulikesed edasi ühe kehana massiga
m + m . Kirjutame välja impulsi jäävuse seaduse põrkel
1
2
m v = (m + m )V .
1 1
1
2
Sellest saame kuulide kiiruseks vahetult peale põrget
m1
V =
v1  .
m + m
1
2
Arvutamine annab tulemuseks
0 07
V
⋅ ,
1 4 )  m/s = 0,82 m/s.
0 07 + ,
0 05
Edasine kuulikeste liikumine toimub samuti kooskõlas energia
jäävusega ja kuulikesed tõusevad koos kõrgusele
V 2
h =
3
 .
2 g
Arvutamine annab tulemuseks
8
0 22
h
)  m = 0,034 m.
3
2 ⋅ 8
9
Vastus: peale elastset põrget tõusevad kuulikesed vastavalt kõrgusele 0,003 m (0,3 cm) ja 0,14
m (14 cm), peale mitteelastset põrget aga kõrgusele 0,034 m (3,4 cm). Kui analüüsida veel
tulemusi, siis elastsel põrkel kuulikeste siseenergia ei muutu ja seetõttu kehtib energia jäävus
ka algoleku ja lõppoleku vahel  m gh = m gh + m gh , mitteelastsel põrkel läheb aga osa
1
1
1
2
2
energiast kuulikeste deformeerimiseks, mistõttu algoleku energia on suurem lõppoleku
energiast  m gh > (m + m )gh
1
1
2
3  (kontrollida!).
NB! Siin ülesandes me kasutasime jäävusseadusi kolm korda. Esimene kord siis kui kuul
kallutatakse kõrvale ja lastakse lahti. Kuul liigub raskusjõu mõjul ja saame rakendada
energia jäävuse seadust, et leida esimese kuulikese algkiirust enne põrget. Edasi toimub
kuulide põrge, mille korral peame rakendama sõltuvalt põrke iseloomust vastavaid
jäävusseadusi, et leida kuulide kiirused peale põrget. Sealt edasi liiguvad kuulid jälle
raskusjõu mõjul ja saame rakendada energia jäävuse seadust, et leida kui kõrgele kuulid
antud  algkiiruse  korral tõusevad.
25
NB! Valemid, mis on vaja kindlasti meeles pidada.
Impulss on vektor, mis on võrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega
r
r
p = mv  .
Isoleeritud süsteemis kehtib impulsi jäävuse seadus.
Muutumatu jõu korral avaldub töö järgmise valemiga
A = F s cos
 ,
kus s on keha poolt vaadeldava jõu mõjul läbitud teepikkus ja α on nurk jõu
mõjumise suuna ja keha liikumissuuna vahel.
Kui keha liigub, siis sõltuvalt kiirusest omistatakse talle kineetiline energia, mis
avaldub kujul
2
m v
E =
 .
k
2
Mistahes jõu töö on avaldatav lõpp- ja algoleku kineetilise energia vahena
2
2
m v
m v
2
1
A = E
− E
−
 .
k 2
k1
2
2
Raskusjõu korral avaldub keha potentsiaalne energia kujul
E = m g h
p
 ,
kus h on keha kõrgus vaadeldavast nullnivoost.
Elastsusjõu korral avaldub potentsiaalne energia kujul
2
k x
E =
 ,
p
2
kus x on  nihe  tasakaaluasendist.
Mehaanilises süsteemis, kui kehadele mõjuvad jõud nn konservatiivsed jõud (st
jõud, millel on potentsiaalne energia), on kineetilise ja potentsiaalse energia
summa jääv suurus
26
E = E + E = const.
k
p
Kui näiteks keha liigub raskusjõu mõjul, võime kirjutada
2
m v
E =
+ m g h = const.
2
27
Ülesandeid iseseisvaks lahendamiseks
3.1 Mürsk massiga 20 kg väljub kahurist, mille mass on 1 t, kiirusega 800 m/s. Milline on
kahuri tagasilöögi kineetiline energia lasu momendil? (162 kJ)
3.2 Kui suur on Maa kineetiline energia kui ta tiirleb Päikese ümber kiirusega 30 km/s?
(2,7· 1033  J)
3.3 Millise kiirusega jookseb  sprinter  massiga 70 kg kui tema kineetiline energia on 3500 J ?
(10 m/s)
3.4 Kui suure töö teeb inimene kõndides kümnendale korrusele? Inimese mass on 60 kg,
korruste vahe 3,7 m. (22 kJ)
3.5 Poiss massiga 40 kg sõidab alla 50 m  pikkuselt  mäenõlvalt kaldenurgaga 200. Kelgu mass
on 10 kg ja kelgu lõppkiirus 8 m/s. Kui suur oli sel juhul hõõrdejõudude töö? (6,8 kJ)
3.6  Ujuja  massiga 65 kg  kulutab  100 m läbimiseks 3000 J energiat. Kui palju sellest energiast
kulus veetakistuse ületamiseks, kui ujuja lõppkiirus oli 2 m/s? (2870 J)
3.7 Püssikuul, mille mass oli 10 g ja mis  lendas  kiirusega 800 m/s, lõi läbi 5 cm paksuse laua.
Kui suur oli löögi jõud, kui laua läbistamise tõttu kaotas kuul ¾ oma kiirusest? (28 kN)
3.8 Kui palju tööd tuleb teha, et venitada vedru, mis oli tasakaaluasendist 1 cm võrra välja
viidud  veel 5 cm pikemaks? Vedru jäikus on 200 N/m. (0,35 J)
3.9 Keha libiseb hõõrdumiseta mööda kaldpinda alla. Milline on keha kiirus hetkel kui ta on
läbinud poole teest? Kaldpinna kõrgus on 1 m, keha algkiirus oli võrdne nulliga. (3,1 m/s)
3.10 Auto kogumassiga 1,2 t sõidab kiirusega 54 km/h tagant otsa samasugusele paigalseisvale
autole . Oletades, et autode kokkupõrge on absoluutselt mitteelastne, leida autode kiirus peale
otsasõitu ja autode deformatsiooniks („mõlkimiseks”) kulunud energia. (7,5 m/s, 68 kJ)
3.10 Toimus kahe ühesuguse auto laupkokkupõrge. Leida autode kiirus peale kokkupõrget ja
deformatsiooniks („mõlkimiseks”) kulunud energia, kui mõlema auto mass on 1,2t ja autod
sõitsid mõlemad kiirusega 54 km/h. (0 m/s, 270 kJ)
28