DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS (0)

110
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7.1. Koormatud detaili tööseisundid
7.1.1. Sisejõudude analüüs
= detaili olek, mida iseloomustavad tema  sisepindadel esinevate
Detaili tööseisund:
sisejõudude hulk ja nendele vastavad deformatsioonid
Eelnevast :
Sisejõud = koormatud detaili sisepindadel (materjali sees) mõjuvad jõud, mis
takistavad selle detaili deformeerumist ja purunemist
Sisepindadel mõjuvate sisejõudude tüübid, suunad ja väärtused määratakse nn.
lõikemeetodiga.
Lõikemeetod:
= detaili (või konstruktsiooni) jaotamisega osadeks käsitletakse
(ka nn. sidemetest
sisejõudusid välisjõududena ning nad määratakse
vabastamise printsiip)
tasakaalutingimustest
Teoreetilisest
Iga jõusüsteemi saab esitada peavektori ja
mehaanikast:
peamomendi kaudu
Sisejõudude peavektorit ja peamomenti
Sisejõu projektsioonid kesk-peateljestikus
kirjeldatakse projektsioonidena
keskpeateljestikus (Joon. 7.1), mis on
määratud sisepinna keskpeateljestiku (yz-
Sisepind
teljestik ) ja sisepinna normaaliga (x- telg ):
My
z
Qz
•  pikijõud N ⎯ mõjub sisepinnaga
risti selle keskmes;
Pinnakese
•  põikjõud Qy ja Qz ⎯ mõjuvad
N
Qy
pinnakeskmes piki sisepinda
M
x
Kesk-
z
T
peateljestik
kesk-peatelgede sihis;
y
•  väändemoment T ⎯ mõjub
sisepinnal pööravalt ümber
Joonis 7.1
sisepinna normaali ;
•  paindemomendid My ja Mz ⎯ mõjuvad pööravalt sisepinnaga risti ümber
sisepinna kesk-peatelgede
Sisepinnal üheaegselt mõjuvate sisejõudude arvust lähtuvalt jagunevad
tööseisundid üldiselt kaheks:
Lihttööseisundid:
⎯ detaili lõigetes mõjub vaid üks sisejõud (N või Q või T või
M) või teiste sisejõudude mõju saab lugeda tühiseks
Liittööseisundid:
⎯ detaili lõigetes mõjub mingi sisejõudude kombinatsioon
Priit Põdra, 2004
111
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7.1.2. Lihttööseisundid
Lihttööseisunditeks loetakse:
•  tõmme ja surve (ehk pike ) ⎯ detailis mõjub vaid pikijõud N;
•  vääne
⎯ detailis esineb vaid väändemoment T;
•  puhas paine
⎯ detailis mõjub ainult üks paindemoment  M;
•  lõige
⎯ lühikeses detailis ( vardas ) mõjub vaid põikjõud Q;
“Puhas” lõige tekib vaid põik-koormatud varda sellisel lühikesel osal, kus
paindemomendi mõju on väike.
Lõige (tegelikult) = suure põikjõu Q ja
Põikjõuga Q kaasneb alati
väikese paindemomendi M koosmõju
paindemoment M
Iga sisejõud on seotud eripärase tööseisundi ja deformatsiooni  tekkimisega detaili
materjalis ning spetsiifilise purunemismehhanismiga avarii korral (Joon.7.2).
Pike
Puhas lõige
Vääne
Puhas paine
1. Ristlõiked jäävad tasapinnalisteks, v.a. mitte-ümarvarraste väändel ( Bernoulli hüpotees);
2. Ristlõigete kuju ei muutu;
3. Ristlõigete pindala ei muutu;
4. Ristlõiked jäävad risti detaili teljega ;
5. Ristlõiked jäävad paralleelseteks;
5. Ristlõiked kalduvad;
6. Detaili telg jääb sirgeks
6. Detaili telg kõverdub
7. Varda pikkus muutub
7. Varda telgpikkus ei muutu
Normaaldeformatsioon
Nihkedeformatsioon
Normaaldeformatsioon
Survedeformatsioon
Lõikedeformatsioon
Väändedeformatsioon
Paindedeformatsioon
Lõige
Lõige
M
Lõige
Lõige
M
M
F
N x
F
Q
z
y x
T
Tõmbedeformatsioon
x
Lõige
y
y
x
x
F
N
Ristlõiked lähenevad
Ristlõiked kulgevad üksteise
Ristlõiked pöörduvad
Ristlõiked pöörduvad
üksteisele või kaugenevad
suhtes detaili telje ristsihis
üksteise suhtes detaili telje
üksteise suhtes ristlõike
üksteisest detaili telje sihis
ümber
kesk-peatelgede ümber
Survepurunemine
Lõikepurunemine
Väändepurunemine
Paindepurunemine
M
M
F
M
F
F
M
Tõmbepurunemine
F
F
F
Joonis 7.2
7.1.3. Liittööseisundid
Liittööseisundi korral mõjub detaili ristlõigetes üheaegselt mitu sisejõudu ning kõik nad
kaasatakse tugevusanalüüsi.
Priit Põdra, 2004
112
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
Levinumad liittööseisundid on (Joon. 7.3):
•  põikpaine 
⎯ koos mõjuvad paindemoment ja põikjõud: Mz ja Qy või My
ja Qz;
•   vildakpaine
⎯ koos mõjuvad kaks paindemomenti koos võimalike
põikjõududega: Mz ja My, võivad lisanduda Qy ja/või Qz;
•   ekstsentriline pike ⎯ koos mõjuvad pikke ja painde sisejõud: N ja Mz ja/või
My;
•  vääne paindega  ⎯ koos mõjuvad väände ja painde sisejõud: T ja Mz ja/või My,
võivad lisanduda Qy ja/või Qz.
Kõiki muid sisejõudude kombinatsioone nimetatakse ühiselt:
 sisejõudude koosmõju üldjuhtum
JÕU MÕJU SÕLTUMATUSE PRINTSIIP:
Liittööseisundi saab jagada lihttööseisunditeks, mille üksiklahendid hiljem
ühendatakse selle liittööseisundi lahendiks
Põikpaine
Vildakpaine
Ekstsentriline pike
Vääne paindega
F
F
Lõige
F
M
F
Lõige
Qy
Lõige
Lõige
M
T
z
x
My
My
Mz
y
z
z
N
x
M
x
z
y
x
M
M
y
z
y
y
z
Paine ja lõige ühes
Paine või põikpaine mõlemas
Pike ja paine ühes või
Vääne ja paine ühes või
peatasandis
peatasandis
mõlemas peatasandis
mõlemas peatasandis
Joonis 7.3
7.2. Pingeteooria ehk koormatud detaili pingete analüüs
7.2.1. Sisejõud ja pinged
Eelnevast:
Nihkedeformatsioonidega kaasnevad nihkepinged (τ = Gγ)
Normaaldeformatsioonidega kaasnevad normaalpinged (σ = Eε)
Sisejõu (N, T, Q või M) väärtus iseloomustab
Pinge = koormatud detaili sisejõu
antud sisepinna keskmesse koondunud
intensiivsus  sisepinna mingis
osakestevaheliste elementaarsisejõudude
punktis
resultanti:
•  elementaarsisejõudude väärtused selle sisepinna erinevates punktides ei pruugi
olla võrdsed (mõned sisepinna osad on rohkem koormatud, kui teised ⎯ sõltuvalt  koormustest );
Priit Põdra, 2004
113
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
•  nende elementaarsisejõudude väärtuste laotumise iseloomu üle selle sisepinna
iseloomustab vastava pinge matemaatiline funktsioon (Joon. 7.4);
•  sisejõu väärtuse saab pinge avaldist integreerides (samale sisejõu väärtusele võivad
vastata mitu pinge funktsiooni ⎯ seetõttu ei saa pinge avaldist tuletada sisejõu väärtusest);
•  sisejõud ja nendele vastavad pinged on seotud staatiliste seoste abil.
Pike
Lõige
Vääne
Paine
T
Qy
Mz
z
N x
z
x
z
x
y
y
x
y
σ epüür
τ
y epüür
τ epüür
 epüür
z
z
z
z
y
y
y
y
Staatilised seosed
⎧Q = τ dA
⎧M = zdA
y
∫ xy
y
∫
N = ∫ dA
⎪
T = ∫(τ z −τ y dA
⎪
xy
xz
⎨
A
⎨
A
A
⎪Q = τ dA
A
M =
ydA
z
∫ xz
⎪ z ∫
⎩
A
⎩
A
Joonis 7.4
7.2.2. Peapinnad ja peapinged
PROBLEEM:
Teada on koormatud varda ristlõigete pingelaotused
Vaja on arvutada detaili materjalis mõjuvate pingete suurimad väärtused!
Detaili mingis punktis mõjuvate pingete kombinatsioon, nende tüübid (normaalpinged
ja/või nihkepinged), suunad ja väärtused sõltuvad sellest, missugust  (antud punkti läbivat)
sisepinda analüüsitakse (Joon. 7.5). Erinevate võimalike sisepindade hulk on lõpmatu,
selle lõpmatu hulga pinged on aga omavahelises sõltuvuses.
Koormatud detail
Elementaar -risttahukas
 
Elementaar-risttahukas
τ
y
yx
F  
F
1
3
Pind 4 
Pind i 
x
τxy
Pind 4
σx
σx
F5
τxy
Pind 3 
F  
Pind 1 
F
τyx
2
4
y
σy
Pind 2 
Pind 1
Joonis 7.5
Priit Põdra, 2004
114
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
Pingus  = detaili
= koormatud detaili mingi punkti pingete hulk, mis kõik
punkti pingeseisund:
mõjuvad erinevates suundades (nende arv on lõpmatu)
Ühtlane pingus:
= varda seisund, kus sama kaldega pindadel mõjuvad
( homogeenne )
kogu varda ulatuses võrdsed pinged
Pingused jagunevad keerukuse järgi:
Pinguse peasiht = pinguse peapinge siht
•  joonpingused;
•  liitpingused, mis omakorda
ƒ  tasandpingused,
jagunevad:
ƒ  ruumpingused.
= seisukohad, mis annavad seosed pingete vahel sama punkti
Pingeteooria
läbivatel (erinevatel) kaldpindadel
Peapinnad = varda sellised sisepinnad,
Peapinged = peapindadel mõjuvad
millel nihkepinged puuduvad (τ = 0)
normaalpinged (tõmme ja/või surve)
ON TEADA, ET:
Koormatud varda igas punktis esineb
Peapingeid tähistatakse:
kolm ristuvat peapinda (peapindade
σ 
kolmikuid võib olla rohkem või lõpmatult palju)
1, σ 2 ja σ 3 nii, et:σ 1 ≥ σ 2  ≥ σ 3
ON TEADA, ET:
Kaks peapinget on alati ekstreemsed  normaalpinged (algebraliselt suurim ja vähim)
antud punktis (σ  > 0   ⎯ max tõmme,  σ  7.2.3. Tasandpingus
Tasandpingus (kahemõõtmeline pingus) = detaili antud punktis mõjub kaks nullist erinevat
peapinget (Joon. 7.6)
Tasandpingusteks on puhas vääne ja paine. Üldine analüüs on järgnevalt toodud
tasapinnalise painde näitel.
PROBLEEM:
Teada on koormatud varda punktis K ristlõikepinna pinged;
Vaja on selle punkti K suurimate pingete (peapingete σ1 ja σ2 ning
suurima nihkepinge  τmax) väärtusi ja suundi
Priit Põdra, 2004
115
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
Tasandpingusega varras
Ristlõige
2-mõõtmeline kujutis
F
 
F
K
h
y
z
K
K
y
Punkti K pingus
Tasandpingus
Peapinnad ja peapinged
K
τ
 
τ
 
K 
K
σ2
τ 
σ1
σ 
σ 
σ3 = 0
τ
 
τ
1
 = 0
τ
τ
 
2
Joonis 7.6
Tasandpinguses ja tasakaalus varda puhul:
•  varda iga mahuelement (Joon. 7.7) on ka tasakaalus:
Tasandpinguses varda mahuelement
Sisejõud kaldpinnal punktis K
τ
K
n
y
yx
Qxy
dA x
N
x
τ
xy
N
Q
x
σx
x
τ
dA
xy
τ
y
yx
dA
y
y
Ny
Qyx t
Joonis 7.7
•  suurim normaalpinge (peapinge) mõjub mingil kaldpinnal (ristlõikepinna suhtes);
•  selle kaldpinna normaalpinge σ väärtuse saab arvutada taskaalutingimusest,
kui ristlõikepinna pinged σx ja τxy ning pikilõike pinged σy ja τyx on teada:
⎪⎧∑ F = 0 ⇒ N − N cosφ − N sinφ + Q sinφ + Q cosφ = 0
⎨
n
x
y
xy
yx
⎪⎩ ∑ F = 0 ⇒Q − N sinφ − N cosφ +Q cosφ +Q sinφ = 0
t
x
y
xy
yx
•   lugedes pingete laotused üle kaldlõikega mahuelemendi külgede (pindaladega
dA,dAx ja dAy) ühtlasteks saab sisejõud avaldada (mahuaelemendi külgede pindalad on
seotud trigonomeetriliste valemitega ):
⎧N = σdA
⎧N = σ dA
⎧N = σ dA
⎧dA = dAcosφ
⎨
,    ⎨ x
x
x    
y
y
y
x
ning     ⎨
, milledes  ⎨
⎩Q = τdA
⎩Q = τ dA
Q = τ dA
dA = dAsin φ
xy
yx
x
⎩ yx
xy
y
⎩ y
•  kaldpinnaga mahuelemendi tasakaalutingimused punktis K tulevad nüüd:
Priit Põdra, 2004
116
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
⎪⎧σdA = σ
2
dA cos φ +σ
2
dAsin φ − τ
2
dAsin φ cosφ
⎨
x
y
xy
⎪τdA = σ dAsin φ cosφ −σ dAsin φ cosφ +τ
x
y
xy
( 2
dA cos φ −
2
sin φ )
⎩
ehk
⎪⎧σ = σ
2
cos φ + σ
2
sin φ − τ
2
sin φ cosφ
⎨
x
y
xy
    ehk
⎪τ = σ sin φ cosφ −σ sin φ cosφ +τ
x
y
xy (
2
cos φ −
2
sin φ )
⎩
⎧σ = 1 (σ +σ
x
y )+ 1 (σ
−σ
x
y )
⎪
cos φ
2 −τ sin φ
2
xy
⎨
2
2
⎪τ = 1 (σ −σ
x
y )sin
2 +τ cos φ
2
⎩
2
xy
•  normaalpinge suurim väärtus σmax = σ1 on sellise nurga φσ korral ristlõike
suhtes (peapinna kaldenurk ristlõike suhtes), kus tuletis  dσ/dφ = 0:
dσ
2τ
= −(σ −σ )sin φ
2 − τ
2
cos φ
2 = 0     ⇒ tan2φ = −
xy
d
x
y
xy
σ −σ
x
y
•  nihkepinge suurim väärtus τmax on sellise nurga φτ korral, kus tuletis dτ/dφ = 0:
dτ
2τ
= (σ −σ )cos φ
2 − τ
2
sin φ
2 = 0
    ⇒ cot 2φ =
xy
d
x
y
xy
τ
σ −σ
x
y
•  asendades nurga φσ  avaldise tasakaaluvõrrandisse σ jaoks, saab tasandpinguse
peapingete arvutusvalemid:
⎧
2
⎪
σ +σ
x
y
⎛
−
x
y ⎞
σ = σ
+ 2
τ
⎪⎪ 1
max
⎜⎜
⎟⎟
2
2
xy
Tasandpinguse peapinged:   
⎝
⎠
⎨
σ +σ
x
y
⎛
−
x
y ⎞ 2
⎪σ = σ
−
+ 2
τ
⎪ 2
min
⎜⎜
⎟⎟
xy
⎩
2
⎝
2
⎠
Tasandpinguse peapindade asend
1
⎛
τ
2
⎞
φ =  arctan ⎜−
xy
⎟
ristlõike suhtes:
2
⎝⎜ σ − σ
x
y ⎠
⎟
kus: σ1 ja σ2 ⎯ suurima ja vähima väärtusega normaalpinge (peapinged)
varda antud punktis, [Pa];
σx 
⎯ normaalpinge varda antud punkti läbivas ristlõikes, [Pa];
σy 
⎯ normaalpinge varda antud punkti läbivas pikilõikes, [Pa];
τxy 
⎯ nihkepinge varda antud punkti läbivas ristlõikes, [Pa];
τyx 
⎯ nihkepinge varda antud punkti läbivas pikilõikes, [Pa];
φσ
⎯ σ1 ja σx sihtide vaheline nurk, [rad].
•  peapingete ja suurimate nihkepingete pindade
kaldenurgad, s.t. nurgad φ
tan φ
2
= −cot φ
σ ja φτ erinevad 45° võrra
2 τ ;
(Joon. 7.8):
Suurima nihkepingega lõige on peapindade suhtes alati 45° võrra kaldu
Priit Põdra, 2004
117
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
Tasandpinguse peapinnad ning peapinged
Max nihkepinged τmax pindadel, mis
peapindadest 45° kaldu
K
2
1τ
K
2τ
τmax
τmax
45°
1
σ1
τ = 0
τmax
τmax
τ = 0
σ2τ
2
1τ
Joonis 7.8
•  asendades nurga φτ avaldise tasakaaluvõrrandisse τ jaoks, saab suurima
nihkepinge arvutusvalemi:
2
⎛σ −σ
x
y ⎞
σ −σ
Tasandpinguse suurim nihkepinge:    
2
1
2
τ
+τ =
max
⎜⎜
2
⎟⎟
xy
2
⎝
⎠
Tasandpinguse suurima nihkepinge suund
1
⎛σ −σ ⎞
φ =
⎜ x
y
arctan
⎟
ristlõike suhtes:
τ
⎜
⎟
2
⎝
τ
2 xy ⎠
7.2.3.1.  Põikpainde peapinged
Põikpainde korral on ristlõike sisejõududeks paindemoment M ja põikjõud Q, millele
vastavad normaalpingete laotus  σM ja lõikepingete laotus τQ (Joon. 7.9). Igas detaili
materjali punktis:
•  mõjub ristlõikepinnal normaalpinge σ = σ ;
x
M
•  mõjub ristlõikepinnal ja pikilõikepinnal nihkepinge τ =τ =τ ;
xy
yx
Q
•  pikilõikepinnal normaalpinge puudubσ = 0 :
y
Põikpainde ristlõike pingete epüürid
Peapinged
Suurim nihkepinge
2
M,max
M  epüür
τQ epüür
⎛ σ ⎞
σ −σ
1
2
M
M
2
σ =
+ ⎜
⎟ + τ
τ
max
1
2
2
⎝ 2
Q
⎠
τQ,max
2
⎛ σ ⎞
2
⎛ σ ⎞
M
2
= ⎜
⎟ +τ
M
M
2
σ =
− ⎜
⎟ + τ
⎝ 2
Q
⎠
2
z
2
⎝ 2
Q
⎠
1
τ
2 Q
y
Peapindade kaldenurk: 
= arctan−
M,max
2
σ M
Joonis 7.9
Priit Põdra, 2004
118
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7.2.3.2.  Puhta väände peapinged
Puhta väände korral on ristlõike sisejõuks väändemoment T millele vastab nihkepingete
laotusτT (Joon. 7.10). Igas ümarvarda materjali punktis:
•  mõjub ristlõikepinnal ja pikilõikepinnal nihkepinge τ = τ = τ ;
xy
yx
T
•  ristlõikepinnal ja pikilõikepinnal normaalpinge puudub σ = 0  ja σ = 0 :
x
y
Puhta väände ristlõike nihkepinge epüür
Peapinged
Suurim nihkepinge
 τT  epüür
σ =τ
 τ
1
T
T,max
τ
=τ
max
T
= τ
−
2
T
Peapindade kaldenurk
T
o
φ = 45
−
D
τT,max
Joonis 7.10
Eelnevast:
Puhta väände suurimad normaalpinged mõjuvad pinnal, mis on ristlõike
suhtes 45° kaldu (ehk peapinnad on ristlõikepinna suhtes 45° kaldu)
7.2.4. Joonpingus
Joonpingus:
= koormatud detaili antud punktis on ainult üks nullist erinev
(ühemõõtmeline pingus)
peapinge (σ1 ≠ 0; σ2 = 0; σ3 = 0)
Joonpingust võib analüüsida kui tasandpinguse
Joonpinguse peapind
erijuhtu 
= varda ristlõikepind
(Joon. 7.11), võttes tasandpinguse peapingete
avaldistes vastavad pingeväärtused võrdseteks nulliga.
Koormatud detail
Punkti K joonpingus
K
Ristpindadega mahuelement
2 = 0
varda sees punktis K
τ = 0
K
σ3 = 0
σ1
τ = 0
τ = 0
K
σ1
σ1
τ = 0
τ = 0
Joonis 7.11
Priit Põdra, 2004
119
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7.2.4.1. Pikke peapinge
Pikke korral on ristlõike sisejõuks pikijõud N, millele vastab normaalpinge laotus σN
(Joon. 7.12). Igas detaili materjali punktis:
•  mõjub ristlõikepinnal normaalpinge σ = σ ;
x
N
•  ristlõikepinnal ja pikilõikepinnal nihkepinge puudub τ = τ = 0
xy
yx
•  pikilõikepinnal normaalpinge puudubσ = 0 :
y
Pikke ristlõike normaalpinge epüür
Peapinged
Suurim nihkepinge
σN epüür
σ = σ
1
N
N
τ
σ =
max
0
2
2
Peapindade kaldenurk
a
σN
φ = 0
Joonis 7.12
kus:   N  ⎯ varda ristlõike
Pikke peapinge:
N
σ = σ
= σ =
sisejõud, [N];
(tõmme või surve)
1
max/ min
A
A   ⎯ varda ristlõike
pindala, [m2];
σ   ⎯ ristlõike normaalpinge ( pikkepinge ) antud punktis, [Pa].
7.2.4.2. Puhta painde peapinge
Puhas paine tekib, kui detaili painutavateks koormusteks on üksikpöördemomendid M
ja põikkoormused puuduvad. Siis on ristlõike sisejõuks paindemoment M, millele
vastab normaalpinge laotus σM (Joon. 7.134). Igas detaili materjali punktis:
•  mõjub ristlõikepinnal normaalpinge σ = σ ;
x
M
•  ristlõikepinnal ja pikilõikepinnal nihkepinge puudub τ = τ = 0
xy
yx
•  pikilõikepinnal normaalpinge puudubσ = 0 :
y
Puhas paine ja ristlõike normaalpinge epüür
b
σM epüür
M
σM,max
M
h
z
Μ epüür
y
σM,max
Peapinged
Suurim nihkepinge
Peapindade kaldenurk
σ = σ
1
M
σ M
τ
φ =
0
= 0
max
2
2
Joonis 7.13
Priit Põdra, 2004
120
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
7.2.5. Ruumpingus ja üldistatud  Hooke ’i seadus
Ruumpingus (kolmemeõõtmeline pingus) = varda mingi punkti pingeseisund, mis on
määratud kolme nullist erineva peapingega
Ruumpingust analüüsitakse kolme tasandpinguse kombinatsioonina (Joon. 7.14), kus
suurimad nihkepinged (ehk peanihkepinged) τ1, τ2 ja τ3 mõjuvad pindadel, mis on vastavate
peapindade suhtes 45° kaldu.
Ruumpingus
Kolm tasandpingust
Peanihkepinged
3 σ
3
σ − σ
3
2
3
τ =
1
45°
2
σ − σ
2
1
1
3
τ =
2
2
τ
1
3
2
σ − σ
2
1
τ =
3
1
2
τ3
1
2
2
3
3
Suurim peanihkepinge
2
τ2
σ1
στ1
σ − σ
τ
= τ = 1
3 ,
max
2
2
45°
kuna
1
1
τ
τ
2
1
2
45°
2
σ 
3
3
1 ≥ σ 2  ≥ σ 3
Joonis 7.14
Suvaliselt koormatud detailis saab igas punktis määratleda (leida vastav asend materjali sees)
ning mõtteliselt eraldada elementaarmõõtmetega kuubi (Joon. 7.15), mille kõikidel
külgedel mõjub vaid normaalpinge (peapinge  = tõmme või surve) ja nihkepinge puudub.
Sellele kuubile saab kirjutada üldistatud Hooke’i seaduse.
Pinguse peasihtides kuup
Joonpinguse Hooke’i seadus
σ 3
ε
3
1
ε
1
= σ
ε3
E
Üldistatud Hooke’i seadus peasuundades
⎧ε = 1 σ µ σ σ
1
[ −
1
( +
2
3 )]
⎪
E
1
⎪⎪
1
2
⎨ε =
µ σ
2
[ −
2
( +
3
1 )]
E
1
2
⎪
ε
1
2
⎪ε = σ µ σ σ
3
[ −
3
( +
1
2 )]
⎪⎩
E
1, 2, 3 ⎯ pinguse peasihid;
ε1, ε2, ε3   ⎯ suhtelised peadeformatsioonid;
E
⎯ materjali  elastsusmoodul , [Pa];
σ1, σ2, σ3  ⎯ peapinged, [Pa].
µ
⎯ materjali Poisson’i tegur;
Joonis 7.15
Priit Põdra, 2004
121
Tugevusanalüüsi alused ⎯     7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
Suhteline 3-mõõtmeline
= peapingete poolt tekitatud suhteliste
deformatsioon :
normaaldeformatsioonide summa (pingete
(konstruktsiooni mingis punktis)
superpositsiooni printsiibi alusel)
Peadeformatsioonid =
Kui σ 1 ≥ σ 2  ≥ σ 3, siis 
ε 1 ≥ ε 2  ≥ ε 3
deformatsioonid pinguse peasihtides
τ
ε
⎧ = 1 σ − µ σ +σ ;γ =
x
[ x ( y z)]
xy
⎪
E
xy
G
⎪⎪
1
τ
Üldistatud Hooke’i seadus (xyz-teljestikus):    ε
⎨ =
σ − µ σ +σ
y
[ y ( z x)]
yz
E
yz
G
⎪
1
τ
ε
⎪ = σ − µ σ +σ ;γ =
z
[ z ( x y)]
zx
⎪⎩
E
zx
G
kus: εx, εy, εz
⎯ telgedesihilised suhtelised normaaldeformatsioonid;
γxy, γyz, γzx ⎯ suhtelised nihkedeformatsioonid;
σx, σy, σz ⎯ telgedesihilised normaalpinged, [Pa];
τxy, τyz, τzx ⎯ nihkepinged ristpindadel, [Pa];
G
⎯ materjali nihkemoodul, [Pa].
Priit Põdra, 2004

Document Outline

• 7. DETAILI TÖÖSEISUNDID JA PINGETE ANALÜÜS
  • 7.1. Koormatud detaili tööseisundid
    • 7.1.1. Sisejõudude analüüs
    • 7.1.2. Lihttööseisundid
    • 7.1.3. Liittööseisundid
  • 7.2. Pingeteooria ehk koormatud detaili pingete analüüs
    • 7.2.1. Sisejõud ja pinged
    • 7.2.2. Peapinnad ja peapinged
    • 7.2.3. Tasandpingus
      • 7.2.3.1. Põikpainde peapinged
      • 7.2.3.2. Puhta väände peapinged
    • 7.2.4. Joonpingus
      • 7.2.4.1. Pikke peapinge
      • 7.2.4.2. Puhta painde peapinge
    • 7.2.5. Ruumpingus ja üldistatud Hooke'i seadus