Matemaatilise analüüsi kollokvium II spikker(2LK) (1)

1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning 
Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse  rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline 
summa  tuletis  on tuletiste  summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad 
positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1)  f (x) > f (x2). 
toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena 𝑦′ = lim ∆𝑦 komponendid, saame  
∆𝑥→0 ∆𝑥
Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline δ > 0,
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) + 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) − [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ∆𝑥) −
 𝑔(𝑥). 𝑇𝑒𝑖𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑚𝑚𝑢𝑛𝑎 ∆𝑦 = 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥+∆𝑥)− 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) +  𝑔(𝑥+∆𝑥)− 𝑔(𝑥) kolmandana 
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
 
saame aga, et  𝑦′ = lim [𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) +  𝑔(𝑥+∆𝑥)− 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) lim  𝑔(𝑥+∆𝑥)− 𝑔(𝑥) =
Lause: Kui f′ (a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a.  Kui f′(a) = c  0, et 
. Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis 
*Jagatise tuletise valemi  tuletus : 
suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 
𝑓(𝑥+∆𝑥)
𝑓(𝑥)
− 
(𝑓(𝑥) ) ′ =  lim 𝑔(𝑥+∆𝑥) 𝑔(𝑥)=  lim (𝑓(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+∆𝑥) = 
8).( Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus). 
𝑔(𝑥)
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)∆𝑥
Rolle’i  teoreem  
(𝑓(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))−(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)) 
= lim
=  = lim (𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥))𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)(𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥))  =
Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja  diferentseeruv  vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis 
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)∆𝑥
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)∆𝑥
(𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥))
(𝑔(𝑥+∆𝑥)−𝑔(𝑥))
leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. 
𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)
 
  lim
∆𝑥
∆𝑥
=  𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥)− 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)  
Tõestus. :Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, 
∆𝑥→0
𝑔(𝑥+∆𝑥)𝑔(𝑥)
𝑔2(𝑥)
3).( Liitfunktsiooni tuletise valemi  tuletamine . Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. 
siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole  konstantne  funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt 
Logaritmilise tuletise valemi tuletamine(. 
üks  ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b). 
. Lause: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud  tuletised  vastavalt kohtadel x ja 
Cauchy keskväärtusteoreem:Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad 
vahemikus (a; b),  kusjuures  g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et 
𝑑𝑔(𝑓(𝑥))
𝑑𝑔(𝑓(𝑥))
f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures 
∗ 𝑑𝑓(𝑥) =
𝑑𝑥
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑔´(𝑓(𝑥)) ∗ 𝑓´(𝑥). Tõestus: Tähistame u=f(x). Siis y=g(u) ning 𝑦´ = 𝑑𝑦 = lim ∆𝑦 =
𝑑𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑥
 
  lim ∆𝑦 ∗  ∆𝑢 =  lim ∆𝑦 ∗ lim ∆𝑢 =   [𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑠𝑒𝑒𝑟𝑢𝑣𝑢𝑠𝑒𝑠𝑡 𝑗ä𝑟𝑒𝑙𝑑𝑢𝑏 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑣𝑢𝑠] =
9).( Lagrange 'i keskväärtusteoreem): Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja 
∆𝑥→0 ∆𝑢
∆𝑥
∆𝑥→0 ∆𝑢
∆𝑥→0 ∆𝑥
diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub  punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a) Tõestus: 
lim ∆𝑦 ∗   lim ∆𝑢 = 𝑑𝑦 ∗ 𝑑𝑢   = 𝑔´(𝑓(𝑥)) ∗ 𝑓´(𝑥). LAUSE: Kui lõigul [𝑎, 𝑏]pideval ja rangelt 
∆𝑢→0 ∆𝑢
∆𝑥→0 ∆𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni 
monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -
 L(x): = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)(𝑥 − 𝑎)+ f(a). Funktsioon g=f-L  rahuldab  Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub 
𝑏−𝑎
1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures𝑑𝑓−1(𝑦) = 1  𝑒ℎ𝑘 𝑑𝑥 =
1
. Tõestus: Leiame 
selline punkt c ∈ (a,b), kus 0= g´(c) = f´(c)-L´(c)=f´(c)- 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎) 
𝑑𝑦
𝑓´(𝑥)
𝑑𝑦
(𝑑𝑦/𝑑𝑥)
𝑏−𝑎
funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x): 𝑑𝑓−1(𝑦)             lim ∆𝑥 = [𝐹𝑢𝑛𝑘𝑡𝑠𝑖𝑜𝑜𝑛𝑖𝑙 𝑦 =
10).Cauchy keskväärtusteoreem Tõestus: Kasutame Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Selleks 
𝑑𝑦
∆𝑦→0 ∆𝑦
defineerime abifunktsiooni h(x):=(f(b)-f(a))g(x)- (g(b)-g(a))f(x). Lagrange´i 
𝑓(𝑥)𝑙𝑒𝑖𝑑𝑢𝑏 𝑝öö𝑟𝑑𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑠𝑖𝑜𝑜𝑛 𝑥 =
keskväärtusteoreemi põhjal leidub selline punkt c ∈ (a,b), kus 0=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))- (g(b)-
𝑓−1(𝑦), 𝑚𝑖𝑠 𝑜𝑛 𝑝𝑖𝑑𝑒𝑣 𝑙õ𝑖𝑔𝑢𝑙 𝑜𝑡𝑠𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑑𝑒𝑔𝑎 𝑓(𝑎)𝑗𝑎 𝑓(𝑏), 𝑘𝑢𝑠𝑗𝑢𝑢𝑟𝑒𝑠 ∆𝑦 → 0 ⇔ ∆𝑥 → 0] =
g(a))(f(b)-f(a)=h(b)-h(a)=h´(c)(b-a)=[(g(b)-g(a))f´(c)-(f(b)-f(a))g´(c)](b-a). Lähtudes 
∗  lim 1
tõestuse käigus saadud avaldisest võime anda Cauchy keskväärtusteoreemi kujul: 
∗   lim
1
∆𝑥→0
1
1
= 1  ∎logaritmiline tuletis Lause:Kui 
Lause(Cauchy keskväärtusteoreemi alternatiivne  sõnastus): Kui funktsioonid f ja g on pidevad 
∆𝑥→0 (∆𝑦/∆𝑥)
∗  lim (∆𝑦/∆𝑥)
(𝑑𝑦/𝑑𝑥)
(𝑑𝑓(𝑥)/𝑑𝑥)
𝑓 ´(𝑥)
∆𝑥→0
lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b)punkt c, et ((f(b)-f(a))g´(c) = ((g(b)-g(a))f´(c). 
f(x)D(X) ja f(x)0 (xX), siis 𝑓´(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑑 (𝑙𝑛𝑓(𝑥))   (𝑥 ∈ 𝑋). Tõestus: Lause eeldustel 
𝑑𝑥
Võttes Cauchy keskväärtusteoreemis g(x)=x, saame (f(b)-f(a))1= (b-a)f´(c) ehk Lagrange´i 
saame  𝑑 (𝑙𝑛𝑓(𝑥)) = 𝑓′(𝑥)     (𝑥 ∈ 𝑋), millest järeldub lause väide ∎. 
keskväärtusteoreemi. Võttes Lagrange´i keskväärtusteoreemis funktsiooni f, mis rahuldab 
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
tingimust f(a)=f(b), saame 0= f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)↔ f´(c)=0 ehk Rolle´i teoreemi. Seetõttu 
4).(Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis) 
𝑋 = 𝜑(𝑡)
kasutatakse Cauchy keskväärtusteoreemi kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem. 
Kui funktsioon 𝑦 = 𝑓(𝑥) on esitatud parameetrilisel kujul{
    (𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽), kusjuures 
𝑌 = 𝜓(𝑡)
11). L’ Hospitali  reegel. Tõestada L’Hospitali reegel määramatuse 𝟎 korral . 
𝟎
funktsioonid 𝜑(𝑡)𝑗𝑎 𝜓(𝑡) on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja 𝜑(𝑡) on lõigul [α, β] rangelt 
𝑑𝑦
monotoonne ning 𝜑̇(𝑡) ≠ 0   (𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽)), siis 𝑦′ = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡 = 𝑦̇ = 𝜓̇(𝑡)     (𝛼