Kujutava geomeetria põhivara (1)

Eesti Põllumajandusülikool Maaehituse instituut
INSENERIGRAAFIKA
Ainekursus MIT-7.307
Kujutava geomeetria põhivara
Koostanud Harri Lille
Keeletoimetaja Karin Rummo
Tartu 2003 Sissejuhatus
Kujutav geomeetria on see geomeetria eriharu, milles pitakse tasandil (joonisel) ruumiliste ülesannete lahendamise meetodeid ning positsiooni-, mte- ja konstruktiivsete ülesannete lahendamise vtteid. Positsiooniülesanneteks nimetatakse geomeetriliste kujundite vastastikuse kuuluvuse ja likumise määramist. Mteülesanded on geomeetriliste kujundite kauguste ja nende telise suuruse leidmine. Konstruktiivsete ülesannete sisuks on etteantud tingimustele vastavate geomeetriliste kujundite (nende kujutised joonisel) loomine.
Kasutatud on järgmisi tähiseid: A,B,C,....; 1,2,3,... - ruumipunktid; a,b,c,.... - jooned; ,,,....,,,.... - nurgad; pinnad; a || b - paralleelsus (sirge a on paralleelne sirgega b); a×b - likumine ( sirge a likub sirgega b); cd - ristseis (sirge c on risti sirgega d); Aa - kuuluvus (joon a läbib punkti A); a - - - ( joon a asub pinnal ); - identsus; ühtimine; - järeldus; - täisnurk.
1 PROJEKTEERIMINE
Objekti kujutise saamiseks kasutatakse geomeetrilist toimingut, mida nimetatakse projekteerimiseks.
1.1. Tsentraalprojektsioon Tsentraalprojekteerimisel lähtuvad kik projekteerivad kiired ühest punktist e. kujutamistsentrist. Seega ekraani kaugenemisel suureneb objekti projektsioon . On antud tasand 0, mida nimetatakse projekteerimispinnaks e. ekraaniks, lplikul kaugusel ruumipunkt S (projekteerimistsenter e. kujutamistsenter) ja objekt ABC (joon. 1). Punktist S väljuv kujutamiskiir k läbib näiteks punkti A ja likab ekraani 0 punktis A = SA×0, mis on punkti A kujutis ekraanil 0. Saadud kujutist nimetatakse punkti A tsentraalprojektsiooniks ja geomeetrilist toimingut tsentraalprojekteerimiseks, mille kohta kehtivad järgmised laused . 1. Sirge projektsioon on üldjuhul jälle sirge ning punkt, kui see sirge asub kujutamiskiirel. 2. Kui tasandilist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kik kujundi tasandis , siis antud kujund projekteerub sirgliguks. 3. Kui punkt asub mingil joonel , siis ta kujutis asub selle joone kujutisel (AABAAB joon. 1). 4. Objekti üksainus projektsioon lisaandmeteta ei määra seda objekti ruumis.
2 S B B A A C C
B B A C A C
0 0
Joon. 1 Joon. 2
1.2. Paralleelprojektsioon Paralleelprojektsiooni vime vaadelda kui tsentraalprojekteerimise erijuhtu, kui punkt S on viidud lpmata kaugele ning kujutamiskiiri vib lugeda paralleelseteks (joon. 2). Paralleelprojektsioonid jagunevad kald- ja ristprojektsioonideks vastavalt sellele, kas kiired vetakse ekraaniga kaldu vi risti. Kaldprojektsiooni korral lisanduvad toodud lausetele 1...4 järgmised. 5. Kui sirglik on paralleelne ekraaniga, siis tema projektsioon ekraanil on pikkuselt vrdne ja paralleelne ligu enesega. 6. Sirgjoone ligud on vrdelised oma paralleelprojektsioonidega. Ligu paralleelprojektsiooni pikkuse ja ligu enda pikkuse suhet nimetatakse moondeteguriks m. 7. Paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged . Nad projekteeruvad punktiks, kui sirged on kujutamiskiirte sihis, ja üheksainsaks jooneks , kui sirged asetsevad ühel tasandil, mis on kujutamiskiirtega paralleelne. 8. Kui tasandiline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on vrdne kujundi enesega. Ristprojektsiooni kohta kehtivad kik eelnevad laused ja lisanduvad järgmised. 9. Täisnurga ristprojektsioon on täisnurk, kui tema üks haar on paralleelne ekraaniga vi asetseb sellel ning teine pole risti ekraaniga. 10. Sirgligu ristprojektsiooni pikkus vrdub sirgligu enda ja kaldenurga koosinuse korrutisega (joon. 3).
m = cos; 0 m 1
Tehnikas vajatakse jooniseid, mis üheselt määraksid objekti kik geomeetrilised omadused, selliseid jooniseid nimetatakse määravateks.
3 A
B
A B
0
Joon. 3
Tähtsamad joonise saamise meetodid on järgmised: 1. Mongei meetod. Objekti määramiseks kasutatakse ristprojektsioone teineteisega ristuvatel ekraanidel (põhiliselt käsitleme seda meetodit); 2. kvootitud ristprojektsiooni meetod. Antakse objekti ristprojektsioon horisontaalekraanil ning täiendatakse seda objekti oluliste punktide vi horisontaalsete joonte kaugustega (krgustega) ekraanist (joon. 4);
A
A(3) B(-5) A B
C C C(0)
B 0 1 2 3 4 5
Joon. 4
3. aksonomeetria meetod. Kujutis konstrueeritakse objekti punktide ristkoordinaatide järgi. Teljestiku kujutise baasil tuletatakse objekti kujutis, kasutades objekti punktide koordinaate (joon. 5).
z z0
A A0
O O0 Ax A x0 x y x0
A A0 y0 Joon. 5
1.3. Mongei meetod
4 Meetod kasutab kaht risti olevat ekraani, millele tehakse objektist ristprojektsioonid. Seejärel pööratakse ekraanid koos kujutisega ühele tasapinnale - joonise pinnale.
1.3.1. Punkti kaksvaade Vtame 1 = xy- tasapind - phiekraan; 2 = xz-tasapind - esiekraan; Pärast ekraanide lahtipööramist saame punkti A kaksvaate (joon. 6), kus x 1 × 2 - kaksvaate telg ; AA x - sidejoon ; A ( xA ; yA ) - punkti A pealtvaade ; A ( xA ; zA ) - punkti A eestvaade . Punkti A kaksvaade AA määrab punkti asukoha ekraanide suhtes üheselt. Kui punkt on antud kaksvaatega, kirjutatakse A (A,A). z 2 A 2 A zA A zA x Ax xA 0 x A x xA yA yA A 1 A y 1
Joon. 6
1.3.2. Punkti kolmvaade Kui tähisteta kaksvaade ei määra objekti, siis antakse praktikas kahele vaatele lisaks uusi ristprojektsioone. Vtame esmalt ekraani 3 nii et 31 ja 32 ( joon. 7), ja tuletame punkti A ristprojektsiooni ekraanile 3. Pärast ekraanide lahtipööramist saame punkti A kolmvaate , kus 3 - uus ekraan (külgekraan); z 2 × 3 - uus kaksvaate telg; A - punkti külgvaade; AA z - uus sidejoon. AzA = AxA = AA = yA s.o kolmvaate peaomadus. Kolmvaadet (A,A,A) vime vaadelda koosnevana kahest kaksvaatest, eestvaade z z 2 2 3 Az Az A A A
zA A A zA 3 y3 x Ax xA 0 yA Ay x Ax xA 0 yA yA Ay A 1 A Ay 5 q 1 y y1 A koos pealtvaatega A ja eestvaade A koos külgvaatega A. Joon. 7
Märgime, et kolme ja enama ekraani kasutamise korral peavad joonisel olema näidatud omavahel ristiolevate ekraanipaaride likesirged - kaksvaate teljed. Kahe ekraani korral vib kasutada teljevaba kaksvaadet.
2. SIRGJOONE PROJEKTSIOONID
Sirge on määratud oma kahe punktiga, iga punkt on määratud oma kaksvaatega - järelikut sirgjoon on määratud oma kahe punkti kaksvaatega (joon. 8). Kui sirge on risti ühe ekraaniga, siis tema kujutis sellel ekraanil on punkt ja kujutis teisel ekraanil on risti kaksvaate teljega .
2.1. Sirge jäljed Sirge jäljeks antud ekraanil nimetatakse tema likepunkti selle ekraaniga. Antud on sirge s(A,B) (joon. 9). Üldasendilisel sirgel on kolm jälge: P s × 1 - phijälg (P= s× x ; P s); E s × 2 - esijälg (E = s × x ; E s). K s × 3 - külgjälg pole joonisel esitatud.
2 E E A s A B A s B x x E s P
s A B s A B 1 P P
Joon. 8 Joon. 9 2.2. Eriasendilised sirged Sirge on üldasendiline, kui ta pole paralleelne ühegi ekraaniga, vastasel korral on ta eriasendiline. Kui sirge on paralleelne mne ekraaniga vi asetseb sellel, siis nimetatakse sirget nivoosirgeks. Horisontaaliks nimetatakse sirget, mis on paralleelne phiekraaniga (joon. 10a) h || 1 ; h|| x. Iga horisontaal projekteerub phiekraanile telises pikkuses AB = AB Frontaaliks nimetatakse sirget, mis on paralleelne esiekraaniga (joon. 10b) f || 2 ; f || x. Iga frontaal projekteerub esiekraanile telises pikkuses AB = AB
6 A h B A f B x x
h f B A B A
Joon. 10a Joon. 10b
2.3. Üldasendilise sirgligu pikkus ja kaldenurk Üldasendilise sirgligu projektsioonid ja kaldenurgad ei esine üheski vaates telises suuruses. Leiame sirgligu AB pikkuse AM = AAx - BB2 = AA või A'N'= A'Ax-B'Bx= A"A AB - kolmnurga hüpotenuus ongi vrdne ligu AB pikkusega (joon. 11), 1 - sirglõigu põhikaldenurk ( 1 suhtes) ja 2 - sirglõigu esikaldenurk (2 suhtes).
A A = 2 - B M
x Ax Bx
N = B A 1 - - A
Joon. 11
Sirgligu pikkus vrdub hüpotenuusiga täisnurkses kolmnurgas, mille kaatetiteks on ligu pealtvaate pikkus ja ligu otspunktide kauguste vahe phiekraanist vi ligu eestvaate pikkus ja ligu otspunktide kauguste vahe esiekraanist.
2.4. Kahe sirgjoone vastastikused asendid Kaks sirgjoont vivad olla paralleelsed, likuvad vi kiivsed. 1. Sirged on paralleelsed, kui nende samanimelised projektsioonid on vastavalt paralleelsed ega ole risti kaksvaate teljega (joon. 12a). 2. Sirged on likuvad, kui nende samanimeliste projektsioonide likepunktid asuvad ühel ja samal sidejoonel ja kummagi sirge projektsioonid pole risti kaksvaate teljega (joon. 12b). 3. Sirged on kiivsed, kui nad ei liku ega ole paralleelsed (joon. 12c). Kiivsirgete
7 a a a L M U V b b N x b x x b b b V a a U L M N a
Joon. 12a Joon. 12b Joon. 12c
nähtavuse küsimus lahendadakse nn konkureerivate punktide meetodil. Sirge näilise likumiskoha ühel vaatel tähistame kahe punktiga, mis kuulub kumbki eri sirgele (Ua; Vb; Ma; Nb). Punkt, mille kaugus sellest ekraanist on suurem (ilmneb teiselt vaatelt), varjab teise punkti.
3. TASANDI KUJUTAMINE
Tasandi määravad: a) kolm punkti, mis ei asetse ühel sirgel ((A;B;C; CAB), joon. 13a); b) punkt ja sirge, mis ei läbi seda punkti ((A,a; Aa), joon. 13b); c) kaks likuvat sirget ((a×b), joon. 13c); d) kaks paralleelset sirget ((a||b), joon. 13d ).
B a A L A a C b
x a b
a A C A L B
Joon. 13a Joon. 13b Joon. 13c
Tasand on määratud ka mistahes tasandilise kujundiga, näit kolmnurgaga (joon. 13e), ringiga , jne. Tasandi ühtedelt määramisandmetelt saab üle minna teistele.
B a
b C A
x
b C a A 8
B Joon. 13d Joon. 13e
Tasandi määramiseks võetakse sageli tema jälgsirged e. jäljed, sirged, mida mööda tasand lõikab ekraane. Üldasendilisel tasandil on kolm jälge (joon. 14): p = × 1 - põhijälg; p x; e = × 2 - esijälg; e x; k = × 3 - külgjälg. Tasandi
z 2 Ea
Eb a e k 3 x 0 p b Pa Pb 1 y
Joon. 14
jälgede saamiseks leitakse kahe sel tasandil asetseva sirge jälgpunktid ning ühendatakse samanimelised jälgpunktid.
3.1. Eriasendilised tasandid Tasandit nimetatakse eriasendiliseks, kui ta on risti ekraanikolmiku mõne ekraaniga, ning üldasendiliseks, kui ta pole risti ühegi ekraaniga. Eriasendilisi tasandeid võib jagada: 1. risti ühega ekraanidest - projekteerivad tasandid sellele ekraanile; 2. risti kahe ekraaniga, st paralleelsed kolmandaga ekraanidest - nivootasandid selle ekraani suhtes. Projekteeriv tasand on ühes vaates sirge (sirgkujutis), mis ühtib tema vastava jäljega; teine jälg on risti kaksvaate teljega; 1 p ; e x ; (joon. 15 2 e ; p x ( joon. 16).
2 2
e e e e x x x x
p p p p 1 1
9 Joon. 15 Joon. 16
Nivootasand paistab kahes vaates sirgetena, mis langevad kokku tema vastavate jälgedega, kolmas jälg nivootasandil puudub ; ||1 ez, kz; ( joon. 17), µ||2 µ pµy, µ kµz (joon. 18).
z z z z 2 2
µ µ 3 3 x y3 x y3 x x 0 0 µ 1 1 y y y1 y1
Joon. 17 Joon. 18
3.2. Tasandi erilised sirged (nivoosirged) Sirge a on tasandil (ABC) siis, kui tema kaks punkti A,1 on tasandil. Punkt D on tasandil, kui ta asetseb selle tasandi mingil sirgel a (joon. 19).
B a 1 D
A x C C
A D a 1
B
Joon. 19
3.2.1. Tasandi horisontaal Tasandi horisontaal on sirge, mis asetseb sellel tasandil ja on paralleelne põhiekraaniga. Tasandi horisontaali võib saada ka tasandi lõikamisel horisontaalse tasandiga. h|| 1 h||x; h|| p (joon. 20).
10 3.2.2. Tasandi frontaal Tasandi frontaal on sirge, mis asetseb sellel tasandil ning on paralleelne esiekraaniga. Tasandi frontaali võib vaadelda ka kui sirget, mis saadakse selle tasandi lõikamisel frontaalse tasandiga. f|| 2 f||x; f|| e (joon. 20).
B
2 f 1 h A x C C h 1 f A 2
B
Joon. 20
3.2.3. Tasandi langujoon Tasandi langujooned on sellel tasandil asetsevad sirged, mis on risti selle tasandi vastavate nivoosirgetega (tasandi jälgedega). Põhilangujoon lh,p lh, p (joon. 21a). Esilangujoon gf,e gf, e (joon. 21b). g
B B
1 f h l 1 A A C x C x C C h 1 f A A l 1
B B g
Joon. 21a Joon. 21b
3.2.4. Tasandi normaal
11 Tasandi normaal on risti selle tasandiga, kui ta on risti selle tasandi kahe lõikava sirgega. Lõikuvateks sirgeteks võetakse tavaliselt tasandi horisontaal ja frontaal. h ; p ; f; e, n n n A A A (joon.22).
D n
A h f
Joon. 22 3.3. Tasandi kaldenurgad Tasandi kaldenurgaks nimetatakse nurka tasandi vastava langujoone ja tema ristprojektsiooni vahel; põhikaldenurk 1 = l l , esikaldenurk 2 = g g ( joon. 23).
2
g e 2 g D x l 1 l p 1
Joon. 23
4. POSITSIOONI- JA MÕÕTEÜLESANDED
4.1. Sirge ja tasandi ning kahe tasandi lõikumine Sirgjoone ja tasandi lõikepunkti leidmine ning kahe tasandi lõikesirge leidmine on kujutava geomeetrias põhilise tähtsusega ülesanded.
12 4.1.1. Sirgjoone lõikumine ekraani risttasandiga ehk projekteeruva tasandiga (so punkt kui sirgjoon kohtab tasandit). Ekraani risttasand (A,B,C) 2 projekteerub sellele ekraanile sirgjooneks, millele satub arusaadavalt ka antud sirge ja tasandi lõikepunkti L üks projektsioon L. Teise projektsiooni leiame sidejoone abil (joon. 24).
4.1.2. Ekraani ristsirge lõikumine tasandiga Ekraani ristsirge s1 ja mis tahes tasandi lõikepunkti leidmisel peame silmas, et lõikepunkti üks projektsioon ühtib ekraani ristsirge punktkujutisega Ls. Lõikepunkti teise projektsiooni saab leida tingimusest, et lõikepunkt kuulub antud tasandile. Vajaliku sirgena võib kasutada nivoosirgeid (joon. 24).
a s s L B C b 2 A 1 f L
C A L s 2 s L 1 f b B a
Joon. 24 Joon. 25 4.1.3. Tasandi lõikumine ekraani risttasandiga Antud juhtum, s.o mis tahes tasandi ja ekraani risttasandi lõikesirge leidmine taandub eelpool nimetatud esimesele juhtumile (joon. 26).
4.1.4. Kahe tasandi lõikumine Kahe tasandi lõikesirge saamiseks leitakse selle sirge kaks punkti. Üldjuhul leitakse need punktid abitasandite võttega. Abitasanditena on otstarbekas kasutada
B 2 3 D 2 3 E B M L 1 L C M 4 C A G A 1 4 34 D C 2 C A 3 E A M 1 L M L 1 2 4 B 13 B G eriasendilisi tasandeid (kas projekteeruvaid tasandeid või nivoopindu ), sest see võimaldab ülesannet taandada eelmises punktis käsitletud lihtsatele erijuhtumitele (joon. 27).
Joon. 26 Joon. 27
4.1.5. Üldasendilise sirgjoone ja tasandi lõikumine Sirge s ja tasandi (A,B,C) lõikepunkti leidmiseks paneme läbi sirge abitasandi 1 ning tuletame tasandite ja lõikesirge m, siis sirgete m ja s ühispunkt on ühtlasi otsitav lõikepunkt L s× (joon. 28).
D B s B n f 2 m A 1 h 1 L A 2 C x C A C B 2 L 2 f s m A 1 h B 1
n C D Joon. 28 Joon. 29
4.2. Sirgjoone ja tasandi ristseis Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. Tasandi sirgetena on otstarbekas kasutada nivoosirgeid (horisontaali
14 ja frontaali), sest siis täisnurk projekteerub sellele ekraanile täisnurgaks, millega ta on paralleelne. Sirgjoon ja tasand on teineteisega risti, kui sirgjoone pealtvaade on risti tasandi horisontaali pealtvaatega ja eestvaade on risti tasandi frontaali eestvaatega. Tasandil on lõpmata palju normaale ning et ülesannet lahendada üheselt, siis tõmbame tasandile (A,B,C) normaali läbi punkti D (joon. 29).
4.2.1. Ristsirged Antud sirgele antud punktist D ristsirge joonestamine on lihtne, kui sirge on nivoosirge (joon. 30). Kui sirge on üldasendiline, kasutame antud sirge s risttasapinda (h×f) läbi antud punkti D, siis risttasapinnal olev sirge LDs - ga (joon. 31).
D 1 h D L
h L 2 h s f
L 1 h
L D D f 2 s
Joon. 30 Joon. 31
4.3. Nurgad sirgete ja tasandite vahel 4.3.1. Nurk kahe lõikuva sirge vahel Nurga kahe lõikuva sirge vahel leiame kolmnurgast, mille üheks tipuks on sirgete lõikepunkt L. Teised tipud 1 ja 2 valime kummalgi sirgel ning ehitame saadud
kolmnurga tõelise suuruse (joon.32). = L 2L1 -nurk sirgete a ja b vahel.
4.3.2. Nurk kiivsirgete vahel Vastava nurga leidmiseks joonestame valitud punktist abisirge a1 paralleelselt teise kiivsirgega a ning leiame saadud lõikuvate sirgete vahelise nurga (joon.33)
15 a a b L a1 2 L h 1 - b
a a
L b -2 h 1 - 2 -1 - b L -L
Joon. 32 Joon. 33
4.3.3. Nurk sirge ja tasandi vahel Nurk sirge ja tasandi vahel on nurk selle sirge ja tema ristprojektsiooni vahel sellel tasandil. Lahenduskäik lihtsustub, kui arvestame, et see nurk on täiendatav täisnurgani sirge ja tasandi normaali vahelise nurga. Viimase leidmiseks joonestame antud sirge valitud punktist L tasandile normaali (joon. 34). Edasine lahendus taandub p. 4.3.1. esitatule.
L s B B f 2
A 1 h n s C C s L h 1 L s f A 2
B
Joon. 34
4.3.4. Nurk kahe tasandi vahel Nurk kahe tasandi vahel võrdub nurgaga nende tasandite normaalide n; n' vahel. Vabalt valitud D punktist joonestame kummagi tasandi normaalid (joon. 35). Edasine lahendus vt. p. 4.3.1.
16 n D M n N
Joon. 35
5. LISAPROJEKTSIOONIDE TULETAMINE JA KASUTAMINE
Objekti projektsioonid pole alati kõige sobivamad antud ülesande lahendamiseks. Objektist ülevaatlikuma kujutise saamiseks tekib vajadus tuletada lisaprojektsioone (uut või abiprojektsioone). Praktikas on kasutusel rida võtteid, mille vaatleme järgmisi: a) objekti pööramisvõte. Muudetakse objekti asendit paigalejäävate ekraanide ja kujutamiskiirte suhtes; b) lisaekraani võte. Muudetakse ekraani ja vastavate kujutamiskiirte asendit paigaljääva objekti suhtes. Püütakse kujutamiskiirte, objekti ja ekraani vastastikust asendit muuta nii, et lisaprojektsioon tuleks võimalikult lihtne.
5.1. Objekti pööramisvõte Pööramisel võetakse keha pöördeteljeks harilikult ekraani normaal või nivoosirge. 5.1.1. Pööramine ümber normaali. Tuletame üldasendilise sirglõigu AB pikkuse (joon. 36). Pöörame antud lõigu ümber m1 kuni AB||x saadud AB=AB.
5.1.2. Tasandilise kujundi tõelise kuju tuletamine pööramisega ümber nivoosirge. Pöörame tasandilise kujundi ümber tema horisontaali paralleelseks põhiekraaniga, arvetades, et nivoosirgele (pöördeteljele) mittekuuluv punkt pöördub mööda ringjoont , mille tasand on risti nivoosirgega. Pöörderaadius RA võrdub tasandi langujoone lõiguga punktist O nivoosirgeni h. Tuletatame kujundi uue projektsioon põhiekraanil (joon. 37).
17 B
- B m - A 0 B h C a - a A - B A - B -a A m 0 B RA - A A h a B - A C
Joon. 36 Joon. 37
5.2. Lisaekraani võte Lisaekraani võtte kasutamisel tuletatakse objekti antud kaksvaate järgi selle objekti ristprojektsioon uuel ekraanil (lisaekraanil), mis võetakse alati risti ühe antud ekraaniga.
5.2.1. Sirge muutmine nivoosirgeks Võtame uue ekraani 3|| AB ning 31, uus telg u || AB. Suunates läbi punkti A A s B - = x 1 Ax Bx 2
s B A 1 u Bu 3 Au = s B -
A projekteeriva kiire risti ekraaniga 3, saame sellel punkti A uue vaate A. Au A= AA=AAx (joon. 38).
Joon. 37
6. HULKTAHUKAD
18 Hulktahukas e tahukas on tasandiliste hulknurkadega (tahkudega) piiratud keha. Tahkude lõikejooni nimetatakse servadeks, servade lõikepunkte tippudeks. Joonistel kujutatakse tahukaid oma servade ja tippude projektsioonidega. Tuntumad hulktahukad on prisma ja püramiid. Prismaks nimetatakse tahukat, millel on kaks paralleelset tahku e põhja (on teineteise paralleelprojektsioonid) ning millel pole muid tippe peale põhja tippude. Püramiid on tahukas, mille üks põhi on kidunud üheksainsaks punktiks tipuks.
6.1. Tahuka lõikumine tasandiga ja sirgega Tahuka ja tasandi lõikejooneks on hulknurk, mille tippudeks on lõikava tasandi ja tahuka servade lõikepunktid, külgedeks aga lõikava tasandi ja tahkude lõikesirged
6.1.1. Tahuka lõikumine eriasendilise tasandiga Leiame antud hulktahuka ja esiekraani risttasandi lôikejoone. Lõikjoone üheks projektsiooniks tuleb sirglõik, teine projektsioon saadakse sidejoone abil (joon. 38).
T 1 3 2
A C B T
1 B 3 A 2 C
Joon. 38
6.1.2. Tahuka lõikumine sirgega Võetakse abitasand läbi sirge s risti ühega ekraanidest. Leitakse abitasandi lõikehulknurk tahukaga ja selle lõikepunktid M,N sirgega. Määratakse nähtavus (joon. 39).
19 T s L 2 3 1 M A C B T
s 1 L 2 3 A M C
B
Joon. 39
6.1.3. Kahe tahuka omavaheline lõikumine Kahe tahuka pindade lõikejoon võib koosneda ühest või mitmest kinnisest murdjoonest, mille leidmiseks on põhiliselt kaks teed: a) leitakse kummagi tahuka servade lõikepunktid teise tahuka tahkudega, saadakse lõikejoone tipud; b) leitakse ühe ja teise tahuka tahkude vajalikud lõikesirged, saadakse kõik lõikejoone küljed. Praktikas rakendatakse neid võimalusi koos. Leida püramiidi ja püstprisma lõikejoon. Tipud 1,2,3,4,5,6 on kohe leitavad. Prisma serva K lõikepunktide leidmiseks võtame abitasandi 1 nii, et K ning määrame lõikejoone püramiidiga, mille lõikepunktid 7 ja 8 servaga K ongi otsitavad lõikepunktid (joon. 40).
K L I 9 c 6 7 2 a 8 5 1
3 b 4 I
9 c 6 2 K 7 8 3 4 b 1 5 a L 20 Joon. 40
7. JOONTE LIIGID
Jooned jagunevad järgmiselt: 1) sirgjoon e sirge; 2) kõverjooned e kõverad, viimased jagunevad alljärgnevalt: a) tasakõverad- asuvad täielikult ühel tasandil; b) ruumikõverad. Graafilised kõverad - pole kirjeldatavad võrrandi abil, mis ei tähenda, et nad ei kujuta mingit seaduspärasust. Analüütilised jooned - kirjeldatavad võrrandi abil ning jagunevad a) algebralisteks (näit. y = ax + b ); b) transtsendenseteks ( näit. y = x sin x ). Algebralise tasakõvera järk (geomeetrilisest seisukohast ) - joone maksimaalne lõikepunktide arv sirgega. Ainus esimest järku joon on sirge. Algebralise ruumikõvera järk (geomeetrilisest seisukohast) - maksimaalne lõikepunktide arv tasandiga. Lihtsam ruumikõver on kruvijoon .
7.1. Teist järku jooned Kõiki teist järku jooni võib saada pöördkoonuse lõikamisel tasandiga. Seepärast nimetatakse neid koonuslõigeteks. Olenevalt tasandi asendist koonuse telje suhtes saame järgmised jooned (joon. 41): ellipsi - kui tasand pole paralleelne koonuse ühegi moodustajaga, st on kaldu varda teljega. Kui lõige risti teljega annab ringjoone; parapooli - kui tasand on paralleelne koonuse ühe moodustajaga; hüperpool - kui tasand on paralleelne kahe moodustajaga.
21 Lõiketasand N° 2 Ellips
Lõiketasand N° 1 Ringjoon
Lõiketasand N° 3 Parabool
Lõiketasand N° 3
Lõiketasand N° 1 Lõiketasand N° 4 Lõiketasand N° 4 Lõiketasand N° 2 Hüperbool
m''
Joon. 41
7.2. Kruvijooned 7.2.1. Silindriline kruvijoon Silindriline e harilik kruvijoon on ruumikõver, mis tekib punkti ühtlasel liikumisel mööda pöördsilindri moodustajat, kui silinder pöörleb ühtlaselt ümber oma telje (joon.42). Kruvijoon on määratud, kui on teada tema samm, raadius ja käelisus. Kruvijoone samm P on punkti poolt ühe täispöörde jooksul telje sihis läbitud vahemaa . Kruvijoon on paremakäeline, kui piki telge vaatades punkt eemaldub pöörlemisega päripäeva; vastasel korral vasakukäeline. A2 P
A1
A1 A2
Joon. 42
7.2.2. Kooniline kruvijoon
22 Kooniline kruvijoon on ruumikõver, mis tekib punkti ühtlasel liikumisel mööda pöördkoonuse moodustajat, kui koonus pöörleb ühtlaselt ümber oma telje.
8. KÕVERPINNAD
8.1. Kõverpindade liigitus
1. Kinemaatilised pinnad tekivad mingi joone (moodustaja) ruumis kindla eeskirja (juhtjoone) järgi. 2. Analüütilised pinnad on esitatavad kindla võrrandi abil. Algebraline pind on kirjeldatav algebralise võrrandiga, kusjuures järk võrdub tema tasandilise lõikejoone maksimaalse järguga. 3. Karkasspinda saab kirjeldada ainult sellele pinnale kuuluvate joonte süsteemi ( karkassi ) abil. 4. Laotuvaid pindu saab painutada tasapinnaks, ilma et seda surutaks kokku või venitatakse välja või et see läheks volti või rebeneks. Mittelaotuvaid pindu pole võimalik painutada tasapinnaks. Üks ja sama pind võib kuuluda mitmesse pinnaklassi.
8.2. Pöördpinnad Pöördpind tekib joone (moodustaja) pöörlemisel ümber paigalseiva telje Pöördpinna lõikamisel telje risttasandiga saame ringjoone nn. paralleeli. Suurimaid paralleele nimetatakse pöördpinna ekvaatoriks. Pöördpinna lõikamisel telge läbiva tasandiga saame pöördpinna meridiaani (joon.43).
kael vöö paralleel
peameridiaan
ekvaator
Joon. 43
8.2.1. Teist järku pöördpinnad
23 Teist järku pöördpind tekib teist järku joone pöörlemisel ümber oma sümmeetriatelje. Teist järku pöördpinnad on pöördellipsoid. Sõltuvalt sellest, kas pöörlemisteljeks võetakse pikem või lühem telg, on saadud kujund piklik või lapik , pöördellipsoidi erijuhtum on kerapind e sfäär (joon. 44), pöördparaboloid (joon. 45), ühekatteline pöördhüperboloid (joon. 46a), kahekatteline pöördhüperboloid (joon. 46b).
Joon. 44 Joon. 45 Joon. 46a Joon. 46b
8.2.2. Rõngaspind Rõngaspind tekib ringjoone pöörlemisel ümber telje, mis asetseb ringjoone tasandis, kuid ei läbi ringjoone keskpunkti (joon. 47). =
Joon. 47 8.3. Joonpinnad Joonpind tekib sirge liikumisel, kui ta lõikab igas oma asendis ühte või mitut juhtjoont .
8.3.1. Laotuvad joonpinnad Kõikidest joonpindadest osutuvad laotuvateks pindadeks ainult joonpinnad ja neistki ainult silindriline ja kooniline. Silindriline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab etteantud juhtjoont j ja jääb paralleelseks etteantud sirgega s (sihisirgega) (joon. 48). Kui juhtjooneks on murdjoon, saame prismalise pinna.
24 Kooniline pind tekib sirgjoone liikumisel, kui sirgjoon igas oma asendis lõikab antud juhtjoont j ja läbib antud punkti T (tippu) (joon.49). Kui juhtjoon on murdjoon, saame prismalise pinna.
j
T s s
j
Joon. 48 Joon. 49
8.4. Kõverpinna lõikamine eriasendilise tasandiga Kahe pinna lõikejoone tuletamisel kasutatakse harilikult nn. abitasandite võtet, mis eeldab lihtsate tasandiliste lõigete olemasolu kõverpinnal: 1)pöördpindade telje ristlõiked on ringjooned ; 2)joonpindade lõiked mööda moodustajaid on sirgjooned . Antud kõverpinda ja tasandit 2 lõikame niisuguste abitasanditega, mis lõikuvad antud kõverpinnaga (püstkoonust) mööda lihtsaid jooni (sirgjooned, ringjooned) ja nende projektsioonid on samuti lihtsad jooned. Iga abitasandi kaudu saadud abilõikejooned annavad omavahel lõikudes lõikejoone punktid (joon. 50).
µ 1 2 µ2
µ 3 1
1 2
Joon. 50
8.5. Kõverpinna ja sirge lõikumine Kõverpinna ja sirge s lõikepunktide leidmiseks tuleb võtta läbi sirge mingi abitasand, tavaliselt antud sirget projekteeriv tasand 1 s. Tuletatakse
25 abitasandi ja kõverpinna lõikejoon ning leitakse selle lõikepunktid M,N antud sirgega, mis ongi kõverpinna ja sirge lõikepunktid (joon.51).
s µ1 µ2 L µ 3 M µ4
M
s L
Joon. 51
8.6. Kõverpindade omavaheline lõikumine Kahe kõverpinna lõikejoone leidmiseks valime abitasandid nii, et nad lõikaksid kõverpindu mööda lihtsaid sirgjooni (joonpindade korral) või ringjooni (risti pöördpinna teljega) , mis projekteeruvad sama lihtsateks joonteks. Iga abitasandi kaudu saadud abilõikejooned annavad omavahel lõikudes otsitava lõikejoone punkte (joon.52).
26 5 4
2 1 3
3 4
1 2 2 5 1
Joon. 52
8.7. Kontsentriliste abisfääride võte Ühise teljega pöördpinnad saavad lõikuda ainult mööda ringjooni, mille tasapind on risti selle teljega. Kui üheks antud pinnaks on sfäär, mille tsenter O asetseb mingi teise pöördpinna teljel t , siis toimub lõikumine loomulikult mööda ringjoont (joon. 53). See asjaolu ongi aluseks abisfääride võttele. t
m 1
r1 O r2
m2
Joon. 53
27 Kontsentriliste abisfääride võtte rakendamiseks on vajalikud järgmised tingimused: 1)lõikuvad pinnad on pöördpinnad; 2)pöördpindade teljed lõikuvad omavahel. Lahendust alustame sellel ekraanil, millega pindade teljed on paralleelsed, ja selle sfääriga, mis puutub ühte ja lõikab teist pöördpinda (joon.54).
t 1
t 2 5 3
1 2 m 1 rmin O 6 m2
4
Joon. 54
8.8. Kõverpindade laotused Nagu varem märgitud, laotuvad ainult silindrilised ja koonilised pinnad. Kõik ülejäänud kõverpinnad on mittelaotuvad ja nende juures räägime nn tinglaotusest. Mittelaotuv pind on asendatud mingi lähismudeliga, tavaliselt tahkpinnaga. Silinderpind.- prismalise pinnaga, mille tahkude laiused võrduvad silindri ristlõike kõõludega, koonuspind - püramiidilise pinnaga, mille põhjaservadeks on koonuse servjoone kõõlud ( joon.55). Kasutust on leidnud servjoone graafiline sirgestamine.
28 T T
0 Tx 3 4 3 2 0 0 1 T 1 2 3 4 Joon. 55
9. AKSONOMEETRIA
Aksonomeetria meetod seisneb selles, et objekti kujutis konstrueeritakse tema punktide koordinaatide järgi etteantud teljetiku kujutise baasil, kusjuures koordinaatlõigud mõõdetakse telgede kujutiste sihis. Aksonomeetria põhiülesanne on koordinaatteljestikust sobivate kujutiste saamine.
9.1. Aksonomeetriliste teljestike liigitus Aksonomeetrilised teljestikud võib jagada järgmiselt: 1) tsentraalaksonomeetria (teljestiku projekteerime tsentraalkiirtega); 2) paralleelaksonomeetria (teljestiku projekteerime paralleelkiirtega), mis jaguneb: a) kaldaksonomeetria - projekteerimiskiired kaldu, b) ristaksonomeetria - projekteerimiskiired risti. Käsitleme ainult paralleelaksonomeetriat ja peame silmas, et kehtivad kõik paralleelprojekteerimise kohta käivad laused (vt. 1.2.). Aksonomeetrias omavad erilist tähtsust telgede x, y ja z moondetegurid mx, my ja mz (joon.56). Moondetegurite mx= O0A0/OA; my= O0B0/OB; mz= O0C0/OC omavahelistest suhetest eristame järgmisi standardseid aksonomeetrilisi teljestikke:
29 O
1 1 1 A C B z0 x0 O0 C0 A0 B0 y0 z 0 x y
Joon. 56
1)isomeetrilised (kõigil telgedel võrdne moondetegur ); 2)dimeetrilised (kahel teljel võrdne, kolmandal erinev moondetegur); 3)trimeetriline (kõigil kolmel teljel erinev moondetegur).
9.2. Aksonomeetriapõhiteoreem Teljestiku paralleelprojektsiooni joonestamisel tekib küsimus, kas telgede ja mõõtühikute kujutised võib võtta vabalt? Vastuse annab Pohlke teoreem : Tasandile joonestatud kolme lõiku, mis algavad kõik ühest punktist, kuid ei asetse ühel sirgel, võib alati vaadelda ristteljestiku ühikkolmiku paralleelprojektsioonina.
9.3. Enam esinevad aksonomeetrialiigid 9.3.1. Ristisomeetria Moondetegurid kõigil kolmel teljel on võrdsed: mx = my = mz = m. Praktikas kasutatakse taandatud moondetegureid mx = my = mz = 1, mis annab tulemuseks 1/0.82=1,22 korda suurendatud kujutise. Telgede kujutised on üksteise suhtes võrdse 120° nurga all (joon.57).
9.3.2. Standartne ristdimeetria Moondetegurite suhted mx: my: mz = 2m:m:2m või mx: my: mz = m:2m:2m. Praktikas kasutatakse taandatud moondetegureid mx = mz = 1 ja my = 0.5, mis annab tulemuseks 1/0.94 = 1,06 korda. Telgede kujutise võime konstrueerida joonisel 58 näidatud viisil.
z ° 67 0°
6 .1 12
O 97
120° y x x y
Joon. 57 Joon. 58
30 9.3.3. Frontaalne kalddimeetria Moondeteguri väärtused on siin mx = mz = 1 ja my = 0.5. Tasandilised kujundid , mis on paralleelsed xz- tasapinnaga, projekteeruvad moondevabalt. Telgede x ja z kujutised on omavahel risti; y- telje kujutise kaldenurk horisontaali suhtes võib olla kas 30° , 45° või 60° (joon.59).
9.3.4. Horisontaalne kaldisomeetria Moondetegurite väärtused on mx = my = mz = 1. Moondevabalt projekteeruvad xy- tasapinnaga paralleelsed tasandilised kujundid. Telgede x- ja y- kujutised on omavahel risti; y- telje kujutise kaldenurk horisontaali suhtes võib olla 30° ,45° või 60° (joon.60).
z z
30°;45°;60° 30°;45°;60° x O O y x y
Joon. 59 Joon. 60
31 Kasutatud kirjandus
1. O. Rünk, N. Paluver, A. Talvik . Kujutav geomeetria. Tln., Valgus, 1986, 276 lk. 2. Kujutava geomeetria harjutusülesanded. Koostanud M. Kraaving jt. TTÜ, 1996. 3. Kujutav geomeetria. Metoodiline abimaterjal­ töövihik ehituserialadele I. Koostanud A. Talvik, TTÜ, 1989.
32