Kollokvium II (0)

5 VÄGA HEA

Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa.
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x)
Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x)
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x)
Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt , toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et
2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x)f’(x);
f’(x): ning g’(x)= siis
* Jagatise tuletise valemi tuletus:
= =
3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine . Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine.
LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures
LAUSE: Kui lõigul pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures
Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x):
Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)0 (xX), siis
Tõestus: Lause eeldustel saame millest järeldub lause väide .
4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis
Kui funktsioon on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus:
5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus.
Definitsioon
Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks kohal a.
=
Definitsioon
Kui funktsioonil eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni n-järku tuletiseks kohal a.
Leibnizi valem
Funktsioonide korrutise n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga:
Kus binoomkordajad
Tõestus
Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise:
Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1.
Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib:
Saame:
Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1)
Saame:
Kuna
6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid.
Definitsioon
Avaldist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse või ,
Võttes , saame
– argumendi diferentsiaal
Diferentsiaali omadusi

Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga.
Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi

Kõrgemat järku diferentsiaalid :
Definitsioon
Funktsiooni n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni -järku diferentsiaalist
Saab näidata, et
7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb).
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja
x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) Lause
Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, et
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) > f (x) > f (x2).
Lause
Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline δ > 0, et
Lause
Kui f′(a) = c > 0, siis funktsioon on rangelt kasvav punktis a.
Kui f′(a) = c Tõestus.
Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f′(x) on positiivne punktis a, st
siis leidub selline δ > 0, et
Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a.
8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus.
Rolle’i teoreem
Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0.
Tõestus.
Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b).
Lagrange ’i keskväärtusteoreem
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b), siis leidub punkt c ϵ (a; b), et f (b) - f (a) = f ′(c)(b - a).
Cauchy keskväärtusteoreem
Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
9. Lagrange'i keskväärtusteoreem:
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c (a,b), et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
Tõestus: Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x)+ f(a). Funktsioon g=f-L rahuldab Rolle´i teoreemi eeldusi, seega leidub selline punkt c (a,b), kus 0=g´(c) = f´(c)-L´(c)=f´(c)-
10. Cauchy keskväärtusteoreem:
Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)0,siis leidub vahemikus (a,b) punkt c, et =s
Tõestus: Kasutame Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x):=(f(b)-f(a))g(x)- (g(b)-g(a))f(x). Lagrange´i keskväärtusteoreemi põhjal leidub selline punkt c (a,b), kus 0=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))- (g(b)-g(a))(f(b)-f(a)=h(b)-h(a)=h´(c)(b-a)=[(g(b)-g(a))f´(c)-(f(b)-f(a))g´(c)](b-a). Lähtudes tõestuse käigus saadud avaldisest võime anda Cauchy keskväärtusteoreemi kujul:
Lause(Cauchy keskväärtusteoreemi alternatiivne sõnastus): Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b), siis leidub punkt c, et (f(b)-f(a))g´(c) = ((g(b)-g(a))f´(c). Võttes Cauchy keskväärtusteoreemis g(x)=x, saame (f(b)-f(a))1= (b-a)f´(c) ehk Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Võttes Lagrange´i keskväärtusteoreemis funktsiooni f, mis rahuldab tingimust f(a)=f(b), saame 0= f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)f´(c)=0 ehk Rolle´i teoreemi. Seetõttu kasutatakse Cauchy keskväärtusteoreemi kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem.
11. Tõestada L’ Hospitali reegel määramatuse korral .
NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema.
= = 1
= = = 1
= = = 1
= = = 1
12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem.
Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi:
, ,
Polünoomi otsime kujul:
Leiame vajalikud tuletised:
+...+n
...................
............
Asendades valemisse (1)
saame otsitava polünoomi:
Jääkliige: Rn(x)=f(x)-Pn(x)
Taylori valem :
Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks
f(x) =
13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul)
Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige on esitatav Lagrange kujul.
Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi:
Kui meil eksisteerib ka
-järku tuletis
, siis saame jääklikmele nn . Lagrange kuju:
Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud. Otsime Taylori valemi jääkliiget (x) kujul:
+ Et F(a)=f(x) ja F(x)=f(x), siis punkti a mingis funktsiooni jaoks rakendatav Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x 0 -range lokaalne miinimum
Statsionaarsed ja kriitilised punktid
Elnevalt me näitasime, et kui f ’(a) eksisteerib ja f ’(a) 0, siis funktsioon f on punktis rangelt kasvav. Seega lokaalsed ekstreemumid
saavad tekkida punktides, kus f ’ = 0 ( Fermat ’ teoreem) või f ’ ei eksisteeri.
Definitsioon ( statsionaarne punkt)
Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f ’(a) = 0:
Definitsioon (kriitiline punkt)
Punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a onstatsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist.

15. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Esimest järku tingimused (f ’ märgi muutus).

Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused
Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit.
Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)
Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv vahemikes (a - δ; a) ja (a; a + δ), kusjuures
f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a)
f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ)
siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui
f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a - δ; a)
f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a; a + δ)
siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum.
Tõestus.
Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv δ, et
0 Lagrange’ keskväärtusteoreemi põhjal x ϵ (a - δ; a) leidub c ϵ (x; a)
Δy = f (x) - f (a) = f ’(c)(x - a)
kuna x - a 0, siis Δy ≤ 0 kui f ’(c) ≤ 0 iga c ϵ (a; a + δ).
Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum.
16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused
( f’’(a) või f n+1(a) märk).
Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused: Eesmärgiks on tuletada piisavaid tingimusi lokaalsete
ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori valemit.
*Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)
Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv vahemikes (a - δ; a) ja (a; a + δ), kusjuures f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a) ja f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ)
siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui aga f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a - δ; a) ja f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a; a + δ) siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum.
Kui leidub selline
, nii et kui funktsiooni
korral
ja
ning
siis
1) juhul kui
on paaritu arv, on funktsioonil
punktis
range lokaalne ekstreemum , kusjuures
korral on punktis
range lokaalne maksimum ja
korral range lokaalne miinimum,
2) juhul kui
on paarisarv , ei ole funktsioonil
punktis
lokaalset ekstreemumit.
Funktsioonil on punktis
lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv
, et 0 0 iga x  (a; b) korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) 0 iga x  (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) kumer vahemikus (a; b).
19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus.
Kui ja punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt, siis f’’(a) = 0. Tõestus:Et punkt a on käänupunkt, siis leiduvad sellised vahemikus sisalduvad punkti a vasak- ja parempoolsed ümbrused, millest ühes on funktsiooni f(x) graafik kumer ja teises nõgus.
*Kui /= 0 ja f ’’’ on pidev punktis a, siis punkt a on funktsiooni f(x) käänupunkt. Tõestus: Lause tingimusel on funktsiooni f(x) teist järku Taylori valemil punktis a kuju . Et /= 0 ja , siis punktile a piisavalt lähedaste argumendi väärtuste korral suurus säilitab märki. Järelikult, argumendi läbiminekult punktist a jääkliige muudab märki, sest esimene tegur ei muuda märki, ent teine tegur (x-a)3 muudab. Seega on ühel pool punkti a jääkliige positiivne ja teisel pool negatiivne, st ühel pool punkti a on punktis a konstrueeritud puutuja allpool funktsiooni graafikut ja teisel pool punkti a on puutuja ülalpool funktsiooni graaikut ning punkt a on käänupunkt.
20).Joone asümptoodid
Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile , siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks.

vertikaalasümptoodid x = a;

Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused.

kaldasümptoodid y = kx + b, kus

Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata juhul ning seejärel asetada nad antud võrdusesse.(y=ax+b)

.DOC Laadi alla originaalfail 11 lk · .doc · 195 allalaadimist

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 11 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-03-05 Kuupäev, millal dokument üles laeti

195 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

interpreter Õppematerjali autor

Kogu materjal teise kollokviumi kirjutamiseks.

kollokvium matemaatika analüüs tuletis Tuletise lineaarsus

Sarnased õppematerjalid

doc

Matemaatiline analüüs I, 2. kollokviumi spikker

1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on Tõepoolest, valem kehtib juhul n=1. y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on ka n korral. Seega kehtib: diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid,saame

Matemaatiline analüüs 1

pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium II spikker(2LK)

1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Lause: Kui funktsio

Matemaatiline analüüs i

odt

Matemaatiline analüüs I, II kollokviumi spikker

1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui sellefunktsiooni graafik

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs II kontrolltöö

Matemaatiline analüüs II kontrolltöö Punktid 23-45 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) Loetleda diferentsiaali omadused. a. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana b. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile?(Tõestada) c. Loetleda diferentsiaali omadused c.1. c.2. c.3. c.4. c.5. 24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid.Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. a. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid a.1. Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui a.1.1. Funktsioon

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liid

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs 1

23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et

Matemaatiline analüüs 1

docx

Kollokvium III 1.17-1.23 kõik

1.17. L'Hospitali reegel Reegel, abistamaks piirväärtuse leidmist. Lause 1. Kui ja eksisteerib ning , siiseksisteerib ka , kusjuures , st . Analoogiline v'ide peab paika ka vasakpoole piirväärtuse ja ka kahepoolse piirväärtuse korral. Tõestus. Eelduses, et eksisteerib sisaldub vaikimisi, et Olgu suurus selline, et . Vaatleme abifunktsioone: ja . Ning nendest järeldub, et , kusjuures . Et , siis funktsioonid F(x) ja G(x) rahuldavad Cauchy teoreemi eeldusi ning kehtib väide: . Vasakpoolse piirväärtusega analoogselt: (kirjutan ümber sama aint a-) Niiet kui on täidetud see sama tingimuste kompott ja kehtivad sellised piirväärtused ja eksisteerib , siis kehtib võrdus . N. N. 1.18.Taylori polünoom. Olgu y=Pn(x) n-järku vektorruum, kus baasiks on {1, x-a, (x-a)2,...,(x-a)n} . Leian kordajad Ck: Pn(a)=C0 . Diferentseerides mõlemaid pooli, saame, et . Analoogilist mõttekäiku jätkates jõuame tulemuseni: N. P2(x)=x2+x-7 [P2(x)=5+7/1!(x-3)+2/2!(x-3)2] 1.19. Taylori valem. K

Matemaatiline analüüs

Rohkem sarnaseid