Matemaatiline analüüs I, 2. kollokviumi spikker (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs 1

5 VÄGA HEA

Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa.
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x)
Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x)
Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x)
Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt , toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid,saame kolmandana saame aga, et
2).*Korrutise tuletise valemi tuletus : f(x)→ f’(x);
f’(x): ning g’(x)= siis
*Jagatise tuletise valemi tuletus:
= =
3. Liitfunktsiooni tuletise valemi tuletamine . Pöördfunktsiooni tuletise valemi tuletamine. Logaritmilise tuletise valemi tuletamine.
LAUSE: Kui funktsioonidel f(x) ja g(u) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures
LAUSE: Kui lõigul [a,b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil x=f -1(y) leidub tuletis kohal f(x), kusjuures
Tõestus: Leiame funktsiooni f -1(y) tuletise kohal f(x):
Logaritmiline Lause: Kui f(x)D(X) ja f(x)0 (xX), siis
Tõestus: Lause eeldustel saame
millest järeldub
lause väide( mott ).
4. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis
Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul , kusjuures funktsioonid on diferentseeruvad vahemikus (α, β) ja on lõigul [α, β] rangelt monotoonne ning , siis , täpiga tähistatakse tuletist parameetri järgi. Tõestus:
5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valemi tõestus.
Definitsioon:Kui funktsioonil f ’ eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f teist järku tuletiseks kohal a.
=
Definitsioon: Kui funktsioonil f(n-1)eksisteerib tuletis punktis a, siis seda tuletist nimetatakse funktsiooni f n-järku tuletiseks kohal a.
Leibnizi valem: Funktsioonide korrutise f(g)g(x) n-järku tuletis punktis a avaldub valemiga:
Kus binoomkordajad
Tõestus: Kasutame matemaatilse induktsiooni meetodit. Näitame induktsioonibaasi, st leiame esimese tuletise:
Tõepoolest , valem kehtib juhul n=1.
Nüüd tuleb näidata induktsioonisamm: eeldame, et valem kehtib juhul n-1 ja näitame, et sel juhul kehtib ta ka n korral. Seega kehtib:
Saame:
Teeme esimeses summas muutujavahetuse (summeerimisindeksi nihke) j:=k+1(k=j-1)
Saame:
Kuna
6. Funktsiooni diferentsiaal ja selle omadused. Kõrgemat järku diferentsaalid.
Definitsioon
Avaldist f’(x)Δx nimetatakse funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk´esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df , dy= df = f’(x)Δx
Võttes y=x , saame dy=dx=x’ * Δx = Δx
dx– argumendi diferentsiaal dy=f’(x)dx↔f’(x) = dy/dx
Diferentsiaali omadusi
Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga ; Nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ekvivalentne funktsiooni diferentsiaaliga piirprotsessi Δx→0; f’(x)=dy/dx ; d(f+g)=df+dg ; d(fg)=df*g+ f*dg ;d(f/g)=(df*g-f*dg)/g2
Kõrgemat järku diferentsiaalid
Definitsioon
Funktsiooni y=f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist dny=(dn-1y) Saab näidata, et dny=f(n) (x)(dx)n
7. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Näidata, et kui funktsiooni tuletis on positiivne (negatiivne), siis funktsioon kasvab (kahaneb).
Definitsioon
Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja
x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 0
Definitsioon:Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kahanevaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) > f (x) > f (x2).
Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kahanev punktis x, siis leidub selline δ > 0, et 0 Kui f′(a) = c Tõestus: Kui funktsiooni y = f (x) tuletis f′(x) on positiivne punktis a, st
siis leidub selline δ > 0, et 0 0
Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a.
8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus.
Rolle’i teoreem
Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0.
Tõestus: Kuna lõigul pidev funktsioon saavutab seal oma minimaalse ja maksimaalse väärtuse, siis leidub funktsioonil f (x), mis ei ole konstantne funktsioon, vastavas vahemikus vähemalt üks ekstreemumpunkt c, kus f ′(c) = 0. Konstantse funktsiooni korral f ′(x) = 0 iga x ϵ (a; b).
Cauchy keskväärtusteoreem
Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a; b] ja diferentseeruvad vahemikus (a; b), kusjuures g′ (x) ≠ 0, siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, et
9. Lagrange 'i keskväärtusteoreem:
Kui funktsioon f on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b),
siis leidub punkt c ϵ (a; b), et f (b) - f (a) = f ′(c)(b - a).
Tõestus: Kasutame Rolle´i teoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni L(x)+ f(a). Funktsioon g=f-L rahuldab Rolle´i teoreemi eeldusi , seega leidub selline punkt c ∈ (a,b), kus 0=g’(c) = f’(c)-L’(c)=f’(c)-
10. Cauchy keskväärtusteoreem:
Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b),kusjuures g´(x)≠ 0,siis leidub vahemikus (a,b) punkt c, et =
Tõestus: Kasutame Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Selleks defineerime abifunktsiooni h(x):=(f(b)-f(a))g(x)- (g(b)-g(a))f(x). Lagrange´i keskväärtusteoreemi põhjal leidub selline punkt c ϵ (a,b), kus 0=(f(b)-f(a))(g(b)-g(a))- (g(b)-g(a))(f(b)-f(a)=h(b)-h(a)=h´(c)(b-a)=[(g(b)-g(a))f´(c)-(f(b)-f(a))g´(c)](b-a). Lähtudes tõestuse käigus saadud avaldisest võime anda Cauchy keskväärtusteoreemi kujul:
Lause(Cauchy keskväärtusteoreemi alternatiivne sõnastus): Kui funktsioonid f ja g on pidevad lõigul [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus (a,b), siis leidub punkt c, et (f(b)-f(a))g´(c) = ((g(b)-g(a))f´(c). Võttes Cauchy keskväärtusteoreemis g(x)=x, saame (f(b)-f(a))1= (b-a)f´(c) ehk Lagrange´i keskväärtusteoreemi. Võttes Lagrange´i keskväärtusteoreemis funktsiooni f, mis rahuldab tingimust f(a)=f(b), saame 0= f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)↔ f´(c)=0 ehk Rolle´i teoreemi. Seetõttu kasutatakse Cauchy keskväärtusteoreemi kohta ka nimetust üldistatud keskväärtusteoreem.
11. Tõestada L’Hospitali reegel määramatuse 0/0 korral .
NB ! Nullid peaksid seal võrdusmärgi all ja üleval olema.
= = 1 = = = 1 = = = 1 = = = 1
12.Taylori valemi tuletamine, Taylori valem, Maclaurini valem.
Olgu y= f (x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n + 1 korda diferentseeruv. Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi:
Pn(a)=f(a)
P’n(a)=f’(a),
P’’n(a)=f’’(a), … ,Pn(n)(a)=f(n)(a)
Polünoomi otsime kujul:
Pn(x)=C0+c1(x-a)+C2(x-a)2+..+Cn(x-a)n (1)
Leiame vajalikud tuletised:
P’n(x)=C1+2C2(x-a) +3C3(x-a)2+…+n
Cn(x-a)n-1
P’’n(x)=2C2+3*2C3(x-a)+…+n(n-1)Cn(x-a)n-2
...................
Pn(n)(x)=n(n-1)*..*2*1Cn
f(a)=C0,→C0=f(a)
f’(a)=C1,→C1=f’(a)
f’’’(a)=3*2*1C3, →3=[1/(1*2*3)]*f’’’(a)
............
f(n)(a)=(n-1)(n-2)*…*3*2*1Cn→Cn=[1/(1*2*3*…*n)]*f(n)(a),
Asendades C1,C2,…,Cn valemisse (1)
saame otsitava polünoomi: Jääkliige : Rn(x)=f(x)-Pn(x)
Taylori valem : Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks c ϵ (0,x))
f(x) =
13. Taylori valemi jääkliikme Lagrange kuju tuletamine(n=2 või üldjuhul)
Lause: Kui funktsioon f(x) on n+1 korda diferentseeruv punkti a δ-ümbruses (a-δ,a+δ), siis iga korral on see funktsioon esitatav n-järku Taylori valemi abil, kusjuures jääkliige Rn(x) on esitatav Lagrange kujul.
Üldjuhul: Oleme saanud n-järku Taylori valemi:
Kui meil eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis f(n+1)(b) , b ϵ [a,x] , siis saame jääklikmele nn . Lagrange kuju:
Tõestus: Olgu järgnevalt argumendi x väärtus fikseeritud. Otsime Taylori valemi jääkliiget Rn(x) kujul:
+ Et F(a)=f(x) ja F(x)=f(x), siis punkti a mingis funktsiooni jaoks rakendatav Rolle teoreem, st vahemikus (a,x), kui x>a, või vahemikus (x,a), kui x 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv vahemikes (a - δ; a) ja (a; a + δ), kusjuures
f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a - δ; a)
f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a; a + δ)
siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne maksimum. Kui
f ’(x) ≤ 0; x ϵ (a - δ; a)
f ’(x) ≥ 0; x ϵ (a; a + δ)
siis punktis a on sellel funktsioonil lokaalne miinimum.
Tõestus.
Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv δ, et
0 Lagrange’ keskväärtusteoreemi põhjal xϵ(a - δ; a) leidub cϵ(x; a)
Δy = f (x) - f (a) = f ’(c)(x - a)
kuna x - a 0, siis Δy ≤ 0 kui f ’(c) ≤ 0 iga c ϵ (a; a + δ).
Seega on vajalik funktsiooni pidevus punktis a, tuletise olemasolu punktis a ei ole vaja. Analoogilselt on võimalik tõestada lokaalse miinimumi juhtum.
16. Lokaalse ekstreemumi piisavate tingimuste tuletamine. Kõrgemat järku tingimused
( f’’(a) või f n+1(a) märk).
Tuletise märgi hindamine ei pruugi olla elementaarne ülesanne. Kasutades Taylori valemit saame sõnastada järgneva teoreemi, kus saame kasutada konkreetseid arve, mitte hinnanguid.
Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused)
Kui leidub selline δ > 0, nii et Kui funktsiooni f (x) korral f’(a) =...= f (n)(a) = 0 ja f (n+1)(a) 6= 0 ning f (n+1)(x) 2 C(a); siis
1) juhul kui n on paaritu arv, on funktsioonil f (x) punktis a range lokaalne ekstreemum , kusjuures f (n+1)(a) 0 korral range lokaalne miinimum,
2) juhul kui n on paarisarv , ei ole funktsioonil f (x) punktis a lokaalset
ekstreemumit.
Tõestus: Funktsioonil on punktis a lokaalne maksimum parajasti siis, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 Paneme kirja Taylori valemi
Kuna f’(a) =... = f (n)(a) = 0 ja meil eksisteerib (n + 1)-järku tuletis siis x ϵ (a - δ1; a) (xϵ (a; a + δ 1)) korral leidub c ϵ (x; a) (cϵ (a; x))
Kui n on paaritu, siis (x - a)n+1 on positiivne. Kuna f (n+1)(a) ≠ 0 ja f (n+1) on pidev punktis a, siis leidub U δ 2(a) kus f (n+1) > 0 või f (n+1) 0 kui f (n+1)(a) > 0. Kui n on paaris, siis jääkliikme märk vaheldub ja lokaalset
ekstreemumit ei ole.
G.17 . Kumerus , nõgusus, käänupunktid .
Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- δ ; a + δ) allpool (täpsemini, mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule.
Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis.
Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ -ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- δ; a + δ) ülalpool (täpsemini, mitte allpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule.
Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on nõgus hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on nõgus hulga X igas punktis.
Definitsioon: Öeldakse, et punkt a (täpsemini punkt (a, f (a))) on funktsiooni f (x) graafiku käänupunkt , kui leidub selline δ > 0, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal (a- δ; a) ja nõgus hulgal (a; a + δ) või nõgus hulgal (a - δ; a) ja kumer hulgal (a; a + δ).
18.Näidata, et f’’ märk määrab kas meil on tegemist antud punktis kumera või nõgusa funktsiooniga.
Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja . Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Kui puutuja tõus suureneb siis joon muutub järsemaks. Seega nõgus joon kaardub ülespoole. Seevastu puutuja tõusu vähenedes muutub joon laugjamaks. Seega kumer joon kaardub allapoole. Kuna joone y = f(x) puutuja tõus punktis (x, f(x)) võrdub funktsiooni f tuletisega siis me võime väita et seal kus f ‘ kasvab on joon y = f(x) nõgus ja seal kus f ‘ kahaneb on joon y = f(x) kumer. Saame järgmised laused: 1. Kui f ‘ ‘ (x) > 0 iga x  (a; b) korral siis f ‘ on kasvav vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘ ‘ (x) väited : 1. Kui f ‘‘ (x) > 0 iga x  (a; b) korral siis joon y = f(x) on nõgus vahemikus (a; b). 2. Kui f ‘‘ (x) 19. Käänupunkti piisavate tingimuste tõestus.
Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1; f (x1) ) joone y = f(x) käänupunkt.
20).Joone asümptoodid
Kui joone y = f(x) punkti P kaugenemisel lõpmatusse punkti P kaugus mingist sirgest läheneb tõkestamatult nullile , siis seda sirget nimetatakse selle joone asümptoodiks.

vertikaalasümptoodid: Joon x=a on funktsiooni y=(f) vertikaalasümptoodiks, kui vähemalt üks järgnevatest tingimustest on tõene: 1. 2.
horistonaatlasümptoodid: Horisontaaljoon y=c on funktsiooni y=f(x) asümptood , kui: või .
kaldasümptoodid y = kx + b, kus

Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused a ja b määrata juhul x→ ∞ ning seejärel asetada nad antud võrdusesse.(y=ax+b)
21. Funktsiooni diferentsiaali geomeetriline tõlgendus: dy = y’(x) dx=y’(x)Δx , y’(x)=tan α, dy/ Δx=y’(x)tan α. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y=f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab argumendi numbrile Δx = dx.

.DOC Laadi alla originaalfail 3 lk · .doc · 50 allalaadimist

Matemaatiline analüüs I-2-kollokviumi spikker #1

Matemaatiline analüüs I-2-kollokviumi spikker #2

Matemaatiline analüüs I-2-kollokviumi spikker #3

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 3 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2016-05-22 Kuupäev, millal dokument üles laeti

50 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

vanapapi Õppematerjali autor

Täiustatud 2. kollokviumi spikker.

Gert Tamberg matanalüüs I matemaatiline analüüs I kollokvium spikker kollokvium

Sarnased õppematerjalid

pdf

Matemaatilise analüüsi kollokvium II spikker(2LK)

1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) Lause: Kui funktsio

Matemaatiline analüüs i

doc

Kollokvium II

1. Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning summa tuletis on tuletiste summa. Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Tõestus:Korrutise tuletisest y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y'=f(x)*c'+f '(x)*c=0*f(x)+c*f '(x)=c*f '(x) Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon y=f(x)+g(x) Tõestus: y=f(x)+g(x) esmalt, toimides sammhaaval, tehes eraldi tehetena komponendid, saame kolmandana saame aga, et 2).*Korrutise tuletise valemi tuletus: f(x) f'(x); f'(x): ning g'(x)= siis *Jagatise tuletise valemi tuletus: =

Matemaatika analüüs i

pdf

Matemaatiline analüüs I teine teooria

Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks

Matemaatiline analüüs

odt

Matemaatiline analüüs I, II kollokviumi spikker

1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised. (tapsemini, mitte ulalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f(a)) funktsiooni graafikule. Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer hulgal X, kui sellefunktsiooni graafik

Matemaatiline analüüs

docx

Kordamisküsimusi 3. teema kohta - Teooriatöö II

Kordamisküsimusi 3. teema kohta 1. Defineerida funktsiooni tuletis. Mis on diferentseeruv funktsioon ja diferentseerimine? Funktsiooni f tuletiseks punktis a nimetatakse järgmist suurust: f ( x )−f (a) f ' ( a )=lim x→ a x−a Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. 2. Esitada tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi: ∆x = x − a → argumendi muut kohal a , ∆y = f(x) − f(a) →funktsiooni muut kohal a . Siis f ( x )−f ( a) ∆y ∆y f ' ( a )=lim =lim =lim x→ a x−a x→a ∆ x x→ 0 ∆ x 3. Sõnastada ja tõe

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liid

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs I kordamine eksamiks

1. Reaalarvud Reaalarvude hulga R kirjeldamisel peab oskama välja tuua järgmist: 1) Q ⊂ R – ratsionaalarvude hulk sisaldub reaalarvude hulgas 2) Aritmeetika (tehted reaalarvudega) ja järjestus Aritmeetika. Eeldame, et hulgas R on defineeritud reaalarvude liitmine ja korrutamine järgmiste omadustega: (A1) a + b = b + a kõikide a,b € R korral (liitmise kommutatiivsus) (A2) (a + b)+ c =a +(b + c) kõikide a,b,c € R korral (liitmise assotsiatiivsus) (A3) b + 0 = b iga b € R puhul (nullelemendi olemasolu) (A4) iga b € R puhul leidub -b € R korral omadusega b + (-b) = 0 (vastandelemendi olemasolu) (M1) ab = ba kõikide a,b € R korral (korrutamise kommutatiivsus) (M2) (ab) c = a (bc) kõikide a,b,c € R korral (korrutamise assotsiatiivsus) (M3) 1b = b iga b € R puhul (ühikelemendi olemasolu) (M4) iga b € R {0} puhul leidub b-1 € R omadusega bb-1=1 (pöördelemendi olemasolu) (D) (a + b)

Matemaatiline analüüs

Rohkem sarnaseid