Kujutava Geomeetria abimaterjal (0)

TallinnaTehnikaUlikool
Insenerigraafikakeskus
GEOMEETRIA
KUJUTAVA
ULDKURSUS
ABIMATERJALLOENGUTE
KUULAMISEKS
KoostanudEdgarKogermann
Tallinn
2001
h) Kahe kiivsirgevahelistnurka mS6detakse
tavalisenurgaga,mille haaradon nende
SISSEJUHATUS paralleelsed.
kiivsirgetega
l) Kahetahulistnurka m66detaksenurgaga,
1. Kujutavgeomeetriaon geomeetriaeriharu, mille haaradasetsevadteine teisel tahul
milleskdsitletakse ning on risti tahkude l6ikejoonega
- objektidesttasandilistekujutistefiooniste) (kahetahulisenurgaservaga).
tuletamist;
-ruumigeomeetrilisteUlesannetelahenda- elementideja nendevastas-
3. Geomeetriliste
mistkujutisteabil. tikuste asendite kideldamisekskasutatakse
Tehnikak6rgkoolismoodustab kujutav geo- jdrgmisi0ldisitdhiseid
ja mdrke:
meetriakoosjoonestamise kursusegatervikliku
ainetsUklija teenibjdrgmisieesmdrke: A,8,C,...;1
,2,3,... - ruumipunktid;
1) annab teoreetilisedalused jooniste val- a,b,c,... - jooned;
mistamiseks ja lugemiseks;
0,F' Y,... - pinnadja nurgad;
2) arendabruumikujutlusv6imet;
allb ll - paralleelsus (a on
3) 6petabja evitabvajalikkeoskusijooniste
konektseksvormistamiseks. paralleelne b-ga);
Kujutavageomeetriakursusekonalikomanda- bxc - l6ikumine(b l6ikub
mine on seega olulisekseeldusekstehniliste c-ga);
erialade 6ppimisel. Seda eriti ehitus- ja cId - ristseis(c on risti
mehaanikaerialade 6ppimisel,kus joonistelon
informatsiooni vahendajana erilinekoht. d-ga);
Ac? - kuuluvus(punktA
2. Kujutava geomeertia 6ppimisel on vaja kuulubjoonelea);
teada mitmesuguseid elementaargeomeetriast A'= B' - samasus,Uhtimine
tuntud t6siasju. Olulisemaidneist meenuta- (punktidA' ja B'
takseallpool.
0htivad).
a) Kaks sirgjoont(samutikakstasandit),mil-
lest kumbki on paralleelnekolmandaga,
on paralleelsedka omavahel. Erilist tdhendust omavate geomeetriliste
elementide tdhisedesitataksetekstisvastavate
b) Kui paralleelsedsirged l6ikavad nurga
m6isteteselgitamisekdigus.
haarasid,siis l6igud, milleksparalleelid
jaotavadnurga 0he haara,on v6rdelised
l6ikudega, milleks nad jaotavad nurga
teisehaara.
c)
1) Sirgeja tasandil6ikumisUlesande korduva
lahendamisegaleitakse 16ikehulknurga
tipud;
2) Kahe tasandi l6ikumisulesande korduva
lahendamisegaleitakse l6ikehulknurga
kUljed.
loon.3.7
Praktikaskasutataksem6lemaid mooduseid
ldbisegi,sest nii on tavaliselt k6ige ots-
Vtidirib r6hutamist,et joonistel3.6 ja 3.7 tarbekam.
esitatud v6tted on h6lpsastikasutatavadka Tahukatel6ikumistilesannete lahendamiselon
punktideviimisekspOorendist
kaksvaatesse. kasulikteada,et kolmetasandil6ikesirged kas
l6ikuvadk6ik tlhes punktisv6i on paralleelsed
( kui a= cr xB; b= Bxy; c= oXy, siis
a x b x c=L v6i allbllc; joon. 4.1 ) . See
reegel tuleneb jilgedega antud tasandite
4. TAHUKAD l6ikejoone leidmisejuhisest,kujutadesendast
4.1 Tahukateliigitelu viimaseuldistust.
Tahukas (polueeder)on tasandilistehulk-
piiratudkeha.Tahukas
nurkadega(tahkudega)
20
Niude puramiidi;":::.i r6ikumiseston
toodud joonisel 4.2. Lahendamisemuudab
antudjuhullihtsakspuramiidi eriasendilinetahk
ABT, sest l6ikejoonselleltahul osutubl6ikava Joon.4.4
tasandifrontaaliks.Edasinelahenduskiikon
taolisteleUlesannetele tUUpiline.
Et tahkABCD
paikneb p6hiekraanil,saab l6ikehulknurga Joonistel4.3 ja 4.4 on ndidatudanaloogilise
jtilgpunktide
rileftiiinudktiljedleidal6ikesirgete ulesandelahendamine ja
vastavaltlisaekraani
abil. uute kujutamiskiirtev6ttega. M6lemal juhul
seatakse eesmdrgiks projekteerida loiget
tekitavtasandekraanilesirgeksning mddrata
l6ikehulknurga
tipuduue projektsiooni
kaudu.
Sealt kantakse loikejoone punktid juba
pUramiidiUlejdiinud
kujutistete.
P'r@\ 2. Tahukaja sirge l6ikumiselleitaksel6ike-
punktid sirge ja tasandi l6ikumistilesande
\,94 ja horisontaalsed kujundidmoonde-
tasandilised
vabalt, kasutatakseseda aksonomeetrialiiki
kolmandal teljel 1BJrxQ,47. Kasutades joonistelruumidesisus-
sageliarhitektuurilistel
1 ja 0,5, on kujutise
taandatudmoondetegureid tuse nditamiseks. Taolisejoonise suur eelis
suurendustegur f ==f o 1,06.Joonisel6.2,b seisnebselles,et ruumideplaanidsdilitavad
0,94 aksonomeetriasoma 6ige kuju ja k6ik
on antud konstruktsioon standardse k6rgusedon ndha t6elises suuruses.Pilt-
ristdimeetriateljestikupildijoonestamiseks. kujutiseilmekuseja selguse suurendamise
eesmirgil lubataksetelgede x ja y kujutiste
asenditmuutanurgao varieerimisega 30o,45o
ja 60'. Joonisel6.4,b on kujutatudsama
silindriliseauguga klots horisontaalses
kald-
isomeetrias.
Joon.6.2
3. Frontaalnedimeetrilinekaldaksonomeetria
ehk frontaalne kalddimeetria on kald-
projektsioon,kus ekraaniksv6etaksexz-pindja
y-telgprojekteeritaksesinna kaldkiirteabil. Kui
kujutamiskiiredon valitudnii, et y-teljekujutis
tuleb telgede x ja z vahelise tdisnurga Joon.6.4
poolitajale ning Uhikl6ik teljel projekteerub
poole lUhemana, on tegemist kabinet-
proiektsiooniga(joon.6.3,a). Frontaalse kald- 6.2 Koordinaatpindade paralleeltasanditel
aksonomeetria eriliseksomadusekson see, et asetsevate ringjoonte kujutamine
koik xz-pinnaga paralleelsedtasandilised aksonomeetrias
kujundid projekteeruvad moondevabalt.
Joonisel6.3,b on antudlihtsaobjektikabinet-
projektsioon. Koordinaatpindadelv6i nendegaparalleelsetel
tasanditel olevate ringjoonte kujutamine
ristaksonomeetriason suhteliseltlihtne, sest
vastavate kujutisellipsitetelgede asend ja
pooltelgedepikkuson kergestimddratavad.
32 KoorOinaatpindade paralleeltasanditel
asetsevate ringjoonte kujutiseks rist-
aksonomeetrias on ellips,millekihemtelg
on ringi tasandigaristi oleva koordinaat-
telje kujutise sihiline, pikem telg aga
sellegaristi.
Jo o n .6 .3
Joonisel6.5,a on antud taandatudmoonde-
4. Horisontaalne isomeetriline kaldaksono- jaoks konstruktsioon
teguritegaristisomeetria
on
meetria ehk horisontaalnekaldisomeetria paralleeltasandil
mis tahes koordinaatpinna
kaldprojektsioon,
kus ekraaniksv6etaksexy-
34
oleva ringjoone kujutisellipsi pooltelgede
a= 1,22r ja b = 0,71r graafiliseksmddra-
miseks.Joonis6.5,b aga nditabsamaaksono-
meetria liigi konal k6igil koordinaatpindadel
asetsevate ringjoonte kujutisellipseid,
joonestatuna koordinaattelgedega paralleel-
ja
sete kaasdiameetrite pooltelgedejArgi.
Ellipsi kuju tdpsustamisekssaab kasutada
kaasdiameetriteotspunktidesolevaid ellipsi
puutujaid, mis tihendatuna moodustavad
rombi.
Joon.6.7 Joon.6.8
Joonistel6.7 ja 6.8 on ndidatudkoordinaat-
pindadelolevateringjoontekujutisedfrontaal-
ses kalddimeetriasja horisontaalseskald-
isomeetrias(or= 30").
Jo o n .6 .5 6.3Aksonomeetriap6hiteoreem
Analoogiline konstruktsioon pooltelgede 33 Ekraanilejoonestatudkolme l6iku, mis
graafiliseks mddramiseks taandatud algavadk6ik0hestpunktist,kuid ei asetse
moondeteguritega ristdimeetria jaoks ja uhelsirgel,v6ibalativaadeldaristteljestiku
koordinaatpindade paralleeltasanditel
olevate tihikkolmikuparalleelprojektsioonina.
ringjoontev6imalikudkujutisellipsid on toodud
joonisel6.6, a ja b. Et tegemiston dimeetrilise
teljestikuga,esineb siin kahesugusekujuga Selle teoreemigat6estatakse,et alati leidub
ellipseid,kus pikempooltelga = 1,06ron koigil niisugune paralleelkiirte asendja
siht,teljestiku
v6rdne,ltihempooltelgaga vastav?lt b1= s' 3 Uhikupikkus,mis v6imaldabsaadakonkreetse
ja b, = 0,9a. Ellipsitelgedeorienteerimiselon vabaltette antud rihikkolmikukujutise.Antud
ka siinalusekslause32. kujutiselevastavateljestikuja kujutamiskiirte
sihi leidmiseUlesannet nimetatakse paralleel-
aksonomeetriap6hi0lesandeks. Kirjeldatud
teoreemi tuntakse ka Pohlke teoreemina,
vastavaltselle s6nastajasaksa matemaatiku
KarlWilhelmPohlkenimele.
6.4 Seosmoondeteguritevahel
Ristteljestiku
telgedemoondetegurid
on oma-
vahelseotudjdrgmiseteoreemialusel.
Jo o n .6 .6
34 Paralleelprojektsioonikorral on rist-
teljestikutelgede mooneteguriteruutude
summajidv suurus,vdirtusega2+ cot2g,
35
kaldenurkekraani
kus tpon kujutamiskiirte Nii v6ib viiita ka, et telgede kaldenurkade
suhtes. koosinusteruutudesummav6rdubkaheoa.
Kui nditeksx- ja y-telgasetsevadekraanilja z-
telg on ekraanigaristi,siis kaldkiirtekasutami-
se korralv6ib moondetegurid avaldadaj€irgmi-
6.5 Teljestikuristprojektsioonisaamine
selt(oon.6.9):
Kolmnurka,mille tippudekson telgedejiilg-
punktidja kulgedekskoordinaatpindade jdlg-
sirged,nimetatakseteljestikujilgkolmnurgaks.
UUlunuton teljestikujilgkolmnurkteravnurkne
$oon.6.10).Telgederistprojektsioonideseose
teljestiku jdlgkolmnurgagaannab jdrgmine
lause.
35 nisttetlestiku on
tetgederistprojektsioonid
jdlgkolmnurga k6rgussirgeteks.
Joon.6.9
fll, = 1, ffly = 1 ja mt = OCo : OC = COtg.
ruutudejiidva
Seega telgede moondetegurite
summavalemongiantud juhul
m r 2 +mr2m|=2
+ *co t'q .
Et ristprojektsioonikorral kiirte kaldenurk
g = 9Oo ning cot2g - 0, siis ristprojektsiooni
puhultelgedemoondeteourite ruutudesumma Joon.6.10
v6rdubkahega.Seega
m'2 +ml +mJ=2 . Siitjiireldub,et teljestikuristprojektsiooni
saab
tuletada vabalt joonestatud teravnurksest
jdlgkolmnurgastl€ihtudes.Selleks on vaja
Kui tdhistada telgede x, y ia z kaldenurki p66ratakoordinaatpinnad OXY, OYZ ja OZX
ekraanisuhtes vastavaltct, B ja y, avalduvad ekraanilevastavaltumberjdlgsirgeteXY, YZ ja
moondetegurid jiirgmiseltfioon.6.10): ZX, kasutadesasjaolu,et diameetriletoetuv
piirdenurkon tdisnurk. Kandnud telgede
pOorenditele Uhikl6igu pikkuse, saame
mx= cosct i fflv= cosF ; m, = cosy.
koordinaatpindu ruumi tagasi oma endisesse
asendissep66rates midrata ka uhikl6ikude
Teheseelmisesvalemisasendused,
saame kujutised. Nii tuletame igati 6ige teljestiku
ristprojektsiooni, mille alusel v6ib punktide
koordinaatide jdrgijoonestadaobjektikujutist.
cost cr,+ cos' F + cos2y = 2 .
36
SISUKORD
Sissejuhatus
1. P r o j e k t e e ri mi n........
e ..........3 3.4 Uutekujutamiskiirte v6te ...................
18
1.1 Projekteerimiseolemus. Projektsiooni 3.5 Objektip66ramineUmberekraani
m6iste .................3 nor m aali ...... ....
19
1.2 Tsentraalprojektsioon .........4 3.6 Tasandip66ramine umberjdlje .......... 1g
1.3 Paralleelprojektsioon ...........4 4. Tahukad ...... ....20
1.4 R i s t p r o j ektsi o o n ..................54.1 Tahukate liigitelu ...............
20
1.5 Projektsioonidele esitatavadn6uded....5 4.2 Tahukate l6ikumised .........20
2. M o n g e 'm i e e to d ..................65. ja
K6verjooned kOverpinnad...........22
2.1 Monge'imeetodiolemus. Punkti 5.1 Joonteprojektsioonilised omadused...22
kaksvaade .........
6
6.2 Ellips....... ..... ....23
2.2 Punktikolmvaade.Projektsioonid
koordinaatide jiirgi ......,........7 5.3 Kr uvijooned ............. ..........24
2.3 Sirgjoonekaksvaade. 5.4 Pindadest ja nendekujutamisest.......24
Si r g ej d l g p u n kti d .................75.5 P66r dpinnad ....................25
2.4 Eriasendilised sirged ..........
I 5.6 Joonpinnad ... ...26
2.5 Sirgloigu pikkusja kaldenurgad ............
9 5.7 UtOiseC teistj€ir kupinnad............ .......27
2.6 Kahesirgevastastikused asendid......10 5.8 Kr uvipinnad ............. ..........27
2.7 TasandikujutamineMonge'imeetodil. 5.9 Tsuklilised pinnad .............
28
T a s a n d i j ei l g si rg e d .............
11 5.10 K6verpindade l6ikumised ..................
2g
2.8 Er i a s e n d i l i se d ta sa n......................
did 11 5.10.1Kdverpinna ja tasandil6ikumine .........29
2.9 ja
Punkt sirgetasandil.Tasandi ja
5.10.2K6verpinnasirgel6ikumine .............
30
nivoosirged ......13 5.10.3K6verpindade omavaheline
2.10 Tasandilangusjooned l6ikumine gO
..........
j a k a l d e n urg a........
d .........14 5.11 Teistj€irkupindadel6ikumise
2.11 Tasandite l6ikumine ja paralleelsus ....14 erijuhtumid .....,..92
2.12 Sirgeja tasandil6ikumine ning 5.12 K6verpindade laotused .....g2
p a r a l l e e l su..............
s ........
1S 6. Aksonom eetr........
ia ...... ...33
2,13 Tasandinormaal.
6.1 AksonomeetriaUldiseloomustus
Sirgeja tasandiristseis..................... 16 ja liigid ......... .....
33
2.14 R i s t s i r g eRi
d .stta sa n d .....................
id 16 6.2 Koordinaatpindade paralleeltasanditel
2.15 Nurgadsirgeteja tasandite vahel.......16 asetsevate ringjoontekujutamine
3. Lisaprojektsioonid .........17 aksonomeetrias ................
34
3.1 Lisaprojektsioonide tuletamiseviisid .. 17 6.3 Aksonomeetria p6hiteoreem ..............
35
3.2 Uldistatud kolmvaate m6iste............... 1T 6.4 Seosmoondetegurite vahel ...............35
3.3 Lisaekraani praktiline kasutamine .......1g 6.5 Teljestikuristprojektsiooni saamine....36
Kdesolev 6ppevahendon m6eldud Tallinna Tehnika0likooliili6pilastele abi-
materjalks kujutava geomeetria loengute kuulamiselja liibitOOtamisel.Taolise
materjali koostamise tingis 6ppeaine tundide arvu oluline vdhendamine
1991l92.6ppeaastastkehtestatatud6ppeplaanides.Et uutes tingimustestagada
kujutava geomeetria6petamiselvajalik maht ja n6utav tase, oli vaja 6ppet66d
P6hilisepanusesellekspeaksidandmaUli6pilasedoma iseseisva
intensiivistada.
t66ga.Loodame,et siinpakutuaitabneideesmdrkesaavutada.
KaanekujundasK.Gilts
VastutavtoimetajaJ.Riives
@TTUinsenerigraafika keskus