Pöördliikumine (2)

Pöördliikumine
2.1 Ühtlase pöördliikumisega seotud mõisted
Vaatleme esmalt ühtlast pöördliikumist pöörleva ratta näitel, millel tähistame kaks punkti – punkt
kaugusel
ja punkt
kaugusel
pöörlemisteljest. Ratta pöörlemisel läbib punkt
ilmselt pikema teepikkuse
kui punkt , mille läbitud teepikkus olgu .
Järelikult pole erinevalt kulgliikumisest pöördliikumise korral mõtet rääkida teepikkusest, kuna erinevad keha punktid läbivad erinevad teepikkused . Jooniselt on näha, et läbitud teepikkused s on võrdelised kaugustega r pöörlemisteljest. Suhet
, (2.1)
mis on kõigi punktide jaoks ühesugune, nimetatakse pöördenurgaks. Pöördenurga ühikuks on SI-s üks radiaan :
kui selline nurk, mille kaarepikkus võrdub raadiusega . Täispööre sisaldab seega
radiaani.
Ühtlase liikumise korral ka nende punktide joonkiirused
(2.2)
on seetõttu erinevad ja on seda suuremad, mida kaugemal paikneb vaadeldav punkt pöörlemisteljest.
Märgime siinkohal, et pöörleva keha punkti joonkiirus on alati risti sellest punktist pöörlemisteljeni tõmmatud lühima sirgega (vt. viimane joonis).
Jagades pöörleva keha punkti joonkiiruse (2.2) tema kaugusega pöörlemisteljest, saame valemit (2.1) arvesse võttes suuruse
mis on samuti kõigi punktide jaoks ühesugune, kuna nii liikumisaeg kui pöördenurk ei sõltu punkti kaugusest pöörlemisteljest. Nii defineerime ühtlase pöördliikumise korral suuruse
(2.3)
kui pöördenurga ja selle läbimiseks kulunud aja jagatise . Seda nimetatakse nurkkiiruseks. Valemite (2.1) ja (2.2) põhjal seostub see joonkiirusega järgmise valemi kaudu:
. (2.4)
Mitteühtlasel pöördliikumisel defineeritakse nurkkiirus kui pöördenurga tuletis aja järgi:
. (2.5)
Nurkkiiruse ühikuks on radiaan sekundis,
Peale nurkkiiruse saab pöörlemist iseloomustada veel järgmiste suurustega. Esiteks pöörlemissagedus, mis ühtlasel pöördliikumisel defineeritakse
(2.6)
kui ajaühikus sooritatud pöörete arv. Valemis (2.6) N ongi tehtud pöörete arv ja t selleks kulunud aeg. Mitteühtlasel pöördliikumisel
. (2.7)
Pöörlemissageduse ühik on üks jagatud sekundiga ehk herts :
Et üks täispööre on
radiaani, siis nurkkiirus ja pöörlemissagedus on seotud valemiga.
. (2.9)
Veel iseloomustab pöörlemist periood T, mis on ühe täispöörde sooritamiseks kulunud aeg. Ilmselt kehtib
. (2.10)
Perioodi ühikuks on sekund.
2.2 Kiirendus ühtlasel pöördliikumisel
Valemi (1.4) põhjal on kiirendusvektor kiirusvektori tuletis aja järgi. Seega – kui kiirusvektor ajas muutub, esineb alati kiirendus. Vektori muutumine tähendab seda, et muutub kas vektori moodul , suund või mõlemad.
Et pöörleva keha punkti kiirus muudab pidevalt suunda, siis ka ta kiirendus erineb nullist. Kiirenduse arvutamiseks vaatleme ratast, mis pöörleb ühtlaselt vastupäeva nurkkiirusega . Valime paigaloleva koordinaatteljestiku selliselt , et ta alguspunkt asuks pöörlemisteljel ja z- telg oleks pöörlemistelje sihis. Siis ratta mingi punkti koordinaadid kui tema kohavektori vastavad komponendid avalduvad järgneva joonise põhjal:
kus r kui kohavektori moodul on selle punkti kaugus pöörlemisteljest. Et ühtlasel pöörlemisel valemit (2.4) arvestades saame
siis ratta punkti trajektoori võrrand esitub kujul
. (2.11)
Seega punkti kohavektor avaldub
(2.12)
Esmalt arvutame selle punkti kiirusvektori
kui kohavektori esimese ajalise tuletise, kasutades liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja:
. (2.13)
Et vektori skalaarkorrutis vektoriga
võrdub nulliga (kontrollida iseseisvalt!), siis on ka tõestatud, et kiirusvektor on pöördliikumisel trajektoori raadiusega risti.
Kiirusvektori tuletis aja järgi annab kiirendusvektori:
. (2.14)
Et suurus on positiivne, siis viimasest valemist järeldub, et ühtlasel pöördliikumisel on pöörleva keha punkti kiirendus suunatud pöörlemistelje suunas. Kiirenduse moodul
. (2.15)
Viimase tulemuse saamiseks kasutasime ka joon- ja nurkkiiruse seost, vt. valem (2.4). Valemiga (2.15) defineeritud kiirendust nimetatakse ka kesktõmbekiirenduseks ehk normaalkiirenduseks ja tähistatakse . Nimetus „ normaalkiirendus ” tuleb sellest, et see on suunatud trajektoori normaali sihis.
2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. Nurkkiirendus
Punktis 2.1 käsitlesime ühtlase pöördliikumise erijuhtu , kui keha pöörleb konstantse nurkkiirusega. Mitteühtlasel pöördliikumisel lisandub nurkkiirusele nurkkiirenduse mõiste.
Pöörleva keha nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi:
. (2.16)
Nurkkiirenduse ühikuks on radiaan sekund ruudus :
Koos võrrandiga (2.5) moodustab (2.16) see pöördliikumise võrrandite süsteemi:
(2.17)
Erijuhuna käsitleme veel ühtlaselt muutuvat pöördliikumist, kus . Siis liikumisvõrrandis, mis võimaldavad esialgset pöördenurka , esialgset nurkkiirust
ja nurkkiirendust
teades arvutata pöördenurga ja nurkkiiruse väärtused suvalisel ajahetkel t:
. (2.18)
Kontrollida iseseisvalt, et võrranditest (2.18) ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolest võrrandid (2.17).
Kõrvutades võrrandeid (2.18) ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise võrranditega
saame analoogiad sirgjoonelist liikumist ja pöördliikumist iseloomustavate suurustega:

teepikkusele sirgjoonelisel liikumisel vastab pöördenurk kõverjoonelisel liikumisel,

kiirusele vastab nurkkiirus,

kiirendusele vastab nurkkiirendus.
. (2.19)
Valemitest (2.4) ja (2.16) saame nurkkiirenduse jaoks avaldise
Et jäiga keha pöörlemisel punkti kaugus pöörlemisteljest ei muutu, siis ja me võime kirjutada
nurkkiirendus on joonkiiruse mooduli ajaline tuletis jagatud kaugusega pööremisteljest, mis annab meile pöörleva keha punkti tangentsiaal- ehk puutujakiirenduse, mida tähistatakse
ja mis on suunatud kiiruse sihis:
. (2.20)
Järelikult – jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarne kiirendusvektor
normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa:
. (2.21)
Kõverjoonelise liikumise korral on tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektoriga paralleelselt ja põhjustatud kiiruse mooduli muutumisest. Normaalkiirenduse vektor on suunatud trajektoori kõverusraadiuse sihis, s.t. kiirusvektoriga risti, ja põhjustatud kiiruse suuna muutumisest.
. (2.22)
Kuna tangentsiaal- ja normaalkiirenduse vektorid on omavahel risti, siis summaarse kiirenduse moodul võrdub ruutjuurega tangentsiaal- ja normaalkiirenduse vektorite moodulite ruutude summast :
. (2.23)
Joonis kujutab summaarse kiirenduse määramist kiireneva ringliikumise korral. Aeglustuva ringliikumise korral oleks tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektorile vastupidises suunas.
2.4 Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid.
Sellest, et kulgliikumise põhjalikumaks iseloomustamiseks tuleb peale läbitud teepikkuse teada ka suunda, tuleneb kulgliikumist kirjeldavate suuruste – nihe , kiirus ja kiirendus – vektoriseloom. Samamoodi ei piisa ka pöörde täpsemaks kirjeldamiseks ainuüksi pöördenurga teadmisest, tuleb teada ka pöörlemistelje asendit. Seega defineeritakse analoogiliselt nihkevektorile kulgliikumise korral pöördenurga vektor pöördliikumise korral.
Pöördenurga vektoriks
nimetatakse pöördliikumise korral niisugust vektorit , mille moodul võrdub läbitud pöördenurgaga ja mis on suunatud piki pöörlemistelge. Pöördenurga vektori suund määratakse kruvi reegliga – kui kruvi pöördliikumise suund ühtib keha pöörlemise suunaga, siis kruvi kulgliikumise suund ühtib pöördenurga vektori suunaga.
Kui vaatame pöörleva keha liikumist piki pöörlemistelge, siis kruvi reeglit kasutades järeldame, et vastupäeva ehk positiivses suunas pöörlemisel on pöördenurga vektor suunatud vaatlejast eemale, päripäeva ehk negatiivses suunas pöörlemisel vaatleja poole. Vektor
kujutab mõlemal juhul pöörleva ratta välisserval asuva punkti joonkiirust, vektor
raadiusvektorit.
Samamoodi on vektoriseloom ka nurkkiirusel ja –kiirendusel.
Nurkkiiruse vektoriks nimetatakse niisugust vektorit, mille moodul võrdub nurkkiirusega kui pöördenurga tuletisega aja järgi, suund ühtib pöördenurga vektoriga.
Et kolm vektorit –
ja – on omavahel risti ja nende moodulid on seotud valemiga
siis vektorkorrutise definitsiooni kasutades võime kirja panna nurkkiiruse ja joonkiiruse vahelise seose vektorkujul:
. (2.24)
Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1.4) arvestades pöörleva keha punkti kiirenduseks
. (2.25)
Võrrandi paremal pool on esimeses liidetavas nurkkiiruse vektori tuletis aja järgi. Nimetame selle nurkkiirenduse vektoriks.
Nurkkiirenduse vektoriks
nimetatakse nurkkiiruse vektori ajalist tuletist. Tema moodul võrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korral on ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmne analoogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga).
. (2.26)
Võrrandi (2.26) paremal pool teine liidetav sisaldab vektori
tuletist aja järgi, mis valemi (1.3) põhjal on pöörleva punkti kiirusvektor . Võtame veel arvesse valemit (2.24), siis saame pöörleva keha punkti kiirendusvektori jaoks järgmise avaldise:
. (2.27)
Esimene liidetav paremal pool on tingitud punkti kiirusvektori mooduli muutumisest, seega on esimene liidetav tangentsiaalkiirendus . Teine liidetav on tingitud kiirusvektori suuna muutumisest, seega on teine liidetav normaalkiirendus.
Märkus. Valem (2.27) kehtib ainult sellise liikumise korral, kui vaadeldava punkti kaugus pöörlemisteljest ei muutu – s.t. vektori
moodul ei muutu. Vastasel korral tuleb arvestada ka punkti kauguse muutumist pöörlemisteljest ja valemisse (2.27) tekivad seetõttu täiendavad liidetavad.
Samuti tuleb rõhutada, et vektorkorrutises on tähtis tegurite järjekord. Tegurite järjekorra muutmisel muutub vektorkorrutise suund vastupidiseks!