a21 a22 a2 n x2 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn b2 Ax = = = = b. .............. am1 am 2 amn xn am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn bm Seega on lineaarne võrrandisüsteem (2) esitatav maatrikskujul Ax = b. (3) Samaväärsed võrrandisüsteemid Definitsioon Kaht lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse samaväärseteks ehk ekvivalentseteks, kui neil on ühed ja samad lahendid. Lineaarse võrrandisüsteemi teisendamisel samaväärsele kujule kasutatakse järgmisi teisendusi: 1) süsteemi suvalist võrrandit korrutatakse mistahes nullist erineva arvuga; 2) süsteemi suvalisele võrrandile liidetakse juurde mistahes arvuga korrutatud mingi teine võrrand samast süsteemist. Teoreem
Determinandid, lineaarsed võrrandisüsteemid Ülesanne 1 Lahenda võrrandisüsteem determinantide abil. x + y + z = 26 3x - y + z = 20 - x + 7 y - 2 z = 15 1 1 1 1 1 D = 3 - 1 1 3 - 1 = 2 - 1 + 21 - 1 - 7 + 6 = 20 -1 7 - 2 -1 7 26 1 1 26 1 Dx = 20 - 1 1 20 - 1 = 52 + 15 + 140 + 15 - 182 + 40 = 80 15 7 - 2 15 7 1 26 1 1 26 Dy = 3 20 1 3 20 = - 40 - 26 + 45 + 20 - 15 + 156 = 140 - 1 15 - 2 - 1 15 1 1 26 1 1 Dz = 3 - 1 20 3 - 1 = - 15 - 20 + 546 - 26 - 140 - 45 = 300 - 1 7 15 - 1 7 Dx 80 x = D = 20 = 4 Dy 140 y= = = 7 D 20 Dz 300 z = D = 20 = 15 Kontroll: I vp1 = 4 + 7 + 15 = 26 pp1 = 26 vp1 = pp1 II vp 2 = 3 4 - 7 + 15 = 20 pp 2 = 20 vp 2 = pp 2 III vp 3 = -4 + 7 7 - 2 15 = 15 pp 3 = 15 vp 3 = pp 3 x= 4 Vastus: y = 7 z = 15 Ülesanne 2 Lahend...
Arvu n-es juur. Astme mõiste üldistamine: täisarvulise ja ratsionaalarvulise astendajaga aste. Tehted astmete ja juurtega. Võrdus, võrrand, Õpilane: Tekstülesande Võrrandid ja samasus. 1) selgitab võrduse, samasuse ja d võrrandisüsteemid Võrrandite võrrandi, võrrandi lahendi, loodusteadust samaväärsus, võrrandi- ja võrratusesüsteemi est ja samaväärsusteisen lahendi ning lahendihulga mõistet; majandusest. dused. Lineaar-, 2) selgitab võrrandite ning nende ruut-, murd- ja süsteemide lahendamisel juurvõrrandid ning rakendatavaid samasusteisendusi;
võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused. Determinandi mõiste ja omadused n-järku determinandi mõiste. Determinantide omadused ja arvutamine. Determinantide arendusteoreem. Pöördmaatriks, maatriksvõrrandid Pöördmaatriksi mõiste ja selle leidmine. Erinevat tüüpi maatriksvõrrandite lahendamine. Lineaarsed võrrandisüsteemid Lineaarse võrrandisüsteemi mõiste. Carmeri valemid.Maatriksi astak. Üldise lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine, Kronecker Capelli teoreem. Teist järku pinnad Teist järku pindade kanoonilised võrrandid. Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
5. 07. 09. 06 Kordamine Lineaarvõrrandid. töö KÜL 2) ül 27(26, 27, 42, 44, ) Asendusvõte. 1) ül 31, 33, 34 6. 07. 09. 06 Kordamine Võrrandisüsteemid. Õpilase individuaalne töö Liitmisvõte KÜL 2) ül 50 (1, 4, 11) 7. 11. 09. 06 Kordamine Protsentide kordamine Õpilase individuaalne töö 2) ül 66 - 77 8. 12. 09. 06 Kordamine Geomeetria
Võrrandid ja võrrandisüsteemid Võrrandite koostamine ja lahendamine 1. Arvu ja tema vastandarvu korrutis on 9. Leia need arvud. Lahendus: Tähistame otsitava arvu tähega x. Vastandarv on siis x ja nende arvude korrutis x . (x) = x2. Saame võrrandi x2 = 9. Selle teisendamisel saame x2 9 = 0; (x + 3) (x 3) = 0; x + 3 = 0 või x 3 = 0 x = 3 või x = 3. Otsitav arv võib olla 3 või 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = 3. Kui otsitav arv x = 3, siis ta vastandarv x = (3) = 3. Vastus: 3 ja 3 2. Pool otsitava arvu ruudust võrdub 7-ga. Kui suur on otsitav arv? Lahendus: 1 2 Kui otsitava arvu tähistame tähega x, siis pool otsitava arvu ruudust on x . 2 Ü...
Matemaatiline modelleerimine inseneridele (4 EAP) TE.0933 [email protected] Õppeaines käsitletavad teemad on: 1. Mudelite liigid ja modelleerimise käsitlused. 2. Tutvumine programmipakettiga SCILAB. 3. Maatriksid ja lineaarvõrrandisüsteemid (rakendused). Võrrandid ja võrrandisüsteemid ning nende lahendamine. 4. Funktsioonide lähendamine. 5. Polünoomidega interpoleerimine. 6. Harilikud diferentsiaalvõrrandid, osatuletistega diferentsiaalvõrrandid, nende ligikaudse lahendamise meetodid. 7. Numbrilised meetodid. Simulatsioonid ja numbrilised eksperimendid. 8. Optimaalse juhtimise teooria elemendid. 9. Dünaamiliste protsesside modelleerimine. MUDEL on (tunnetatava) objekti analoog, mis
Nende abil teisendatakse maatriksid nii, et kõik maatriksi elemendid ühel pool peadiogonaali võrduksid nulliga. Maatriksit AT=(aki) nim maatriksi A=(aik) transponeeritud maatriksiks. See on saadud maatriksi A ridade ja veergude ümbervahetamisel. Olgu Aik maatriksi elemendi aik alamdeterminant. Leiame maatriksi (Aik) ja transponeerime selle maatriksi. Sellist maatriksit nim adjengeeritud maatriksiks. Pöördmaatriksiks nim maatriksit 3. Lineaarsed võrrandisüsteemid Tundmatuid x1; x2; x3, ..., xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nim lineaarseteks. Korrastatud süsteem: Võrrandisüsteemi tundmatute kordajatest moodustnud maatriksit nim süsteemimaatriksiks. Maatriks A, millele on lisatud vabaliikmete veerg, nim süsteemi laiendatud maatriksiks. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid lineaarses võrrandisüsteemis nim lineaarseks võrrandisüsteemi lahendiks. Süsteemi lahend ei tarvitse
2 8 3 - 10 4 - 1 - 26 + 56 - 30 12 - 24 - 3 - 4 + 8 - 3 = == 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Pöhiomadused: 1. ( A-1 )-1 = A. 2. ( AB )-1 = B-1A-1. 3. ( AT )-1 = ( A-1)T. 1 4. DA-1 = D A . Lineaarsed võrrandisüsteemid. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi: a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ............................................ ai1 x1 + ai 2 x 2 + ... + ain x n = b1 .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm , kus aik R süsteemi kordajad, xk R süsteemi tundmatud, bi R süsteemi vabaliikmed. x1 = 1
2 3 -1 - 26 + 56 - 30 12 - 24 - 3 - 4 +8 -3 8 -10 4 1 0 0 0 1 0 0 . 0 1 Pöhiomadused: 1. ( A-1 )-1 = A. 2. ( AB )-1 = B-1A-1. 3. ( AT )-1 = ( A-1)T. 1 4. DA-1 = D . A Lineaarsed võrrandisüsteemid. Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse süsteemi: a11 x1 +a12 x 2 +... +a1n x n = b1 ............................................ a i1 x1 +a i 2 x 2 +... +a in x n = b1 , .............................................. a m1 x1 + a m 2 x 2 +... + a mn x n = bm kus aik R süsteemi kordajad, xk R süsteemi tundmatud, bi R süsteemi vabaliikmed. x1 =1
2.3 Irratsionaalavaldiste tegurdamine 2.4 Murru nimetaja vabastamine irratsionaalsusest e juurte kaotamine murru nimetajas 2.5 Irratsionaalavaldiste lihtsustamine Toimime samamoodi nagu ratsionaalavaldiste puhul sooritame kõik avaldises nõutud tehted, arvestades tehete järjekorda, ning anname tulemusele algebralise murru, võimalusel täisavaldise kuju. Murru nimetaja vabastatakse irratsionaalsusest. Võrrandid ja võrrandisüsteemid 3.1 Võrdus, samasus, võrrand. Lineaar- ja ruutvõrrandid · Kui kaks avaldist ühendatakse võrdusmärgiga, saadakse võrdus. · Võrdust, mis on tõene muutujate kõigi lubatavate väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Ka tõene arvvõrdus on samasus. · Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse otsitavaks e tundmatuks.
LORANiga vaata netist. Antud: AB = 58 km B AC = 44 km O AO BO = 18 km o AO CO = 10 km = ±1µs A C Lõikuvate asukohajoonte leidmiseks moodustan alljärgnevad võrrandisüsteemid: CO = AO 10 ja BO = AO 18 2 AC 2 2 AC 2 AO = x + +y AO = a + +b 2 2 2 2 2 ja 2
a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole. Näide: 2(x+2) + 3 = 5x -2 -> 2x + 4 + 3 = 5x 1 -> -3x = -9|:(-3) -> x=3 Ruutvõrrand Erinevad lahendusvõtted: ax2 +bx+c=0 1) Klassikaline lahendivalem 2) Taandatud võrrandi lahendivalem x2+px+q=0 (ruutliikme kordaja peab olema a=1) 3) Viete'i teoreem
Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0.
Saame (17.14) on omaväärtusele k vastav omavektor. on assotseeritud vektor, mis vastab omaväärtuele k. Üldlahendiks on (17.15) 3. kompleksed omaväärtused Otsime üldlahendit kujul Diferentseerime ja asendame võrrandisse (17.7) Võrdsustades kordajad saame Ehk (17.16) Need võrrandid on samaväärsed ja määravad seose kahe vektori vahel. Võtame Vektori leiame võrrandist (17.17) Seejuures ja vektori leitakse üheselt . Üldlahendiks saame: (17.18) 18. Autonoomsed võrrandisüsteemid ja nende iseärased punktid. Def 18.1 Normaalkujul esitatud võrrandisüsteem ( tuletised on avaldatud funktsioonide kaudu) on autonoomne kui võrrandite paremad pooled ei sisalda sõltumatut muutujat t. (18.1) Süsteemi (18.1) üldlahendiks on funktsioonide parv: kus C1 ja C2 on suvalised konstandid. Seega on süsteemi (18.1) üldlahendiks kaheparameetriline joonte parv xy- tasandil. Joonteparve kvalitatiivne käitumine on määratud x ja y käitumisega t kasvades. Def 18.2 n-järku dif
5. 5.7. 0 2 0 0 1 2 1 3 4 1 0 0 4 3 4 2 6 8 0 0 3 0 1 2 1 3 4 5.8. 5.9. Vastused: 5.1. 1 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2 5.7. 3 5.8. 3 5.9. 2 6.Lineaarse võrrandisüsteemid(LVS) 6.1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 + .......... + a1n x n = b1 a x + a x + .......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 + .......... + a mn x n = bm
0 0 3 0 1 2 1 3 4 Vastused: 5.1. 1 5.2. 2 5.3. 2 5.4. 3 5.5. 2 5.7. 3 5.8. 3 5.9. 2 - 33 - Lineaaralgebra elemendid. M.Latõnina 6.Lineaarse võrrandisüsteemid(LVS) 6.1. LVS lahendid Lineaarseks võrrandisüsteemiks nimetatakse lõplikust arvust lineaarsest võrrandist koosnevat süsteemi , mille ülkuju on a11 x1 + a12 x 2 +.......... + a1n x n = b1 a x + a x +.......... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ..................................................... a m1 x1 + a m 2 x 2 +.......... + a mn x n = bm (6.1.)
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid ...
1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid ...
1.2 Süsteemimudel - Süsteemimudel on süsteemi käitumise ja/või struktuuri idealiseeritud kirjeldus. Süsteemimudelit võib kirjeldada verbaalselt, formaalkeeles, matemaatiliselt võrrandina või võrrandite süsteemina, programmina, riistvaralise seadmena. Kasutatav mudeli esitusvorm sõltub rakendusest. Tehnikaaladel kasutatakse reeglina matemaatilisi mudeleid. Matemaatilised mudelid lähtuvalt esitusvormist jagunevad:- analüütilised mudelid (võrrandid, võrrandisüsteemid);- mitteanalüütilised mudelid (programmid).Süsteemi matemaatilise mudeli võrrandite tüüpilised liigid: 1) Algebraline 2) diferentsiaalvõrrand 3) lineaarsed võrrandid 4) mittelineaarsed. 1.3 Muutujad ja Parameetrid- Muutujad (ajast sõltuvad liikmed) kirjeldavad süsteemis toimuvaid dünaamilisi protsesse ja on üldiselt mõõdetadav. Orienteeritud süsteemis, kus on valdavalt tegemist informatsiooniliste protessidega, nimetatakse muutujaid tihti ka signaalideks
d) e) f) vabaliikmetega. Neid determinante tähistatakse lühidalt tähtedega Dx ja Dy. a 2 ab b 2 a b u v u v u 3 v 3 a1 x + b1 y = c1 477. Lahenda võrrandisüsteemid determinantide abil. Seega võrrandisüsteemi lahend esitub kujul a 2 x + b 2 y = c 2 ¦ x 3y 4 ¦5 x 6 y 11 ¦3x 4 y 0 a) § b) § c) § x Dx ja y Dy
E 505 Olgu ruudu külg x, saadudristkülikuküljed on siis x - 4 ja x + 3 ( x - 4)( x + 3) + 25 = x 2 x 2 + 3 x - 4 x -12 + 25 = x 2 - x + 13 = 0 x = 13(cm) Kontroll: (13 - 4)(13 + 3) + 25 = 13 2 9 ×16 + 25 =169 144 + 25 =169 169 =169 Vastus: ruudu külg on 13cm E 506 Analoogia E 505 314 Lahenda võrrandisüsteemid 314/a 3x 2 + 3 y 2 - 10 xy + 2 y = - 6 3x - 7 y = 0 Kasutame jälle asendusvõtet, avaldame teisest x-i ja asendame siis x-i esimeses võrrandis. 7y 3x = 7 y x = 3 Asendame 2 7y 7y
E 505 Olgu ruudu külg x, saadudristkülikuküljed on siis x 4 ja x 3 ( x 4)( x 3) 25 x 2 x 2 3x 4 x 12 25 x 2 x 13 0 x 13(cm) Kontroll: (13 4)(13 3) 25 13 2 9 16 25 169 144 25 169 169 169 Vastus: ruudu külg on 13cm E 506 Analoogia E 505 314 Lahenda võrrandisüsteemid 314/a 3x 2 3 y 2 10 xy 2 y 6 3x 7 y 0 Kasutame jälle asendusvõtet, avaldame teisest x-i ja asendame siis x-i esimeses võrrandis. 7y 3x 7 y x 3 Asendame 2 7y 7y
E 505 Olgu ruudu külg x, saadudristkülikuküljed on siis x 4 ja x 3 ( x 4)( x 3) 25 x 2 x 2 3x 4 x 12 25 x 2 x 13 0 x 13(cm) Kontroll: (13 4)(13 3) 25 13 2 9 16 25 169 144 25 169 169 169 Vastus: ruudu külg on 13cm E 506 Analoogia E 505 314 Lahenda võrrandisüsteemid 314/a 3x 2 3 y 2 10 xy 2 y 6 3x 7 y 0 Kasutame jälle asendusvõtet, avaldame teisest x-i ja asendame siis x-i esimeses võrrandis. 7y 3x 7 y x 3 Asendame 2 7y 7y
Mudeli koostamine algab vajalike muutujate valikust ning seoste kirjeldamise detailsusastme määramisest, Süsteemimudelit võib kirjeldada verbaalselt, formaalselt, matemaatiliselt võrrandina või võrrandite süsteemina, programmina, riistavaralise seadmena. Kasutatava mudeli eristusvorm sõltub rakendusest. Tehnikaaladel kasutatakse reeglina matemaatilisi mudeleid, mis lähtuvalt esitusvormist jagunevad analüütilisteks mudeliteks (võrrandid, võrrandisüsteemid) ja mitteanalüütilisteks mudeliteks (programmid), need võimaldavad süsteemi omadusi nii teoreetiliselt kui ka arvutuslikult uurida nt ohtlikes olukordades. sisend-väljund mudelid (nö must kast, ei huvita mis sees toimub, huvitab ainult sisend ja väljund) ja sisend-olek-väljund mudel (huvitab mis mustas kastis sees on). Muutujad ja parameetrid: Muutujad - süsteemi iseloomustavad suurused, ajast sõltuvad (sest
............................................. 23 4.3 Hinnad ja palgad .................................................................................................................... 24 4.4 Lihtintressid, aritmeetiline rida ............................................................................................. 26 4.5 Liitintressid, geomeetriline rida ............................................................................................ 30 5 Lineaarsed võrrandisüsteemid............................................................................................. 33 5.1 Asendus- ja liitmisvõte .......................................................................................................... 33 5.2 Võrrandisüsteemi graafiline lahendamine ............................................................................ 37 6 Lineaarsed funktsioonid ............................................................................................
annaabi.ee 
