Analüüs 1 teooriatöö põhiküsimused. 1. Definneerida funktsiooni f(x) algfunktsiooni ja tuua näiteid. Mis on algfunktsioonide üldavaldis? Põhjenda seda. Defineerida sümboli f ( x ) dx. Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral. x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus
a) funktsioonid ja algfunktsioonid · Kui meil on teada funktsiooni tuletis, kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS · INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS. LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT Def: Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus: dF ( x) = f ( x) dxfunktsioon saab olla mingile Definitsioon ütleb, et mingi ehk teisele F'(x) =funktsioonile
Ande Andekas-Lammutaja Matemaatika Integraal Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni [F(x)+c], mille tuletis on võrdne f(x). Funktsiooni f(x) algfunktsioonide üldavaldist F(x) + c nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ning konstanti c nimetatakse määramata konstandiks. Määramata integraali tähistatakse sümboliga f ( x ) dx . Määramata integraal. f ( x)dx =F ( x) +c , kus F'(x) = f(x) x a +1 x 2 dx = a +1 + c , kus a -1 dx =x +c x2 xdx =
Olgu antud funktsioon y = f (x). Kuidas leida sellist funktsiooni y = F (x), mille tuletiseks oleks antud funktsioon y = f (x), st kuidas leida funktsiooni y = F (x), kui on teada, et F (x) = f (x)? Funktsioon f (x) = 2x osutub näiteks funktsiooni F (x) = x2 tuletiseks, funktsioon f (x) = sin x on aga funktsiooni F (x) = - cos x tuletiseks. Sel juhul öeldakse, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Funktsioon F (x) = - cos x on aga funktsiooni f (x) = sin x algfunktsiooniks. Definitsioon 3.1 Funktsiooni y = F (x) nimetatakse funktsiooni y = f (x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui iga x X korral F (x) = f (x). Näide 3.1 Funktsiooni f (x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F (x) = e2x , sest F (x) = 2e2x = f (x). Eespool nägime, et funktsioon F (x) = x2 on funktsiooni f (x) = 2x algfunktsioon. Kuid ka funktsioonide u(x) = x2 + 4 ja v(x) = x2 - 0, 6 tuletised on võrdsed antud funktsiooniga f (x) = 2x.
2.1. Määramata integraal. Def1. F(x) nim f(x) algfunktsiooniks hulgal X, kui iga x korral hulgast X F'(x)=f(x). xX. N. f(x)=xex+ex F(x)=xex F'(x)=ex+xex * Kui f(x) (xX) on 2 algfunktsiooni F1(x) ja F2(x), siis st, f(x) algfunktsioonid erinevad üksteisest vaid konstandi võrra. . F1(x)-F2(x)=C F1(x)=F2(x)+C (xX) Def2. f(x) kõikide algfunktsioonide hulka cX nim. F-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ning kui F(x) on üks f(x)-i algfunktsioon, sel hulgal F(x), siis . Kui f(x) ja F(x) on integreeruvad punktis f(x) siis L1. Määratud integrali lineaarsuse omadused: 2.2 Määramata integraalide tabel 1.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. x(-1;1) T.19 y=arshx x=shy . 2.3 Muutujate vahetus määramata integraalis F'(x)=f(x) (xX). x=(t). L1. (t)D(a,b) C[a,b] ja ka rangelt monotoonne Järeldus. . N. 2.4 Ositi in...
1. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust F'(x) = (x)= f(x). Definitsioon (määramata integraal) Avaldist kujul F(x) + C; kus F(x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse st . Määramata integraali tuletis on võrdne integreeritava funktsiooniga st ( )'= f(x).
(Lihtsamate osamurdude integreerimine. Valemite tuletamine). 12. (Näidata, et kui funktsioonid f (x) = g(x) välja arvatud lõplikus arvus punktides, siis integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator). Tõestame selle järelduse juhul, kui g(x) f(x) vaid punktis x=c [, ]. () Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, mis rahuldab tingimust [, ] selle lõigu tükeldus, kusjuures [-1 , ]. Kuna g(x) = O(1) (x[a,b]) F'(x) = (x)= f(x)
Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x (tuletada pole vaja). 26. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x) Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks.
teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) - f(a)]/(b a)=f'( ). T8. L'Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ja kui eksisteerib piirväärtus lim f'(x)/g'(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf '(x)/g'(x). Def4. Funktsiooni y=F(x) nimetatakse funktsiooni y = f (x ) algfunktsiooniks piirkonnas X , kui iga x X korral on täidetud tingimus F'(x) = f(x). Def5. Avaldist F(x) + C , kus y=F(x) on funktsiooni y=f(x) algfunktsioon piirkonnas X ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga f(x)dx. Seejuures, konstanti C nimetatakse integreerimiskonstandiks. T9. Kui funktsioon y=f (x) on pidev lõigus [a,b] , siis on tal olemas algfunktsioon (seega ka määramata integraal) selles lõigus. T10
integraaliks ja tähistatakse , . Kui funktsioonil leidub hulgal X algfunktsioon, siis öeldakse, et funktsioonil f ( x ) eksisteerib määramata integraal ( hulgal X ). Kehtivad järgmised seosed: Lause2 Kui eksisteerivad määramata integraalid ja , siis suvaliste konstantide ja korral eksisteerib ka integraal , kusjuures . Tõestus. Olgu ja . Seejuures ja . Näitame, et funktsiooni üheks algfunktsiooniks on . Tõesti, = [kasutame tuletise lineaarsuse omadust] = , st eksisteerib määramata integraal funktsioonist , ja [suvaliste konstantide lineaarkombinatsioon on suvaline konstant] = . Muutujate vahetus määramata integraalis x = (t)t T (T) = X D(t) -1 t = '(x) Tõestus. Kui funktsioon x = (t) (rangelt monotoonne), siis . Lause3 (muutujate vahetus määramata integraaliks). Kui funktsioon x = ( t ) on rangelt
b a integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse f ( x)dx ; kui ab, siis =- f ( x)dx ; kui a=b, siis kogu a b avaldis =0 Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas X, kui iga x X korral kehtib võrdus F '(x) = f(x). Avaldist kujul F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nim funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x)dx = F ( x) +C Kui f-il f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis f-il f(x) eksisteerib määramata integraal (hulgal X).
Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer ja teisel pool rangelt nõgus. Joone käänupunktideks saavad olla vaid funktsiooni f 0 (x) kriitilised punktid, st punktid, kus f’’(x) = 0; f’’(x) ei eksisteeri, f’’(x) on lõpmatu. 30. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta (lk 20). Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x) = f(x) piirkonnas X. Näide: Olgu f(x) = 3x 2 . Siis tema algfunktsiooniks on F(x) = x3 + C, kus C on suvaline konstant. Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝑘𝑢𝑠 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) Teoreem 1: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t
Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistataksef(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt
on pidev ja segaosatuletised võrdsed. 1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''xx*Z''yy (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''xx > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 36. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y=F(x) nim funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x)=F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunktsioon, siis on seda y=F(x)+C Näide: Funktsiooni f(x) = 2e2x algfunktsiooniks on funktsioon F(x) = e2x, sest F´ (x) = 2e2x = f(x). Määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim kõikide algfunktsioonide hulka ehk f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 37
suurima väärtuse kas selle lõigu ühes otspunktis või lõigu niisuguses seesmises punktis, mis on maksimumpunktiks. Sedasama võib öelda funktsiooni vähima väärtuse kohta: see saavutatakse kas antud lõigu ühes otspunktis või niisuguses seesmises punktis, mis on miinimumpunktiks. 10. Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon ja järeldused sellest. Integraalide tabel. Määramata integraali kaks omadust. Funktsiooni F ( x ) nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks lõigul [ a, b] , kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F ( x ) = f ( x ) . Avaldist kujul F ( x ) + C , kus F ( x ) on funktsiooni f ( x ) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant (integreerimiskonstant), nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . dx = x + C x +1 x dx = +C +1 1 dx = ln x + C x e x dx = e x + C ax a x dx = +C ln a
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest.
Käänukoht- punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot- kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 30. Funktsiooni algfunktsioon- funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige
Leidmine: 1) kui teine tuletis on väiksem nullist piirkonnas X, siis joon on kumer selles piirkonnas 2)kui teine tulestis on suurem nullist piikronnas X, siis joon on nõgus selles piirkonnas 3)käänupunkt on kohas, kus kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi 24. Algfunktsioon ja määramata integraal (definitsioonid). Näiteid. Teoreemid algfunktsiooni kohta. Definitsioon: funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F’(x)=f(x) piirkonnas X Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F’(x)=f(x), siis seda on ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant Definitsioon: Avaldsit F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks Teoreem: Igal funktsioonil, mis on pidev lõigus {a,b }, on olemas algfunktsioon selles lõigus Näited: 25
Kui - on joone asümptoot protsessis , siis - ja avalduvad valemitega - lim / lim 0 - 1 '. '. 26) Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni 2 nimetatakse funktsiooni algfunktsiooniks hulgas 3, kui iga 3 korral kehtib võrdus 2 . Kui 2 on funktsiooni algfunktsioon hulgas 3, siis kõik funktsiooni algfunktsioonid hulgas 3 avalduvad kujul 2 4, kus 4 on suvaline konstant. Funktsiooni algfunktsioonide üldavaldist 2 4, kus 4 on konstant, nimetatakse funktsiooni määramata integraaliks ja tähistatakse 5 2 4, kus 4 on konstant. Määramata integraali võib tõlgendada kui üheste funktsioonide parve 2 4,
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest.
x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. f (x ) k= xlim →∞ x lim [f ( x )−kx ] b= x→∞ 26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse ∫ f (x)dx . Seega definitsiooni kohaselt ∫ f (x)dx = F(x)+C.
1) Leida statsionaarsed kohad süsteem: z'x(x0;y0) = 0 ja z'y(x0;y0) = 0; 2) Leida (x0;y0) = Z''x2*Z''y2 (Z''xy)2. 3) Kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 < 0, siis max koht; kui (x0;y0) > 0 ja Z''x2 > 0, siis min koht; kui (x0;y0) < 0, siis ektreemumkoht puudub; kui i (x0;y0) = 0, siis tuleb edasi uurida. 35. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon funktsiooni y = F(x) nim. funktsiooni y=f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). Kui y=F(x) on y=f(x) algfunkts., siis on seda y=F(x) + C. Määramata integraal määramata integraaliks funktsioonist y=f(x) nim. kôikide algfunktsioonide hulka e. f(x)dx = F(x) + C. Määramata integraali omadused: 1) [f(x)dx]' = f(x); 2) d[f(x)dx] = f(x)dx; 3) dF(x)=F(x)+C; 4) af(x)dx = af(x)dx; 5) [f(x) +- g(x)]dx = f(x)dx +- g(x)dx. 36. Integreerimisvõtteid (muutujavahetus, ositi integreerimine). Muutuja vahetus: f(u)du = f[g(x)]g'(x)dx; ( u = g(x); du = g'(x)dx )
teisel pool rangelt nõgus. Kumerus ja nõgususpiirkondi leitakse teise tuletise abil. 23. Avaldist F(x)+C, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C on suvaline konstant, minetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga ❑ ∫ f ( x ) dx=F ( x ) +C , kus F´(x)= f(x). ❑ a. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui F´(x)= f(x) piirkonnas X. b. Teoreem: Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon, s.t F´(x)= f(x), siis on seda ka iga funktsioon F(x)+C, kus C on konstant. 24. Kõvertrapetsi pindala(joonis) a. b. c. d. Funktsiooni f(x) määratud integraaliks rajadest a-st b-ni nimetatakse piirväärtust ¿¿ f (¿ x i ) ∆ x i n ∑¿ (Riemanni summa)
2) lahendada nende võrranditest koosnev süsteem, vastuseks on statsionaarne punkt M(x; y) 3) leida kõik teist järku osatuletised f''xx f''yy f''xy 4) kontrollida, kas statsionaarne punkt on ekstreemum: lahendada f''xxf''yy (f''xy)2 5) leida ekstreemumkoht f (M) 33. Ühe muutuja funktsiooni algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Funktsiooni y = F(x) nimetatakse funktsiooni y = f(x) algfunktsiooniks kui f(x) = F'(x). funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka tähistatakse f(x)dx = F(x) + C Määramata integraali omadused: a. konstantse teguri c võib tuua integraali märgi ette:cf(x)dx = cf(x)dx b. integraal funktsioonide summast/vahest võrdub liidetavate integraalide summaga/vahega (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx c
Lause:Lõigul [a,b] konstantne funktsioon on integreeruv sellel lõigul, kusjuures b Tähistame g(t): = f( φ−1 (t)¿ . Olgu G funktsiooni g algfunktsiooniks. ∫ c dx=c (b−a) . Lause:Lõigul pidev funktsioon on integreeruv sellel lõigul. a Lause:Lõigul monotoonne ja tõkestatud funktsioon on integreeruv sellel lõigul. 4.Algfunktsiooni definitsioon. Määramata integraali definitsioon. Määramata integraal kui tuletise ja diferentsiaali pöördoperaator. Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F, dF mis rahuldab tingimust F'(x) =
selle funktsiooni graafiku asümptoodiks. Asümptooti võrrandiga x = a nimetatakse püst- ehk vertikaalasümptoodiks. Asümptooti võrrandiga y = mx + b nimetatakse kaldasümptoodiks. Mis on antud funktsiooni y = f(x) Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsioon? algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F´(x) = f(x) iga x ∈ A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse funktsiooni integreerimiseks. Mis on antud funktsiooni y = f(x) Avaldist F(x) + c, kus F(x) on funktsiooni f(x) määramata integraal? mingi algfunktsioon ja c ∈ R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x)
Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b. 29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta (tõestust ei kusi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt f(x)dx = F(x) + C , C - konstant
3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. §6 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 1. Algfunktsioon ja määramata integraal Definitsioon 16. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemikus (a,b), kui F ( x) = f ( x) iga x (a,b) korral. x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Kehtib väide
m-= b-= kui kehtivad võrdused: m+=m-=m ja b+=b-=b siis sirge y=mx+b on joone y=f(x) kahepoolne kaldasümptoot. Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. Teooriaküsimused nr. 6 1. Mis on antud funktsiooni y = f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y = f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: fx(dx) konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks. 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 1) (f(x)dx)'= f(x) 2) (f(x)± g(x))dx = f(x)dx± g(x)dx 3) af (x)dx = af (x)dx 4
m-= b-= kui kehtivad võrdused: m+=m-=m ja b+=b-=b siis sirge y=mx+b on joone y=f(x) kahepoolne kaldasümptoot. Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. TEOORIAKÜSIMUSED nr 6 1. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kuid F´(x)=f(x) iga x e A korral. 2. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x)+c, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja c e R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul: konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks 3. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 4. Defineerida määratud integraal.
Viimane on tegelikult w'=0. -Lagrange kordaja , seega on see Lagrange kordajate meetod. 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada ning saame ülesande lahendada. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste- Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f(x) määramata integraaliks nimetatakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon ja C konstant, mida nimetatakse integreerimiskonstandiks.
nimetatakse kaldasümptoodiks. Kui punkt (x; y) läheneb kaldasümptoodile protsessis x+lõpmatus (x - lõpmatus) siis kaldasümptooti nimetatakseparempoolseks (vasakpoolseks) kaldasümptoodiks. Kaldasümptoodid on olemas siis, kui mõlemad piirväärtused m ja b eksisteerivad ja on lõplikud. Kui üks neist puudub või on lõpmatu, ei ole joonel kaldasümptooti olemas. 31. Mis on antud funktsiooni y=f(x) algfunktsioon? Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F'(x) = f(x) iga x A korral. Kui F(x) on f(x) algfunktsioon, siis on seda ka F(x) + c iga c R korral. 32. Mis on antud funktsiooni y=f(x) määramata integraal? Avaldist F(x) +c, kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul f(x)dx. (c-integreerimiskonstant). 33. Nimetada määramata integraali omadusi. 1) 2) 3) 34. Defineerida määratud integraal
Siin viimane ' võrrand on tegelikult w = 0 . 2. Avaldame avaldisest g(x;y)=0 ühe muutuja (see pole aga kahjuks alati võimalik) ja asendame ta z = f(x, y) avaldisse, nii on tagatud , et g(x;y)=0 ja lisaks saime z avaldisest ühe muutuja kõrvaldada. Esimest meetodit nimetatakse Lagrange kordajate meetodiks. Integraal Algfunktsiooni ja määramata integraali mõiste. Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatkse niisugust funktsiooni y=F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F´(x)=f(x) Algfunktsioone võib olla palju sest suvalist konstanti C, ei tea. Funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks nimetakse avaldist y = f ( x) dx = F(x) + C, kus F(x) on funktsioonif(x) algfunktsioon ja c konstant , mida nimetatakse inegreerimiskonstandiks. Integraali seos tuletisega Integreerimise põhivalemid saadakse tuletiste põhivalemite taguspidi rakkendamisel. Nende
Kuna jääb muutumatuks protsessis , siis põhjal Edasi paneme tähele et, võrdub funktsioonide ja väärtuste vahega, st Seega Selles avaldises , kui . Seega ehk 33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. a. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga korral kehtib võrdus . b. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus C on suvaline konstant. Tõestus: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime, kas funktsioonid kujul F+C , kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid
Kui x
kuid korrutis ise l¨aheneb nullile. J¨arelikult peab teine tegur l¨ahenema nullile, st lim x (f(x)/ x)- k (b/ x)= 0. Selles avaldises b /x 0, kui x . Seega lim x(f(x)/ x- k)= 0 ehk lim x f(x)/ x- k = 0 ehk k = lim x f(x)/ x b = lim x [f(x) - kx]. Kokkuv~ottes oleme t~oestanud j¨argmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asu¨mptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib v~ordus F'(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis k~oik funk- tsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. T~oestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. K~oigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on t~oepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F'(x) = f(x) iga x D korral, siis
Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni y = f(x) teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni y = f(x) teist järki kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on P = (x1,f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt. 18. Algfunktsioon ja määramata integraal. Teoreemi 5.1 tõestus. Algfunktsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F'(x) = f(x) Kui F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon piirkonnas X, siis kõik funktsiooni f(x) algfunktsioonid piirkonnas X avalduvad kujul F(x) + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni y = f(x) algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F + C, kus C on konstant, on tõepoolest y = f(x) algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x D korral, siis
Tuletise definitsioonis x 0. J¨arelikult x + x x ja et on u ¨ks punkt x ja x + x vahelt, siis ka x. Seega (x) = lim f () = lim f () x0 x ning funktsiooni f (x) pidevuse t~ottu (x) = f (x), mida oligi tarvis t~oestada. Teoreemi 2 p~ohjal on funktsioon (x) funktsiooni f (x) algfunktsiooniks. Kui F (x) on funktsiooni f (x) tuntud algfunktsioon (m¨a¨aratud integraali ta- beli j¨argi v~oi mingi integreerimismeetodi abil saadud), siis punkti 4.1 lau- se 1.2 p~ohjal (x) ja F (x) erinevad teineteisest u¨limalt konstandi v~orra, st (x) = F (x) + C. Funktsiooni (x) definitsiooni p~ohjal x F (x) + C = f (t)dt. (5.4) a
Järelikult peab teine tegur lähenema nullile, st lim [f(x)- k - b]= 0 . x x x Selles avaldises b 0, kui x . Seega x lim [f(x)- k]= 0 ehk lim f(x)- k = 0 ehk k = lim f(x) (4.5) x x x x x x Võrdusest (4.4) saame veel b = lim[f(x) - kx] x (Vaadake lk 99) 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D
b = lim[f(x) - kx] Kuna m ja M on konstandid, siis omaduse 2 põhjal ba mdx = m ba dx ja ba M dx = M ba dx. x (Vaadake lk 99) Seega m badx ba f(x)dx M badx. 33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D Jagades suurusega ba dx saame m ba f(x)dxba dx M. korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Näeme, et arv ba f(x)dx ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. vahel
-k =0 ehk lim ¿ x f ( x) k =lim b= lim [f ( x )-kx ] x x x 33. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu. Algfunktsiooni definitsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga xD korral kehtib võrdus F ' (x)=f (x ) . Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta Teoreem: Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F+C, kus C on suvaline konstant. Tõestus: Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime, kas funktsioonid kujul F+C , kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D
3), st kus asub vahemikus otspunktidega c ja x. 1 ( n +1) n = f ( )( x - c ) n +1 , (n +1)! Valem (6) kehtib parajasti siis , kui nlim n = 0. 26. Algfunktsioon ja määramata integraal. Tehetega seotud integreerimisvõtted. Algfunktsioon Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks piirkonnas X, kui selles piirkonnas F ( x ) = f ( x ) Määramata integraal funktsiooni f kõigi algfunktsioonide hulka piirkonnas X nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks piirkonnas X ja tähistatakse sümboliga f ( x )dx Tehetega seotud integreerimisvõtted: Funktsiooni u + v määramata integraal: Kui leiduvad u ( x )dx ja v( x )dx , siis suvaliste
lim x→∞ (f(x)/ x)− k –(b/ x)= 0. Selles avaldises b /x → 0, kui x → ∞. Seega lim x→∞(f(x)/ x− k)= 0 ehk lim x→∞ f(x)/ x− k = 0 ehk k = lim x→∞ f(x)/ x b = lim x→∞ [f(x) − kx]. Kokkuvõttes oleme tõestanud järgmise teoreemi: Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega (4.5) ja (4.6). 33. Algfunktsiooni definitsioon . Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x). Sõnastada ja tõestada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F’(x) = f(x) iga x ∈ D korral, siis
6. Ositi integreerimise reegel ja selle kasutamine. 7. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine. PEATÜKK 7. ALGFUNKTSIOON JA MÄÄRAMATA INTEGRAAL 7.1 Sissejuhatus Kohe me näeme, et kiirenduse või kiiruse teadmisel kehtivad skemaatili- selt järgmised omadused: v(t) = v (t) dt = a(t) dt, s(t) = s (t) dt = v(t) dt. 7.2 Algfunktsioon Definitsioon 7.1 Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks vahemi- kus (a, b), kui F (x) = f (x) iga x (a, b) korral. Märkus 7.1 Kehtib väide. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F (x) + C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon ja C R on suvaline konstant. 7.3 Määramata integraal Definitsioon 7.2 Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F (x) + C nimeta- takse funktsiooni f määramata integraaliks. Siin F on funktsiooni
Funktsiooni y = f ( x ) diferentsiaal dy avaldub selle funktsiooni tuletise kaudu kujul dy = f ( x ) dx = ydx , kus dx = x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F ( x ) , mille puhul F ( x ) = f ( x ) , 36 nimetatakse funktsiooni f ( x ) algfunktsiooniks. Kuna F ( x ) = ( F ( x ) + C ) , siis avaldist F ( x ) + C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f ( x ) algfunktsioonide üldavaldist nimetatakse funktsiooni f ( x ) määramata integraaliks ja tähistatakse f ( x ) dx , s.t. f ( x ) dx = F ( x ) + C . Sellest definitsioonist järeldub: 1. ( )
käänupunktiks. Käänukoht on käänupunkti x väärtus. 29. Graafiku asümptoot - kui funktsiooni y = f(x) argumendi kaugenemisel lõpmatusse või lähenemisel mingile piirväärtusele selle funktsiooni graafikuks oleva joone kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis seda sirget nimetatakse funktsiooni graafiku asümptoodiks. 4 30. Funktsiooni algfunktsioon - funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) algfunktsiooniks piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige
dy f x dx ydx , kus dx x (vt. joonist). Väikeste x puhul y dy , s.t. kehtib valem f x x f x f x x . 4.10 Määramata integraal Iga funktsiooni F x , mille puhul F x f x , 36 nimetatakse funktsiooni f x algfunktsiooniks. Kuna F x F x C , siis avaldist F x C nimetatakse algfunktsioonide üldavaldiseks, kus C on suvaline konstant. Funktsiooni f x algfunktsioonide üldavaldist nimetatakse funktsiooni f x määramata integraaliks ja tähistatakse f x dx , s.t. f x dx F x C . Sellest definitsioonist järeldub:
Ma¨ aramata ¨ integraal Algfunktsioon Algfunktsioon Vaatame ulesannet, ¨ ~ mille korral tuleks tuletise F pohjal taastada esialgne funktsioon F . Paneme kirja F diferentsiaali avaldise dF (x) = F (x)dx = f (x) := F (x) = f (x)dx Definitsioon Funktsiooni f algfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni F , mis rahuldab tingimust dF F (x) (x) = f (x). dx ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 1 / 34 Ma¨ aramata ¨ integraal Algfunktsioon Algfunktsiooni uhesus ¨ Lause
1. Määramispiirkond. 2. Katkevuspunktid. 3. Paarsus, perioodisus. 4. y ' ( x) uurimine. Kasvamine, kahanemine, ekstreemumid. 5. y ' ' ( x) uurimine. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. 6. Asümptoodid. 7. Olulised väärtused (nullkohad, ekstreemumid, käänupunktid) © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 38 Algfunktsioon. Määramata integraal ja selle omadused. Definitsioon 1 Funktsiooni f (x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni F (x), mille korral (1.1) F ' ( x ) = f ( x ) Definitsioon 2 Funktsiooni f (x) määramata integraaliks nimetatakse kõigi tema algfunktsioonide hulka. Määramata integraali omadused: 1. (1.2) df ( x) = f ( x) + C Tõepoolest df = f ' ( x)dx 2. (1.3) d[ f ( x)dx] = f ( x)dx (1.3') d [ f ( x)dx] = f ( x) dx 3. Lineaarsus (1.4) [f ( x) + g ( x)]dx = f ( x)dx + g ( x)dx
Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st as.umptoodi võrrand on y = b. Tuletada valemid kaldasumptoodi vorrandi kordajate jaoks piirprotsessis x .. Teoreem 4.8. Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x , siis k ja b avalduvad valemitega k = lim f(x)/ x b = lim(f(x) - kx) x x 33. Algfunktsiooni definitsioon. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F (x) = f(x). Sonastada ja toestada teoreem algfunktsioonide uldavaldise kohta. Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant. Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F(x) = f(x) iga x D korral, siis
annaabi.ee 
