Matemaatilise analüüsi teoreeme ja definitsioone (0)

Def1. Piirväärtust lim∆x →0∆y/∆x nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x.
T1. Kui funktsioonil on olemas tuletis kohal x, siis on funktsioon pidev sellel kohal.
T2. Kui on olemas tuletised f’ (x ) ja g’ (x ), siis on olemas ka tuletised:
a) [f(x)+g(x)]’,
b) [f(x)−g(x)]’,
c) [f(x)g(x)]’,
d) [f(x)/g(x)]’,(kui g(x)≠0),
kusjuures kehtivad järgmised seosed:
a) [f(x)+ g(x)]’ =f’(x)+g’(x),
b) [f(x)−g(x)]’ =f’ (x)−g’ (x),
c) [f(x)g (x)]’ = f’(x)g (x)+f(x)g ’(x),
d) [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)−f(x)g’(x)]/g2(x) , (kui g(x)≠ 0).
T3. Kui funktsioonil ϕ on olemas tuletis kohal x ja funktsioonil f on olemas tuletis vastaval kohal u = ϕ (x ), siis on ka liitfunktsioonil F olemas tuletis kohal x, kusjuures kehtib seos F’ (x ) = f’ (u)ϕ’ (x ).
T4. Kui piirkonnas X rangelt monotoonsel ja pideval funktsioonil f on kohal x olemas nullist erinev tuletis f’(x ), siis on pöördfunktsioonil ϕ olemas tuletis ϕ’(y) vastaval kohal y = f(x), kusjuures kehtib seos ϕ’ (y) =1/F’(x).
Def2. Öeldakse, et funktsioon y=f(x) on diferentseeruv kohal x, kui tema muut sellel kohal omab kuju
∆y=A ∆x + α, kus A on (∆x -st sõltumatu) konstant ja α rahuldab tingimust lim∆ x→0α/∆x=0.
T5. Funktsioon y= f(x) on diferentseeruv kohal x parajasti siis, kui tal on olemas lõplik tuletis f’ (x).
Def3. Lõikaja PQ piirseisu, kui punkt Q läheneb piiramata punktile P mööda joont, nimetatakse joone y=f(x) puutujaks punktis P. Eeldades, et funktsioon on diferentseeruv kohal x, veendume, et funktsiooni tuletis f’ (x ) võrdub joonele y=f(x) punktis punktis P pandud puutuja tõusuga.
T5. Rolle’i teoreem : Kui funktsioon y = f(x) on pidev lõigus [a,b], diferentseeruv vahemikus ]a, b [ ja f(a) = f(b), siis on funktsioonil vahemikus ]a, b[ olemas statsionaarne punkt (st leidub punkt ξ ∈]a, b [, nii et f’ (ξ ) = 0).
T6. Cauchy keskväärtusteoreem: Kui funktsioonid y=f(x ) ja y=g(x) on pidevad lõigus [a,b] ja diferentseeruvad vahemikus ]a, b[, kusjuures g’ (x)≠0, siis leidub selline punkt ξ ∈]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b) – f(a)]/[g (b ) − g (a)]=f ’(ξ )/g’(ξ ).
T7. Lagrange ’i keskväärtusteoreem: Erijuhul, kui g(x)=x, saame Cauchy teoreemist järgmise teoreemi: Kui funktsioon y=f(x) on pidev lõigus [a, b] ja diferentseeruv vahemikus ]a, b[ , siis leidub selline punkt ξ ∈]a, b[ , mille korral kehtib valem [f(b ) − f(a)]/(b – a)=f’(ξ ).
T8. L’Hospitali reegel: Kui limf(x)=limg(x)=0 või lim|f(x)|=lim|g(x)| = ∞ ja kui eksisteerib piirväärtus lim f’(x)/g’(x) , siis kehtib võrdus lim f(x )/g (x)= limf ’(x)/g’(x).
Def4. Funktsiooni y=F(x) nimetatakse funktsiooni y = f (x ) algfunktsiooniks piirkonnas X , kui iga x ∈ X korral on täidetud tingimus F’(x) = f(x).
Def5. Avaldist F(x) + C , kus y=F(x) on funktsiooni y=f(x) algfunktsioon piirkonnas X ja C on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni y=f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse sümboliga ∫f(x)dx.
Seejuures, konstanti C nimetatakse integreerimiskonstandiks.
T9. Kui funktsioon y=f (x) on pidev lõigus [a,b] , siis on tal olemas algfunktsioon (seega ka määramata integraal ) selles lõigus.
T10. Kui on olemas integraalid ∫f(x)dx ja ∫g (x)dx, siis mistahes konstantide α ja β korral on olemas ka integraal ∫[αf(x)+βg(x)]dx, kusjuures kehtib võrdus ∫[αf(x)+βg(x)]dx = α∫f (x)dx + β∫g (x)dx.
T11. Kui funktsioonil y = f (x ) on olemas algfunktsioon y=F(x) piirkonnas X ja kui x=ϕ(t) on mingis piirkonnas T diferentseeruv funktsioon, mille väärtused kuuluvad piirkonda X , siis kehtib valem ∫f(x)dx=∫f [ϕ (t)]ϕ ’(t)dt.
T12. Kui on olemas integraal ∫vdu, kusjuures funktsioonid u ja v on diferentseeruvad piirkonnas X , siis on olemas ka integraal ∫udv , kusjuures kehtib võrdus ∫udv = uv − ∫vdu.
Def6. Piirväärtust limλ→0σ nimetatakse funktsiooni y=f(x) määratud integraaliks rajades a-st b -ni ja
tähistatakse sümboliga a∫bf(x)dx.
Def7. Arvu I nimetatakse järjestatud suuruse σ piirväärtuseks protsessis λ → 0, kui iga ε > 0 korral leidub selline δ, et |σ−I| T13. Kui funktsioon y = f (x) on integreeruv lõikudes [a,c] ja [c,b], siis on see funktsioon integreeruv ka lõigus [a, b], kusjuures kehtib võrdus a∫bf (x)dx = a∫cf(x)dx +c∫bf(x)dx.
T14. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a, b] ,siis mistahes konstantide α ja β korral on ka funk tsioon y=αf(x) + βg(x) integreeruv lõigus [a, b] , kusjuures kehtib võrdus a∫b[α f(x) + βg(x)]dx = α a∫bf (x )dx + βa∫bg (x )dx.
T15. Kui funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) on integreeruvad lõigus [a,b] , siis on selles lõigus integreeruv ka nende funktsioonide korrutis y=f(x)g(x).
T16. Kui lõigus [a, b] integreeruvad funktsioonid y=f(x) ja y=g(x) rahuldavad iga x ∈ [a, b] korral võrratust f(x) ≤ g (x), siis kehtib ka integraalide vahel võrratus a∫bf (x )dx ≤ a∫bg(x)dx (a T17. Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis on selles lõigus integreeruv ka tema absoluutväärtus y=|f (x)|, kusjuures kehtib võrratus | a∫bf (x )dx | ≤ a∫b|f (x )|dx (a T18. Newton -Leibnizi valem: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] ja kui tal on selles lõigus olemas algfunktsioon y=F(x), siis kehtib valem a∫bf (x )dx =F(b) − F(a).
T19. Kui funktsioonidel u=u(x) ja v=v(x) on lõigus [a, b] integreeruvad tuletised, siis kehtib valem a∫budv = uv |ab- a∫bvdu.
T20. Kui funktsioonil y=f(x) on olemas algfunktsioon lõigus [a, b] ja kui x=ϕ(t) on mingis lõigus [α ,β] diferentseeruv funktsioon, mille väärtused kuuluvad lõiku [a, b], kusjuures ϕ(α) = a ja ϕ(β) = b, siis kehtib võrdus a∫bf(x)dx=α∫βf [ϕ (t)]ϕ’(t)dt, kui mõlemad integraalid eksisteerivad.
T21. Tarvilik tingimus funktsiooni integreeruvuseks: Kui funktsioon y=f(x) on integreeruv lõigus [a, b] , siis ta on tõkestatud selles lõigus.