Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm) (0)

Mat. Analüüsi 2. KT konspekt (vähendatud programm)
18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana.
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb
nullile ?
19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid .
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum kui: funktsioon on määratud punkti x1 mingi ümbruses ( ; ) ja iga x ( ; ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1).
Öeldakse et funktsioonil on punktis x1 lokaalne miinimum kui: funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses ( ; ) ja iga x kuulumisel ümbrusesse korral kehtib võrratus f(x) f(x1)
Sõnastada Fermat ’ lemma .
Kui funktsioonil on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on selles diferentseeruv , siis f´(x1)=0
20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid.
Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n-1 järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n).
21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem.
Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
Taylori polünoomi nimetatakse mcLaurini polünoomiks, kui a=0
22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem , tõestust ei küsi).
Kui f´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kasvav vahemikus (a;b). Kui aga f´ (x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on funktsioon f kahanev vahemikus (a;b).
23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon.
Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks.
Panna kirja lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi).
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
Panna kirja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused.

olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale tuletise märk muutub plussilt miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides x1 vasakult paremale tuletise märk muutub miinuselt plussiks, on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.

Olgu funktsiooni kriitiline punkt x1 selline, et f´(x) =0. Kui f´´(x1) on väiksem kui 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f´´(x1) on suurem kui 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid.
Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb.
Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga
Olgu f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a;b), siis kehtib:
Kui f´´(x) on suurem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) nõgus vahemikus (a;b).
Kui f´´(x) on väiksem kui 0 iga x (a;b) korral siis on joon y=f(x) kumer vahemikus (a;b).
Joone käänupunkti definitsioon.
Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks.
25. Joone asümptoodi definitsioon.
Sirget l nimetatakse joone y = f (x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile.
Vertikaalasümptoot.
Vertikaalasümptoodid on y-teljega paralleelsed sirged.
Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot?
Sirge x=a on joone y= f(x) vertikaalasümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot.
Kaldasümptoot on sirge, mis ei ole paralleelne y-teljega. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega.
Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja).
26. Algfunktsiooni definitsioon.
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x D korral kehtib võrdus F´(x) = f(x)
Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi).
Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
Funktsiooni määramata integraal ja selle geomeetriline sisu.
Funktsiooni F algfunktsioonide üldavaldist F + C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks .
Geomeetriline sisu: Iga x korral on määramata integraalil lõpmata palju väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib vaadelda kui üheste funktsioonide parve , kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon.
27. Integraalide tabel.
Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta).
1.
2.
3.
28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel.
Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Valitakse mingi funktsioon u ja integreeritakse muutuja x asemel muutujat u. Eeldades et valitud funktsioon u on üksühene ja diferentseeruv, leitakse selle funktsiooni pöördfunktsioon. Leitud pöördfunktsioon kirjutatakse diferentsiaalide jagatisena, korrutatakse võrdust du-ga ning saadud funktsioonid asendadakse integraali all.
Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja).
29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted.
Integraalsummaks nimetatakse lõigul (a;b) pideva funktsiooni f osalõikude punktide summasid
Määratud integraal: Kui lõigu (a;b) mistahes jaotuse korral. Kus max ja punktide p mistahes valiku korral integraalsumma läheneb ühele ja samale piirväärtusele s=
Siis piirväärtust s nimetatakse f-ni määratud integraaliks lõigul (a;b).
30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine.
Esitada vastav valem ilma tuletamata.
31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
32. Newton -Leibnitzi valem ilma tõestuseta.
33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel.
Valitakse uus x-ist sõltuv muutuja u, mis on üksühene ja diferentseeuv. Leitakse u pöördfunktsioon ning kirjutatakse see diferentsiaalide jagatisena, seejärel korrutatakse läbi du-ga. Integraali all tehakse asendused.leitakse uus integreerimislõik koos rajadega, mis sõltuvad u väärtustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel üle kogu esmase integreermislõigu.
Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja).