Määramata integraal (1)

MÄÄRAMATA INTEGRAAL
a) funktsioonid ja algfunktsioonid

• Kui meil on teada funktsiooni tuletis , kuid peame leidma funktsiooni, millest selline tuletis saadud on, siis peame kasutama toimingut, mida nimetatakse INTEGREERIMISEKS
  
• INTEGREERIMINE on tuletise võtmise pöördtehe: meil on ette antud tuletis ja me peame leidma selle kaudu funktsiooni, millest selline tuletis on saadud. Funktsiooni, millest tuletis on võetud, nimetatakse ALGFUNKTSIOONIKS.
  

LÄHENEME NÜÜD ASJALE MATEMAATILISELT
Def:
Funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) algfunktsioon hulgal X , kui iga xX korral kehtib võrdus:
ehk F’(x) = f(x)
Definitsioon ütleb, et mingi funktsioon saab olla mingile teisele funktsioonile algfunktsiooniks vaid, juhul, kui tema tuletis on täpselt sama kujuga, kui see teine funktsioon. Selline sõnastusviis on matemaatikas üsna tavaline ja ka kõige optimaalsem, seetõttu ka niisugused definitsioonid.
Hulk X on hulk, kuhu kuuluvad mõlemate funktsioonide / nii F(x) kui ka f(x) / reaalselt leitavad argumendid (x –id), mille puhul on ka funktsioon ise leitav ehk hulk X tähistab funktsiooni määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis saabki kehtida ainult algfunktsiooni määramispiirkonnas! See on oluline detail, mida tuleb alati märkida.
Algfunktsiooni võib defineerida ka teistmoodi, kuigi mõte on täpselt sama:
Funktsiooni F(x) nimetatakse funktsiooni f(x) ALGFUNKTSIOONIKS lõigul [a;b] , kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F’(x) = f(x).
S
Lõigu [a;b] sisse jäävad need argumendi väärtused, mille puhul on mõlemad, nii funktsioon kui ka tema algfunktsioon, määratavad.
NÄITEID:
1) Funktsioon f(x) =
on funktsiooni f(x) = x2 algfunktsioon reaalarvude hulgal R , sest ’ = x2
ja mõlemad funktsioonide määramispiirkond on reaalarvude hulk; iga reaalarvu puhul on funktsiooni
tuletiseks x2.
’ = x2 F(x) =
algfunktsioon tuletis f(x) = x2
2) F(x) =
on funktsiooni f(x) =
algfunktsioon nullist erinevate reaalarvude hulgal R\0, sest
’ =
ja ruutjuurealune x ei tohi olla null, sest vastasel juhul pole funktsioonid määratletavad.
2) MÄÄRAMATA INTEGRAAL
Pole raske taibata, et ühel funktsioonil võib olla mitu, kui isegi mitte lõpmata hulk algfunktsioone.
Uurime:
On antud funktsioonid:
Leiame nende kõikide tuletised : Kõikide ühine tulemus:
f x2
(x) =
’ = x2
f(x) = + 3 (+ 3)’= x2 + 0 = x2
f(x) =
- 5 ( - 5)’= x2 - 0 = x2
f(x) = +
(+ )’ = x2 + 0 = x2
Funktsioonid, mis erinevad vabaliikmete poolest, annavad sama tuletise, seega on kõik ülaltoodud funktsioonid funktsiooni x2 algfunktsioonid.
Kõik need funktsioonid saab kokku võtta nii, et tähistame vabaliikme (liidetava) konstandi C abil:
f(x) =
f(x) = + 3 + C
f(x) =
- 5
f(x) = +
Kõikide nende algfunktsioonide argumentide x hulgad erinevad teineteisest maksimaalselt liidetava C võrra. Kui teame mingi funktsiooni f(x) üht algfunktsiooni F(x), siis saame kohe avaldada mis iganes teise algfunktsiooni kujul F(x) + C. Täpsemalt öeldes on algfunktsioon F(x) ja C sellele lisanduv konstant.
Definitsioon
Funktsiooni määramata integraaliks nimetatakse avaldist kujul F(x) + C , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja C suvaline konstant.
Määramata integraali tähistatakse f(x) dx
f(x) dx = F(x) + C
Kui funktsioonil f(x) leidub hulgal X algfunktsioon, siis eksisteerib sellel funktsioonil ka määramata integraal hulgal X. (hulk X on funktsioonide argumentide hulk).
Määramata integraal on seega siis terve suur funktsioonideparv, kogum, ühisnimega F(x)+C
3) MÄÄRAMATA INTEGRAALI OMADUSED

• TEOREEM 1: Kahe või enama funktsiooni määramata integraalide summa on võrdne liidetavate funktsioonide summa integraaliga :
  

On antud kaks määramata integraali f(x) dx ja g(x) dx .
Nende integraalide summa:  f(x) dx +  g(x) dx = [f(x) + g(x)] dx
TÕESTUSEKS LEIAME TULETISE MÕLEMAST POOLEST, NII VASAKUST KUI KA PAREMAST ja tuletised peavad andma sama tulemuse, teeme tagurpidise tehte , kontrollime, kas mõlemad funktsioonid on ühe sama funktsiooni algfunktsiooniks:
([f(x) + g(x)] dx)’ = f(x) + g(x)
( f(x) dx +  g(x) dx )’ = (f(x) dx)’ + ( g(x) dx )’ = f(x) + g(x)
f(x) + g(x) = f(x) + g(x)

• TEOREEM 2: Konstantse teguri võib tuua integraalimärgi ette; kui a = const , siis a·f(x) dx = af(x) dx
  

Selle tõestuseks saab võtta mõlemast poolest tuletised ja näidata, et nad teevad sama välja:
[ a·f(x) dx ]’= a·f(x)
[af(x) dx]’ = a’ · f(x) dx + a ·[f(x) dx]’ = 0 + a·f(x) = a·f(x)
a·f(x) = a·f(x)
(uv)’= u’v + uv’ 0
Teoreemidest tuleneb paar kasulikku reeglit:

• Kui  f(x) dx = F(x) + C , siis kahe funktsiooni korrutise puhul: = F(ax) + C
  

Selle tõestuseks võtame mõlemalt poolt tuletise ja vaatame, kas need on võrdsed, parema poole puhul kasutame liitfunktsiooni tuletist, sest muud ei jää üle:
a=const.
[ f(ax) dx]’= f(ax)
F(ax) + C = 0 +· F’(ax) · (ax)’ = · f(ax) · a = = f(ax)
f(ax) = f(ax)
võrdle: (6x)’ = 6
(ax)’ = a

MIKS SEE dx SEAL TAGA JÕLGUB?

• Tuletame meelde, mis on diferentsiaal
  

On antud funktsioon y =f(x) , selle funktsiooni tuletis funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis x avaldub võrdusega:
f’(x)
Tuletis on ju funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile… Funktsiooni tuletis on kindel arv, see on funktsiooni väärtus, millele ta läheneb pidevalt, ent millega ta iialgi reaalselt võrduda ei saa.
Seega võib öelda, et ∆y ja ∆x suhe erineb ∆x lähenemisel nullile funktsiooni tuletisest f’(x) lõpmata väikese suuruse võrra (ärme unusta , et lõpmata väike suurus on muutuv suurus):
= f’(x) + a , kus a 0 ja ∆x 0
Teeme väikese lubatud nipi ja vaatame, mis selle tagajärjel avaldub; korrutame ∆x-ga mõlemad pooled läbi:
= f’(x) + a · ∆x
∆y = f’(x)·∆x + a·∆x AVALDUS FUNKTSIOONI MUUT!
Funktsiooni muut koosneb kahest liidetavast: f’(x)·∆x ja a·∆x kusjuures mõlemad on lõpmata väikesed suurused, kuna ∆x 0 . Suurus f’(x)·∆x on aga kõrgemat järku lvs argumendi muudu suhtes, sest
0
Niisiis :
∆y = f’(x)·∆x + a·∆x
Seda rohelist osa, mis kõrgema järgu lvs-na domineerib , seda korrutist f’(x)·∆x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks.
D
EF:
Kui funktsioonil f(x) eksisteerib punktis x tuletis f’(x), siis tuletise ja argumendi muudu ∆x korrutist nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy.
dy = f’(x)∆x
Seega funktsiooni muut avaldub kujul:
∆y = f’(x)·∆x + a·∆x
∆y = dy + a·∆x ,
kus a on lõpmata väike suurus, mille võrra erineb suhe
oma piirväärtusest, kui ∆x läheneb nullile.

• Funktsiooni muut ja funktsiooni diferentsiaal erinevad üksteisest väga vähe.
  
• Nad erinevad üksteisest lõpmata väikese suuruse a·∆x võrra
  

Nüüd oluline: ka argumendil on olemas diferentsiaal. Kui vaadelda argumenti kui eraldi funktsiooni: y = x

leiame tuletise: y’ = x’ = 1

leiame diferentsiaali: dy= 1·∆x = ∆x
Kuna y=x, siis dy =dx
Kuna dy = ∆x, siis dy = dx =∆x
ANTUD JUHUL:
F
unktsiooni diferentsiaal = argumendi diferentsiaal = argumendi muut = funktsiooni muut.
Igal juhul võib argumenti lugeda omaette sõltumatuks muutuvaks suuruseks…
Seega mingi suvalise funktsiooni y= f(x) puhul saab diferentsiaali avaldada kujul:
dy = f’(x)·∆x = f’(x)·dx
eraldi real : dy = f’(x)·dx
See võrdus näib igati loogiline: KUNA FUNKTSIOONI VÄÄRTUS SÕLTUB ARGUMENDI VÄÄRTUSEST, SIIS FUNKTSIOONI DIFERENTSIAALI VÄÄRTUS SÕLTUB ARGUMENDI DIFERENTSIAALI VÄÄRTUSEST.
SIIT AVALDAME OLULISE SEOSE FUNKTSIOONI TULETISE JA ARGUMENDI DIFFERENTSIAALI VAHEL:
Kui dy = f’(x)·dx,
siis f’(x) =
funktsiooni f(x) tuletis on võrdne funktsiooni diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali jagatisega.
Kuidas siis see integraaliga seotud on?
f(x) dx
See on tegelikult tema algfunktsiooni tuletis, mis tegelikult avaldub aga kujul:
Algfunktsiooni tuletis on aga korrutatud argumendi diferentsiaaliga, mis omakorda annab meile vastava funktsiooni diferentsiaali, mille integraal on võrdne algfunktsiooniga:
 f(x)·dx = dF(x) = F(x) + C
Sellepärast on funktsiooni integreerimises kui tuletise võtmise pöördtehtes arvestatud ka argumendi diferentsiaaliga, kuna tegelikult ongi tegemist mingi funktsiooni diferentsiaali ja n-ö integraalvastega, sest määramata integraal F(x) + C tähistab funktsioonideparve, mille tuletised on kõik ühesuguse kujuga. Ent funktsioonideparv iseloomustab siiski funktsiooni tuletiste muutu, tuletisteparve, mis näevad matemaatiliselt samasugused välja, kuid mis graafiliselt PAIKNEVAD eri kohtades. Sellepärast tuleb integreerimisel alati arvestada ka vastava funktsiooni diferentsiaaliga…See on õige nii matemaatiliselt kui ka piltlikult.
TULEMAS: järeldusi integraali definitsioonist
Seniks: CIAO