Punktmass keha, mille mõõtmed võib vaadeldavates tingimustes arvestamata jätta ( linna vahel liikuv auto, mille mõõtmed on kaduvväikesed linnadevahelise kaugusega; ümber Päikese tiirlev planeet, mille mõõtmed on kaduvväikesed tema orbiidi mõõtmetega). 3. Mehaanika põhiülesanne. Mehaanika põhiülesanne määrata liikuva keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukoht mistahes ajahetkel. Keha asukohta kirjeldatakse tema koordinaatide abil. 4. Kiiruse definitsioonvalem vektorkujul (1.3) ja projektsioonides (1.3a). 5. Kiirenduse definitsioonvalem üldkujul (1.4) ja projektsioonides (1.4a). 6. Liikumisvõrrandid projektsioonides tuletiste kujul (1.6) ja integraalide kujul (1.6a), (1.6b). 7. Ühtlaselt muutuva liikumise definitsioon. Tema võrrandid veltorkujul (1.7) ja (1.9) ning projektsioonides (1.10). Valemite (1.10) tuletamine. Ühtlaselt muutuvaks liikumiseks nimetatakse liikumist, mille käigus keha kiirus muutub
moodustuv tessolatsioon, millise kujuga on Thiessani polügoonid nende esinduspunktide ümber . Iseloomustage selle võre geomeetriat. Esinduspunktide ümber on kuusnurksed võred, mis on üksteisega külgnevuses. 3. Iseloomustage lühidalt erinevaid vaatenurki geoinformaatikale, iseloomustage nende nõudeid/ootusi GIS-le. Kartograafiline vaatenurk - Kartograaf ootab GISilt järgmist: suudab näidata raster ja vektorkujul kaarte, oskab valmistada trükifaile kõrge eraldusvõimega filmiplotteritele, saab hakkama väga suurte andmemahtudega, kvaliteetseid fonte jne. Andmebaasiline vaatenurk - GISile peab olulisimaks andmebaasistruktuuri ning funktsioone, millega andmeid andmebaasist kätte saab. Tähtis on ka ruumiliste andmete integratsioon alfanumeerilistega, sageli on/oli tegu nn tavalise andmebaasi laiendamisega geograafiliste andmetega.
1. Mis on liikumisvõrrand? - on funktsioon, mis määrab liikuva keha (punkti!) asukoha mingil ajahetkel. Võib olla igasugune funktsioon. - keha (punkti!) asukoha määrab kohavektor, mis antakse kolme koordinaadiga (x,y,z). Need koordinaadid määravad keha asukoha kolmruumi ortonormaalse reeperi suhtes. - ortonormaalne reeper koosneb kolmest omavahel risti olevast ühikvektorist. Tähistame neid: i, j, k, peale paneme vektorimärgid. Kokku saame valemi vektorkujul mis on samaväärne kolme skalaarse võrrandiga: 2. Newtoni mehaanikas on kombeks esitada neid võrrandeid ruutpolünoomina 3. Liikumisvõrrandi esimest tuletist nimetatakse kiiruseks: ja teist tuletist kiirenduseks: Kui kiirendus on konstantne, on kõik kolm koordinaatvõrrandit samaväärsed koolifüüsikast tuntud "mitteühtlase sirgliikumise" valemitega: See, et me teame,mismoodi liikumisvõrrand välja näeb, ei tee meid targemaks. Me peame oskama teda koostada ja kasutada.
42.Defineerige skalaarse suuruse gradient. 43.Tuletage valem põrkeprodukti kiiruse ja vabanenud soojusenergia arvutamiseks absoluutselt mitteelastsel põrkel. 44.Tuletage valemid kehade lõppkiiruse avutamiseks absoluutselt elastsel põrkel. 45.Kirjutage kangi tasakaalutingimuse valem. Tehke joonis koos selgitustega. 46.Defineerige jõu õlg. Kirjutage selle arvutuvalem, tehke joonis koos selgitustega. 47.Kirjutage valem kangi pöörava jõumomendi arvutamiseks moodulkujul ja vektorkujul. Tehke vastav joonis koos selgitustega. 48.Tuletage Newtoni III seadus pöördliikumisel. Tehke vastav joonis koos selgitustega. 49.Kirjutage valemid mingi punktmassi impulsimomendi arvutamiseks etteantud punkti suhtes moodul- ja vektorkujul. Tehke vastav joonis koos selgitustega. 50.Kirjutage valem, mis seob punktmassile mõjuva resultantjõumomendi ja tema impulsimomendi. 51.Sõnastage impulsimomendi jäävuse seadus. Tuletage see. 52
Seadused ja valemid Loeng 11. Coulomb'i seadus (vektorkujul!). Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. , Seda saab kirja panna, kui kasutada meile juba tuntud vektorsümboolikat: Väljatugevus ja potentsiaal, seos nende vahel. Mida tugevam on väli (tihedamalt jõujooned) seda kiiremini muutub potentsiaal (seda lähemal on üksteisele samapotentsiaalipinnad).
· Tegeleb teekonna optimeerimisega · Eeldab topoloogiliselt korrastatud andmestikku 4. Geomeetrilised primitiivid on (seonduvad): · Nähtuste kajastamine dimensionaalsusest lähtuvate kujutusviiside kaudu · Maailma nägemine punktide, joonte ja pindadena 5. Seadke loogilisimasse vastavusse erinevaid vaatenurki geoinformaatikale iseloomustavad omadused: · Kartograafiline suutlikkus käsitleda korraga nii raster- kui vektorkujul andmeid · Andmebaasiline suutlikkus asukohaga siduda ulatuslikke tärkandmete mahte · Analüütiline võimalus teha ruumiandmetest mõistlikke järeldusi 6. Seadke loogilisimasse vastavusse nõuded/ootused GIS-ile vastavalt vaatenurgale: · Hea projektsiooniteisendus suutlikkus kartograafiline · Lihtne seostumine andmehaldustarkvaradega andmebaasiline · Võimalus rakendada ulatuslikku statistikat analüütiline 7
· Tegeleb teekonna optimeerimisega · Eeldab topoloogiliselt korrastatud andmestikku 4. Geomeetrilised primitiivid on (seonduvad): · Nähtuste kajastamine dimensionaalsusest lähtuvate kujutusviiside kaudu · Maailma nägemine punktide, joonte ja pindadena 5. Seadke loogilisimasse vastavusse erinevaid vaatenurki geoinformaatikale iseloomustavad omadused: · Kartograafiline suutlikkus käsitleda korraga nii raster- kui vektorkujul andmeid · Andmebaasiline suutlikkus asukohaga siduda ulatuslikke tärkandmete mahte · Analüütiline võimalus teha ruumiandmetest mõistlikke järeldusi 6. Seadke loogilisimasse vastavusse nõuded/ootused GIS-ile vastavalt vaatenurgale: · Hea projektsiooniteisendus suutlikkus kartograafiline · Lihtne seostumine andmehaldustarkvaradega andmebaasiline · Võimalus rakendada ulatuslikku statistikat analüütiline 7
koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0. see avaldis on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, st. et jõuhulknurk oleks kinnine (joon1) Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x=0, Fres y=0, Fres z=0. Nende projektsioonide väärtust arvestades saame analüütilised tasakaalutingimused kujul Fx=0 (y,z) Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis,
s, mis koosneb kahest põhikomponendist: aktiivtakistus ehk resistants R ‒ iseloomustab elektrienergia muundumist teist liiki energiaks, näiteks soojuseks; reaktiivtakistus ehk reaktants X ‒ iseloomustab elektrienergia perioodilist võnkumist ahelaelementide vahel; induktiivsete ahelaelementide reaktiivtakistus on induktiivtakistus XL ja mahtuvuslike elementide reaktiivtakistus mahtuvustakistus XC. Ohmi seadus vektorkujul Materjalide juhtivusomaduste kirjeldamiseks kasutatakse Ohmi seaduse vektorkuju: kus on voolutiheduse vektor; on erijuhtivus; on elektrivälja tugevuse vektor. Valem kehtib isotroopsete materjalide korral. Isotroopsus ehk isotroopia on ruumi, füüsikalise keha või mõne muu objekti teatud omaduste sõltumatus suunast. Näiteks radioaktiivne kiirgus on isotroopne selles suhtes, et selle intensiivsus on
Tulemuseks on vektor, mis on risti mõlema korrutatud vektoriga. Vektorte vektorkorrutist võib esitada ka maatrikskujul: 20) Kolme vektori segakorrutis, selle omadused, arvutamine ja geomeetriline tähendus. 21) Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanooniline võrrand. 22) Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja üldvõrrand. 23) Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. 24) Analüütilise geomeetria ülesannete lahenadmine vektorkujul. 6.13. Ruumigeomeetria ülesannete lahendusi vektorkujul, lk.215 - 218. 25) Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Kanooniline võrrand tuletada. Ellipsi optiline omadus kirjeldavalt. 26) Hüpebrooli definitsioon ja kanooniline võrrand. 27) Parabooli definitsioon ja kanooniline võrrand. 28) Teist järku pindade kanoonilised võrrandid. Teist järku pindade kanoonilised võrrandid, lk.362 - 381. 29) Teist järku pindade sirgjoonelised moodustajad.
mõjusirge. 6. Koonduv jõusüsteem: Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Koonduva jõusüsteemi korral on võimalik leida jõud, mis on samaväärne jõusüsteemiga. Saadud resultantjõud on rakendatud vaadeldava süsteemi jõudude mõjusirgete lõikepunkti. 7. Koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus: koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres= 0. See on tasakaalutingimus vektorkujul. 8. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: selleks, et kolm mitteparalleelset jõudu oleksid tasakaalus peavad nad paiknema ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuma ühes punktis. 9. Jõu moment telje ja punkti suhtes: Jõu pöördevõime sõltub jõu suurusest F ja õlast h. Jõu pöördevõimet iseloomustavat skalaarset korrutist Fh nimetatakse jõu momendiks telje suhtes. Jõu F momendiks punkti O
moodulilt võrdne niidi tõmbejõuga, kuid olema suunatud sellele vastu: P = -Ft . (4.21) Kehale mõjuv resultantjõud avaldub ühelt poolt niidi tõmbejõu ja raskusjõu vektoriaalse summana: Fres = Ft + mg , teiselt poolt Newtoni II seaduse põhjal Fres = ma . Siis saame kolme viimast valemit arvestades keha kaalu valemi vektorkujul P = m( g - a ) . (4.22) Kaalu mooduli arvutamiseks mõnel lihtsamal erijuhul vaatleme olukorda, kus keha kiirendatakse vertikaalsihis, tõmmates niidist jõuga Ft . Ft Fres mg Resultantjõu valem esitub vektorkujul
Vektorite segakorrutise mõiste, arvutamine, omadused ja geomeetriline tähendus. Sirge ja tasand ruumis Sirge vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid. Tasandi vektorvõrrand, parameetrilised võrrandid. Tasandi üldvõrrand. Sirge esitamine kahe tasandi lõikejoonena. Tasandi normaalvõrrand, punkti kaugus tasandist Tasandi normaalvõrrand. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Sirge suhtes sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine. Punkti kauguse leidmine sirgest. Kahe kiivsirge vahelise kauguse ja nendele tõmmatud ühise ristsirge võrrandi leidmine. Teist järku joonte kanoonilised võrrandid Ellipsi, hüperbooli ja parabooli kanooniliste võrrandite tuletamine. Maatriksi mõiste Maatriksi mõiste, lineaartehted maatriksitega. Maatriksite vektorruum. Maatriksite korrutamine ja selle omadused.
· elektrivälja potentsiaal = töö, mida tuleb teha (positiivse) ühiklaengu viimiseks antud väljapunktist sinna, kus väli ei mõju. (J) · magnetiline induktsioon B-vektor · Coulomb'i seadus kui pöördruutsõltuvus - Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. · Elektrivälja tugevuse valem ja väljatugevuste liitumine (vektorkujul!). Elektrivälja tugevus = sellesse punkti asetatud positiivsele ühiklaengule (+1C) mõjuv jõud. · Juhi potentsiaali ja mahtuvuse vaheline seos. Mahtuvus - juhile antud laeng jagatud juhi potentsiaaliga. Farad (F) - juhi mahtuvus, kui laeng 1 C tõstab tema potentsiaali 1 V võrra. Loeng 12 Alalisvool. Suurused: · Voolutugevus I (A) · Voolutihedus - juhi ühikulist ristlõiget läbiv voolutugevus - j (A/m) · Pinge U (V)
· elektrivälja potentsiaal = töö, mida tuleb teha (positiivse) ühiklaengu viimiseks antud väljapunktist sinna, kus väli ei mõju. (J) · magnetiline induktsioon B-vektor · Coulomb'i seadus kui pöördruutsõltuvus - Kaks punktlaengut mõjutavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende kehade laengutega ning pöördvõrdeline nende vahelise kauguse ruuduga. · Elektrivälja tugevuse valem ja väljatugevuste liitumine (vektorkujul!). Elektrivälja tugevus = sellesse punkti asetatud positiivsele ühiklaengule (+1C) mõjuv jõud. · Juhi potentsiaali ja mahtuvuse vaheline seos. Mahtuvus - juhile antud laeng jagatud juhi potentsiaaliga. Farad (F) - juhi mahtuvus, kui laeng 1 C tõstab tema potentsiaali 1 V võrra. Loeng 12 Alalisvool. Suurused: · Voolutugevus I (A) · Voolutihedus - juhi ühikulist ristlõiget läbiv voolutugevus - j (A/m) · Pinge U (V)
järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis r=ro+ts, tR, nimetatakse sirge L parameetriliseks võrrandiks vektorkujul ja kordaja t on võrrandi parameeter. Kui sirgel on algus ja lõpp, siis on tegu lõiguga. Selle parameetriline võrrand vektorkujul on r=ro+ts, t[a,b]. Pmst sama ruumis. Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil ja ruumis Sirge võrrandid koordinaatkujul tasandil x=xo +tsx ,y=yo +tsy ,kus tR. Lõigu parameetrilised võrrandid erinevad ainult parameetri t väärtustelt: need muutuvad kõigi reaalarvude asemel teatud lõigu [a,b]. Pmst sama ruumis. Kanooniline võrrand x-xo/sx=y-yo/sy
Millise geomeetria tüübiga võivad olla vektor- ja millise geomeetria tüübiga rasterandmed? Tooge näiteid erinevate andmetüüpide kohta. Et näha ruumiandmete erinevaid vorme ja nende ruumilisi vahekordi, siis on tegemist ruumiandmete geomeetriga. Rasterkujul on ruum jaotatud kindla suurusega ruutudeks. Ühte ruutu nimetatakse piksliks. Igal pikslil on rasterkujuliste andmete korral kindlad geograafilised koordinaadid ning atribuutide informatsioon. Vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide kaupa. Vektorit iseloomustab geograafiliste andmete algus- ja lõpp-punkt ning suund. 11. Mis vahe on raster- ja vektorandmetel? Milliste andmete puhul on hea kasutada vektor- ja milliste puhul rasterandmeid? Mis on atribuutandmed ja milleks neid kasutatakse? Mis on metaandmed ja milleks neid kasutatakse? Tooge näiteid. Rasterandmed: erinevate pikslite kogumik, kasutatakse kattuvusülesannete
Samamoodi on vektoriseloom ka nurkkiirusel ja kiirendusel. Nurkkiiruse vektoriks nimetatakse niisugust vektorit, mille moodul võrdub nurkkiirusega kui pöördenurga tuletisega aja järgi, suund ühtib pöördenurga vektoriga. Et kolm vektorit , v ja r on omavahel risti ja nende moodulid on seotud valemiga v = r , siis vektorkorrutise definitsiooni kasutades võime kirja panna nurkkiiruse ja joonkiiruse vahelise seose vektorkujul: v =×r . (2.24) Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1.4) arvestades pöörleva keha punkti kiirenduseks × r + a = v = × r . (2.25) Võrrandi paremal pool on esimeses liidetavas nurkkiiruse vektori tuletis aja järgi. Nimetame selle nurkkiirenduse vektoriks.
16) v = v - gt 0 Meenutame veel, et need võrrandid kehtivad ainult eeldusel, et z , z 0 << R , kus R on Maa raadius. Vaba langemise korral kehtivad veel järgmised väited. 1. Vaba langemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist. 2. Kui alg- ja lõppkõrgus on võrdsed, siis a) üleslennu aeg võrdub allalangemise ajaga, b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. 1.4 Kõverjooneline liikumine Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel (1.6) on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused.
nende mõju asendada reaktsioonijõududega. Sidemereaktsiooni arvulised väärtused leitakse keha tasakaalutingimuste abil. Toed- seadmed, mis ühendavad keha alusega. Toereaktsioonid- toesidemete reaktsioonid. Koonduv jõusüsteem- kõigi jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Lihtsaim jõusüsteem. Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti. Fres=0 on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Staatikaga määramatu ülesanne- juhtum , kus tundmatute arv on tasakaaluvõrrandite arvust suurem. Kolme mitteparalleelse jõu teoreem- Kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirge lõikuvad ühes punktis. Jõu moment telje suhtes- jõu pöörlemisvõimet iseloomustav skalaarne korrutis ±Fh, märkidega + ja eristatakse pöörlemissuunda
LOENGUKURSUS UTT0080 INSENERIMEHAANIKA UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA 6. LOENG KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL. HÕÕRE. KINEMAATIKA 6.3 JÕUSÜSTEEMI TASAKAAL Varem oleme näidanud, et jõusüsteem on ekvivalentne tema peavektoriga ja peamomendiga. Süsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et need võrduksid nulliga: FO = 0; MO =0. Toodud avaldised esitavad süsteemi tasakaalutingimusi vektorkujul. TASAKAALUTINGIMUSED Descartes’i koordinaatides omavad nii peavektor kui ka peamoment kolm komponenti, mis annab kokku kuus tasakaalutingimust. Skalaarkujul tasakaalutingimused väljenduvad järgmiselt: FOx Fix 0, M Ox Fiz yi Fiy zi 0, i i FOy Fiy 0, M Oy Fix zi Fiz xi 0, i i
F=*((m1*m2)/r2), - gravitatsioonikonstant, r - kehade vaheline kaugus d) erirelatiivsus m=m0/1+v2/c2 , v- keha kiirus, c valguse kiirus e) kiirusest sõltuv mass ma= F, m=m(t), a=r``(t), (d/dt)mv 30. Dünaamika põhiülesanded. Ülesanded: a) on antud masspunkti liikumine (s.t. tema liikumisseadus) ja tuleb leida jõud, mille mõjul liikumine toimub. b) on antud masspunktile mõjuv jõud, leida tuleb selle masspunkti liikumise seadus. 31. Punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid (vektorkujul, koordinaatkujul). *Üldjuhul: ~F= ~F(~r, d~r/dt, t) *Vektorkujul: m(d2~r/dt2)= ~F(~r, d~r/dt, t) , võib vaadelda kui diferentsiaalvõrrandit, milles kohavektor ~r on funktsiooniks ja aeg t argumendiks. *Koordinaatkujul: a) ristkoordinaadid: mx``= Fx; my``= Fy; mz``=Fz b) polaarkoordinaadid: m(r´´-r*´2)=Fr, md/rdt(r2*`2)=F 32. Masspunktide süsteem. Masspunktide süsteemi mass, masspunktide süsteemi massikese. Süsteemi välis- ja sisejõud. Sisejõudude omadused.
hetkel vajaliku suunaga vektorit. | | 18. Lähtudes kiirenduse ja kiiruse definitsioonist, tuletage liikumisvõrrand. Ehk vektorkujul Liikuva taustsüsteemi kiirus 4. Mis on mateeria ja millised on tema osad? Mateeria on kõik meid ümbritsev loodus. Mateeria esineb Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus on konstantne.
Mis on punkti trajektoor? Trajektoor - pidev joon, mille joonistab punkt oma liikumisel. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? r = r(t) Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? Loomulik koordinaat punkti liikumisel on kõverjooneline koordinaat s. s = f (t ) Mis vahe on ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? Loomulikel koordinaatidel on trajektoori kujuline kõverjooneline koordinaattelg. t s x 2 y 2 z 2 dt 0 Neid seob valem:
funktsioonina. Muutujat t nim parametriks. Tasandil nim joone parameetrilisteks võrranditeks võrrandeid x=x(t) y=y(t) Sirge parameetrilised võrrandid Sirge on täielikult määratud kui on teada nullist erinev sirgega paralleelne vektor, nn sirge sihivektor s ja üks punkt M1 sirgel. M on meelevaldne punkt sirgel, siis OM1=r1 ja OM=r. Punktid M1 ja M määravad vektori M1M=r-r1. See vektor on paralleelne sihivektoriga. Võrrand r-r1=st on sirge parameetriline võrrand vektorkujul. Võrrandit y= kx+b nim sirge võrrandiks tõusu ja algordinaadi järgi. Siin arv k on sirge tõus ehk x-telje positiivse suuna ja sirge vahelise nurga tangens. Arvu b nim sirge algordinaadiks.See on sirge ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Sirge vektorvõrrand ja sirge kanoonilised võrrandid Kui vektor r-r1 on paralleelne vektoriga s ja paralleelsete vektorite vektorkorrutis on 0, siis s(r- r1)=0, so sirge vektorvõrrand. Võrrandeid x-x1/s1= y-y1/s2= z-z1/s3 nim sirge kanoonilisteks
... (vastavad read liidad = a, vastavaad veerud liida = b) xij 0 8. LP ülesande püstitus (kanoonilise kuju teisendamine standardseks ja vastupidi) Standardne kuju: z=c1x1 + ... + cnxn à max a11x1 + ... + a1nxn b1 ... am1x1 + ... + amnxn bm x0 Kasutades vektoreid c, b, x ja m*n-maatriksit A kirjutame ülesande vektorkujul: z = (c,x) à max Ax b, x0. Kanooniline kuju: z=(c,x) àmin Ax = b x0 Standardse ülesande teisendamisel kanooniliseks, lisandub igale reale üks mittenegatiivne muutuja, et võrdused oleksid õiged. Maksimumi miinimumiks saamisel korrutame rida läbi -1-ga. Kanoonilise ülesande teisendamisel standardseks korrutame samuti esimese rea -1ga läbi. Kitsendusele lisandub sama kitsenduse vastasmärgiline kitsendus.
Jäiga keha raskuskesemeks nimetatakse selle kehaga muutumatult seotud punkti, mida läbib antud keha osakeste raskusjõudude resultant mis tahes keha asendi puhul ruumis. · Kus asub homogeense kolmnurga raskuskese? Tema mediaanide lõikepunktis. ______________________________________________________________________________________ · Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. · Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul üldiselt? Punkti liikumisseaduseks nimetatakse niisugust võrrandit (või võrrandisüsteemi) mille puhul on võimalik üheselt määrata punkti asukoht ükskõik mis ajahetkel antud taustsüsteemi suhtes. · Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? Trajektoori kõverjoonelise koordinaatteljena vaatlemisel on s loomulik koordinaat, mis muutub aja vältel s=f(t)
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = a1, a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = a2, .......................... (1) ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = ai , .......................... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = am. taandatud lineaarvõrrandisüsteemiks. Mittehomogeense LVS-i lahendivektori avaldamine LVS-i erilahendi ja taandatud LVSi fundamentaalsüsteemi kaudu vektorkujul ja komponentkujul Valemeid x = t1c1 + t2c2 + . . . + tn-scn-s, iga t1, t 2, . . . , tn-s R ja x1 = t1c11 + t2c21 + . . . + tn-scn-s,1, x2 = t1c12 + t2c22 + . . . + tn-scn-s,2, .................................... xi = t1c1i + t2c2i + . . . + tn-scn-s,i , .................................... iga t1, t2, . . . , tn-s R. xn = t1c1n + t2c2n + . . . + tn-scn-s,n, nimetatakse vastavalt homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks fundamentaalsüsteemi
koordinaatidex antud baasil ja tähistataxe x=( x1,x2,....,xn). Sirge ja tasand ruumis Sirge
vektorvõrrand nim vek) x= x0+ ts, kus t kuulub R => (x,y,z ) = (x0,y0,z0) +t(sx,sy,sz)
=>parameetrilised võrrandid ja kanoonilised võrrandid => (x,y,z) = ( x0+tsx, y0+ tsy, z0+ tsz) => { x=
x0+tsx; y= y0+tsy; z= z0+tsz: => avaldame t saame lõpux kanooniline võrrand => x-x0/sx= y-
y0/sy=z-z0/ sz. Tasandi üldvõrrand Ax+by+Cz+ D= 0
Mõnede analüütilise geomeetria ülesannete lahendamine vektorkujul Tasandi suhtes
sümmeetrilise punkti kohavektori leidmine.*paneme kirja tasandi üldvõrrand -> kust Ax+By+Cz =>
1) vek)< n, x> ja 2) x,y,z; 1) on on tasandi normaal vektorite kordinaadid, ja 2) tasandi muutuva
punkti koordinadid. Vek x=( x,y,z); ( kasulik teha joonis) => x=x0+ tn=> < n, x0+ tn> +D=0 => < n,
x0> +t< n,n>+ D=0 => t = - ( < n, x0> +D)/
koordinaadistiku nullpunktis. Teljed võime suunata suvaliselt. Gravitatsioonivälja tugevuseks nimetame jõuväljas olevale kehale mõjuva gravitatsioonijõu suhet selle keha massiga: o Elektriväli: elektrilaeng, väljatugevus ja potentsiaal, nende ühikud Elektrilaengut, mis ei muuda protsessi (katse) käigus oma asukohta, nimetatakse staatiliseks elektriks o Väljatugevuste liitmine vektorkujul Loen 12 o Suurused: voolutugevus, voolutihedus, pinge, elektromotoorjõud Voolutugevuseks nimetame ajaühikus juhi ristlõiget läbinud elektrilaengut Voolutugevus sõltub laengukandjate arvust ja kiirusest. Kiiruse määrab laengutele mõjuv jõud (seega elektrivälja tugevus), laengukandjate arvu peamiselt juhi mõõtmed. Viimasest vabanemiseks kautatakse voolutiheduse mõistet. Ohm'i seadus ja Joule-Lenz'i seadus.
f. Info: www.maaamet.ee <- Kaardid EKSAMIKS!!! 127. Kirjeldage Eesti põhikaarti, selle tootmist ja ajalugu. a. Digitaalkaart mõõtkavas 1:10000 (1 leht katab 5.5x5.5 km) b. Trükitud kaart mõõtkavas: 1:20000 (1 leht katab 10.10x10.5km) c. Ellipsoid: GRS 80 d. Projektsioon: Lambert-Est e. Tasapinnaline ristkoordinaatide süsteem: L-Est f. Faili formaadid: i. Vektorkujul: DGN, Mapinfo ii. Rasterkujul: CIT, TIFF, ECW g. Eesmärk: Olla aluseks riiklikele teemakaartidele ning ruumiinfot sisaldavatele registritele. h. Kaardil kujutatud topograafiline info: ca 118 nähtust, digitaalkaardil puudub reljeef i. Toimub andmete uuendamine (II kaardistusring) j. Keskmine ruutviga: i. Stereos: 2m ii. Tehislikud objektid: 4m iii
Raster andmemudel: • Raster andmemudeli (graafika) kõige levinumaks näiteks on televiisori või arvuti ekraan. • Rasterkujul on ruum jaotatud kindla suurusega ruutudeks e. võrgustikuks. Ühte võrgustiku elementi (ruutu) e. rakku nimetatakse piksliks. • Igal pikslil on rasterkujuliste andmete korral kindlad geograafilised koordinaadid ning atribuutide informatsioon. Vektor andmemudel: • Vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide baaride kaupa (matemaatikas: vektor suunatud sirglõik). • Sarnaselt matemaatilisele vektorile iseloomustab ka geograafiliste andmete vektorkuju algus- ja lõpp-punkt ning suund. • Atribuudi info saab “kinnitada” eraldi kaardiobjekti külge. Raster ja vektormudeli andme võrdlus: RASTER VEKTOR
integraaliga. t p = p 0 + Fres (t )dt . 0 (5.5) Saadud valemis paremal pool olevat integraali nimetatakse kehale mõjuvaks jõuimpulsiks. Jõuimpulss kehale mõjuva resultantjõu kui aja funktsiooni integraal üle tema mõjumisaja. Jõuimpulss võrdub keha impulsi muuduga. Konstantse jõu korral võrdub jõuimpulss lihtsalt kehale mõjuva resultantjõu ja mõjumisaja korrutisega. Saadud valemid (5.4) ja (5.5) on antud vektorkujul ja neid ei saa seetõttu ülesannete lahendamisel kasutada. Seega tuleb nad avaldada ka komponentkujul. Konstantse resultantjõu korral valem (5.4) esitub komponentides p x = p 0 x + Fres , x t . (5.6) Valemi (5.5) komponentkujule viimiseks kasutame asjaolu, et resultantjõu vektor avaldub Fres = i Fres , x + j Fres , y + k Fres , z .
rohkem kui kahe endasugusega 4. Pind – polügoon, kus piksli atribuut väljendub ruumiliselt st 0 tasapinnast üleval või all GIS-i andmetabelid rastermudeli korral. 15 GEOINFOSÜSTEEMID Eksamiteemad Vektor andmemudel – vektorkujul edastatakse kaardiobjekte koordinaatide paaride kaupa. Sarnaselt matemaatilisele vektorile iseloomustab ka geograafiliste andmete vektorkuju algus- ja lõpp-punkt ning suund. Atribuudi info saab kinnitada eraldi kaardiobjekti külge. Kaardiobjektid moodustuvad vektorstruktuuri korral järgmiselt: 1. Punkt – koordinaatide paar 2. Joon – koordinaatide paaride rida 3. Polügoon – koordinaatide paaride rida, mille algus-ja lõpp-punkt on samade koordinaatidega 4
Teemakaardid baseeruvad riiklikel topograafilistel kaartidel. o Kohalikud omavalitsusüksused korraldavad oma territooriumi kaardistams (linnaplaanid). Eraalgatuslik kaarditootmine. Maa-ameti tooted: Eesti põhikaart, Eesti baaskaart, Eesti mullakaart, Ortofotod, ETAK, X-GIS, Arhiivis olevad kaardid 83. Mis on Eesti põhikaart? Digi 1:10 000, L-Est projektsioonis, Ellipsoid GRS 80, tasapinnaline ristkoordinaatide süsteem L-Est- is, on vektorkujul, rasterkujul ja varsti ka geoandmebaasina. Põhikaardi eesmärgiks on olla ALUSEKS 21 riiklikele teemakaartidele ja ruumiinfot sisaldavatele registritele, digikaardil puudub reljeef. Kaardi omaniku- ja autoriõigused kuuluvad Eesti Vabariigile, keda esindab Maa-amet. Tootmist korraldab maaamet. Digitaalkaart 1: 10 000, trükikaart 1: 20 000!!! Ajakava: i
Kaart on Lamberti konformse koonilise projektsiooni Eesti jaoks kohandatud versioonis LAMBERT-EST. Ristkoordinaatsüsteemiks on L-EST. Eesti põhikaardi näol on tegemist suuremõõtkavalise, kogu Eesti territooriumit katva digitaalse, uueneva topograafilise kaardiandmebaasiga. 85. Mis on Eesti baaskaart? M: digitaalversioonil 1:50 000, trükiversioonil 1:50 000. Projektsioon: TM-BALTI. Formaadid: vektorkujul (ARC/INFO, MapInfo TAB, MicroStation DGN), paberil. Rasterkujul ei levitada, trükikaardil ka sateliitpildi kujutis. Kaardilehtede jaotus - kokku 112 lehte. Baaskaart sisaldab Eesti territooriumi kohta nn "baasinfot", mida on võimalik kasutada geoinfosüsteemide ning mitmesuguste teemakaartide aluseks. 86. Milles seisneb põhi- ja baaskaardi erinevused? M (1:10000 vs 1:50000), trükikaart (baaskaardil on juurde ka SAT-pilt), lähtematerjalid (ortofoto ja välitööd vs
kanooniline võrrand: parameetriline võrrand: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis. Tasand võib olla määratud punktiga P(xp; yx; zp) ja normaalvektoriga n = (n1; n2; n3) Tasandi normaal (ristsirge) on risti selle tasandi kõigi sirgetega, mis asetsevad antud tasandil. (st vektorid n ja PQ on risti) tasandi vektorvõrrand: PQ n = 0 tasandi üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 x,y,z tasandi punkti koordinaadid; a,b,c kordajad vektorkujul: koordinaatkujul: 25. Ühe ja mitme muutuja funktsiooni mõisted. Elementaarfunktsioonid. Ühe muutuja funktsioon kui igale muutuja x väärtusele piirkonnas X vastab üks ja ainult üks muutuja y väärtus piirkonnas Y, siis öeldakse, et hulgas X on antud funktsioon f ja kirjutatakse kujul y = f(x). x sõltumatu muutuja / argument, y sõltuv muutuja Mitme muutuja funktsioon sõltuv muutuja y sõltub korraga mitmest sõltumatust
r olevate laengute suurused, r-laengute vahekaugus, k=9,0*10~9(m/F).Coulombi seadus vektorkujul. f k q1 q 2 r r – 2 r r vektor, mis ulatub ühest laengust teiseni ja on suuantud selle laengu poole, millele on rakendatud jõud f. 2. DIIPOLI VÄLI
suhtes. Vaba langemine-keha liikumist juhul, kui talle mõjub ainult raskusjõud. See tähendab, et ka õhutakistust ei arvestata. Vaba langemise korral kehtivad veel järgmised väited. 1. Vaba langemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist. 2. Kui alg- ja lõppkõrgus on võrdsed, siis a) üleslennu aeg võrdub allalangemise ajaga, b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. 2. Kõverjooneline liikumine-Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused. Kaldu horisondiga visatud keha liikumine-maksimaalne lennukaugus
92.Mis on punkti trajektoor? Trajektoor on pidev joon, mille joonistab liikuv punkt antud taustsüsteemi suhtes. 93. Mis on punkti liikumise trajektoor ja kuidas seda leida juhul, kui liikumise seadus on antud Descartes'i ristkoordinaatides? Punkti liikumise trajektoor on pidev joon, mille liikuv punkt joonistab antud taustsüsteemi suhtes. Descartes'i ristkoordinaatide korral: x = f 1 (t ) y = f 2 (t ) z = f 3 (t ) 94.Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? r = r (t ) 95. Mida nimetatakse loomulikuks koordinaadiks punkti liikumise korral trajektooril? Loomulik koordinaat punkti liikumisel on kõverjooneline koordinaat s. s = f (t ) 96. Mis vahe on Descartes'i ristkoordinaatidel ja loomulikel koordinaatidel punkti kinemaatikas? Loomulikel koordinaatidel on trajektoori kujuline kõverjooneline koordinaattelg. t Neid seob valem: s = x 2 + y 2 + z 2 dt 0 97
Kuidas tegutseksite? Talvised selge taeva pildid, Landsat, Spot nt mõnikümmend m piksel. 2. Teile antakse ülesandeks teha kosmilise kaugseire abil kindlaks, kas Eestimaa taimkattes on toimunud olulisi muutusi viimase 10 a. jooksul. Kuidas tegutseksite? Taimkatte kaart praegu ja 10 a tagasi nt. 3. Paljukanalilise skanneri pilditöötlusel on tüüpiline ülesanne, kus heledused on antud piksel- haaval, s. o. rasterkujul, meid huvitavate piirkondade rajajooned aga vektorkujul. Kui on vaja tuletada algoritm ebakorrapärase piirkonna keskmise heleduse leidmiseks, mida hakata peale nn. rajapikslitega, kui pooleldi sees ja pooleldi väljas; 1) vaatame naaberpiksleid; arvutame mitu % üks piskel ühte või teist maakatet esineb; 2) visata segupikslid välja. 1) eesmärgiks on saada võimalikult täpset hinnangut selle piirkonna keskmisele heledusele; 2) uuritavat piirkonda kasutatakse spektraalse tunnusvektori (signatuuri) moodustamiseks? 4
on võrdeline voolutugevusega. Katsete seeria tulemusena sai Ampere empiirilise valemi 74 kus on voolutugevus, juhtme pikkus, magnetvälja iseloomustav suurus, nn. magnetiline induktsioon ja nurk magnetvälja suuna ja juhtme vahel. Kirjutades juhtme pikkuse vektorina nii, et vektori suund ühtib voolu suunaga juhtmes, võime Ampere'i seaduse kirjutada vektorkujul: Elektromagnetism on põhimõtteliselt kolmemõõtmeline: kõik tema valemid pannakse kirja kas rootori või vektorkorrutisega. Magnetilise induktsiooni ühikuks SI süsteemis on tesla (T); ta defineeritakse vooluga raamile magnetväljas mõjuva jõumomendi kaudu. Tesla dimensiooniks saame Ampere'i seadusest Ja nüüd siis verbaalsed definitsioonid: Ampere'i seadus: Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme
16c) süsteemi (1.16b) teise valemisse. Pärast lihtsustamist jõuame tulemusele = − , seega maapinnale langemise kiirus on moodulilt võrdne maapinnalt ülesviskamise kiirusega. Miinusmärk tuleb sellest, et allalangemisel on kiirus kui vektor suunatud z-teljele vastassuunas ja järelikult on ta z- projektsioon negatiivne. 4 1.3 Kõverjooneline liikumine Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel (1.6) on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused.
geograafilis e ulatusega. Joonis 7. Navigeerimise töövahendid Overview, Magnifier ja Viewer 9 2.1 Kaardikiht Kaardikiht (layer) digitaalse geograafilis e andmekogu visuaalne esitus MXD kaardidokumendis, mis on kirjeldatud mitmesuguste parameetritega (sümboloogia, andmeväljad, märgised jne.). Kaardikihina on käsitletavad: 1) Vektorkujul olevad andmekogud (vector dataset) Coverage, .shp, CAD failid või geoandmebaasi andmekogud/objektiklassid; 2) Annotatsioonid; 3) Rasterkujul olevad andmekogud (raster dataset) GRID ja erineva formaadiga rasterfailid; 4) TIN andmekogud. Kaardikihi omadustega seonduvalt saab TOC aknas kaardikihi selekteerimisel ning paremat hiireklahvi alla vajutades kasutaja aktiveerida layer properties akna ning seadis tada seal
Descartes'i ristkoordinaatides? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. Descartes'i ristkoordinaadid x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) Võrrandid kujutavad endist samaaegselt punkti trajektoori võrrandeid parameetrilisel kujul, kus parameetri osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? Liikugu punkt M mingi taustsüsteemi xyz suhtes. Selle punkti asukohta mistahes ajahetkel võib määrata, andes vektori r, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist O punkti M. Vektorit r nim punkti M kohavektoriks. Punkti M liikumisel muutub vektor r aja vältel nii moodulilt kui ka suunalt. Järelikult on r muutuv vektor (vektorfunktsioon), mis sõltub argumendist t : r = r (t)
Descartes'i ristkoordinaatides? Trajektoor on joon, mille punkt tekitab oma liikumisel. Descartes'i ristkoordinaadid x =f1(t) ; y =f2(t) ; z = f3(t) Võrrandid kujutavad endist samaaegselt punkti trajektoori võrrandeid parameetrilisel kujul, kus parameetri osa etendab aeg t. Elimineerides liikumisvõrranditest aja t, saab leida trajektoori võrrandi tavalises vormis, st kujul, mis annab sõltuvuse ka koordinaatide vahel. 89. Milline on punkti liikumise seadus vektorkujul? Liikugu punkt M mingi taustsüsteemi xyz suhtes. Selle punkti asukohta mistahes ajahetkel võib määrata, andes vektori r, mis on tõmmatud koordinaatide alguspunktist O punkti M. Vektorit r nim punkti M kohavektoriks. Punkti M liikumisel muutub vektor r aja vältel nii moodulilt kui ka suunalt. Järelikult on r muutuv vektor (vektorfunktsioon), mis sõltub argumendist t : r = r (t)
võrrandisüsteemi). Klassikalises (Newtoni) mehaanikas antakse liikumisvõrrand tavaliselt kas teist järku diferentsiaalvõrrandi või ruutpolünoomi kujul. Neist esimene kujutab Newtoni II seadust, teine ühtlaselt muutuva liikumise valemit, kus algasend , algkiirus ning kiirendus on antud vektorkujul. · Keha pöörlemisvõrrand. Tähistades pöördenurga , nurk-kiiruse ning nurk-kiirenduse , saame kulgliikumisega analoogilise võrrandi: . Pöördenurga ühikuna võib kasutada kõiki nurgamõõdu ühikuid, nagu kraad, radiaan, täispööre. SI-süsteemi ühikuks on radiaan (nurgamõõdu ühik, mis on võrdne
Kuna n on risti tasandiga , siis nAX ja skalaarkorrutise omadusest saame 0 = n, AX = A(x - a1 ) + B(y - a2 ) + C(z - a3 ). Tähistame siin D := -(Aa1 + Ba2 + Ca3 ). Definitsioon 14.5 Võrrandit : Ax + By + Cz + D = 0 (14.4) nimetatakse tasandi üldvõrrandiks ning nullvektorist erinevat vek- torit n = (A, B, C) nimetatakse tasandi normaalvektoriks. Märkus 14.1 Tasandi üldvõrrandi võib vektorkujul esitada kui : n, AX = 0, (14.5) kus n on tasandi normaalvektor ja AX on vektor tasandi peal. Märkus 14.2 Tasandi üldvõrrandist saame järeldada järgmisi omadusi: 1. Kui D = 0, siis tasand läbib koordinaatide alguspunkti O(0, 0, 0). 2. Kui A = 0, siis tasand on paralleelne x-teljega (kuna (0,B,C), (1,0,0) = 0). 3. Kui B = 0, siis tasand on paralleelne y-teljega (kuna
annaabi.ee 
