Loeng 6 Kehade süsteemi tasakaal-Hõõre (0)

TEHNILINE MEHAANIKA 1



LOENGUKURSUS
UTT0080 
INSENERIMEHAANIKA
UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA 6. LOENG
KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL. 
HÕÕRE. KINEMAATIKA


6.3 JÕUSÜSTEEMI TASAKAAL F O = 0;  MO =0.             Varem oleme näidanud, et jõusüsteem on ekvivalentne 
tema peavektoriga ja peamomendiga. Süsteemi 
tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et need võrduksid 
nulliga: Toodud avaldised esitavad süsteemi tasakaalutingimusi 
vektorkujul.


TASAKAALUTINGIMUSED Descartes’i koordinaatides omavad nii peavektor kui ka 
peamoment kolm komponenti, mis annab kokku kuus 
tasakaalutingimust. Skalaarkujul tasakaalutingimused 
väljenduvad järgmiselt:   , 0     i i iy i iz Ox z F y F M   , 0     i i iz i ix Oy x F z F M   . 0     i i ix i iy Oz y F x F M , 0    i ix Ox F F , 0    i iy Oy F F , 0    i iz Oz F F


TASAKAALUTINGIMUSED Edaspidi arvutustes lihtsustame valemite kirjutusviisi 
järgmiselt:  Jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav see, et 
jõudude projektsioonide summad kolmel koordinaatteljel 
ja momentide summad nende telgede suhtes võrduksid 
nulliga.  Saadud kuue võrrandi abil saab leida kuni kuus 
tundmatut suurust. Tavaliselt on tundmatuteks 
toereaktsioonid. , 0   x M , 0   x F , 0   y F , 0   z F , 0   y M , 0   z M


Kui uuritav süsteem koosneb mitmest omavahel 
seotud kehast, siis on selline kehade süsteem 
tasakaalus siis, kui süsteemi üksikosad on tasakaalus. A B C Näide. Leida toereaktsioonid 
varrandsüsteemil. 5kN 5kN 0,50 0,50 0,350,35 m x z 0,70 m 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL


Eemaldame süsteemi sidemed, asendades nende mõju 
tundmatute toereaktsioonidega  F Bx C 5kN 5kN 0,50 0,50 0,350,35 m x z F Bz F Ax F Az Saime neli tundmatud toereaktsiooni, mille leidmiseks on 
vaid kolm tasakaaluvõrrandid. Lisavõrrandite saamiseks 
lahutame süsteemi osadeks, ning vaatleme osade tasakaalu, 
asendades eraldatud osade mõju tundmatute 
kontaktjõududega (reaktsioonidega). 0,70 m 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL


5kN 0,50 0,50 x z F Ax F Az F Cx F Cz 0,70 m F Bx C 5kN 0,35 0,35 m F Bz F Cx F Cz Saime nüüd kuus tundmatut 
reaktsiooni, mille leidmiseks on 
meil kaks korda kolm tasakaalu 
võrrandit. Osa AC: 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL    , 0   yA M   2,5kN;        , 0 1 5 , 0 5       Cz Cz F F    , 0   yC M   2,5kN;        , 0 1 5 , 0 5      Az Az F F    , 0   x F  ; ; 0 Ax Cx Cx Ax F F F F   


F Bx C 5kN 5kN 0,50 0,50 0,35 0,35 m x z F Bz F Ax F Az=2,5kN 0,70 m F Cx F Cx Osa CB tasakaal: F Cz=2,5kN F Cz=2,5kN 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL    , 0   yB M   kN; 0 , 5        , 0 35 , 0 5 7 , 0 5 , 2 7 , 0         Cx Cx F F    , 0   x F   5,0kN;    Ax Cx Bx F F F    , 0   yC M   kN; 5 , 7        , 0 35 , 0 5 7 , 0 7 , 0 5         Bz Bz F F


C 5kN 5kN 0,50 0,50 0,35 0,35 m x z F Bz=7,5kN F Ax=5,0kN F Az=2,5kN 0,70 m F Bx=5,0kN Kontroll: Vastus: 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL  , 0   z F , 0 5 , 7 0 , 5 0 , 5 5 , 2     


LEIA RAAMI 
TOEREAKTSIOONID B 3 m 3 m 6 kN/m 2.5 
m x z A F AX F AZ F BX F BZ Ebapiisav arv tasakaaluvõrrandeid 
toereaktsioonide F AX ja FBX  leidmiseks!  Liigend (ei kanna 
momenti üle) kN F F M BZ BZ yA 5 . 4 ; 0 6 5 . 1 3 6 ; 0         kN F F M AZ AZ yB 5 . 13 ; 0 6 5 . 4 3 6 ; 0        0 ; 0     BX AX x F F F


LEIA RAAMI 
TOEREAKTSIOONID B 3 m 3 m 6 kN/m 2.5 
m x z A F AX F AZ=13.5  kN F BX F BZ=4.5 kN 6 kN/m A F AX F AZ B F BX F BZ F CZ F CX F CZ F CX Lisavõrrandite saamiseks 
jagame raami kaheks osaks ja 
asendame puuduvad osad 
tundmatute kontaktjõududega. 


LEIA RAAMI 
TOEREAKTSIOONID • Meid huvitab jõud F BX! • Leiame momendi punti C  suhtes, kuna seda läbivad 
mittevajalikud 
liigendreaktsioonid F CX ja FCZ.    B F BX F BZ=4.5  kN F CZ F CX 3 m 2.5 
m Oleme leidnud kõik neli 
toereaktsiooni. kN F F F M AX BX BX yC 4 . 5 ; 0 5 . 2 5 . 4 3 ; 0       


KEHA TASAKAAL HÕÕRDE ESINEMISEL Seni olme pidanud kõik kehale rakendatud sidemed hõõrde-vabadeks. 
Tegelikkuses esineb kahe keha kontakti korral alati ka hõõrdejõud. 
Üldiselt hõõrde mõju, eriti staatika ülesannetes, on väike.  Järgnevas 
vaatleme peamisi hõõrdejõu liike.  v


F G F n F F f F G F n F F f F f H õ õ rd e jõ u d F Kui jõud F kasvades 
ületab hõõrdejõu F f  maksimaalse 
väärtuse, siis hakkab 
keha liikuma 
(libisema). Tasakaal Seisuhõõrdejõud maxF f Liikumine LIUGHÕÕRE


Katsetest on selgunud, et: 1. Maksimaalne seisuhõõrdejõud sõltub kontaktpindade 
materjalist ja töötlusest, kuid ei sõltu nende suurusest.
2. Hõõrdejõud on võrdeline normaalreaktsiooniga F n.  Sellist hõõrdejõudu nimetatakse  Coulombi jõuks:  Tegurit m nimetatakse liugehõõrdeteguriks Hõõrduvad pinnad m Metall - metall 0,15 .....0,60 Metall - puit 0,20 .....0,60 Puit - puit 0,25 .....0,50 Charles Augustin de Coulomb  (1736-1806) F G F n F F f n f F F m  max


f maxF f F n F G f maxF f F G F n Kui suurendada pinna kaldenurka, siis teatud väärtuse f  juures 
hakkab keha kaldpinnal libisema.  KEHA PIIRTASAKAAL  KALDPINNAL F t F t Süsteem on tasakaalus, 
kui F t

f maxF f F G F n tan 𝜑= max 𝐹 𝑓 𝐹𝑛 = 𝜇 𝐹 𝑛 𝐹𝑛 = 𝜇   Näitame, et selline piirnurk f on otseselt seotud 
liugehõõrdeteguriga m. KEHA PIIRTASAKAAL  KALDPINNAL F t Süsteem on tasakaalus, 
kui F ttuletada: Ehk keha on tasakaalus, kui tan 𝜑<𝜇   Sisuliselt on see sama, kui eelnevalt toodud seos: 


LIUGHÕÕRE Metallist klots (M=10 kg) asetseb metallist kaldpinnal, mille 
kaldenurk on 10. Kas keha hakkab libisema? Milline peaks 
olema hõõrdetegur, et keha püsiks paigal?  Hõõrduvad  pinnad m Metall - metall 0,15 .....0,60 Keha hakkab libisema, kui 
tan(f>m. tan(10)=0.176>0.15   Keha paigal püsimiseks on vajalik, et 
m ≥0.176. m m f    n n n f F F F F max tan


F G F F R F n F h h R Veerehõõremomendi M f moodustab jõupaar Fn , FG , mille  moment on M f=Fnh. Piirtasakaalu asendis Mf=FR. Kui Mf siis keha hakkab veerema. Pikkuse dimensiooniga kordajat d nimetatakse 
veerehõõrdeteguriks.  M f VEEREHÕÕRE n f F M d  max d


VEEREHÕÕRDETEGUR


21 KINEMAATIKA JA DÜNAAMIKA Staatika  kirjeldab jõudude jaotust paigalseisvas  süsteemis)  Kinemaatika  kirjeldab kehade liikumist, arvestamata  neile  mõjuvaid jõude  Dünaamika   kirjeldab liigutatavate kehade käitumist ja  neile  mõjuvaid jõude 


22 Mõisted Taustkeha On keha, mille suhtes teiste kehade asukohta
kirjeldatakse. Taustkehaks võib valida mistahes
sobiva objekti. Koordinaadistik Mõõtmissuunad, -ühikud ja asukoha mõõtmise
eeskirjad moodustavad kokku koordinaadistiku. Alghetk on aeg, millest alates liikumist vaatama hakkame. 


23 MEHAANILINE LIIKUMINE • On suhteline, kuna sõltub 
taustsüsteemi
valikust. • Liikumist kirjeldavad 
kvantitatiivselt kiirus ja 
kiirendus. 


24 KIIRUS  • Peamine liikumist iseloomustav 
suurus. • Kiiruse järgi jaotatakse 
liikumised ühtlasteks ja 
muutuvateks. • Kiirus näitab, kui suure 
teepikkuse läbib keha ühe 
ajaühiku jooksul. • Kiirus on vektoriaalne suurus


25 Kiirus  • Kiirus on nihkevektori tuletis aja 
järgi: 


26 Hetkkiirus ja keskmine 
kiirus (1) 
 • Hetkkiirus on kiirus konkreetsel  ajahetkel.
Siht ühtib eelmisel graafikul trajektoori 
puutuja
sihiga konkreetsel ajahetkel. • Hetkkiirus on kohavektori muutumine 
ajaühikus. • Teisiti öeldes kohavektori tuletis aja 
järgi: dt r d t r v t          0 lim


27 Hetkkiirus ja keskmine 
kiirus (2) 
  • Keskmine kiirus on teatud 
ajavahemikul
leitud keskmine kiirus ehk teepikkuse
graafikul uuritavas ajavahemikus 
leitud tõus. • Koordinaadi muut jagatud selleks 
kulunud aja
muuduga 


Ühtlane ja ühtlaselt muutuv 
sirgliikumine
• Ühtlaseks sirgjooneliseks 
liikumiseks
nimetatakse liikumist, mille korral 
mistahes
võrdsetes ajavahemikes läbitakse 
võrdsed
teepikkused (v=const, a=0). • Sellist liikumist, mille kiirus muutub 
mistahes
võrdsete ajavahemike jooksul 
ühesuguse
väärtuse võrra, nim. ühtlaseks 
muutuvaks
liikumiseks (vconst, a=const).  28


Liikumisvõrrandid  • Iga konstantse kiirendusega liikuvat 
keha saab
kirjeldada liikumisvõrrandite abil. • Koordinaatkujul avalduvad 
liikumisvõrrandid
järgnevalt:  29                2 2 0 0 0 t a t v x x t a v v const a x x x x x x


• Ühtlaselt muutuva 
liikumise kiiruse 
graafikuks on tõusev või 
langev sirge. • Aja t jooksul keha poolt 
sooritatava nihke pikkus 
on võrdne selle trapetsi 
pindalaga, mille 
leidmiseks tuleb aluste  
poolsumma korrutada
kõrgusega.  30


ÜHTLASELT MUUTUV SIRGLIIKUMINE 31                2 2 0 0 0 t a t v x x t a v v const a x x x x x x


AJAS MUUTUV LIIKUMINE   32      t t dt t v t s dt t a t v t f t a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (


ÜLESANNE: HETKKIIRUS JA KESKMINE 
KIIRUS • Keha kiirus ajas on antud funktsiooniga v(t)=1+0.5sin(t). 
Leia hetkeline kiirus hetkel t=2 s ja t=3.5 s. Leia keskmine 
kiirus ajavahemikul t=2-3.5 s.  33 Siire 
ajavahemikul 
t=2-3.5 s


KEHA VABA LANGEMINE  • Kui keha visata üles või alla ja eemaldada 
õhu
takistus, siis näeme, et keha liigub 
konstantse
kiirendusega, mis on suunatud alla. • See on vaba langemise kiirendus • Vabalt langeva keha liikumisvõrrandid  34                2 2 0 0 0 gt t v h h gt v v const g 2 81 . 9 s m g 


Pöördliikumine 35 • Pöördliikumine on ainepunkti  pöörlemine ümber liikumatu telje.  R    d    d R   d N a  v   


Ühtlane pöördliikumine : 
nurkkiirus, joonkiirus, 
kesktõmbekiirendus 36 Keha nurkkiirus on defineeritud kui pöördenurga 
muutumine ajas.  Kesktõmbekiirendus ehk tsentripetaalkirendus Joonkiirus sõltub nurkkiirusest  ja 
trajektoori raadiusest R           s s rad t dt d 1 1 2            s m R v          2 2 2 s m R R v a N  R   d N a  v   


Ühtlane pöördliikumine: 
nurkkiirus, joonkiirus, 
kesktõmbekiirendus 37 Periood Pöörlemissagedus ] [ 2 s v R T           s Hz T f 1 1 R   d N a  v   


Muutuv pöördliikumine: 
nurkkiirendus, 
tangentsiaalkiirendus 38 Kui keha nurkkiirus muutub ajas, siis on kehal 
nurkkiirendus:  Kodukiirendus on kesktõmbekiirenduse ja 
tangentsiaalkiirenduse summa:  Nurkiirenduse tulemusel mõjub keha 
punktile ka tangentsiaalkiirendus:             2 2 1 2 1 s s rad t dt d       R   d T a  N a  v  a           2 s m R a T  T N a a a     


Kulgliikumine vs pöördliikumine 39


LOENGUKURSUS
UTT0080 
INSENERIMEHAANIKA
UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA 6. LOENG
HÕÕRE. KINEMAATIKA

Document Outline

• LOENGUKURSUS UTT0080 INSENERIMEHAANIKA UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA
• 6.3 JÕUSÜSTEEMI TASAKAAL
• TASAKAALUTINGIMUSED
• TASAKAALUTINGIMUSED
• 6.5 KEHADE SÜSTEEMI TASAKAAL
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Vastus:
• LEIA RAAMI TOEREAKTSIOONID
• LEIA RAAMI TOEREAKTSIOONID
• LEIA RAAMI TOEREAKTSIOONID
• KEHA TASAKAAL HÕÕRDE ESINEMISEL
• LIUGHÕÕRE
• Slide 15
• KEHA PIIRTASAKAAL KALDPINNAL
• KEHA PIIRTASAKAAL KALDPINNAL
• LIUGHÕÕRE
• VEEREHÕÕRE
• VEEREHÕÕRDETEGUR
• KINEMAATIKA JA DÜNAAMIKA
• Mõisted
• MEHAANILINE LIIKUMINE
• KIIRUS
• Kiirus
• Hetkkiirus ja keskmine kiirus (1)
• Hetkkiirus ja keskmine kiirus (2)
• Ühtlane ja ühtlaselt muutuv sirgliikumine
• Liikumisvõrrandid
• Slide 30
• ÜHTLASELT MUUTUV SIRGLIIKUMINE
• AJAS MUUTUV LIIKUMINE
• ÜLESANNE: HETKKIIRUS JA KESKMINE KIIRUS
• KEHA VABA LANGEMINE
• Pöördliikumine
• Slide 36
• Slide 37
• Muutuv pöördliikumine: nurkkiirendus, tangentsiaalkiirendus
• Kulgliikumine vs pöördliikumine
• LOENGUKURSUS UTT0080 INSENERIMEHAANIKA UTT0090 INSENERIFÜÜSIKA