Jõudude liigid (4)

Jõudude liigid
4.1 Gravitatsioonijõud
Ülemaailmne gravitatsiooniseadus . Kõik kehad mõjutavad teineteist tõmbejõududega, mis on võrdelised nende kehade massidega ja pöördvõrdelised kehade vahekauguste ruutudega.
Kahe punktmassi vahel mõjuva gravitatsioonijõu moodul avaldub valemist
. (4.1)
Siin
ja
on vaadeldavate punktmasside massid , r nendevaheline kaugus ja G gravitatsioonikonstant , mille arvuline väärtus on
Gravitatsioonikonstant võrdub arvuliselt jõuga, millega tõmbuvad teineteise poole kaks teineteisest ühe meetri kaugusel paiknevat ühekilogrammilist punktmassi.
Märkus. Kui kehad ei ole punktmassid, siis valemit (4.1) võib nende suhtes rakendada vaid siis, kui nende vahekaugused ületavad tunduvalt nende mõõtmeid. Täpselt kehtib valem (4.1) ka homogeensete kerakujuliste kehade kohta. Siis tuleb kaugus r mõõta nende kerade masskeskmete vahel.
Märkus. Vastavalt Newtoni kolmandale seadusele mõjutavad kaks keha teineteist mooduli poolest täpselt võrdsete gravitatsioonijõududega.
Vaba langemise kiirendus. Vaatleme taevakeha massiga M ja raadiusega R, mille läheduses paikneb punktmass m. Teeme lihtsustava oletuse, et .
Punktmassi kaugus taevakeha pinnast on h. Vastavalt valemile (4.1) mõjub talle gravitatsioonijõud
(4.2)
Newtoni teise seaduse põhjal saab punktmass kiirenduse, mille mooduliks on
. (4.3)
Sellist kiirendust nimetatakse vaba langemise kiirenduseks ehk raskuskiirenduseks ja tähistatakse tähega g. Seega avaldub vaba langemise kiirendus
, (4.4)
kus M on taevakeha mass, R taevakeha raadius, h proovikeha kaugus taevakeha pinnast. Siit valemist järeldub, et vaba langemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist. Katseliselt tõestas selle Galilei, läbitehtud tuletuskäigu abil tõestas selle Newton.
Märkus. Valem (4.4) kehtib ainult selliste proovikehade korral, mille mass on taevakeha massis väga palju väiksem. Siis me ei pea arvestama seda kiirendust, mille saab taevakeha proovikeha gravitatsioonijõu mõjul.
4.1a Esimene kosmiline kiirus. Kepleri seadused (iseseisvalt)
Esimeseks kosmiliseks kiiruseks nimetatakse sellist kiirust, millega peab liikuma proovikeha mingi taevakeha gravitatsiooniväljas, et jääda tiirlema ringikujulisele orbiidile.
Et tuletada valemit esimese kosmilise kiiruse arvutamiseks, lähtume ülaltoodud joonisest. Proovikeha massiga m paikneb taevakeha masskeskmest kaugusel r. Tema liikumiskiirus on .
Et jääda tiirlema ringikujulisele orbiidile, peab temale mõjuv gravitatsioonijõud olema tasakaalustatud tiirlemisest põhjustatud kesktõukejõu poolt, s.t. nende jõudude moodulid peavad olema võrdsed.
Kesktõukejõu saame valemist (3.7), gravitatsioonijõu valemist (4.1). Võrdsustame need:
Pärast taandamist ja kiiruse avaldamist saame esimese kosmilise kiiruse avaldiseks
. (4.5)
Ülaltoodud joonis kujutab selliste proovikehade trajektoorid , millele on antud taevakeha läheduses erinevad algkiirused. Kui algkiirus võrdub kosmilise kiirusega, liigub proovikeha konstantse kiirusega mööda ringjoont . Kui algkiirus on ruutjuur kahest korda suurem esimesest kosmilisest kiirusest, saame trajektooriks parabooli ja proovikeha lahkub taevakeha mõjupiirkonnast. Veel suurem algkiirus annab trajektooriks hüperbooli.
Proovikeha tiirlemisperioodi arvutamine ringikujulise orbiidi korral.
Et ringikujulisel orbiidil liigub taevakeha ühtlaselt, saame tiirlemisperioodi ehk aja, mis kulub täistiiru sooritamiseks, valemist
kus s on orbiidi pikkus. Orbiidi ringikujulisuse tõttu
kus r märgib orbiidi raadiust. Seega
Viimasesse valemisse asendame kiiruseks esimese kosmilise kiiruse valemist (4.5). Siis saame tiirlemisperioodiks
. (4.6)
Valemist on näha, et kui ringikujulise orbiidi raadius suureneb n korda, siis tiirlemisperiood suureneb korda.
4.2 Hõõrdejõud
Tekib kahe keha kokkupuutepinnal, püüab alati takistada nende pindade liikumist üksteise suhtes. On põhjustatud pindade konarustest ja molekulidevahelistest tõmbejõududest.
Seisuhõõrdejõuks nimetatakse minimaalset jõudu, millega tuleb mõjutada mingil pinnal asuvat keha, et see keha hakkaks pinna suhtes liikuma.
Seisuhõõrdejõu moodul avaldub valemist
, (4.7)
kus
on selle jõu moodul, mis neid pindu kokku surub ,
nende pindade suhteline hõõrdetegur.
NB! Valemis (4.7) ei tohi suuruste
ja N kohale kirjutada vektorimärke, sest nende vektorite moodulid on võrdsed, kuid suunad erinevad.
Enamikel juhtudel on pindu kokkusuruv jõud põhjustatud raskusjõust. Vaatame seda kaldpinnal asuva klotsi näitel, v.t. järgnev joonis.
Pindu kokkusuruvaks jõuks on klotsile mõjuva raskusjõu projektsioon risti kaldpinna tasandiga:
Saadud tulemust valemisse (4.7) asendades saame siledal pinnas paiknevale kehale mõjuva seisuhõõrdejõu
, (4.8)
kus m on selle keha mass,
pinna kaldenurk , g raskuskiirendus ja
hõõrdetegur. Valemist on näha, et pinna kaldenurga kasvades hõõrdejõud väheneb. See jõud takistab kehal mööda kaldpinda alla libisemast.
Märkus. Kui keha libiseb mööda pinda väikese kiirusega, siis talle mõjuv hõõrdejõud võrdub ligikaudu seisuhõõrdejõuga (4.8). Kiiruse kasvades hakkab hõõrdejõud sõltume lineaarselt kiirusest, veel suuremate kiiruste korral tuleb sisse ka sõltuvus kiiruse ruudust.
Joonist vaadates näeme, et raskusjõud
omab projektsiooni ka pinna sihis. See jõud on suunatud piki pinda allapoole ja tähistame selle
kui veojõu, mis püüab keha kaldpinnalt allapoole vedada. Jooniselt järeldub, et tema moodul
. (4.9)
4.2a Keha kaldpinnal püsimise tingimus.
Ilmselt võib keha püsida kaldpinnal veel siis, kui seisuhõõrdejõud
ja raskusjõu projektsioon kaldpinnale
teineteist tasakaalustavad, s.t. nende vektoriaalne summa võrdub nulliga:
Nende suundi arvestades tähendab see, et nende moodulid peavad olema võrdsed.
Valemite (4.8) ja (4.9) põhjal järeldub siit, et
taandamisel ja kaldenurga avaldamisel saame
. (4.10)
Maksimaalne kaldenurk, mille korral keha veel kaldpinnale püsima jääb, võrdub arkustangensiga hõõrdetegurist.
4.2b Liikumine kurvidel
Sisenegu auto kurvi , mille kõverusraadius on r ning hõõrdetegur kummide ja teekatte vahel olgu . Arvutame maksimaalse kiiruse , millega auto võib veel kurvi siseneda, et ta pöördel kurvist välja ei liiguks.
Arvestame, et kurvi sisenedes hakkab autole mõjuma kesktõukejõud, mille moodul avaldub
valemi (3.7) põhjal
ning mis on oma olemuse tõttu suunatud piki raadiust kurvi keskpunktist eemale. Samas mõjub kummide ja teekatte vahel hõõrdejõud, mis on suunatud kesktõukejõule vastu, s.t. on samuti auto liikumisega risti. Seetõttu on tegemist liughõõrdega, mille valemis võtame
ning saame hõõrdejõu mooduliks
Auto jääb kurvi püsime juhul, kui kesktõukejõu moodul ei ületa hõõrdejõu moodulit, s.t.
Et võrratuse märk jääb positiivse arvuga korrutamisel samaks ning r kui kõverusraadius on positiivne suurus, siis pärast kiiruse avaldamist saame maksimaalse kiiruse, millega võib kurvi siseneda
. (4.11)
Märkus. Valemeid (4.10) ja (4.11) analüüsides näeme, et nii maksimaalne kaldenurk, mille korral keha kaldpinnale püsima jääb, ning maksimaalne võimalik kiirus, millega veel kurvi siseneda võib, ei sõltu keha massist. See kehtib muidugi ainult juhul, kui keha mass pole nii suur, et tema kaal kas kaldpinda või teekatet deformeerima hakkaks.
4.3 Elastsusjõud
Elastsusjõud tekib keha deformeerimisel ja püüab seda takistada. Põhjuseks on molekulidevahelised tõmbejõud.
Elastne deformatsioon – keha esialgne kuju taastub pärast deformeeriva jõu lakkamist.
Plastne deformatsioon – keha esialgne kuju ei taastu pärast deformeeriva jõu lakkamist.
Hooke ’i seadus. Elastsetel deformatsioonidel tekkiv elastsusjõud on esimeses lähenduses võrdeline deformatsiooniga:
, (4.12)
kus x on keha pikkuse muutus, k selle keha jäikus. Miinusmärk tuleb sellest, et elastsusjõu vektor on suunatud deformatsioonivektorile vastupidises suunas (). Elastsusjõu moodulit arvutades jätame ära vektorimärgid, samuti miinuse.
Keha jäikus kui elastsusjõu mooduli ja seda põhjustanud deformatsiooni pikkuse suhe sõltub nii deformeeritava keha mõõtmetest (pikkus ja ristlõikepindala), kui ka keha materjali omadustest:
, (4.13)
kus S on keha ristlõikepindala, l keha pikkus ja E tema materjali elastsusmoodul .
Materjali elastsusmoodul võrdub ühikpikkuse ja ühikulise ristlõikepindalaga vastavast materjalist keha jäikusega. Arvestades valemeid (4.12) ja (4.13), saame Hooke’i seaduse viia kujule
. (4.14)
Saadud kuju arvestades defineeritakse veel järgmised mõisted.
Keha suhteliseks pikenemiseks nimetatakse deformatsiooni pikkuse ja keha esialgse pikkuse jagatist:
. (4.15)
Mehhaaniliseks pingeks nimetatakse keha pindalaühiku kohta tulevat elastsusjõudu:
. (4.16)
Mõõdetakse paskalites nagu rõhku, mis on samuti pinnaühiku kohta tulev jõud.
Mehhaanilise pinge ja suhtelise deformatsiooni abil sõnastatakse Hooke’i seadus konkreetse materjali jaoks:
, (4.17)
materjali suhteline pikenemine on väikestel deformatsioonidel võrdeline mehhaanilise pingega. Et suhteline pikenemine on ühikuta suurus, siis tulebki sellest valemist välja, miks elastsusmoodulil on sama ühik mis mehhaanilisel pingel ja rõhul.
Materjali elastsuspiiriks nimetatakse maksimaalset võimalikku mehhaanilist pinget, mille lakkamisel materjal veel taastab oma esialgse kuju.
Materjali purunemispiiriks nimetatakse minimaalset mehhaanilist pinget, mis põhjustab materjali purunemise.
Elastsed materjalid – suure elastsuspiiriga materjalid. Taastavad kuju suure suhtelise pikenemise korral (vedruteras, kumm).
Plastsed materjalid – väikese elastsuspiiriga materjalid. Kuju taastub ainult väikeste suhteliste pikenemiste korral (plii, plastiliin).
Rabedad materjalid – purunemispiir väike. Purunevad väikeste suhteliste pikenemiste korral ( malm , klaas).
Mehhaanilise pinge ja rõhu erinevus seisneb selles, et kui rõhk on alati rakendatud mõjutatava pinnaga risti, siis mehhaaniline pinge võib mõjuda ka pinnaga paralleelselt. Sel juhul nimetatakse seda tangentsiaalpingeks ja tähistatakse . Tangentsiaalpinge põhjustab nihkedeformatsiooni.
. (4.18)
Ristküliku alumine tahk on kinnitatud aluse külge, ülemisele tahule mõjub puutujasihis jõud , mis jaotub ühtlaselt kogu tahu pinnale S. Selle tulemusel deformeerub risttahukas selliselt , et ta külgservad kalduvad esialgse asendiga võrreldes nurga
võrra. Tegemist on nihkedeformatsiooniga, mida iseloomustab suhteline nihe
. (4.19)
Hooke’i seadus nihkedeformatsiooni kohta. Elastsete deformatsioonide korral on suhteline nihevõrdeline tangentsiaalpingega:
. (4.20)
Võrdetegurit G nimetatakse materjali nihkemooduliks . Hakkab silma ilmne analoogia valemite (4.17) ja (4.20) vahel.
4.3a Keha kaal
Keha kaaluks nimetatakse jõudu, millega see keha kas surub alusele või pingutab riputusvahendit.
Tõmmatagu mingit keha raskusjõu väljas niidist tõmbejõuga . Ärgu mõjugu sellele kehale muid jõude peale tõmbejõu ja raskusjõu . Nende kahe jõu resultandi mõjul liigub keha kiirenevalt.
Keha kaalu arvutamiseks arvestame esmalt , et vastavalt definitsioonile peab kaal
olema moodulilt võrdne niidi tõmbejõuga, kuid olema suunatud sellele vastu:
. (4.21)
Kehale mõjuv resultantjõud avaldub ühelt poolt niidi tõmbejõu ja raskusjõu vektoriaalse summana:
teiselt poolt Newtoni II seaduse põhjal
Siis saame kolme viimast valemit arvestades keha kaalu valemi vektorkujul
. (4.22)
Kaalu mooduli arvutamiseks mõnel lihtsamal erijuhul vaatleme olukorda, kus keha kiirendatakse vertikaalsihis, tõmmates niidist jõuga .
Resultantjõu valem esitub vektorkujul
Kuna kõik jõud mõjuvad ühel ja samal sirgel, võime selle asemel nende summa kirjutada moodulkujul. Jõudude suundi arvestades oleks resultantjõu moodul
millest tõmbejõu moodul avaldub
Et valemi (4.21) põhjal kaalu ja niidi tõmbejõud on moodulilt võrdsed, siis saame vertikaalsihis kiireneva keha kaalu jaoks valemi
. (4.23)
Erijuhud:

Keha kiirendatakse ülespoole, , . Keha kaal on suurem kui raskusjõud.

Keha seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, . Keha kaal võrdub raskusjõuga.

Keha kiirendatakse allapoole, . Keha kaal on väiksem kui raskusjõud.

Vaba langemine , . Vabalt langev keha on kaaluta olekus.
Märkus. Kiirenemise suund ei tarvitse ühtida liikumise suunaga. Näiteks ülespoole liikuva, kuid samas pidurdava keha kiirendus on suunatud hoopis alla.
Märkus. Kuigi keha kaal seostub kaudselt raskusjõuga, pole ta oma olemuselt raskusjõud. Kui keha mõjub alusele või riputusvahendile, siis see deformeerub. Tekkiv elastsusjõud peab keha kaalu tasakaalustama. Et vastavalt Newtoni III seadusele on teineteist tasakaalustavad jõud alati sama liiki, siis on ka kaal oma olemuselt hoopis elastsusjõud.
Küsimus. Inimene seisab kiirliftis vedrukaalul. Mida näitab kaal, kui lift
1) hakkab tõusma,
2) liigub ühtlaselt üles,
3) pidurdab tõustes,
4) seisab paigal,
5) hakkab laskuma,
6) laskub ühtlaselt,
7) pidurdab laskudes,
8) langeb vabalt.