Kt. materjal 2 (0)

Koonduv jõusüsteem,
Koonduvaks nimetatakse jõusüsteemi, mille jõudude mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Ülesannete lahendamiseks tuleb süsteem taandad lihtsamale kujule ja leida tasakaalutingimused.
Taandamise aluseks on teoreem : koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga, mis läbib jõudude mõjusirgete lõikepunkti.
Superpositsiooniaksioomi järeldusena võib jõusüsteemis olevad jõud üle kanda nenede mõjusirgete lõikepunkti ja seejärel jõurööpküliku abil asendada nendega ekvivalentse resultandiga Fres .
Võib ka joonestada jõukolmnurga (joon2), kus liidetavad jõud kujutatakse teineteise järel, resultant on suunatud esimese vektori algusest teise lõppu.
Üldjuhul koosneb koonduv jõusüsteem rohkematest jõududest. Need võib üle kanda mõjusirgete lõikepunkti ja järjekorras liita jõukolmnurkade abil. Resultant on suunatud esimese jõu
algusest viimase lõppu.(joon3).
Tasandilise jõusüsteemi korral on resultanti võimalik leida graafiliselt, kujutades jõude valitud mõõtkavas ja seejärel mõõtes resultandi joonisel. Üldjuhul toimub resultandi ja suuna
määramine arvutuslikult, kasutades vektoralgebra teoreemi: summavektori projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga . Ruumilise
jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + … ∑ Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul : Fres=√F2resx+F2resy+F2resz ja
resultandi suunakoosinused: cosα =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cosβ on y ja cos γ on z)
Süsteemi tasakaal
Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0. see avaldis on koonduva jõusüsteemi tasakaalutingimus vektorkujul. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, st. et jõuhulknurk oleks kinnine (joon1) Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x=0, Fres y=0, Fres z=0. Nende projektsioonide väärtust arvestades saame analüütilised tasakaalutingimused kujul ∑Fx=0 (y,z)
Kolme mitteparalleelse jõu teoreem: kolm mitteparalleelset jõudu saavad olla tasakaalus siis, kui nad paiknevad ühes tasandis ja nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis.
Jõu rööplüke
Kandmiseks jäigas kehas mingis punktis A rakendatud jõud üle selle keha teise punkti B, ilma et selle jõu mõju ei muutuks, rakendatakse punktis B võrdvastupidiste jõudude süsteem nii et F´=F´´=F. Superpositsiooniaksioomi põhjal sellega keha olukord ei muutu. Saadud jõusüsteemi võib vaadelda kahe süsteemina, millest üks koosneb punktis B rakendatud jõust F´=F ja teine jõupaarist (F, F´´) momendiga M=MB(F), mille moodul M=Fh (joonis1).
Sellega on tõestatud teoreem: jäigale kehale rakendatud jõudu võib selle jõu mõju muutmata paralleelselt üle kanda keha mis tahes teise punkti, kui lisada jõupaar, mille moment võrdub ülekantava jõu momendiga uue rakenduspunkti suhtes.
Jõusüsteemi taandamine etteantud punkti.
Suvalise jõusüsteemi lihtsustamiseks oletame, et jäigale kehale (Joon1) on rakendatud jõusüsteem (F1, F2…Fn). Valime taandamiskeskmeks mingi punkti O
, kuhu tuleb kanda rööplükkega süsteemi kõik jõud. Iga jõu Fi ülekandmisel tuleb taandamiskeskmesse lisada jõupaar momendiga Mo(Fi).
Tulemusena on esialgne jõusüsteem asendatud ekvivalentse süsteemiga, mis koosneb taandamiskeskmes rakendatud n jõust ja n jõupaarist. Liites jõud omavahel
ja jõupaaride momendid omavahel, saame tulemuseks ühe jõu ja ühe momendi. Jõudu Fo=∑F1 nimetatakse jõusüsteemi peavektoriks ja momenti Mo=∑Mo(F1)
jõusüsteemi peamomendiks. Seda tulemust tuntakse staatika põhiteoreemina: iga jõusüsteemi saab asendada ekvivalentse süsteemiga, mis koosneb
taandamiskeskmes rakendatud peavektorist ja jõupaarist, mille moment võrdub peamomendiga. Peavektori ja peamomendi arvutamine:
Fox=∑F1x, Mox=∑(yiF1z-z1F1y) ; Foy=∑F1y, Moy=∑(ziF1x-x1F1z) ; Foz=∑F1z, Moz=∑(xiF1y-y1F1x).
Resultant – üks ja ainus süsteemiga ekvivalentne jõud, mida on võimalik leida näiteks rööpkülikuaksioomi korduval kasutamisel . Igal jõusüsteemil resultanti pole.
Peavektor – taandamiskeskmesse ülekantud jõudude geomeetriline summa.
Varignoni teoreem
Jõusüsteemi peamomendi arvutamiseks. Kui jõusüsteemil on resultant, siis võrdub resultandi moment, mis tahes punkti suhtes süsteemi jõudude sama punkti suhtes võetud momentide geomeetrilise summaga. Tõestuseks eeldame, et vaadeldaval jõusüsteemil on punktis A rakendatud resultant Fres=∑F1 (joonis 1)
Valime keha mingi punkti O, kuhu kanname resultandist koosneva süsteemi peavektori Fo=Fres ja peamomendi Mo=Mo(F1). Peamoment peab mõlemal juhul olema sama Mo(Fres)=∑Mo(F1). Tehnikas kõige sagedamini esineb tasandiline jõusüsteem, kui see paikneb näiteks zx tasandis, siis esitab varignoni teoreemi üksainus skalaarvõrrand My(Fres)=∑My(F1), mis ütleb, et jõusüsteemi resultandi moment tasandi suvalist punkti läbiva risttelje suhtes võrdub üksikjõudude momentide summaga sama telje suhtes. Varignoni teoreemi tingimused: kehale mõjub jõusüsteem (F1), mille resultant on Fres
Jõusüsteemi taandamise erijuhtumid .
1.Fo=0; Mo≠0. Süsteem taandub jõupaariks (tulemus kehtib iga taandamiskeskme korral).
2. Fo≠0; Mo=0. Peavektor on jõusüsteemi resultandiks.
3. Fo≠0; Mo≠0; mõlemad vektorid on omavahel risti. Vektorite ristseisu tunnus on Fo*Mo=0. Erijuhtum tekib sageli siis, kui taandatava süsteemi jõud on kas tasandilised või paralleelsed.
4. Fo≠0; Mo≠0; mõlemad vektorid on paralleelsed, mille tunnuseks on Fo x Mo=0, sellist süsteemi ühel ja samal sirgel mõjuvast jõu- ja momentvektorist nimetatakse jõukruviks ehk dünaamiks; jõukruvi mõjusirge on jõusüsteemi kesk- ehk tsentraaltelg.
5. Fo≠0; Mo≠0; mõlemad vektorid paiknevad suvalise nurga all, mille tunnuseks on Fo*Mo≠0 ja Fo x Mo≠ 0. Süsteemi saab taandamiskeskme sobiva valikuga edasi lihtsustada jõukruviks.
6. Fo=0; Mo=0. Jõusüsteem on tasakaalus.
Suvalise jõusüsteemi tasakaal
Jõusüsteem on ekvivalentne oma peavektori ja peamomendiga. Süsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et need võrduksid nulliga: Fo=0 ; Mo=0. Avaldised esitavad jõusüsteemi tasakaalutingimusi vektorkujul; skalaarkujul väljenduvad nad järgmiselt: ∑F1x=0; ∑Mx(F1)=0; (y,z). Jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et nulliga võrduksid jõudude projektsioonide summad kolmel koordinaatteljel ja momentide summad nende telgede suhtes. Inseneriarvutustes on tavaks skalaarsete tasakaalutingimuste kirjutusviisi lihtsustada ja neid esitada järgmiselt: ∑Fx=0; ∑Mx=0 (y,z)
Tasandilise jõusüsteemi tasakaal.
Tehnikas esineb väga sageli tasandiline jõusüsteem, mille jaoks saab tasakaalutingimusi lihtsustada, kui valida koordinaatteljestik nii, et üks koordinaattasand ühtiks jõusüsteemi tasandiga. Tasakaaluvõrrandite võimalikud variandid:
Variant1 . Nulliga peavad võrduma kõigi jõudude projektsioonide summad kahel koordinaatteljel ja kõigi jõudude momentide summad jõu tasandi suvalist punkti läbiva risttelje suhtes: ∑Fx=0; ∑Fy=0; ∑Mz=0
Variant 2. Nulliga peab võrduma kõigi jõudude momentide summa kolme punkti suhtes, mis ei asetse ühel sirgel: ∑MzA=0; ∑MzB=0; ∑MzC=0
Variant3. Jõusüsteem on tasakaalus, kui nulliga võrdub kõigi jõudude momentide summa kahe suvalise punkti suhtes ja projektsioonide summa teljel , mis ei ole risti punkte läbiva sirgega: ∑MzA=0; ∑MzB=0; ∑Ft=0