KÕIK Kollokvium II kohta. 1.10-1.16 (0)

1.10 Funktsiooni tuletis
DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile .
f´(x)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0
DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x.
Ǝf´(x0) f(x) € D(x0)
DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust
f´(x+)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0+
DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust
f´(x-)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0-
Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st
Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et .
Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus
on piirprotsessis
kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest
ning sellest saab järeldada, et
ja st, et
Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja
on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x),
ja täiendaval eeldusel
ka f(x)/g(x), kusjuures
Tõesta neid. Kerge.
1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis.