KÕIK Kollokvium II kohta. 1.10-1.16 (0)

1.10 Funktsiooni tuletis
DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu ∆y ja argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile .
f´(x)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0
DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x.
Ǝf´(x0) f(x) € D(x0)
DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust
f´(x+)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0+
DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust
f´(x-)=lim∆y/∆x, piirprotsessis ∆x->0-
Funktsiooni tuletis: Lause 1. Funktsiooni f(x) diferentseeruvusest punktis x järeldub selle funktsiooni pidevus punktis x,st
Tõestus. Funktsiooni diferentseeruvus punktis x tähendab, et .
Kuna igas mingis punktis on piirväärtust omav suurus selle punkti teatud ümbruses esitatav piirväärtuse ja lõpmata väikese suuruse summana, siis , kusjuures . Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus
on piirprotsessis
kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest
ning sellest saab järeldada, et
ja st, et
Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja
on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x),
ja täiendaval eeldusel
ka f(x)/g(x), kusjuures
Tõesta neid. Kerge.
1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine.
Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures
N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega
Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos
N2. Leian
tuletise:
Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist erinev tuletis, siis pöördfunktsioonil
leidub tuletis kohal f(x), kusjuures
Ehk
Tõestus. Leian funktsiooni
N. Leian
mingi funktsiooni pöördfunktsioonist nt.
Lause 3. Kui funktsioon y=f(x) on esitatud parameetrilisel kujul
Kusjuures
on diferentseeruvad vahemikus
ja
on lõigul
rangelt monotoonne ning
Tõestus. Leian tuletise
N. näiteks lahenda see sama asi kus x=asin(t) ja y=bcos(t) (o>t> 2pii ) vastuseks on ellips 0,pii korral on lõpmatu tuletis,st seal on puutuja paralleelne y- teljega .
NB! Kui ilmutamata kujul funktsioon on diferentseeruv punktis x ja esitatud nt kujul F(x,(y))=0 , siis saab võtta tuletist argumendi järgi nii:
N.
Lause 4. Kui siis
Tõestus. Lause eeldusel saame
Seda lauset on hea kasutada siis kui funktsioonilogaritmi lnf(x) on lihstam diferentseerida, kui funktsiooni f(x) ennast.
N.
Seejärel diferentseerin(võtan tuletise) mõlemaid pooli
Võib tuua veel näiteid, nagu nt (2x ln ja siis dife, kerge tegelt)
1.12.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised: 1. C’=0
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.13 Kõrgemat järku tuletised
DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk teist järku tuletiseks ja tähistatakse y´´ ehk f´´(x) ehk d2y/dx2 ehk d2f(x)/dx2 või (d2/dx2)f(x). Seega
f´´(x)=[f´(x)]´. Analoogselt ka kolmandat järku tuletis jne.
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) n-järku tuletiseks nim. tuletist (n-1) järku tuletisest.
Näited: leian nt (3) tuletise . Leian
leides algul (3) ja siis
tõesta mat. Induktsiooniga.
Parameetriline
leida 2. Tuletis. Tulemus:
Kõrgemat järku tuletised: Lause 1.(Leibnizi valem). Funktsioonide korrutise f(x)g(x) n-järku tuletis on leitav selle valemi abil:
Tõestus. Leian n-nda tuletise korrutise tuletisest. Algul leian 2 tuletist:
Tõestada ka mat. Induktsiooniga: 1)n=n 2)n=n+1
N.
1.14 Funktsiooni diferentsiaalid
DEF 1. Avaldist f´(x)∆x nim. funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk esimest järku diferentsiaaliks kohal x ja tähistatakse dy või df.
dy=f´(x)∆x
DEF 2. Funktsiooni y=f(x) diferentsiaaliks ehk n-järku diferentsiaaliks nim. diferentsiaali selle funktsiooni (n-1)-järku diferentsiaalist.
dny=d(dn-1 y)
N. Leian f-ni y=f(x) muudu , mis vastab argumendi muudule
kohal x:
Funktsiooni diferentsiaalid: Lause 1. Funktsiooni diferentsiaal on võrdeline argumendi muuduga ja nullist erineva tuletise korral on funktsiooni muut ja funktsiooni diferentsiaal ekvivalentsed suurused piirprotsessis Juhul kui y=x saame dy=dx=1, siis on tavaks argumendi x muutu
nimetada argumendi diferentsiaaliks ja tähistada sümboliga dx. seega
See tähendab, et funktsiooni diferentsiaal kohal x võrdub funktsiooni tuletise
ja argumendi diferentsiaali dx korrutisega.
N. Leian
diferentsiaali kohal x.
Lause 2. Funktsiooni tuletis
avaldub funktsiooni diferentsiaali dy ja argumendi diferentsiaali dx jagatisena:
Kui funktsioonid
on diferentseeruvad, siis liitfunktsiooni
tuletis avaldub kujul: . Korrutades selle seose mõlemat poolt suurusega dx leiame, et
Seosest järeldub, et funktsiooni kuju on invariantne muutujate vahetuses suhtes.
Lause 3. Kehtivad seosed:
Tõestan ühe neist. d(f(x))=(f’(x))dx
Lause 4. Kui funktsioon f(x) on diferentseeruv punktis x, siis
Geomeetriliselt tähendab funktsiooni diferentsiaal
punktis
funktsiooni graafikule tõmmatud puutuja punkti ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule . Tihti kasutatakse valemit ka kujul . Geomeetriliselt teljestikul...
N.
(a=1024)
1.15 Funktsiooni kasvamine, kahanemine. Lokaalne ekstreemum .
DEF 1. Funktsiooni y=f(x) nim. rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline positiivne arv δ, et suvalise x1 € (x-δ, x) ja x2 € (x, x+δ) korral f(x1)f(x2).
DEF 3. Öeldakse, et funktsioonil f(x)on punktis lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0