Lineaarkujutus ja teisendus 3. KT (6)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs

5 VÄGA HEA

Lineaarkujutus ja teisendus.

Olgu hulgad V, W vektorruumid .

Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust f: V → W nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus : f ( 𝛼 ∙ a⃑ + 𝛽 ∙ b⃑) = 𝛼 ∙ f (a⃑) + 𝛽 ∙ f (b⃑).

Olgu 𝛼 = 𝛽 = 1 f ( a⃑ + b⃑) = f ( a⃑ ) + f ( b⃑ ) → lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes.

∃ 𝛽 = 0 f ( 𝛼 ∙ a⃑ ) = 𝛼 ∙ f (a⃑ ) → lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes.

∃ 𝛼 = 𝛽 = 0 f ( 0⃑ ) = 0⃑⃑

Vektorruumi V korral määratud lineaarset kujutust f : V → V nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks vektorruumist V iseendasse tagasi.
Lineaarkujutuste f ja g korral lepitakse kokku rääkida ka nende summast f + g ja kujutuste korrutamisest reaalarvuga 𝛼 ∙ f. Lineaarkujutiste liitmisel ja korrutamisel arvuga lepitakse kokku järgmises:

( f + g ) ∙ a⃑ = f ( a⃑ ) + g ( a⃑ ) → lineaarkujutuse distributiivsus kujutiste liitmise suhtes.

( 𝛼 ∙ f) ∙ a⃑ = 𝛼 ∙ f ( a⃑ ) → skalaariga korrutamise kommutatiivsus lineaarkujutuste suhtes.
Öeldakse, et lineaarkujutused f ja g on võrdsed, kui on täidetud tingimus : f ( a⃑) = g ( a⃑ ).
Osutub, et kõik lineaarkujutused, mis rahuldavad eelpool esitatud tingimusi moodustavad omaette vektorruumi, millist nimetatakse lineaarkujutuste vektorruumiks.
Lineaarkujutust seal hulgas lineaarteisendust saab kujutada maatriksi mõistet kasutades.
W = V = V3 geomeetriliste vektorite vektorruum.<…..9 aksioomi … ( x1 ∙ e⃑1 ; x2 ∙ e⃑2 ; x3 ∙ e⃑3 )
x⃑ = x1 ∙ e⃑1 ; x2 ∙ e⃑2 ; x3 ∙ e⃑3
x1 ∙ e⃑1 ; x2 ∙ e⃑2 ; x3 ∙ e⃑3 = 0⃑
[ f (e⃑1 ) ] = ( a11 a12 a13) [e⃑1 ]
A = [ f (e⃑2 ) ] = ( a21 a22 a23) ∙ [e⃑2 ]
[ f (e⃑3 ) ] = ( a21 a22 a23) [e⃑3 ]
Maatriksi A nimetatakse lineaarteisenduse maatriksiks antud baasi korral.
Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi sellised vektorid , mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral.

Nullvektorist erinevat vektorit x⃑ nimetatakse lineaarteisenduse f omaväärtusele 𝜆 vastavaks omavektoriks, kui on rahuldatud tingimus: f ( x⃑ ) = 𝜆 ∙ x⃑ .

Vektorarvutus

Algmõistetele tuginedes sõnastatakse teatavad laused , mida nimetatakse aksioomideks ehk postulaatideks.

Eksisteerib vähemalt üks punkt.

Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile a ja b seatakse vastavusse parajasti üks vektor .

Iga punkti A ja vektori a⃑ korral leidub parajasti üks punkt B, nii et punktidele A ja B vastab vektor .

Kui AB⃑ = CD⃑ kehtib, siis ka AC⃑ = BD⃑.
Toodud nelja aksioomi ja liitmise definitsiooni põhjal saame järeldada järgmist:

AC⃑ = BD⃑ AB⃑ + BC⃑ = BC⃑ + CD⃑ AB⃑ + BC⃑ = BC⃑ + AB⃑ ⇒ vektorite liitmine on kommutatiivne.

AB⃑ + ( BC⃑ + CD⃑ ) = ( AB⃑ + BC⃑ ) + CD⃑ ⇒ vektorite assotsiatiivsus.

∃ BB⃑ = 0⃑ AB⃑ = AB⃑ + BB⃑ ⇒ on olemas null vektor.

BA⃑ = ( -a⃑ ) AA⃑ = AB⃑ + BA⃑ 0⃑ = a⃑ + ( -a⃑ ) ⇒ eksisteerib vastandvektor .
Aksioomid 1 – 4 seovad algmõisteid punkt ja vektor. Järgnevalt vaatleme aksioome, mis on seotud reaalarvudega.

Igale reaalarvule 𝜆 ja vektorile a⃑ seatakse vastavusse parajasti üks vektor b⃑, nii et b⃑ = 𝜆 ∙ a⃑.

𝜆 ∙ ( μ ∙ a⃑ ) = ( 𝜆 ∙ μ ) ∙ a⃑

𝜆 ∙ ( a⃑ + b⃑ ) = 𝜆 ∙ a⃑ + 𝜆 ∙ b⃑

( 𝜆 + μ ) ∙ a⃑ = 𝜆 ∙ a⃑ + μ ∙ a⃑

1 ∙ a⃑ = a⃑
Viimastest aksioomidest saab teha järeldused:

0 ∙ a⃑ = 0⃑

( - a⃑ ) = ( -1) ∙ a⃑

𝜆 ∙ 0⃑ = 0⃑

[ - ( - a⃑ )] = a⃑
Aksioom ∆ leiduvad vektorid e⃑1 ; e⃑2 ; e⃑3, nii et mistahes vektor x⃑ on esitatav kujul:
x⃑ = x1 ∙ e⃑1 ; x2 ∙ e⃑2 ; x3 ∙ e⃑3; seejuures võrdus x1 ∙ e⃑1 ; x2 ∙ e⃑2 ; x3 ∙ e⃑3 = 0⃑ kehtib ainult siis kui x1 = x2 = x3. Viimane aksioom defineerib vektorite hulgas niinimetatud baase ja nõuab, et baasivektorid oleksid lineaarselt sõltumatud.

Olgu rahuldatud 1 – 4, 1* - 5* ja ∆ nõuded. Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud esitatud kümme aksioomi nõuded nimetatakse kolmemõõtmeliseks Afiinseks ruumiks.

Tasandi võrrandid.

Tasand läbib punkte A(2; -1; 5) B(3; 0; 7) C(6; -4; 12). Kirjutada tasandivõrrand.
Toome sisse muutuva punkti P(x; y; z).
AB⃑ = (1; 1; 2)
AC⃑ = (4; -3; 7)
AP⃑ = ( x -2; y + 1; z – 5)
AP⃑ = μ ∙ AB⃑ + μ ∙ AC⃑
Tasandi võrrand determinant kujul:
⃒1 1 2⃒
⃒4 -3 7⃒= 0
⃒x -2 y+1 z- 5⃒
Tasandi üldvõrrand:
13x + y – 7z 10 = 0

Tasand läbib punkti P0( -3; 4; 5) ja normaalvektor on n⃑ = (2; -6; 7). Leia tasandi üldvõrrand. (toon sisse muutuva punkti P( x; y; z)
P0P⃑ ∙ n⃑ = 0
P0P⃑ = (x +3; y -4; z – 5)
Ax + By + Cz + D = 0 n⃑ = (A; B; C)
2 ( x +3) -6 (y – 4) + 7 (z – 5) = 0
2x + 6 -6y +24 +7z – 35 = 0
2x - 6y +7z -5 = 0

Tasand läbib punkti P0(6; 0; 8) ja rihivektorid on u⃑ = (3; -1; 4) ja v⃑ = (2; 5; -7).
Toon sisse muutuva punkti P (x; y; z).
u⃑ × v⃑ = n⃑ n⃑ = ( -13; 29; 17)
AP⃑ = ω ∙ u⃑ + 𝜆 ∙ v⃑
AP⃑ = ( x – 6; y; z – 8 ) = ( 3ω; -ω; 4ω) + ( 2𝜆; 5𝜆; -7𝜆) = ( 3ω + 2𝜆; -ω + 5𝜆; 4ω -7𝜆)
x – 6 = 3ω + 2𝜆
y = -ω + 5𝜆
z – 8 = 4ω - 7𝜆
( parameetriline võrrand)

Sirge võrrandid

P0( x0; y0; z0 )
s⃑ = (sx; sy; sz )
Toome sisse muutuva punkti P ( x; y; z).
P0P⃑ = t ∙ s⃑
( x – x0; y – y0; z – z0 ) = ( tsx; tsy; tsz)
Parameetriline võrrand:
Kanooniline võrrand:

Leida punktile A(2; -7; 11) sümmeetriline punkt B, tasandi 𝛼 : 3x + 2y + 3z – 47 = 0 suhtes.
AC⃑ = CB⃑
Tasandi n⃑ = ( 3; 2; 3)
6 + 9s – 14 + 4s + 33 + 9s – 47 = 0 s = 1 ( sirge lõike parameeter )
C(5; -5; 14) ( asendan S: igasse võrrandisse s = 1)
AC⃑ = (3; 2; 3)
B( k; l; m)
CB⃑ = ( k – 5; l + 5; m – 14)
B( 8; -3; 17)

Leida punktile A(1; 2; 3) sümmeetriline punkt sirge suhtes.
AC⃑ = CB⃑
s⃑ = (1; 3; -1 )
Toome sisse muutuva punkti P( x; y; z)
AP⃑ ∙ s⃑ = 0
AP⃑ = ( x -1, y – 2; z – 3)
x -1 +3y – 6 – z +3 = 0
𝛼 : x + 3y – z -4 = 0
S + 8 + 9s + 33 + s – 4 – 4 = 0
S = -3

Kahe sirge lõikumine

Kattuvad: s⃑ ⃦ t⃑ ⃦ BA⃑
Sirged on paralleelsed: s⃑ ⃦ t⃑ ∦BA⃑
Sirged lõikuvad: s⃑ ∦ t⃑ D = 0
Sirged on lõikuvad ja risti: t⃑ ∙ s⃑ = 0
Kiivsirged: s⃑ ∦ t⃑ D ≠ 0
Sirged on kiivsed ja risti: t⃑ ∙ s⃑ = 0

On antud sirged
s⃑ = ( 3; 2; 4) B(5; 1; 4)
t⃑ = ( -9; 4; 0) A( -7; 3; 8)
BA⃑ = ( -12; 2; 4)
= 0
Sirged lõikuvad.
Leian lõikepunkti koordinaadid:
Lõikumise hetkel on mõlema sirge koordinaadid võrdsed.
s = -1 t = -1
L( 2; -1; 8)

Tasandite lõikumine

A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Ühtivad:
n⃑ ∥ m⃑
Paralleelsed:
Lõikuvad: m⃑ ∦ n⃑
Risti: m⃑ ∦ n⃑ m⃑ ⊥ n⃑ m⃑ ∙ n⃑ = 0

Olgu antud 2 tasandit 𝛼 : 2x – 3y + 2z = 0 ja 𝛽 : 5x – 2y – 8z + 5 = 0
m⃑ = ( 2; -3; 2 )
n⃑ = ( 5; -2; -8)
m⃑ ∙ n⃑ = 0
Tasandid lõikuvad ja on risti.
Toon sisse lõikesirge muutuva punkti.
P0( x; y; z )
∃ z = t
5∙ I – 2 ∙ II : -11y = -26t + 15
2 ∙ I – 3 ∙ II : -11x = -28t + 17
z = t

Punkti kaugus tasandist

On teada üks punkt ruumis P0( x0, y0; z0) ja on antud tasand 𝛼 : Ax + By + Cz + D = 0
d ≝ min ⃒P0P⃑ ⃒

On teada punkt P0(-3; 7; 4) ja tasand
3 ∙ I + 5 ∙ II : 3x + 5y = 54 +22u
I – 2 ∙ II : x – 2y = -4 – 11v
16x – y + 11z – 244 = 0
d = 12,396

Punkti kaugus sirgest

d = min ⃒ P0P⃑ ⃒
r⃑ = AP0 (A = teadalev punkt)

Kahe sirge vaheline kaugus

Vabalt valin punktid A ja B ning koostan kõikvõimalikud vektorid AB⃑.
d = min ⃒ AB⃑ ⃒

.DOCX Laadi alla originaalfail 3 lk · .docx · 450 allalaadimist

Tasuta Faili alla laadimine on tasuta

~ 3 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2010-12-06 Kuupäev, millal dokument üles laeti

450 laadimist Kokku alla laetud

6 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

AnnaAbi Õppematerjali autor

Jaan Varik
Viimase töö loengu ja harjutustunni materjal.

lineaaralgebra lineaarkujutus teisendus

Sarnased õppematerjalid

doc

Algebra ja geomeetria kordamine

MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv

Algebra ja geomeetria

docx

Lineaaralgebra - 3. KT teooria

Lineaarkujutiseks nimetatakse kahe vektorruumi V ja W vahel olevat kujutist, kui on rahuldatud tingimus: f(*a+*b)=*f(a)+*f(b). Järeldused: 1) ==1, f(a+b)=f(a)+f(b) aditiivsus 2) =0 f(*a)= *f(a) homogeensus 3) =0, =0; f=0vektor (0V, 0W) Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f nimetatakse selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Lineaarteisenduse liigid: vektori lüke, pööre, peegeldamine sirgest, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse vektorruumiks L nimetatakse vektorruumi, kui on rahuldatud järgnevad tingimused: Lineaarkujutust võib korrutada arvuga a*f Def: lineaarkujutise distributiivsus (f+g)*(a)=f(a)+f(g) Def: (*f)*(a)=*f(a) Öeldakse, et kujutused f ja g on võrdsed, kui on rahuldatud võrdus f(a)=g(a) f=g f+g=g+f kommutatiivsus (f+g)+h=f+(g+h) assotsiatiivsus f+=f nullkujutis f+(-f)= vastandkujutis Geomeetrilises mõttes pakuvad huvi need vektorid, mis säilitavad oma sihi teatava lineaarteisenduse korral. f(x)=*x vektorid kollinaarsed Nullvektoris

Lineaaralgebra

docx

Lineaari eksami materjal

Determinandid Kompleksarvud Lineaarkujutus ja teisendus Ruutvormid Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse F= ruutvorm, lineaarvorm:

Lineaaralgebra

doc

Lineaar algebra teooria kokkuvõte

Lineaarvõrrandsüsteem-nim. Võrrandisüsteemi kujul {a11x1+..+a1nxn=b1 ; am1x1+.. +amnxn=bm. Arve aij nim lvs kordajateks, arvud b1..bm on vabaliikmed ja x1..xn on tundmatud. Süsteemi võrrandite arv m ja tundmatute arv n on sõltumatud. Sellist võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks võrrandisüsteemiks, sest otsitavad suurused x1.. xn esinevad ainult lineaarsetes tehetes, st neid on vaid liidetud ja skalaariga korrutatud. Def. Arvude järjendit c1.. cn nim lvs lahendiks, kui tundmatute asendamisel nende arvudega (loomulikus järjekorras, st x1 = c1.. xn = cn) on süsteemi kõik võrrandid rahuldatud. Võrrsüsteemi nim kooskõlaliseks, kui tal leidub vähemalt 1 lahend. Kui lahendid puuduvad, nim sõsteemi vasturääkivaks. Võrrsüs kõigi lahendite hulka nim võrrsüs lahendihulgaks e üldlahendiks. Igal lvs-l kas lahend puudub, on ühene lahend või on lõpmata palju lahendeid. Cramer. Def. Öeldakse, et lvs-i korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui 1)tundmatute arv võrd

Lineaaralgebra

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

doc

ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID

ANALÜÜTILINE GEOMEETRIA RUUMIS, VEKTORID VEKTORI MÕISTE, MOODUL JA SUUND Neid suurusi, mida on võimalik iseloomustada ühe arvuga, nimetatakse skalaarseteks (temperatuur, mass, töö). Suurusi, mille iseloomustamiseks on vaja arvu ja suunda, nimetatakse vektoriaalseteks (jõud, kiirus, kiirendus). Definitsioon. (Geomeetriliseks) vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku, lõiku, millel tehakse vahet alguse ja lõpu vahel.   Kui vektori algus on punktis A ja lõpp punktis B, siis tähistatakse AB , a . Vektor on kindla sihi, suuna ja pikkusega lõik. Siht on teda kandva sirge siht. Suund on alguspunktist lõpp-punkti poole. Definitsioon. Vektori mooduliks nimetatakse tema pikkust, see on lõigu AB pikkust ja tähistatakse   AB  AB , a  a . Vektori moodul on skalaarne mittenegatiivne suurus. Definitsioon. Nullvektoriks nimetatakse vektorit, mille algus- ja lõpp-punkt langevad kok

Matemaatika

doc

3 KT teooria spikker

assotsiatiivsus ei kehti. Skalaarset avaldist F mis esitub kujul F= Ni,j=1aijxixj nim ruutvormiks kui arvud ij rahuldavad kõigi võimalike indeksite i ja j väärtuste korral tingimusi aij=aji. Arve aij nim ruutvormi kordajateks ja xi xj ruutvormi muutujad; ruutvormi F kordajatest a ij saame moodustada (mxn) järku sümmeetrilise ruutmaatriksi A, AT(aij)=aij=A, F=xT·A·x . Ruutvormi üleminekut ühelt muutujalt uuele muutujale nim kooridnaatide teisendamiseks. Koordinaatide teisendus mida esindab regulaarse maatriks C nim ka regulaarseks teisenduseks. Koordinaatide teisendus mida esindab singulaarne maatriks nim ka singulaarseks teisenduseks. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse tulemusena viia kannoonilisele kujule, seejuures ilmneb ka et ruutvormi kannooniline kuju ei ole üheselt määratud. Iga ruutvormi saab muutujate regulaarse teisenduse teel viia kannoonilisele kujule, ilmneb et kannooniline kuju pole üheselt määratud.

Lineaaralgebra

rtf

Lineaaralgebra eksam

; a1m1 + ... + ammm) = maatriks(a11 ... am1; a1m ... amm)* = AT yT = = L() = L(xT) = xT * L() = xTAT => yT = xTAT = (Ax)T => y = Ax - lineaarse kujutuse koordinaatkuju 37. Ortogonaalteisenduse defnitsioon. Ortogonaalteisenduse seos vektori pikkusega ja vektorite vahelise nurgaga. Ortogonaalteisenduse maatriks. Ortogonaalmaatriksi defnitsioon. Tarvilik ja piisav tingimus selleks, et ruutmaatriks oleks ortogonaalmaatriks (kõik tõestustega). = (V,P) - eukleidiline ruum; L: V -> V; lineaarne teisendus - lineaarne kujutus, kus V = W ( = ); R = (O; 1; ...; n) - reeper; = (x1; ...; xn) = xT; = L() = (y1; ...; yn) = yT; y = Ax Lineaarteisendust L: V -> V nimetatakse ortogonaalteisenduseks, kui ta säilitab vaadeldavas eukleidilise ruumis skalaarkorrutise, st 1 * 2 = L(1) * L(2) Kui L on ortogonaalteisendus, siis ta säilitab vektorite pikkused, st ||L()|| = || || V (Põhjus: |||| = sqrt(*) = sqrt(L()*L()) = ||L()||) Ortogonaalteisendus L säilitab vektorite vahelised nurgad st 1^2 =

Lineaaralgebra

Rohkem sarnaseid