Mikroökonoomika seminari lahendused (1)

Mikroökonoomika ( MJRI .09.028) Seminarid Helje Kaldaru 2013

1. Majandusteooria metoodika ja optimaalne tarbimisplaan

Ülesanne 1.1. Kauba A turu-uuringute tulemusena saadi järgmised andmed kauba hinna ja koguse kohta ceteris paribus (ostjate valmidus osta vastava hinna korral kaupa teatud koguses):
Hind
100
50
10
1
Kogus
1
2
10
100

• Millist üldist seaduspära märkate? Mida kõrgem on hind, seda väiksem ostetud kogus.
  

• Kui uuringu läbiviijad märgivad, et andmed on saadud ceteris paribus, siis millised asjaolud ei ole majanduses muutunud? Tarbijate hulk ja/või sissetulek, raha ostujõud, kauba kvaliteet, tarbijate maitse- eelistused , (veel midagi?).
  

• Oletagem, et sama seos kummagi kauba hinna ja nõutava koguse vahel valitseb kõigi mittenegatiivsete (mida see tähendab?) hindade korral (NB! Tegelikult on punkte üldistamiseks vähe, aga näidisülesandes võib nii teha!). Leidke selle kauba nõudluskõvera (seos nõutava koguse ja hinna vahel): võrrand. Seos .
  

Kauba B turu-uuringute tulemusena saadi teada, et juhul, kui kauba hind on 110 ühikut, ei osta seda mitte keegi, kui see on 109 ühikut, ostetakse kaupa 1 ühik, hinna 100 korral 10 ühikut jne. Nõudlus suureneb sama seaduspärasuse kohaselt, kuni koguseni 110, mida tarbitakse juhul, kui kaup on saadaval tasuta.

• Leidke kauba B nõudluskõvera võrrand. Seos
  
• Leidke nõudluskõverate kuju iseloomustavad seosed ( tuletised !). , .
  
• Kas saadud tulemus kinnitab esimeses punktis leitud seaduspära? Kui jah, siis pange see matemaatiliselt üldkujul kirja.
  

Kuna esimese tuletise väärtus on iga
korral negatiivne ja teine samuti konstantselt negatiivne, siis esimeses punktis leitud seaduspära kehtib. Seega võime üldkujul kirjutada:
ja .

• Millise hinna korral loobuvad kõik tarbijad kauba A ostmisest?
  

Siis peab olema kogus null. Asendame: , seega ei leidugi nii kõrget hinda, mille korral kaupa A üldse ei osteta.

• Millise maksimaalse koguse kaupa A omandavad tarbijad, kui kaubad oleksid saadaval tasuta?
  

Sel juhul on hind null, seega kauba A korral on seos , järelikult on tarbijad tasuta nõus omandama piiramatus koguses kaupa.

• Kumb variantidest vastab paremini reaalelus kehtivale seaduspärasusele kauba hinna ja selle nõutava koguse vahel?
  

Teoreetiliselt A, aga sisuliselt B, sest iga kauba jaoks on lühiajaliselt mingi „mõistlik“ hinnapiirkond. Kui hind tõuseb liiga kõrgeks, siis selle kauba ostmisest praktiliselt loobutakse ( tegelikku sissetulekut ja teiste kaupade hind arvestades, näiteks 100 eurot pudeli piima eest?). Samuti ei ole lühiajaliselt võimalik kaupa väga suures koguses tarbida ega ratsionaalne tagavaraks koguda.

• Kujutage eeltoodud nõudluskõverad joonistel (kaks eraldi joonist).
  

Ülesanne 1.2. Juhan Julgel on puhkepäeval kuus tundi vaba aega ja ratsionaalse inimesena püüab ta seda kõige otstarbekamalt sisustada. Juhanil on kolm põhilist hobi: metsajooks, aiatöö ja bridžimäng. Juhani enesetunne sõltub valitud tegevusest ja sellele kulutatud ajast, enesetundele tema poolt antud pallhinnangud kajastuvad tabelis.
Metsajooks meeldib Juhanile väga, pärast esimest jooksutundi on tema enesehinnang suurenenud 10 palli võrra. Aga teisel tunnil kipub väsimus võimust võtma ja selle järel on enesehinnang suurenenud juba vähem. Kui Juhan hambad ristis veel kolmandagi tunni metsajooksu teeks , peaks ta seejärel tõdema, et enesehinnang on samasuur kui teise tunni järel. Kui ta veelgi kauem jookseks, muutuks tema enesetunne järk-järgult viletsamaks.
Aiatöö on samuti mõnus, pärast esimest tundi on Juhani enesehinnang suurenenud 6 palli võrra, teise tunni järel on hinnangu suurus juba 11 palli ja see suureneb kogu töötatud aja vältel. Paraku tekib ka seda tööd tehes väsimus ja tüdimus ning enesehinnang kasvab tund-tunnilt üha vähem. Viimase töötunni järel on Juhan sunnitud tõdema, et selle aja vältel lisandus enesehinnangule vaid üks pall.
Kaardimänguga on asjad hoopis teisiti. Siin kehtib vanasõna „Alguses ei saa vedama, pärast ei saa pidama “ ja Juhani enesehinnangu seost kulutatud ajaga t kirjeldab ruutfunktsioon .
Ratsionaalse inimesena on Juhan nõus mõnest hobist ka loobuma , kui sellega tegelemine ei ole võimalik või otstarbekas.
Aeg tundides
Metsajooks
Aiatöö
Kaardimäng
Hinnang
Muutus
Hinnang
Muutus
Hinnang
Muutus
1
10
10
6
6
1
1
2
17
7
11
5
4
3
3
17
0
15
4
9
5
4
16
­– 1
18
3
16
7
5
14
– 2
20
2
25
9
6
4
–10
21
1
36
11
1. Täitke tabeli tühjad ruudud.
2. Kuidas võiks kirja panna Juhani eelistusi kirjeldava kasulikkusfunktsiooni?
3. Millise tegevuse (ja miks?) valiks ratsionaalselt käituv Juhan ja kui suur oleks tema heaolu (enesehinnang) puhkepäeva lõppedes?
Kaks esimest tundi tuleks ilmselt kulutada metsajooksule (rohkem polegi mõtet sellega tegelda), sest esimeste tundide jooksul lisanduv kasulikkus on suurem kui teiste tegevuste korral — heaoluhinnang 17 palli. Ülejäänud neli võiks jagada aiatöö ja kaardimängu vahel. Kaks tundi kumbagi lisaks heaolule 11+4=15 palli, tund aiatööd ja kolm tundi kaardimängu samuti 15, tund kaardimängu ja kolm tundi aiatööd 16 palli. Kui loobuda aiatööst ja mängida neli tundi kaarte oleks heaolulisa 16 palli ja kaardimängust aiatöö kasuks loobumise korral 18 palli. Tund metsajooksu ja viis tundi kaardimängu annab summaarseks kasulikkus­hinnanguks 35. Kokkuvõtteks. Kui proovida aega jaotada kõigi tegevuste vahel, on parimate variantide kasulikkus 35 palli (kaks tundi metsajooksu + neli tundi aiatööd või tund metsajooksu + viis tundi kaardimängu). Aga kui mängida kõik kuus tundi kaarte, siis on heaolutase 36 palli, järelikult on see parim variant!
4. Aga mis saab siis, kui keegi (abikaasa?) on Juhanil sel nädalal bridžiklubi külastamise keelanud? Kui suur on siis tema heaolu ja kuidas Te selle leidsite?
Siis tuleks kahe metsajooksutunni kõrval teha neli tundi aiatööd. Heaolutase on 17+18=35 (hinnangute summa tegevuste järel).
5. Mitme tunni vältel allub tegevustest tuleneva heaolu muutus Gosseni reeglile (valikuprobleem tekib siis, kui lisakasu on positiivne ja kahanev!)

• Metsajooks — esimesed kaks tundi.
  
• Aiatöö — kõik kuus tundi.
  
• Kaardimäng — Gosseni reegel ei kehti (ei ole tegemist tavapärase valikusituatsiooniga).
  

6. Oletagem nüüd, et naaber teeb Juhanile ettepaneku tulla nendeks kuueks tunniks hoopis temale appi maja ehitama ja pakub tasuks 5 eurot tunnis. Mis muutub Juhani valikutes? Kui üldse, siis miks ta otsustab naabrile appi minna? Valikutes ei muutu midagi. Iga tunni lisakasu hobidest tuleb jagada võimaliku teenitava tuluga ja valiku tulemus on täpselt samasugune . Appi minna otsustab ta siis, kui teenitav 30 eurot (või teenitav raha + heanaaberlike suhete säilitamine) on Juhani arvates rohkem väärt kui hobidest saadav heaolulisa.
7. Teadaoleva funktsiooniga esitatava kasulikkushinnangu korral on kasulikkuslisa arvutatav kasulikkusfunktsiooni tuletisena. Seega kaardimängu korral peaks see avalduma seosena . Miks meie tabelis on teised arvud? Seos on esitatud pideva funktsioonina , meie tabelis on esitatud diskreetsed väärtused. Näiteks heaolu muutus viienda kaardimängutunni jooksul on arvutatav kasulikkushinnangu tuletisena kohal .
Ülesanne 1.3. Tarbija hindab „Farmi“ keefiri ühikust saadavat lisakasu 9 palliga ja „ Meieri “ keefiri ühikust saadavat lisakasu 6 palliga. „Farmi“ keefir maksab 90 senti ja „Meieri“ keefir 50 senti. Kumma keefiri valib ratsionaalselt käituv tarbija? Miks?
Optimaalse valiku tegemiseks tuleb võrrelda lisakasu (piirkasulikkuse) ja lisakulu (toote hind) suhteid. Kuna , siis on ratsionaalne valida „Meieri“ keefir.
Ülesanne 1.4. Olgu ratsionaalselt käituva tarbija eelistused kahe hüvise suhtes kirjeldatud Cobbi- Douglase tüüpi kasulikkusfunktsiooniga
Hüviste hinnad
on teada, samuti majapidamise tarbimiseelarve c.

• Leidke hüviste asendamise piirmäär .
  

see sõltub astendajatest ja kogustest (NB! Indeksite paigutus ).

• Püstitage majapidamise optimeerimisülesanne ja lahendage see Lagrange ´i meetodil.
  

Optimeerimisülesanne .
Ühtesid ja samu eelistusi on võimalik esitada erikujuliste kasulikkusfunktsioonidega, seega võime üle minna kasulikkusfunktsioonile See funktsioon on kummagi argumendi suhtes kumer :
kui
ja
kui , ning
kui
ja
kui . Kumera kasulikkusfunktsiooni korral peab maksimumi korral kehtima , seega võime Lagrange´i meetodit lahendamiseks kasutada.
Lagrange´i funktsioon:
Optimumi esimest järku tingimused:
Kahest esimest saame: ehk kehtib tingimus: .
Kui avaldada
ja see asendada kolmandasse, siis
ja
Hüviste kogused sõltuvad kasulikkusfunktsiooni parameetritest, hindadest ja tarbimiseelarvest.

• Analüüsige Lagrange´i kordaja sisulist tähendust ja näidake Gosseni II reegli kehtivust.
  

Esimesest võrrandist . Seega näitab
kui palju on tarbijal vaja lisaraha selleks, et suurendada heaolutaset ühe ühiku võrra (NB! Mõõtkava sõltub kasulikkusfunktsiooni kujust ).
Kuna teisest võrrandist saame , oleme jõudnud uuesti Gosseni II reeglini: optimaalse valimi korral jagab majapidamine oma tarbimiseelarve nii, et iga hüvise viimase ostetava ühiku piirkasulikkuse ja hinna suhe oleks ühesugune, ehk

• Kuidas jagab majapidamine oma tarbimiseelarve hüviste ostmiseks Cobbi-Douglase eelistuste korral?
  

Kulutused esimese hüvise ostmiseks optimaalse lahendi korral
ja kulutused teise hüvise ostmiseks optimaalse lahendi korral
Kui need omavahel jagada, siis , kulutused jagunevad samas proportsioonis kasulikkusfunktsiooni astendajatega: mida suurem on ühe hüvise koguse astendaja teise hüvise koguse astendajaga võrreldes, seda rohkem tarbija hüvise ostmiseks suhteliselt kulutab . Tuletagem meelde, et astendajate suhe näitas eelistatust!
Ülesanne 1.5. Ratsionaalselt käituv tarbija on oma eelarve jaganud kahest hüvisest koosnevate tarbimiskomplektide ostmiseks nii, et kummagi komplekti ostmiseks on 12 ühikut raha. Olgu kõigi hüviste hinnad võrdsed (. Komplekt A koosneb hüvisekogustest
ja , kusjuures eelistusi nende suhtes väljendab kasulikkusfunktsioon . Komplekt B koosneb hüvisekogustest
ja , kusjuures eelistusi nende suhtes väljendab kasulikkusfunktsioon .
1. Leida hüviste ostetavad kogused, tarbija heaolutase iga komplekti tarbimisel ja valitud komplektiga samaväärse kasulikkusega komplektide hulk. Kujutada situatsioonid joonisel.
2. Oletame nüüd, et hüviste hinnad muutuvad:
kuid
Mis muutub tarbija valikutes? Kujutage eelmistel joonistel ka uued situatsioonid.
Lahendus. 1. Komplekti A valimisel on tarbija eelarvepiirang , kust eelarvejoon . Cobbi-Douglse tüüpi eelistuste korral on hüviste asendamise piirmäär:. Kuna optimaalse komplekti korral peab asendamise piirmäär võrduma hüviste hindade suhtega , siis
(optimaalne hüviste proportsioon eelistustest ja hindadest lähtuvalt). Asendades selle eelarvepiirangusse, saame . Teise hüvise optimaalne kogus . Kokku tarbitakse tõesti 4 ühikut hüviseid ja selleks kulub 12 ühikut raha. Kasulikkustase on , kust samakasulikkuskõver . Samakasulikkuskõver langev nõgus joon (esimene tuletis negatiivne, teine positiivne: , .
Komplekti B valimisel on tarbija eelarvepiirang , kust eelarvejoon . Hüviste asendamise piirmäär: Tegemist on täielikult asendatavate hüvistega, kus kogusest sõltumata lisab neljanda hüvise iga lisaühik kaks korda rohkem kasulikkust. Et kasulikkus jääks samaks, tuleb loobuda kolmanda hüvise kahest ühikust.
Optimaalse lahendi korral peab üldjuhul kehtima seos (Gosseni II reegel)- Käesoleval juhul reegel ei kehti:
, ka . Järelikult eelistab mistahes koguste korral majapidamine neljandat hüvist kolmandale: . Seega on optimaalne komplekt
Kasulikkustase
ja sama­kasulikkuskõver . Samakasulikkuskõver on langev sirge.
2. Komplekti A valimisel on tarbija eelarvepiirang , kust eelarvejoon . Optimaalne proportsioon: , seega
Asendades selle eelarvepiirangusse, saame . Kasulikkustase on , kust samakasulikkuskõver .
Näeme, et uues komplektis on esimese hüvise kogus sama, muutus vaid teise hüvise kogus (selle hind tõusis!).
Ka komplekti B valimisel on tarbija eelarvepiirang , kust eelarvejoon . Optimaalne proportsioon: , seega
Üheselt määratud optimaalset lahendit ei leidu, sest kulutades kogu eelarve neljandale hüvisele, saab seda osta kaks ühikut, kulutades kogu raha kolmandale hüvisele, saab seda osta neli ühikut, aga kasulikkustase on võrdne:
(samakasulikkuskõver ja eelarvejoon langevad kokku, valida võib suvalise kombinatsiooni hüvistest, kasulikkustase on alati neli ühikut).
Ülesanne 1.6. Ratsionaalselt käituv majapidamine on oma tarbimiseelarve jaganud nii, et kahe hüvise ostmiseks on tal raha 120 ühikut. On teada, et tema eelistusi nende kahe hüvise suhtes kirjeldab Cobbi-Douglase tüüpi kasulikkusfunktsioon
(hüviste piirkasulikkus on kahanev, need on omavahel osaliselt asendatavad ). Kui ta kulutaks kogu raha ükskõik kumma hüvise ostmiseks, siis saaks ta seda osta 12 ühikut. Tegelikult ostab ta esimest hüvist 80 ja teist 40 rahaühiku eest.

• Pange kirja majapidamise eelarvepiirang ja leidke eelarvejoon.
  

Kuna , siis . Siit eelarvepiirang ja eelarvejoon: .

• Leidke kasulikkusfunktsioon (üks paljudest!), mis võiks kirjeldada majapidamise eelistusi.
  

Cobbi-Douglase tüüpi eelistuste korral jagab ratsionaalselt käituv majapidamine oma kulutused hüviste ostmiseks samas proportsioonis kasulikkusfunktsiooni astendajatega: . Meie ülesandes , seega sobivad kõik funktsioonid, kus esimese hüvise koguse astendaja on kaks korda suurem, näiteks .

• Leidke hüviste asendamise piirmäär ja analüüsige selle sisulist tähendust.
  

Cobbi-Douglase tüüpi eelistuste korral avalduv hüviste asendamise piirmäär seosest . NB! Oluline on, kumba piirkasulikkust kummaga jagatakse! Meie näites seega . Asendamise piirmäär näitab hüvisekoguste asendatavust kasulikkuse seisukohalt. Kuna hüviste piirkasulikkused koguste suurenedes vastavalt ülesande püstitusele kahanevad , siis sõltuv asendatavus kogustest. Kui elimineerida koguste mõju, näitab asendamise piirmäär tarbija suhtumist hüvisesse kui sellisesse. Kui hüviseid oleks komplektis võrdses koguses, siis
, kusjuures
Seos kehtib väikeste muutuste korral, seega näitab hüvisekoguste proportsiooni valitavas komplektis.

• Leidke hüviseid optimaalses proportsioonis sisaldavate komplektide hulk (sissetuleku-tarbimiskõver).
  

Sellistes komplektides peab hüviste asendatavus kasulikkuse seisukohalt olema võrdne nende asendatavusega rahaliselt:

• Leidke optimaalne komplekt ja majapidamise kasulikkushinnang sellele komplektile.
  

Optimaalse komplekti maksumus peab olema võrdne tarbimiseelarvega. Teeme asenduse:
NB! Loomulikult saanuksime sama tulemuse ka lihtsamalt. Kuna hüviste hinnad olid võrdsed 10-ga, siis
ja .
Majapidamise kasulikkustase .

• Leidke optimaalset komplekti läbiva samakasulikkuskõvera võrrand ja analüüsige seose kuju.
  

Samakasulikkuskõver on nende komplektide hulk, mis tagavad majapidamisele ühesuguse kasulikkustaseme. Kui , siis
Kuna
ja
siis argumendi
(esimese hüvise tarbitav kogus) suurenedes on samakasulikkuskõver kahanev ja nõgus (nagu teoorias eeldataksegi).

• Näidake, et samakasulikkuskõvera tuletise absoluutväärtus optimaalse komplekti korral on võrdne hüviste hindade suhtega.
  

Samakasulikkuskõvera tuletise absoluutväärtus eeldatud seos kehtib.

• Kujutage joonisel optimaalne komplekt ja seda läbivad jooned.
  

• Näidake, et samale kasulikkustasemele võiks viia ka komplekti ja tarbimine.
  

Selle komplekti korral , kasulikkustase on samasuur.

• Kui suur oleks sellise komplekti maksumus ning kui suur oleks kasulikkustase selle eelarve ja komplekti ratsionaalse koosseisu korral?
  

Selle komplekti maksumus: komplekt ei ole tarbijale kättesaadav. Kui tarbijal oleks nii palju raha, siis maksimaalselt saaks ta osta kumbagi hüvist 13,96 tükki (eelarvejoone otspunktid). Ratsionaalne oleks kulutada sellest kaks kolmandikku esimese hüvise ja üks kolmandik teise hüvise ostmiseks. Seega oleks uus optimaalne komplekt
ja
majapidamise kasulikkustase oleks sel juhul

• Kujutage joonisel ka uus situatsioon.
  
• Näidake, et kummagi hüvise tarbimine kasvas eelarvega samas proportsioonis.
  

Eelarve kasvutempo: , esimese hüvise tarbimise kasvutempo: ja teise hüvise tarbimise kasvutempo: .
Ülesanne 1.7. Ants on maias poiss. Kui tal on valida karamelli - ja šokolaadikommide vahel, siis nende samasuurte koguste korral eelistab ta šokolaadi kaks korda rohkem kui karamelli, aga soovib vahelduse mõttes süüa mõlemaid. Ants on rikas poiss ja otsest eelarvepiirangut tal kommide ostmisel ei ole. Samas on ta ratsionaalne tarbija ja valib hüviseid alati optimaalses proportsioonis. Ants läheb poodi ja selgub , et karamellikommid maksavad 0,75 eurot pakk ja samasuur pakk šokolaadikommi maksab 1,5 eurot. Ants otsustab osta kaks pakki karamellikommi.

• Mitu pakki šokolaadikommi Ants ostis? Kui palju tuli tal ostu eest tasuda? Kuidas jagunesid tema kulutused kommide ostmiseks.
  
• Kuidas võiks välja näha kirjeldatud eelistusi väljendav kasulikkusfunktsioon?
  

Lahendus. Olgu šokolaadikommide kogus
ja karamellkommide kogus
. Ülesande tekstist selgub, et samasuurte koguste korral on Ants nõus ära andma ühe paki šokolaadi, kui vastu saab kaks pakki karamelli. Järelikult jääb tema heaolu samaks, kui kehtib
ehk . Kommipakkide hinnasuhe on . See näitab asendatavust hindade kohaselt (kaks pakki karamelli maksab sama palju kui üks pakk šokolaadi). Seega on optimaalne proportsioon . Kui , järelikult on tema komplekt
ja .
Sama tulemuseni võime jõuda ka teisiti. Antsu eelistusi võiks kirjeldada Cobbi-Douglase tüüpi kasulikkusfunktsiooniga, kuna on öeldud , et ta soovib mõlemat sorti komme süüa, seega . Hüviste asendamise piirmäär avaldub sellisel juhul . Et võrdsete koguste korral () jääks tema heaolu samaks, siis peab asendamise piirmäär olema võrdne kahega: . Nagu näha, ei ole tähtis astendajate konkreetne väärtus, vaid ainult nende suhe. Seega sobib funktsioon . Optimaalse komplekti korral peab kehtima , mis on täpselt sama tulemus nagu eespool saadu.
Ostu maksumus . Saab näidata, et tema kulutused kommide ostmiseks jagunesid eelistustega samas proportsioonis: .
Ülesanne 1.8. Majapidamisel on võimalik valida kahest hüvisest koosnevaid tarbimiskomplekte oma tarbimiseelarve piires, kusjuures majapidamise tarbimiseelarve on 120 ühikut raha ning hüviste hinnad on
ja . Majapidamise eelistuste kohta on teada, et võrdsete hüvisekoguste korral on esimese hüvise piirkasulikkus kaks korda kõrgem () ning need on kirjeldatavad Cobbi-Douglase tüüpi kasulikkusfunktsiooniga .

• Pange kirja majapidamise eelarvepiirang ja eelarvejoone võrrand. Mis iseloomustab komplekte, mis paiknevad eelarvejoonel? Mida näitab eelarvejoone tõus?
  
• Pange kirja üks võimalik eelistuseeskiri (kasulikkusfunktsioon) optimaalse komplekti leidmiseks (a ja b arvuline väärtus tuleb valida vastavalt teadaolevatele eelistustele).
  
• Mida hüviste asendamise piirmäär sisuliselt tähendab?
  
• Leidke optimaalne tarbimiskomplekt .
  
• Kui suur on kasulikkusindeks (kasulikkusfunktsiooni väärtus) optimaalse komplekti korral?
  
• Leidke veel üks komplekt, mis annab sama kasulikkustaseme, kuid milles hüvised ei pruugi olla optimaalses vahekorras.
  
• Kui suur peaks olema tarbimiseelarve selle omandamiseks?
  
• Leidke optimaalne komplekt selle tarbimiseelarve korral.
  
• Kui suur on nüüd majapidamise kasulikkusindeks?
  

Lahendus. Eelarvepiirang on , siit eelarvejoone võrrand . Majapidamisel on võimalik valida suvalisi komplekte, mille maksumus on 120 ühikut raha. Kui ta kulutab näiteks kogu oma eelarve esimese hüvise ostmiseks, on komplekt (12;0), kui teise ostmiseks, siis (0;6) jne. Tõus näitab et kui majapidamine otsustab loobuda ühest ühikust esimesest hüvisest, siis ta saab eelarve piires lisaks osta teist hüvist pool ühikut:
.
Cobbi-Douglase tüüpi eelistuste korral (kasulikkusfunktsioon ) arvutatakse hüviste asendamise piirmäär kasulikkustaseme säilitamiseks valemist
. Ülesande tingimustest lähtuvalt , seega sobib eelistuste kirjeldamiseks suvaline funktsioon kujul , milles esimese hüvise koguse astendaja on kaks korda suurem. Olgu selleks näiteks , siis . Lihtne on veenduda, et sobiks ka ükskõik milline teine funktsioon, milles astendajad on sobivas proportsioonis.
Saab näidata, et MRS näitab proportsiooni, milles hüvisekoguseid asendades jääb kasulikkustase samaks. Olgu kasulikkustase fikseeritud . Funktsiooni
diferentsiaal arvutatakse seosest . Kuna kasulikkustase on fikseeritud, siis . Seega , ehk samakasulikkuskõvera tuletise absoluutväärtus. Kui , siis kasulikkustaseme säilitamiseks tuleb hüviseid asendada MRS-ga määratud proportsioonis. Siit võib teha järelduse, et kõik need hüvisekomplektid, mille koosseis arvutatakse seosest
vastavad majapidamise eelistustele ainuüksi kasulikkusest lähtuvalt.
Optimaalne tarbimiskomplekt on selline, milles on hüvised „õiges“ proportsioonis nii rahaliselt kui ka kasulikkuselt. Gosseni reegel ratsionaalse valiku kohta oli
Meie ülesandes on kaks hüvist, seega peab kehtima , seega hüviste proportsioon optimaalses komplektis arvutatakse seosest . See on sissetuleku-tarbimiskõver, millel paiknevad kõik optimaalsed komplektid suvalise eelarve korral. Kuna eelarve oli fikseeritud, tuleb lahendada võrrandisüsteem:
.
Selle komplekti tarbimisel on kasulikkustase . Samakasulikkusjoone võrrand on . Olgu , siis sama kasulikkuse annab komplekt, kus . Selle ostmiseks tuleb kulutada
ühikut raha (mõõtmatult palju rohkem. Kui oleks selline eelarve, siis tegelik optimaalne komplekt oleks hoopis . Ilma arvutamatagi on selge, et see oleks hoopis kasulikum!
Uut optimaalset komplekti on lihtsam leida, kui võtta arvesse, Cobbi-Douglase eelistuste korral jagab majapidamine oma tarbimiseelarve hüviste vahel samas proportsioonis nagu on hüviste astendajad kasulikkusfunktsioonis:
Seega kulutused esimese hüvise ostmiseks
ja kulutused teise hüvise ostmiseks .
Siit
ja .
Raamatus esitatud ülesannete vastuseid.
Ülesanne 1.1. Kui kujutada ühevõrra kasulikke komplektihulki graafiliselt teljestikus, kus telgedel on hüviste kogused, kehtivad järgmised seaduspärasused.
Täielikult asendatavate hüviste korral on samakasulikkuskõverad langevad sirged , mille tõus sõltub hüviste piirkasulikkuste (need ei sõltu hüvise kogusest) vahekorrast.
Kaaskaupadest (hüvised ei ole omavahel asendatavad) koosnevad optimaalse proportsiooniga hüvisekomplektid paiknevad koordinaatide alguspunktist algaval sirgel, mille tõus sõltub komplekti kuuluva kummagi hüvise hulgast (kui kumbagi kuulub komplekti üks, siis on tõusunurk ). Kuna kasulikkustase ei muutu ainult ühe hüvise koguse suurenedes, siis on sellest punktist algavatel telgedega paralleelsetel lõikudel paiknevad komplektid kasulikkuselt samaväärsed.
Osaliselt asendatavatest hüvistest koosnevad ühevõrra kasulikud komplektid paiknevad hüviste kahaneva piirkasulikkuse eeldusel langevatel allakumerduvatel nõgusatel joontel (näiteks hüperbool).
Kui teise hüvise koguse suurenemisel kasulikkustase kasvab ja teise tarbimisel kahaneb, siis paiknevad hüvisekomplektid üleskumerduvatel nõgusatel joontel (näiteks parabool ).
Ülesanne 1.2. Jaan ostis 2 hamburgeri, 1 šokolaadi, 3 vett ja 4 närimiskummi.
Ülesanne 1.5. Optimaalne komplekt . Rahaühiku piirkasulikkus . Tingimusest , kui , siis see ei ole ratsionaalne komplekt.
Ülesanne 1.7. Tarbija eelistab komplekti C, mille puhul kasulikkustase on 40 ja kulutused 300 ühikut. Optimaalse lahendi korral peab kehtima , kusjuures
Asendades saame , seega kulutused 240 ühikut.
Ülesanne 1.8. Optimaalne valik tehakse asendamise piirmäära alusel, kasulikkusfunktsiooni transformeerimine (positiivse arvu liitmine , sellega korrutamine või jagamine, astendamine ja logaritmimine) ei muuda asendamise piirmäära, seetõttu on see alati lubatud. Ordinaalses kasulikkusteoorias tekib valikuprobleem siis, kui hüviste piirkasulikkused on hüvisekoguste suurenedes kahanevad:
(Gosseni I reegel).
Kardinaalses kasulikkusteoorias asendab selle nõude asendamise piirmäära kahanemine argumendi koguse suurenedes.
Rahaühiku piirkasulikkuse näitaja sõltub kasulikkusfunktsiooni kujust, sest kasulikkusindeks (kasulikkusfunktsiooni väärtus) on selle erineva kuju korral erinev.
Lisaülesanded.
1. „Eesti Pagari“ must leib ja „Fatzeri“ must leib on Mari arvates täielikud asenduskaubad . Kui ta peaks nende vahel valima, siis muudel võrdsetel tingimustel (ceteris paribus!) eelistaks ta „Fatseri“ leiba 1,2 korda rohkem. Poes on „Eesti Pagari“ leib müügil hinnaga 60 senti ja „Fatzeri“ leib hinnaga 75 senti.

• Kuidas võiks kirja panna ühe kasulikkusfunktsiooni, mis väljendaks Mari eelistusi?
  
• Kumma leiva Mari ostab?
  
• Mis peaks muutuma ülesande tingimustes, et ta teeks teistsuguse valiku?
  
• Näidake, et tulemused ei sõltu kasulikkusfunktsiooni parameetritest.
  

Olgu
Eesti Pagari leiva kogus ja
Fatzeri leiva kogus. Kasulikkusfunktsioon
(asenduskaubad). Kuna ceteris paribus eelistab tarbija Fatzeri leiba 1,2 korda rohkem, siis kasulikkusfunktsiooni üks võimalik kuju võiks olla .
Piirkasulikkused
ja . Valiku reegel: võrrelda tuleb piirkasulikkuse ja hinna suhteid:
ja . Kuna
siis valitakse Eesti Pagari leib.
Kui soodusmüügi ajal on Fatzeri leib müügil hinnaga 72 senti, siis
ja kasulikkusest lähtuvalt on täiesti ükskõik, kumba valida. Järelikult ostaks ratsionaalselt käituv Mari Fatzeri leiva juhul, kui see oleks müügil hinnaga .
Samu eelistusi väljendab näiteks kasulikkusfunktsioon . Kontrollime esialgsete hindadega:
ja . Kuigi arvud on teised, tuleb ikkagi valida esimene leib.
2. Tädi Maalil on kaks lemmikmaiust, mida ta oma harvadel linnaskäikudel endale lubab: lihapirukad ja jäätis. Seejuures soovib ja kindlasti süüa mõlemat ja on otsustanud, et seekord kulutab ta ühe neljandiku oma nendeks ostudeks planeeritud eelarvest pirukatele ja kolm neljandikku jäätisele. Tänavakohvikusse istet võttes selgub, et pirukad maksavad üks euro tükk ja jäätis kaks eurot portsjon .

• Kuidas võiks kirja panna Maali eelistusi kirjeldava kasulikkusfunktsiooni, kui pirukate kogus tähistada -ga ja jäätise koguse -ga?
  
• Millises proportsioonis on pirukad ja jäätis Maali poolt ostetavas komplektis?
  
• Mitu pirukat ja mitu jäätist Maali ostab, kui ta on seekord otsustanud kulutada 8 eurot?
  

Kuna ta soovib süüa mõlemat ja kuna kulutuste proportsioon on teada, siis võime eelistusi kirjeldada Cobbi-Douglase tüüpi kasulikkusfunktsiooniga
Astendajate määramiseks saame arvestada seost, et peab kehtima
Seega sobib näiteks funktsioon
Optimaalse proportsiooni määramisel tuleb lähtuda asendusmäärade võrduse tingimusest
, järelikult ostab ta iga piruka kohta 1,5 portsu jäätist.
Maali eelarvejoon . Kui siia asendada optimaalne proportsioon, siis , ehk
ja . Tädi Maali ostab kaks pirukat ja kolm portsu jäätist! Kontrollime kulutuste jaotust:
ja kulutused kokku on tõepoolest
13
14420715420128.doc