Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 4. Katkev funktsioon Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1. f (x) pole määratud kohal a, 2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a, lim f ( x ) f ( a ) x a 3. kehtib 1 esimest liiki katkevuspunkt Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht 3) koht a, mille korral leiduvad lim f ( x ) lim f ( x) f (a) xa ja f (a ) , kuid x a Teist liiki katkevuspunkt Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui või on lõppmatu 5
· Funktsioon on pidev mingis piirkonnas, kui ta on pidev selle piirkonna igas punktis. Ühepoolne pidevus Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a paremalt pidev, kui lim = (). + · Öeldakse, et funktsioon y = f(x) on punktis a vasakult pidev, kui lim = (). - · Funktsioon on pidev punktis a, kui ta on selles punktis pidev nii vasakult kui ka paremalt. FUNKTSIOONI KATKEVUSPUNKTID Funktsiooni katkevuspunkti mõiste · Funktsiooni y = f(x) nim katkevaks punktis a, kui ta ei ole selles punktis pidev. · Punkti a nim funktsiooni katkevuspunktiks. · Seega, a on funktsiooni katkevuspunkt, kui ei ole täidetud tingimus lim = () . Teiste sõnadega, kui on täidetud vähemalt üks järgmisest kolmest tingimusest: () lim (), st parem- ja vasakpoolne piirväärtus ei ühti lim ()
Arvu a nimetatakse funktsiooni f piirväärtuseks kohal a, kui iga arvu E>0 korral
leidub niisugune arv b>0 , et kehtib võrratus |f(x)-A|
võrreldes suurusega (x) kõrgemat järku lõpmata väike suurus selles piirprotsessis (alfa läheb nulliks kiiremini kui beeta) Lõpmata väikeseid suurusi (x) ja (x) piirprotsessis x a nim ekvivalentseteks selles piirprotsessis ,kui lim( x a )(x)/(x)=1 Funktsiooni f(x) nim pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust... Funktsiooni, mis ei ole pidev punktis a, nim katkevaks punktis a ja nim funkts f(x) katkevuspunktiks Funkts f(x) katkevuspunkti a nim esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funkts f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused, kuid seejuures lim f ( x ) lim f ( x ) või pole funktsiooni väärtus punktis x = x0 määratud. x x0 + 0 x x -0 0 Funkts-i katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki katkevuspunk, nim funkts f(x) teist liiki katkevuspunktiks
2 1 x 10 5 0 5 10 2 4 6 x 20 Katkev funktsioon Funktsiooni katkevuspunktiks nimetatakse punkti, milles funktsioon ei ole pidev. Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f (a +) = lim f ( x) xa + f (a -) = lim f ( x) xa - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. liiki katkevuspunktiks. 21 Esimest liiki katkevuspunktide jaotus 1) hüppekoht Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) hüppekohaks, kui lim f ( x ) lim f ( x )
2. Kui f′′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised Kui funktsiooni y=f(x) graafiku punkti tõkestamatul eemaldumisel selle punkti kaugus mingist sirgest läheneb nullile, siis nimetatakse seda sirget antud joone asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused. *Eksisteerib ka kaldasümptoot kujul y=kx + b protsessis 𝑥 → − või 𝑥 → + , kusjuures neid kahte kaugenemist tuleb uurida eraldi. *Kaldasümptoodide leidmiseks tuleb suurused k ja b määrata juhul 𝑥 → ning seejärel asetada nad antud võrdusesse.(y=kx+b)
Näiteks: x-sinx ~x3/6 (x->0) sinx ~x (x->0) 18*(Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigid)Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on täidetud kolm tingimust: 1). f(a); 2). 3). (Tõestus: (Xo))=0 (Xo f(x-xo)) f(xo))=0 ) Tähistatakse: f(x) C *Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a e teer v d fun t n f x õp ud ühep ed p rväärtu ed *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. *Kui vaadeldakse suurusi f(Xo) ja eeldatakse 1 ja 2 punkti olemasolu. 20*(Pidevate funktsioonide omadusi)Funktsioon f(x) on pidev punktis X0 parajasti siis, kui see
See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x → a. Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. 14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. 16
Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u, v ∈ V seab Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a vastavusse skalaari d(u, v) ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse 1 ∀u, v ∈ V d(u, v) >= 0; d(u, v) = 0 ⇔ v = u esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f(x) lõplikud ühepoolsed 2 ∀u, v ∈ V d(u, v) = d(v, u) piirväärtused. Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse
määratud kohal a 2) funktsioonil peab leiduma lõplik piirväärtus kohal a 3) peab kehtima võrdus lim f(x) , x a = f(a) 14. Katkev funktsioon- funktsioon y = f(x) on katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim f(x) , x a = f(a) EI KEHTI. 15. Katkevuspunkt- Punkti x = a nimetatakse sel juhul funktsiooni katkevuspunktiks. 16. Esimest liiki katkevuspunkt- niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, 17. Teist liiki katkevuspunkt- arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri lim f(x); x a+ on lõpmatu või ei eksisteeri 18
1.7 Funktsiooni pidevus DEF 1. Funktsiooni f(x) nim. pidevaks punktis x0, kui on täidetud kolm tingimust: 1. f(x0) 2. lim f(x) 3. lim f(x)=f(x0) DEF 2. Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis x0 nim. katkevaks funktsiooniks punktis x0, kusjuures punkti x0 nim. funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. DEF 3. Punkti x0 nim. funktsiooni f(x) esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis x0 funktsiooni f(x) ühepoolsed lõplikud piirväärtused DEF 4. Funktsiooni f(x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki nim. selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. DEF 5. Suurust x =x- x0 nim. argumendi muuduks ehk argumendi kasvuks ja suurust y=f(x)-f(x0)= f(x0+x)-f(x0) ning argumendi muudule x vastavaks funktsiooni y=f(x) muuduks ehk kasvuks punktis x0 DEF 6. Funktsiooni y=f(x) nim. pidevaks paremalt punktis x0 , lim y=0, piirprotsessis x- >0+ ja vasakult pidevaks punktis x0, kui lim y=0, piirprotsessis x->0-. DEF 7
hulgal X on määratud (ühene) funktsioon f ja seda vastavust tähistatakse y= f(x), x X. Def. Fun-ni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a Hulka x nim. fun-ni f määramispiirkonnaks ja hulka f(X) = {y| x X y = f(x)} Y fun-ni f nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. muutumispiirkonnaks. Elementi x nim. fun-ni f argumendiks ehk sõltumatuks muutujaks ja Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui punktis a elementi y sõltuvaks muutujaks. eksisteerivad funktsiooni f (x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused. Mõiste funk-n asemel kasutatakse ka mõistet ,,kujutus". Hulka f(X) nim. hulga X kujutiseks Def. Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki kujutamisel funktsiooniga f
läheneb f(x) erinevatele arvudele. 10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused). 11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a; f(a)) pidev joon (joonis 2.8). 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul. Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks. Kui leidub punkt x1 lõigult [a; b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1)
Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev 14.Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. Katkevuspunktide liigitus Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim- () ja lim+ (), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni esimest liiki katkevuspunktiks. Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim- () =
*Funktsiooni f(x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse f(x) katkevuspunktiks. x→ 0 x x→ 0 *Funktsiooni f(x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki katkevuspunktiks, kui [ ] punktis a eksisteerivad funktsiooni f(x) lõplikud ühepoolsed piirväärtused. k
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20
x=a 2. Kui f-nid f ( x) ja g(x) on liiki katkevuspunkti korral. |x 1−x 2|<δ ⟹|f ( x 1 ) −f ( x 2 )|<ε y=kx+ b pidevad punktis
kahanevaks suuruseks Z suhtes. 11) Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu. Funktsiooni ! nimetatakse pidevaks punktis , kui 1. ! on määratud argumendi väärtusel , st 2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim,+ ! 3. lim,+ ! =! Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt argumendi väärtusel = pideva funktsiooni graafik on punktis = _ , ! ` pidev joon. 12) Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Olgu funktsiooni ! katkevuspunkt: 1. Kui punktis eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim,+X ! ja lim,U ! , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ! esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiku katkevuspunkte on kahesuguseid:
läheneb nullile. d. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral d.i. Kui funktsioon f ja g on pidevad punktis a, siis selles punktis on pidevad ka summa f+g, vahe f-g, korrutis fg, eeldusel g(a)0 ka jagatis d.ii. Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja kunktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus a. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. See võib paikneda väljaspool määramispiirkonda. b. Katkevuspunktide liigitus b.i. Kui punktis a eksisteeriva lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis
1) f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X lim f ( x ) 2) eksisteerib lõplik piirväärtus x→ a lim f ( x ) =f (a) 3) x→ a Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon. 12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 1) Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused −¿ +¿ x → a f ( x) x → a f (x)
39.Põhiteoreemid piirväärtuse kohta 40.Mida nimetatakse Euleri arvuks (arvuks e)? E = 2,718281828 41.Pideva funktsiooni mõiste 42.Vahemikus pidev funktsioon Funktsioon = f(x) on pidev antud vahemikus, kui ta on pidev selle vahemiku igas punktis. 43.Lõigul pidev funktsioon Funktsioon = f(x) on pidev antud lõigul [a;b], kui ta on pidev vahemikus (a;b), st. pidev paremalt punktis a ja on pidev vasakult punktis b 44.Katkeva funktsiooni mõiste 45.Esimest liiki katkevuspunkti mõiste A ja B eksisteerivad ja on lõplikud, kuid A B. Punkt x0 on I liiki katkevuspunkt, ehk hüppekoht. 46.Esimest liiki katkevuspunktide alamliigid 47.Teist liiki katkevuskoha mõiste Kui A või B on lõpmatu või ei eksisteeri üldse, siis punktis x 0 on II liiki katkevuskoht. 48.Pidevate funktsioonide omadused Funktsioon f(x) on pidev punktis a parajasti siis, kui argumendi muudu x lähenemisel nullile ka funktsiooni muut läheneb nullile
nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f +g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0 ka jagatis f /g. 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus. 1. Kui punktis a eksisteerivad l~oplikud u¨hepoolsed piirv¨a¨artused lim xa- f(x) ja lim xa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib v~ordus lim xa- f(x) = lim xa+ f(x) = lim xa f(x),
ekstreemumite olemasoluks. Selleks kasutame Lagrange’ keskväärtusteoreemi ja Taylori asümptoodiks. Joonel y=f(x) võib leiduda kahte tüüpi asümptoode: valemit. * Püstasümptoot võrrandiga x=a selle joone teist liiki katkevuspunkti x=a korral. *Lause (Lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused) *Joone y=f(x) püstasümptoodide leidmiseks tuleb leida joone kõik teist liiki katkevuspunktid Kui leidub selline δ > 0, nii et funktsioon f on pidev lõigul [a - δ ; a + δ] ja diferentseeruv ning leida neis funktsiooni ühepoolsed piirväärtused.
· Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral 1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
· Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral 1 Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f+g, vahe fg, korrutis fg ja eeldusel g(a)=0 ka jagatis . 2 Kui funktsioon y=f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z=g[f(x)] pidev punktis a. 16) · Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. · Katkevuspunktide liigitus 1 Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused limxa f(x) ja limxa+ f(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid:
samale punktile AP = (a, b). Lõpuks, 3. Tingimuse põhjal kehtib b = f(a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon. Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: lk 46 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste: Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim.........................., siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid: a) Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus lim....................................., siis
nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral: Kehtivad järgmised väited: 1) Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f g, korrutis fg ja eeldusel ka jagatis . 2) Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktide liigitus: 1. Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunktid jagunevad kaheks: 1.a) Kui esimest liiki katkevuspunktis kehtib võrdus , siis nimetatakse
xa ¨ Tahistatakse f (x) C(a). Definitsioon Funktsiooni f (x), mis ei ole pidev punktis a, nimetatakse katkevaks punktis a ja punkti a nimetatakse funktsiooni f (x) katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 8 / 25 Funktsiooni pidevus Reaalmuutuja funktsioon Katkevuspunktide liigid Definitsioon Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a nimetatakse esimest liiki ~ katkevuspunktiks, kui punktis a eksisteerivad funktsiooni f (x) loplikud uhepoolsed ¨ ¨ ¨ piirvaartused. Definitsioon Funktsiooni f (x) katkevuspunkti a, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse teist liiki katkevuspunktiks. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us
argumendi muut läheneb nullile. Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa +g, vahe -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis /g. 2. Kui funktsiooni y= (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis (a), siis liitfunktsioon z=g[ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni katkevuspunkt. 1
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid ƒ ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa ƒ +g, vahe ƒ -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis ƒ /g. 2. Kui funktsiooni y= ƒ (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis ƒ (a), siis liitfunktsioon z=g[ƒ (x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt. 1
4. On antud funktsiooni y = f ( x ) graafik, leia selle funktsiooni maksimaalne väärtus. 16 Tiia Toobal 2008 II osa Pärnu Koidula Gümnaasium 1) -1 2) 1 3) 3 4) 5 5. Leia mitu katkevuspunkti on funktsioonil y = tan cot . 0,5 + x 2 0,5 + x 2 1) 1 2) 3 3) 5 4) 7 6. Leia funktsiooni y = 2 x + 21 - 2 x - 15 väärtuste hulk. 1) [6; ) 2) (0;6 ) 3) ( 0; ) 4) (0;6] 7. On antud funktsiooni y = f ( x ) graafik
xx0 - xx0 + N¨ aide 4. Et Heaviside'i funktsiooni H(x) korral lim H(x) lim H(x) = 0 lim H(x) = 1, x0 x0- x0+ siis punkt 0 on funktsiooni H(x) esimest liiki katkevuspunkt. Nendime, et H(0) = 1. Seega v~oime r¨ a¨akida funktsiooni H(x) parempoolsest pidevusest punktis 0. Definitsioon 4. Funktsiooni f (x) iga katkevuspunkti, mis ei ole esimest liiki, nimetatakse selle funktsiooni teist liiki katkevuspunktiks. N¨aide 5. Funktsiooni x/ (x + 2) katkevuspunkt x = -2 on teist liiki katkevuspunkt, sest x x lim = + lim = -. x-2- x + 2 x-2+ x + 2 Skitseerime funktsiooni y = x/ (x + 2) graafiku ja sirged v~orranditega y = 1 ning x = -2
läheneb nullile. Pidevusesailimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral. ( ) Kehtivad järgmised väited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f -g, korrutis fg ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis f/g . 2. Kui funktsioon y = f(x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f(a), siis on liitfunktsioon z = g[f(x)] pidev punktis a. 14. Funktsiooni katkevuspunkti moiste.( ) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. () Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt. 1
l¨ aheneb nullile. Kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis fg . 2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni m¨a¨ aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus.
aheneb nullile. Kehtivad j¨argmised v¨aited: 1. Kui funktsioonid f ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa f + g, vahe f - g, korrutis f g ja eeldusel g(a) = 0 ka jagatis fg . 2. Kui funktsioon y = f (x) on pidev punktis a ja funktsioon z = g(y) on pidev punktis f (a), siis on liitfunktsioon z = g[f (x)] pidev punktis a. 46 Need v¨aited j¨arelduvad otseselt §2.6 toodud piirv¨a¨artuste omadustest. Katkevuspunkti m~ oiste. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt v~oib paikneda n¨aiteks v¨aljaspool funktsiooni m¨a¨aramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pi- deva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni m¨a¨aramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. v~oi 3. tingimus. Katkevuspunktide liigitus. Olgu a funktsiooni f katkevuspunkt
annaabi.ee 
