32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest:
INTEGRAALARVUTUS MÄÄRAMATA INTEGRAAL Def Funktsiooni f(x) algfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni y = F(x), mille tuletis võrdub funktsiooniga f(x): F ( x ) = f ( x ) . Näide: Funktsiooni y = 2 x algfunktsioon on y = x 2 , sest ( x 2 ) = 2 x . Antud funktsioonil on mitu algfunktsiooni, sest kui F ( x ) = f ( x ) , siis [ F ( x ) + C ] = F ( x ) = f ( x ) , kus C on suvaline konstant. Funktsioonil on lõpmata palju algfunktsioone, mis erinevad üksteisest konstantse liidetava poolest. Funktsiooni y = f ( x ) algfunktsiooniks on kõik funktsioonid y = F ( x ) + C . Teoreem: Antud funktsiooni mistahes kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda ülimalt konstantse liidetava poolest:
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib
x4 Näide. Funktsiooni y= x 3 algfunktsiooniks on funktsioon y = , üldiselt iga 4 x4 funktsioon kujul y = + C , kus C on suvaline konstant. 4 Üldavaldus. Funktsiooni f kõik algfunktsioonid F avalduvad kujul F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant. Definitsioon 17. Funktsiooni f kõikide algfunktsioonide üldavaldist F(x) +C, kus F on funktsiooni f mingi algfunktsioon, C suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks. Funktsiooni f määramata integraal tähistatakse sümboliga f ( x ) dx. Seega f ( x)dx = F ( x) + C F ( x) = f ( x). Integraal on funktsiooni piirväärtuste summa. 2. Esitada ja tõestada määramata integraali f ( x ) dx
11. Funktsiooni pidevuse m~oiste. Tarvilik ja piisav tingimus funktsiooni pidevuseks 12. Elementaarfunktsioonide pidevus 13. L~oigul pidevate funktsioonide omadused 14. Funktsiooni katkevuspunktid 15. Funktsiooni tuletise m~oiste, selle geomeetriline ja mehhaaniline t~olgendus 1 16. Pidevus ja diferentseeruvus 17. M~onede p~ohiliste elementaarfunktsioonide tuletised 18. Diferentseerimisreeglid 19. P¨o¨ordfunktsiooni tuletis 20. Liitfunktsiooni tuletis 21. Logaritmiline diferentseerimine 22. Ilmutamata funktsiooni tuletis 23. Parameetrilisel kujul esitatud funktsiooni tuletis 24. Funktsiooni diferentsiaal 25. K~orgemat j¨arku tuletised 26. Joone puutuja ja normaali v~orrandid 27. Rolle'i teoreem 28. Cauchy teoreem 29. Lagrange'i teoreem 30. L'Hospitali reegel 31. L'Hospitali reegel teistel m¨aa¨ramatuse juhtudel 32. Taylori valem 33
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o
mx P Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const P Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 P Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades P( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = P ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
mx S Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const S Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 S Järelikult on ka lim = f ( x) ning tuletise definitsiooni meenutades S ' ( x ) = f ( x ) (1) x 0 x Leidsime, et pindfunktsiooni tuletis võrdub pindala piirava kõvera lõppordinaadiga. 1 KÕVERJOONSE TRAPETSI PINDALA Kõverjoonse trapetsi abBA pindala S abBA = S ( b ) ehk pindala võrdub pindfunktsiooni väärtusega kohal x =b. Valem (1) näitab,et pindfunktsioon on üks funktsiooni y = f ( x ) algfunktsioonidest. Olgu y = F ( x ) mingi algfunktsioon funktsioonile y = f ( x )
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2
5 M¨ a¨ aratud integraal 5.1 M¨ a¨ aratud integraali mo ~iste Olgu funktsioon y = f (x) m¨a¨aratud l~oigul [a; b]. Jaotame l~oigu [a; b] suvalisel viisil punktidega x1 , x2 , ... xn-1 n osal~oiguks, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xk-1 < xk < . . . < xn = b. Tekkinud osal~oigud on [xk-1 ; xk ], kus k = 1, 2, . . . , n. T¨ahistagu xk = xk - xk-1 k-nda osal~oigu pikkust.
. . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Tähtsad piirväärtused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6 Pidevad funktsioonid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.7 Funktsiooni katkevusviise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.8 Pidevate funktsioonide omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 Funktsiooni tuletis ja diferentsiaal 47 5.1 Keskmine kiirus ja hetkkiirus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.2 Tuletise definitsioon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.4 Diferentseerimise reeglid . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. ∆y = f’(a)∆x + β Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
"Matemaatiline analüüs I" Funktsioon Funktsioon- Kui muutja x igale väärtusele piirkonnas X vastab muutuja y kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon piirkonnas X. Sõltumatu muutuja on x, sõltuv y Funktsiooni määramispiirkond-Funktsiooni y määramispiirkonnaks nimetakse argumendi x muutumispiirkonda. Funktsioonide liigid- 1. Paaris funktsioon-rahuldab tingimust f(x)=f(-x) ja see on sümmeetriline y-telje suhtes. (Nt:y=x2) 2.Paaritu funktsioon-rahuldab tingimust f(-x)=-f(x) ja see on sümmetrialine 0 punkti suhtes. (y=sinx) 3.Perioodilised funktsioonid- rahuldab tingimust f(x+T)=f(x), T on periood. 4
· Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka enam kui kaks koostisosa ja seega enam kui üks vahepealne muutuja. Pöördfunktsioon- pöördfunktsiooni saame, kui võtame algse funktsiooni , avaldame sealt x ja seejärel vahetame x ja y ära. Näiteks : y=2x ; x=0,5y ; y=0,5x , seega y=2x pöördfunktsioon on y=0,5x. Funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y =( x )
Matemaatilise analüüsi (I) II osaeksami teooriaküsimused (Tallinnas õppivatele kaugõppijatele) 1. Funktsiooni muudu peaosa ja funktsiooni diferentsiaal. Sõltumatu muutuja diferentsiaal. Funktsiooni diferentsiaali valem. Ligikaudse arvutamise valem. Funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene [kui f ( x ) 0 ] on muudu niinimetatud peaosa, mis on võrdeline argumendi muuduga x . Korrutist f ( x ) x nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks ja tähistatakse sümboliga dy või df ( x ) . Sõltumatu muutuja x diferentsiaal dx ühtib tema muuduga x . dy
ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. ............................................................6 Absoluutväärtuse omadused..
x 1 Samas |sin | 1 ja lim x0 x2 = 0, seega A = 0. x Teoreem 4. (piirväärtuse monotoonsus) Kui punkti a teatavas ümbruses U(a) kehtib g(x) < f(x), () siis ka lim xa g(x) lim xa f(x). () Teoreem 5. (keskmise muutuja omadus) Kui punkti a mingis ümbruses g(x) f(x) h(x) ja lim xa g(x) = lim xa h(x) = A , siis eksisteerib ka piirväärtus lim xa f(x) = A. Teoreem 6. Kui f on elementaarfunktsioon ja a X, siis lim xa f(x) = f(a). 3. Ühepoolsed piirväärtused Vaatleme piirprotsesse: 1. x a, x > a lähenemine paremalt, s.o. parempoolne piirväärtus.
Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Uksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Vahetavad pöördfunktsioonis kohad esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk. Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus. Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks
TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui
kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand - Sirge tõusuks nim selle sirge tõusunurga tangensit. Sirge tõusunurk on alati 0* ja 180* vahel. Kui sirge tõusunurk on alfa, siis selle sirge tõus k=tan alfa. Seega sirge tõusu saab leida vaid x- teljega mitteristuvate sirgete korral. Võrrand tõusu ja algordinaadi abil: y = kx + b Kui sirge üldvõrrandist avaldada muutuja y, siis saame võrrandi seega 22. Sirgete paralleelsuse ja ristseisu tunnused. Kahe sirge vastastikused asendid. Paralleelsuse tunnused: sihivektorid kollinearsed (+ kontrollin et ei ühti) Ristseisu tunnused: sihivektorid on risti. 23. Sirge kanoonilised ja parameetrilised võrrandid ruumis. Kanoonilised võrrandid: (x-x1) / sx = (y-y1) / sy = (z-z1) / sz =täh. t. Parameetrilised võrrandid: 24. Tasandi normaal. Tasandi üldvõrrand ruumis.
avaldubki külgede korrutisega... Ametlikult öeldes: Kui f(x) 0 , siis integraalne alamsumma võrdub arvuliselt kõvera all oleva murdjoonega piiratud seesmise treppkujundi AC0N1C1N2Cn-1NnB pindalaga. MIDA TÄHELDAME, KUI VAATAME INTEGRAALSET ÜLEMSUMMAT? Kui f(x) 0, siis integraalne ÜLEMsumma võrdub arvuliselt kõvera peal oleva murdjoonega piiratud ,,välimise treppkujundi" (viirutatud kujundi) pindalaga. Nii hakkabki väljenduma vaikselt integraal kui pindala , kkdw jms arvutamise vahend b) Integraalse alam ja ülemsumma omadusi Olgu funktsioon f(x) pidev lõigul [a, b] ja x n vastava lõigu alamlõigu pikkust iseloomustavad argumendi muudud 1) Kuna igal alamlõigul on funktsiooni vähim väärtus alati kas väiksem funktsiooni suurimast väärtusest või sellega võrdne, siis ka integraalne alamsumma on alati kas väiksem ülemsummast või siis sellega võrdne: ehk:
u v v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c
u v v u u = v v2 = v x v2 f ( x) dx = ln f ( x) + c Parameetrilisel kujul antud funktsiooni tuletis, kus x = (t) ja y = (t) yt ( y x ) t y txt y t xt y x = ja y x = y x = xt xt ( xt ) 3 Nr Diferentseerimise valemid Diferentseerimise valemid Integreerimise valemid Lihtfunktsioon Liitfunktsioon 1 (C)'=0 0 dx = c
k tundmatut (nn sõltuvad tundmatud), ülejäänud r = n - k tundmatut (nn vabu tundmatuid) sisaldavad liidetavad kantakse võrrandi paremale poole; võrrandite paremal pooltel olevatele vabadele tundmatutele omistatakse vastavalt väärtused C1,C2, ...,Cr; alustades taas alumisest reast ja liikudes rida realt ülespoole, avaldatakse iga sõltuv muutuja suuruste C1,C2, ...,Cr kaudu; kirjutatakse välja süsteemi üldlahend. c) teostatakse leitud lahendite kontroll. 10. Koordinaatsüsteem sirgel. Ristkoordinaadistik tasandil. Punkti ristkoordinaadid tasandil. koordinaatsüsteem sirgel: sirget, millel on fikseeritud üks punkt, märgistatud suund ja valitud pikkusühik, nimetatakse koordinaatteljeks. Koordinaatsüsteemi sirgel määravad: Suunaga arvsirge Alguspunkt (liikumise algus; O) Pikkusühik
Funktsiooni y = f ( x ) , x X võib alati esitada parameetrilised kujul, näiteks: t T = X y = f (t) Vastupidine esitus, s.o. üleminek parameetriliselt kujult ilmutatud kujule ei ole alati teostatav. 5. Esitus ilmutamata kujul, s.o. võrrandi F ( x, y ) = 0 abil. Liitfunktsioon - kui y=f(u), kus u=g(x), siis öeldakse, et y on muutuja x suhtes liitfunktsioon ja kirjutatakse y=f[g(x)] Pöördfunktsioon Paaris- ja paaritudfunktsioonid : *paaris kui iga x X korral on f(-x)=f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarisfunktsiooniks piirkonnas X *paaritu kui iga x X korral on f(-x)=-f(x), siis nimetatakse funktsiooni f paarituks funktsiooniks piirkonnas X Perioodiline funktsioon funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks piirkonnas X ja arvu 0 tema perioodiks, kui f ( x + ) = f ( x ) iga x X korral.
Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et 27Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f. Seda protseduuri võib jätkata
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x,
n=1: R1={P(x1) | x1 R} geom. sirge n=2: R2={P(x1,x2) | x1,x2 R} geom. tasand n=3: R3={P(x1,x2,x3) | x1,x2,x3 R} geom. ruum Punkt A on piirkonna D sisepunkt, sel korral kui tal leidub ümbrus, mis sisaldub piirkonnas D. Punkt A on piirkonna D rajapunkt sel korral kui iga tema ümbrus sisaldab nii piirkonna D kui ka piirkonda mittekuuluvaid punkte. Piirkond D on lahtine, kui ta koosneb sisepunktidest. Piirkond D on kinnine, kui ta koosneb nii sise- kui ka rajapunktidest. Mitme muutuja funktsiooni mõiste Def: nMF f:RnR:P(x1,...,xn) Rn a w=f(P) f(x1,...,xn) R Kujutlus, mis seab n-mõõtmelise ruumi punktidele P vastavusse lõpliku reaalarvu w=f(P), nim n- muutuja funktsiooniks. Geom hüperpind n+1-mõõtmelises ruumis. Füüsikaliselt on nMF skalaarväli. Def: funktsiooni w=f(P), P Rn MP-ks nim nende punktide hulka, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik. MP={P(x1,...,xn) Rn | w=f(P) f(x1,...,xn) < } Rn
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
