ilmakaarte määramiseks ja vajalikus suunas liikumiseks. KOLM PÕHJASUUNDA On olemas kolm erinevat põhjasuunda. 1. Tõeline põhjasuund. 2. Kilomeetervõrgu põhjasuund. 3. Magnetiline põhjasuund. 3 · Tõeline põhjasuund on suund teie asukohast põhjapooluseni. 4 Kilomeetervõrgu põhjasuund. Kilomeetervõrgu põhjasuund on põhjast lõunasse kulgevate koordinaattelgede suund kaardil 5 Magnetiline põhjasuund. · Magnetiline põhjasuund on suund, millele osutab kompassinõela põhjapoolne ots. Magnetilist põhjasuunda määrataksegi magnetkompassi abil. · Magnetiline põhjapoolus ei asu mitte geograafilisel poolusel, vaid sellest ligi 1500 km lõuna pool, Kanada ranniku lähedal Bathursti saare juures. · Seda ei märgita üles, kuna magnetiline põhjapoolus muudab pidevalt asukohta.
pikkuste ja masside teisenemine, Doppleri efekt jt.) ka kõik teised geomeetrilised (kinemaatilised) seosed. Neid teisendusvalemeid nimetatakse Lorentzi teisendusvalemiteks. Lorentzi teisendus (hollandi füüsiku Hendrik Lorentzi järgi) on aegruumi teisendus erirelatiivsusteoorias, millega seotakse kahe erineva inertsiaalses taustsüsteemis paikneva vaatleja mõõtmistulemused.[1] Sarnaselt klassikaliste Galilei teisendustega Newtoni füüsikas sisaldavad Lorentzi teisendused ruumi pöördeid (koordinaattelgede pööramine alguspunkti ümber). Fundamentaalne erinevus Galilei ja Lorentzi teisenduste vahel seisneb selles, kuidas viimastes teineteise suhtes erineva kiirusega liikuvaid vaatlejaid kirjeldatakse: relatiivsusteoorias on ajaühikud, ruumilised pikkused ning sündmuste ajaline järjestuski erinevate kiirustega liikuvate vaatlejate jaoks erinevad. Viimane tuleneb asjaolust, et valguse kiirus kõigi vaatlejate jaoks alati ühesugune on.
Tuletis. Rakendused Puutuja tõus Funktsiooni uurimisel Funktsiooni uurimisel Funktsooni F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx ...
10. Millega võrdub =? 11. Millega võrdub =? 12. Millega võrdub =? 13. Millega võrdub =? 14. Nimetage 2 nurgamõõtu! kraadid, radiaanid 15. Mis on radiaan? 16. Kuidas defineeritakse trigonomeertilised funktsioonid? 17. Kuidas arvutatakse Mathcadis kasutatavat suurust deg? 18. Leidke Mathcadi abil 3 trigonomeetria põhivalemit! 19. Mis on asin(x)? Näidake graafiliselt, et sin(x) ja asin(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes! on pöördf-n. 20. Mis on acos(x)? Näidake graafiliselt, et cos(x) ja acos(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes! on pöördf-n. 21. Mis on atan(x)? Näidake graafiliselt, et tan(x) ja atan(x) graafikud on sümmeetrilised koordinaattelgede I veerandi nurgapoolitaja suhtes! on pöördf-n. 22. Mis on Mathcadi keskkonnas atan2(x, y) ja millal seda kasutatakse?
Summa ja vahe u ±v =(a±c;b±d) Korrutis arvuga r r·u = (ra;rb) Vektori skalaarkorrutis u·v = a·c + b·d ja u· v =|u||v|·cos Vektori pikkus |u|= Kahe punkti vaheline kaugus AB= Nurk vektorite vahel cos= KOLMNURK Siinusteoreem Koosinusteoreem a2=b2+c2 -2bccos; b2=a2 + c2-2accos; c2=a2+b2-2abcos. Kolmurga pindala S= ; S=pr ; S=absin ; S= ; S= ; S= SIRGE VÕRRANDID Üldvõrrand - ax + by=c või ax + by +c =0 x-teljega paralleelne sirge y=a y-teljega paralleelne sirge x=b koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y=-x punktiga A(x1;y1) ja vektoriga v=(sx;sy) määratud sirge = punktidega A(x1;y1) ja B(x2;y2) määratud sirge punktidega A(a;0) ja B(0;b) ehk telglõikudes ,ääratud sirge punktiga A(x1;y1) ja tõusuga k määratud sirge y-y1 =k(x-x1) tõusuga k ja algordinaadiga b määratud sirge y=kx+b nurk sirgete y=k1x+b1 ja y=k2x+b2 vahel tan=||
k j y i x Cartesiuse koordinaadistik ja teljesuunalised ühikvektorid. Geomeetriliselt saab vektorit kujutada noolena, mis näitab vektori suunda ja mille pikkus vastab vektori absoluutväärtusele. Vektori komponentideks nimetatakse tema projektsioone koordinaattelgedel, mis on läbi korrutatud vastava telje suunalise ühikvektoriga. Kui koordinaattelgede x-, y- ja z- suunalised ühikvektorid on i , j ja k , siis saab vektori a üles kirjutada komponentide kaudu järgmiselt: a = ax i + a y j + az k kus skalaarseid suurusi ax, ay ja az nimetatakse vahel ka vektori a koordinaatideks. 1 y a ay j
joonkiiruseks. Pöörleva jäiga keha punkti joonkiirus on arvuliselt võrdne keha nurkkiiruse absoluutväärtuse ja selle punkti ning oöörlemistelje vahelise kauguse korrutisega. Pöörleva keha punkti tangentsiaalkiirendust nim. teisiti pöörlemiskiirenduseks aga normaalkiirendust tsentripetalaalkiirenduseks. Absoluutne ja suhteline liikumine. Masspunkti liikumist vaadelduna liikumatute koordinaattelgede suhtes nim absoluutseks liikumiseks. Masspunkti liikumist liikuva koordinaattelgede süsteemi suhtes nim. suhteliseks liikumiseks. Dünaamika põhiseadused. Newtoni seadused. Inertsi seadus masspunkt millele ei mõju jõude püsib paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. Määrab jõu ja kiirenduse vahelise sõltuvuse. masspunktile mõjuv jõud annab temale jõua samasuunalise kiirenduse mis on suuruselt võrdeline jõuga. Mõju ja vastumõju kohta. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele suuruselt võrdsete ja suunalt vastupidiste
joonkiiruseks. Pöörleva jäiga keha punkti joonkiirus on arvuliselt võrdne keha nurkkiiruse absoluutväärtuse ja selle punkti ning oöörlemistelje vahelise kauguse korrutisega. Pöörleva keha punkti tangentsiaalkiirendust nim. teisiti pöörlemiskiirenduseks aga normaalkiirendust tsentripetalaalkiirenduseks. Absoluutne ja suhteline liikumine. Masspunkti liikumist vaadelduna liikumatute koordinaattelgede suhtes nim absoluutseks liikumiseks. Masspunkti liikumist liikuva koordinaattelgede süsteemi suhtes nim. suhteliseks liikumiseks. Dünaamika põhiseadused. Newtoni seadused. Inertsi seadus masspunkt millele ei mõju jõude püsib paigal või liigub ühtlaselt sirgjooneliselt. Määrab jõu ja kiirenduse vahelise sõltuvuse. masspunktile mõjuv jõud annab temale jõua samasuunalise kiirenduse mis on suuruselt võrdeline jõuga. Mõju ja vastumõju kohta. Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele suuruselt võrdsete ja suunalt vastupidiste
b + 3 b + 3b b + 8b + 15 x + 6x + 5 2 16 13. + x - 5 x +5 x +3 2 2y + 6 y +1 14. - 2 : 2 y - 4 y - 16 y - 3 y - 4 15. Kolmnurga tippudeks on punktid (-6; 3); (2; -3) ja (4; 6). Joonesta antud kolmnurk koordinaatteljestikus. Joonesta mediaanid ja leia jooniselt mediaanide lõikepunkti koordinaadid. 16. Joonesta funktsioon y = -2x + 4 graafik. Kirjuta välja graafiku ning koordinaattelgede lõikepunktide koordinaadid. Leia punkt, mille ordinaat on 6. 17. Joonesta funktsiooni y = x 2 -1 graafik. Leia lõikepunktid koordinaattelgedega ja punk, mille abstsiss on -2. 18. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = x + 2 ja ruutfunktsiooni y = -x 2 + 4 graafikud. Tähista lõikepunktid tähtedega ning leia jooniselt nende punktide koordinaadid. 19. Joonesta ühes ja samas teljestikus lineaarfunktsiooni y = - x - 2 ja ruutfunktsiooni
teineteist mõjutavad on alati suuruse poolest võrdsed kuid suunalt vastupidised. 8. Galilei teisendused. Oletame, et kaks taustsüsteemi liiguvad teineteise suhtes jääva kiirusega v0. Ühe süsteemi koordinaatteljed olgu x, y , z ning teise omad x`, y´ ja z´. Ja nad paiknegu nii, et teljed x ja x´ ühtiksid, y ja y´ ning z ja z´ oleksid paralleelsed. Kui hakata aega lugema hetkest mil mõlema süsteemi koordinaattelgede alguspunktid ühtisid, siis x=x´+ v0t. Ning y=y´ ja z=z´, ka aeg kulgeb mõlemas süsteemis ühte moodi siis ka t=t´. x=x´+ v0t y=y´ z=z´ t=t´ Galilei relatiivsusprintsiip- mehaanika seisukohalt on kõik inertsaalsed taustsüsteemid täiesti võrdväärsed. 9. Mitteinertsiaalsed taustsüsteemid. Sellised taustsüsteemid, kus ei kehti Newtoni seadused.
kus Jx veeliinitasandi keskinertsimoment x telje suhtes [m4] mahuline veeväljasurve [m3] . Jooniselt 6 võib avaldada metatsentri kõrguse teiste teada olevate lõikude kaudu alljärgnevalt: GM = KB + BM - KG GM = BM - BG GM = KM - KG , kus KB ujuvuskeskme aplikaat KG raskuskeskme aplikaat KM metatsentri aplikaat K kiilu punkt, mis on koordinaattelgede algpunktiks. Laeva piki kallutamisel väikese nurga võrra konstantsel veeväljasurvel (näiteks lasti liigutamisel tsentraalliinil CL) ujuvusjõud , mis rakendub uues ujuvuskeskme punktis B1 ja selle püstmõjusirge lõikab algtasakaalu punkte B ja G läbivat põiktasandit punktis ML , mida nimetatakse pikimetatsentriks. 24 3. Laeva püstuvus ML W
A1/A2=B1/B2=C1/C2 Võrrandid telglõikudes Tasand võrrandiga Ax+By+Cz+D=0 ei läbi koordinaatide alguspunkti siis ja ainult siis kui vabaliige D0. Tasand ei ole paralleelne ühegi koordinaatteljega siis ja ainult siis kui A0, B0, ja C0. x/a+y/b+z/c=1- nim tasandi võrrandiks telglõikudes, arve a b ja c nim telglõikudeks. Telglõikude abil on võimalik anda teatud ettekujutus tasandi orientatsioonist ruumis, kui tasandi ja koordinaattelgede lõikepunktid ühendada sirglõikudega, mis eraldavad tasandist ühe kolmnurga. Sirge ja tasandi lõikepunkt Sirge ja tasandi lõike punkt asub nii sirgel kui tasandil. Seega peavad tema koordinadid rahuldama üheaegselt nii sirge kui ka tasandi võrrandeid. Teist järku jooned Teist järku joone üldine võrrand Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 Siin vähemalt üks kordajatest peab A, B või C peab olema nullist erinev. X²+y²+Dx+Ey+F=0 võrrand on teist järku algebralise joone võrrand. Siinjuures
2 2 2 sin abc S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge
2 2 2 sin abc S = p ( p - a )( p -b)( p -c ) , S= 4R kus r on kolmnurga siseringjoone raadius ja R ümberringjoone raadius. SIRGE VÕRRANDID 51. Üldvõrrand ax+by=c või ax+by+c = 0. 52. x-teljega paralleelne sirge y=a. 53. y-teljega paralleelne sirge x=b. 54. Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand: I ja III veerand y=x; II ja IV veerand y= -x. 55. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja vektoriga v =( s x ; s y ) määratud sirge x - x1 y - y1 = sx sy 56. Punktidega A( x1 ; y1 ) ja B ( x 2 ; y 2 ) määratud sirge y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 57. Punktidega >A(a;0) ja B(0; b) ehk telgiõikudes määratud sirge x y + =1 a b 58. Punktiga A( x1 ; y1 ) ja tõusuga k määratud sirge
Nüüd ilmub uus viip Specify height of cylinder or [Center of other end]: Arvu sisestamine määrab joonestatava silindri kõrguse (ka kahe punkti vahelise kaugusena määratav). Negatiivne kõrgus on samuti lubatud. Niiviisi joonestatud silindri telg on paral- leelne jooksva koordinaadistiku Z-teljega. Tähe C sisestamise järel tuleb teatada silindri teise otstahu keskpunkt (kas absoluutsete või relatiivsete koordinaatidena). Selliselt joonestatud silindri telg võib olla koordinaattelgede suhtes suvaliselt orienteeritud. Küll on aga silindri otstahud igal juhul silindri teljega risti. Massiivse koonuse joonestamiseks on kasutusel käsk CONE. Koonuse joonestamine on väga sarnane silindri joonestamisele (aluse joonestamine isegi täpselt samasugune). Vaid koonuse kõrguse või tipu küsimiseks on nüüd kasutusel viip Specify height of cone or [Apex]: Tähe A sisestamise järel tuleb teatada koonuse tipu asukoht. Tüvikoonuse joonestamist käsk
1. Vaba langemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist. 2. Kui alg- ja lõppkõrgus on võrdsed, siis a) üleslennu aeg võrdub allalangemise ajaga, b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. 1.4 Kõverjooneline liikumine Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel (1.6) on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused. Kõverjoonelise liikumise näitena vaatame sellist vaba langemist, kui keha algkiirus v 0 pole enam z-telje sihiline. S.t. keha visatakse vertikaalsihi suhtes mingi nurga all
telglõikeks. Pindala: S=Sk+Sp Ruumala: V= r²·h 10. Kera: Mõiste: Kera on keha, mis tekib poolringi pöörlemisel umber oma diameetri. Lõiked: Kera iga tasandiline lõige on ring. Kui lõiketasand läbib kera keskpunkti, siis lõikeringi raadiuseks on kera radius ning lõiget nim. kera suurringiks, vastavat lõikejoont suurringjooneks. Pindala: S=4· r² Ruumala: V=4/3· r³ 11. Vektor: Mõiste: Vektoriks nim. suunaga lõiku. Vektori koordinaadid: Koordinaattelgede suunalised ühisvektorid i ja j moodustavad vektorbaasi tasandil. Iga vector v avaldub kujul v=Xi+Yj, kus arvud X ja Y on üheselt määratud. Neid arve X ja Y nim. vektori v koordinaatideks antud vektorbaasi suhtes ning kirjutatakse v=(X;Y). Vektori pikkus: Vektori, kui suunatud lõigu pikkuseks nim. selle lõigu pikkust. 12. Lineaarfunktsioon: Mõiste: Funktsiooni y=mx+b, kus m0 ja b on mingid kontstandid, nim. lineaarfunktsiooniks. Joonestamine: (näide) Asend ja tõusunurk:
Punkti P kohavektoriks nimetatakse vektorit r , mille projektsioonid koordinaattelgedel võrduvad punkti P koordinaatidega. Definitsioon. Vektori koordinaatideks nimetatakse vektori projektsioone koordinaattelgedele. Võtame kohavektori r x, y, z . Vektori r 0 P 0 Px Px Pxy Pxy P komponendid ruumilise teljestiku telgede sihtidest. Toome sisse koordinaattelgede suunalised ühikvektorid: i 1,0,0 , i 1, j 0,1,0 , j 1, k 0,0,1 , k 1, 0 Px xi , Px Pxy yj , Pxy P zk . VEKTORITE ANALÜÜTILINE ESITUS KOORDINAATIDE KAUDU Analüütiline geomeetria on matemaatika haru, mis uurib geomeetria objekte algebra vahenditega,
jääva kiiru-sega v0. Loeme ühe nendest tinglikult liikumatuks. Siis teine süs. K´ liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Valime süs. K koordinaatteljed x,y,z ja süst. K´ teljed x´, y´, z´ nii, et teljed x ja x´ ühtiksid, teljed y ja y´ ning z ja z´ oleksid paralleelsed. Leiame nüüd seose mingi punkti P koordinaatide x, y, z ning sama punkti koordinaatide x´,y´,z´ vahel. Kui hakata aega lugema hetkest, mil mõlema süs. koordinaattelgede alguspunktid ühtisid, siis, nagu selgub jooniselt, x =x´ + v0t. Peale selle on ilmne, et y=y´ ning z=z´. Lisanud nendele seostele klassikalises meh. tunnustatud eelduse, et aeg kulgeb mõlemas süs ühtemoodi, s.o. t = t´, saame neljast võrrandist koosneva süsteemi: x=x´ + v0t´, y=y´, z=z´, t=t´ }, mida nimetatakse Galilei teisendusteks. Relatiivsusprintsiip- Väide, et kõik meh.nähtused kulgevad erinevates inertsiaalsetes taustsüstee-mides ühtemoodi, mistõttu meh
suhtes. Astmeline enamsaak leitakse iga eelmise taseme suhtes. Keskmine enamsaak leitakse summaarse enamsaagi jagatisena kõigi ressursside kohta. 2.4. Efektiivsuse väljundid Tehnoloogiaefekt – kui muudetakse üht või mitut tootmistegurit, toimub tootlikkuse kas samaväärne, kasvav või kahanev muutus. Tehnoloogiaefekti üldine suund väljendab muutust, mille korral samatootekõver nihkub koordinaattelgede alguspunkti suunas, st mõlema (kapitali ja tööjõu) tootmisteguri kasutus väheneb. Mastaabiefekt – kõikide tootmissisendite võrdne muutus tingib toodangu mahu kas samaväärse, kasvava või kahaneva muutuse. Struktuuriefekt (sünergeetiline efekt) toimib mitme teguri üheaegsel muutmisel, kusjuures ühisefekt ületab üksikefektide summa (nt tootmise intensiivistamine). 3. MATERJALIRESSURSSIDE EFEKTIIVSUS Taimekaitsevahendite liigitus
antakse sirge siht. Seda vektorit nimetatakse sirge sihivektoriks Sirge normaalvektor Vektorit n = (A1, A2) nimetatakse sirge s : A1x + A2y + A3 = 0 normaalvektoriks. Sirge parameetriline vektorvõrrand Sirge parameetrilised võrrandid koordinaatides Sirge kanoonilised võrrandid Sirge üldvõrrand Sirgetaandatud võrrand Sirge tõus Sirge algordinaat Sirge võrrand telglõikudes Sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) Sirge asendid koordinaattelgede suhtes. Kui A2 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Kui A1 = 0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega. 9 Tasandi riht Kui on antud punkt P(x0, y0, z0) ja kaks mittekollineaarset vektorit a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3), siis ruumis leidub üks ja ainult üks tasand π, mis läbib punkti P ja on paralleelne vektorite paariga {a,b}. Sellisel juhul vektoreid {a,b} nimetatakse tasandi π rihiks.
14.Mis on sideme reaktsioon? Sideme reaktsioon on jõud, millega vaadeldavale kehale mõjub jõud, mis moodustab sideme. 15. Kuhu on suunatud sideme reaktsioonjõud? Sideme reaktsioonjõu suund on alati vastupidine sellele suunale, kuhu liikumine on takistatud. 16.Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid juhul kui tala on seina müüritud? Kui tala on sisse müüritud, tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonidena jõud, mis on koordinaattelgede suunalised ja üks jõupaar M, mis mõjub tala ja seina lõikepunktis. 17.Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid sfäärilise liigendi korral ruumis? Sfäärilise liigendi korral tuleb märkida 3 jõudu, mis lähtuvad liigendist ja on koordinaattelgede suunalised. 2 18.Kuidas tuleb joonisele märkida sideme reaktsioonid silindrilise liigendi korral ruumis?
teljel. See on skalaarne suurus. Mx=Mox , M y=Moy , Mz=Moz Mz( F )=±Fxy*d1 46.Millal on jõu moment telje suhtes võrdne nulliga? Jõu moment telje suhtes on võrdne nulliga , kui jõud ja telg on ühes tasapinnas, st. jõu mõjusirge kas lõikab telge (d1=0) või on teljega paralleelne (Fxy=0). 47.Kirjutada valemid jõu F momentide leidmiseks koordinaattelgede suhtes kui jõu rakenduspunkti koordinaadid on teada. Mx( F )=yFz-zFy My( F )=zFx-xFz Mz( F )=xFy-yFx 48.Sõnastada samasuunaliste paralleeljõudude liitmise 4 reeglit. 1
2)Pinna mass. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ= γ(x,y,z). Pinna mass on sellisel juhul mΩ arvutatav mΩ=ʃʃΩγ(x,y,z)dS 3)Masskeskme koordinaadid. Materjaalse pinna pindtihedusega γ(x,y,z) masskeskme C(xc,yc,zc) koordinaadid saab arvutada valemitest: xc=1/mΩʃʃΩxγ(x,y,z)dS yc=1/mΩʃʃΩyγ(x,y,z)dS zc=1/mΩʃʃΩzγ(x,y,z)dS 4)Pinna inertsmomendid. Olgu pinna Ω pindtihedus määratud funktsiooniga γ=γ(x,y,z). Selle pinna inertsmomendid koordinaattelgede suhtes saab arvutada järgnevate valemitega: Ix=ʃʃΩ(y2+z2)γ(x,y,z)dS Iy=ʃʃΩ(x2+z2)γ(x,y,z)dS Iz=ʃʃΩ(x2+y2)γ(x,y,z)dS 17. II liiki pindintegraal, selle arvutamine ja omadused, näide DEF. Olgu pinnal Ω määratud kolm funktsiooni f(x,y,z), g(x,y,z) ja q(x,y,z), siis üldiseks II liiki pindintegraaliks nimetatakse summat: ʃʃΩfdxdy+gdxdz+qdydz= ʃʃΩfdxdy + ʃʃΩgdxdz + ʃʃΩqdydz Avaldist fdxdy+gdxdz+qdydz nimetatakse integraalialuseks avaldiseks.
Ette pole teada ei reaktsioonjõu FA moodul, ega ka ükski nurk, mille jõud FA moodustab koordinaattelgedega (ei x- , ei y- ega z-teljega). Seetõttu on üldiselt sfäärilise liigendi reaktsioonjõul FA olemas nullist erinevad komponendid kõigi kolme koordinaattelje sihis. Arvutuste kergendamiseks lahutatakse ka siin kogureaktsioon FA koordinaattelgede suunalisteks komponentvektoriteks. Ainult siin on nullist erinevad kõik kolm komponenti, mis tuleb joonistada vastava koordinaattelje positiivses suunas. Antud näites joonisel 4.17 on nendeks X A , Y A ja Z A (ei ole sinna joonisele kantud). Reegel reaktsioonjõu joonistamiseks sfäärilise liigendi korral on seega järgmine:
BM=Jx / (tagurpidi kolmnurk), kus Jx on veeliinitasandi keskinertsimoment x telge suhtes , m (astmes 4) V on mahuline veeväljasurve , kuupmeetrit Jooniselt 5.1 võib avaldada metatsentri kõrguse teiste teadaolevate lõikude kaudu alljärgnevalt: GM= KB + BM KG GM= BM-BG GM = KM- KG Kus KB on ujuvuskeskme aplikaat KG raskuskeskme aplikaat KM metatsentri aplikaat, K- kiilu punks , mis on koordinaattelgede alguspunktiks. Laeva pikikallutamisel väikese nurga u ( ja keskelt l2heb / läbi) võrra konstantsel veeväljasurvel ( näiteks lasti liigutamisel tsentraalliinil) ujuvuse massveeväljasurve p ( tagurpidi kolmnurk) rakendub uues ujuvuskeskme punktis B1 ja selle püstmõjusirge lõikab algtasakaalupunkte B ja G läbivat põiktasandit punktis M L, mida nim pikimetatsentriks. (PILT 5.2) GML on algpikimetatsentri kõrgus ja BML on pikimetatsentri raadius , mida arvutatakse
muutub -kvandi suund ja kasvab lainepikkus (Compton, 1933) “Elektronpilv” - elektroni negat. laengu jaotustiheduse ruumiline kuju aatomis Orbitaal - elektronide jaotustiheduse kuju kus 2 on suur, seal elektroni esinem. tõenäosus kõrge ja vastupidi, sõlmpindadel 2 = 0 2 (x,y,z) - lainefunktsiooni ruudu sõltuvus ruumikoord.-dest : iseloomustab elektroni esinemise tõenäosust tuuma ümbritsevas ruumis – koordinaadistikus ja koordinaattelgede alguspunktiks on aatomituum Peakvantarv n - mistahes täisarvul. väärtused 1 … - määrab elektronorbitaali energia ja iseloomustab elektroni tõenäoseimat kaugust tuumast. Orbitaalkvantarv l - täisarvul. väärtused 0, 1, 2 … (n-1) - määrab orbitaali kuju (koos peakvantarvuga) Magnetkvantarv ml - posit. või negat. täisarvul. väärtused vahemikus ml = -1, -2, … 1, 0, -1, -2 … Spinn-kvantarv e. spinn: +1/2 või -1/2 näitab, kas elektroni
32. Kuidas arvutada rõhujõu rõhtkomponenti kõverpinnale, mis on koormatud vedelikuga nõgusalt poolt? Joonis1 33. Kuidas arvutada rõhujõu vertikaalkomponenti kõverpinnale, mis on koormatud vedelikuga nõgusalt poolt? Vaata joonis1-te, mis on küsimuses 32! 33. Kuidas arvutada rõhujõu vertikaalkomponenti kõverpinnale, mis on koormatud vedelikuga nõgusalt poolt? Rõhujõu vedelikuga koormatud kõverpinnale võib määrata jõu koordinaattelgede projektsioonide kaudu. Kolmemõõtmelise kõverpinna jaoks on rõhujõu komponente kolm ja jõu absoluutväärtus määratakse vektorsummaga. 34. Kuidas arvutada rõhujõu rõhtkomponenti kõverpinnale, mis on koormatud vedelikuga kumeralt poolt? Kõverpinnale mõjuva rõhujõu püstkomponent määratud püstsurvekehasse mahtuva vedeliku kaaluga. Rõhujõu rõhtkomponent toimib kõverpinna elemendi dS püstprojektsioonile z dS : 35
2. Kilomeetervõrgu põhjasuund. 3. Magnetiline põhjasuund. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Tõeline põhjasuund on suund teie asukohast põhjapooluseni. See suund ühtib meridiaanide suunaga põhjast lõunasse või vastupidi lõunast põhja. Kilomeetervõrgu põhjasuund on põhjast lõunasse kulgevate koordinaattelgede suund teie kaartidel. Iga vertikaalne koordinaattelg osutab koordinaatide põhjasuunda. Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level Magnetiline põhjasuund on suund, millele osutab kompassinõela põhjapoolne ots. Magnetilist põhjasuunda määrataksegi magnetkompassi abil.
2c c b = = 1 < < ja y = ± 2b b 85. Parabool on tasandi punktide hulk, mille kaugused ühest antud punktist ( fookusest ) ja sirgest (juhtjoonest ) on võrdsed, tingimusel, et fookus ei asetse juhtjoonel y 2 = 2 px . Parabooli ekstsentrilisus on = r / d = 1 86. y 2 = 2 px y 2 = 2 px x 2 = 2 py x 2 = 2 py 87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B
2c c b = = 1 < < ja y = ± 2b b 85. Parabool on tasandi punktide hulk, mille kaugused ühest antud punktist ( fookusest ) ja sirgest (juhtjoonest ) on võrdsed, tingimusel, et fookus ei asetse juhtjoonel y 2 = 2 px . Parabooli ekstsentrilisus on = r / d = 1 86. y 2 = 2 px y 2 = 2 px x 2 = 2 py x 2 = 2 py 87. Koordinaattelgede paralleellüke punkti K (a;b) ( y b) 2 = 2 p ( x a ) ( y b ) 2 = 2 p ( x a ) ( x a ) 2 = 2 p ( y b) ( x a ) 2 = 2 p ( y b ) 6 88. Teist järku joone üldvõrrandi invariandid: A B D A B
lk. 152 Lühiperioodil seob tootmisfunktsioon tootmismahu muutuvsisenditega, sest FC = const. (kehtib kahaneva piirtootlikkuse seadus). Kulud sõltuvad muutuvsisendi hinnast, eeldatakse, et sisendi hind ei muutu (antud näites). Muutuvsisendiks on töö, nimelt töötundide arv. Punktis A hakkab kehtime kahaneva piirtootlikkuse seadus (TP tõus seal kõige suurem). Joonisel on tootmismahu sõltuvus muutuvkulust, see on muutuvkulu pöördfunktsioon. Seega VC-kõver on TP-kõvera peegelpilt koordinaattelgede suhtes (eelmine joonis). (VC) = L * w, kuna MC = (VC) / (TP), asendades (VC), MC = L * w / (TP), kuna MPL = (TP) / L, L / (TP) = 1/ MPL Järelikult MC = w / MPL (w tööjõu hind) Tootmismahu kasvades kahaneva piitootlikkuse seaduse toimel MP ja MC muutuvad vastupidises suunas. MC-kõvera kuju on tingitud kahaneva piirtootlikkuse seadusest, samuti AVC-kõvera kuju: AVC = VC / TP = w * L / TP = w / APL
k1 f ( x0 ) f ( x0 ) Funktsiooni uurimine- Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes; f(-x) = -f(x) paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes; 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond: f(x) > 0 - positiivsuspiirkond; f(x) < 0 negatiivsuspiirkond. 5. Kasvamis- ja kahanemispiirkond: f '(x) > 0 kasvamispiirkond;
Puutuja tõus k=tana on võrdne funktsiooni y tuletisega argumendi väärtusel x0 Funktsiooni uurimine Funktsiooni uurimise all mõistetakse, et tuleb leida kõik või osad järgnevatest funktsiooni iseloomustavatest suurustest (punktid, piirkonnad jne). 1. Määramispiirkond (so nende x väärtuste hulk, millas funktsiooni avaldis on arvutatav). 2. Nullkohad, so graafiku lõikepunktid x teljega (f(x)=0). 3. Graafiku sümmeetrilisus koordinaattelgede ja nullpunkti suhtes: f(-x) = f(x) paarisfunktsioon, sümmeetriline y telje suhtes; f(-x) = -f(x) paaritu funktsioon, sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes; 4. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkond: f(x) > 0 - positiivsuspiirkond; f(x) < 0 negatiivsuspiirkond. 5. Kasvamis- ja kahanemispiirkond: f '(x) > 0 kasvamispiirkond; f '(x) < kahanemispiirkond.
82. Algordinaat – b=- A2 x y A3 83. võrrand telglõikudes – s : + p1 = - p2 = p1 p2 = 1, kus A1 , A3 -- A 2 84.sirge kahe tasandi lõikejoonena (ruumis) 85.Sirge asendid koordinaattelgede suhtes – Kui A3=0, siis sirge üldvõrrand saab kuju s: A1x+A2y=0. Näeme, et alguspunkti O (0,0) koordinaadid rahuldavad viimast võrrandit. Seega A3=0 o ∈ s Kui A2=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub y-teljega. Paralleelsus realiseerub A3 ≠ 0 korral ja ühtumine 0 ∈ s ehk A3=0 korral Kui A1=0, siis sirge s on paralleelne või ühtub x-teljega 86
tehnoloogiate väljatöötamine. *tootmis mastaap-sellest ja selle kulutustest sõltub,kuisuureks kujuneb müügimaht ja seeläbi ka kasum. 36. Efektiivsuse väljendusvormid (tehnoloogia-, mastaabi ja struktuuriefekt) Tehnoloogiaefekt-kui muudetakse üht või mitut tootmistegurit, toimub tootlikkuse kas samaväärne, kasvav või kahanev muutus. Tehnoloogiaefekti üldine suund väljendab muutust, mille korral samatootekõver nihkub koordinaattelgede alguspunkti suunas, st mõlema (kapitali ja tööjõu) tootmisteguri kasutus väheneb. Mastaabiefekt-peegeldab tootmisfunktsiooni, milles kõikide sisendite koguste võrdne muutumine tingib toodangu mahu kas samaväärse, kasvava või väheneva muutumise. Struktuuriefekt-toimib mitme teguri üheaegse muutumise koosmõjul, kusjuures ühisefekt ületab ühisefektide summa (nt. Tootmise intensiivistamine) 37. Investeerimisvõimaluste valikul kasutatavad hindamiskriteeriumid
· Kahe vektori lahutamise saab asendada lahutatava vektori vastandvektori liitmisega. 6.6 Vektori korrutamine arvuga · Vektor, mille pikkus on 1, on ühikvektor. · Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes · distributiivsus arvude liitmise suhtes · distributiivsus vektorite liitmise suhtes. · Arvu k ja vektori a 0 korrutiseks nimetatakse vektorit ka, mille pikkus 6.7 Vektori koordinaadid Iga koordinaattasandil oleva vektori v saab üheselt avaldada koordinaattelgede suunaliste ühikvektorite I ja j kaudu. v=Xi+Yj (X ja Y on vektori koordinaadid) v=(X;Y) · Vektori pikkus võrdub ruutjuurega vektori koordinaatide ruutude summast. · Vektorit OM, mille alguspunkt on koordinaatide alguspunktis, nimetatakse punkti M kohavektoriks. Kui M(a;b), siis OM=(a;b) · i=(1;0) ja j=(0;1) · Kui e on ühikvektor ja see moodustab x-telje positiivse suunaga teravnurga a, siis e=(cos a; sin a) ehk e=cos a·i+sin a·j
.....................................................................35 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand.............................................................................. 36 Sirge võrrand telglõikudes......................................................................................................36 Koordinaatteljega paralleelse sirge võrrand........................................................................... 36 Koordinaattelgede vahelise nurga poolitaja võrrand..............................................................36 Sirge üldvõrrand..................................................................................................................... 36 Sirge joonestamine................................................................................................................. 36 Kahe sirge vastastikulised asendid tasandil............................................................................36
Normaaljaotusega juhusliku suuruse dispersioon on DX =σ 15. Tulenevalt tihedusfunktsiooni omadustest visandada tema graafik. Tihedusfunktsiooni graafik on sümmeetriline sirge x=μ suhtes, moodiks on punkt x=μ ja asumptoodiks on x-telg. Nimetatakse ka Gaussi kõveraks. 16. Üleminek standardiseeritud normaaljaotusele ja mida see sisuliselt tähendab. Üleminekul standardiseeritud normaaljaotusele teeme integraalis muutujavahetuse x−μ z= σ , mis sisuliselt tähendab koordinaattelgede alguspunkti nihutamist juhusliku suuruse keskväärtusele vastavasse punkti μ ja jagamine σ-ga muudab skaalat võttes kasutatavaks ühikuks standardhälbe. 2 x z −z 1 P( X < x )=F (x)= ∫ φ ( x ) dx = ∫ e 2 dz=Φ ( z) . Tänu sellele saame −∞ √ 2 π −∞
Tegur 2acos/2 määrab amplituudi ja mõjutab ka võnkumise faasi. §46. Ristsihiliste võnkumiste liitmine. Vaatleme rasket kuulikest, mis ripub pika peene niidi otsas (mat. pendel). See kuulike saab sooritada kahte võnkumist vastastikku ristuvates sihtides, mõlema võnkumise sagedus on seejuures ühesugune. Niisugusel juhul liigub kuulike kõverjooneliselt trajektoori mööda, mille kuju sõltub võnkumiste faasivahest. Liidame nüüd kahe koordinaattelgede x ja y sihis toimuvate ühesuguste sagedustega harm. võnkumised. Valime aja arvestamise alghetke nii, et esimese võnkumise algfaas oleks null. Siis saame kirjutada võnkumiste võrrandi nii: x=a cost, y=b cos(t+)}, kus on võnkumiste faasivahe. See võrrandisüs. kujutab endast mõlemas võnkumises osaleva keha trajektoori võrrandit parameetrilisel kujul. Et anda sellele võrrandile kuju, peab võrranditest elimineerima aja t. Esimesest võrr. järeldub: cost=x/a. Järelikult sint=1-x2/a2
1. Vektorite ja vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit × , mis on määratud võrdusega a a a a a a × = 2 3 ;- 1 3 ; 1 2 . (1) b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r Tähistades koordinaattelgede suunalisi ühikvektoreid vastavalt i , j ja k , on avaldis (1) esitatav kujul a a r a a r a a r × = 2 3 i - 1 3 j + 1 2 k = b2 b3 b1 b3 b1 b2 r r r i j k (2)
Jooniselt näeme, 2 2 e. . Võrrandist saame kauguse definitsiooni kasutades võrrandi ehk Tõstes mõlemad pooled ruutu, saame millest koondades jääb järele Jagame võrrandit neljaga ja tõstame jällegi mõlemad pooled ruutu. Saame millest peale koondamist saame Kuna a > c, siis a2c2 > 0. Seetõttu võime tähistada a2c2 = b2. Peale sellist asendamist saame võrrandi millest a2b2-ga jagades saame ellipsi kanoonilise võrrandi. Omadus 1. Ellips on sümmeetriline koordinaattelgede suhtes. Omadus 2. Ellipsi lõikepunktid x-teljega on ( -a ; 0 ) ja ( a ; 0 ) ning y-teljega ( 0; - b ) ja ( 0; b ) . Punkte ( ± a ; 0 ) ja ( 0; ± b ) nimetatakse ellipsi tippudeks. Tippe ( -a ; 0 ) ja ( a ; 0 ) ühendavat lõiku ning tippe ( 0; - b ) ja ( 0; b ) ühendavat lõiku nimetatakse ellipsi telgedeks. Arvud a ja b on ellipsi pooltelgede pikkused. Ellipsi telgede lõikepunkti ( 0; 0 ) nimetatakse ellipsi keskpunktiks. Ellipsi kui joone kuju sõltub ainult arvude a ja c valikust.
Kui paralleeljoonte vahelist kaugust pole vahepeal vaja muuta, võib käsuga OFFSET luua 32 piiramatu arvu paralleeljooni (vastasel juhul tuleb käsk lõpetada ja alustada teda uuesti, juba muudetud kaugusega). Paralleeljoone loomise suund tuleb näidata hiirega vastusena viibale Specify point on side to offset:?. Käsu lõpetab tühisisestus või vajutus klahvile Escape. Objekti(de) ühtlaseks suurendamiseks/vähendamiseks kõikide koordinaattelgede suhtes on kasutusel käsk SCALE. Valikuhulga moodustamise järel tuleb teatada baaspunkt, see on punkt, mis ojektide suurendamisel jääb paigale. Seejärel antakse valikuvõimalus, kas sisesta- da mastabitegur otse arvuna, või siis, sisestades tähe R, anda võimalus moodustada mas- taabitegur mingi kahe lõigu pikkuste suhtena (selles osas on teatavat sarnasust varem käsit- letud käsuga ROTATE valik Reference). Üsna huvitavaid modifitseerimisvõi- malusi pakub käsk STRETCH
1622 William Oughtred leiutab arvutuslükati. 1632 Galilei avaldab "Kahe maailmasüsteemi dialoogi", kaitstes seal Koperniku ideid. 1633 Galilei, süüdistatuna ketserluses, ütleb lahti Koperniku vaadetest, neid käsitlev teos keelustatakse kiriku poolt. 1635 Henry Gellibrand avaldab oma avastuse: kompassinõel muudab aja möödudes suunda. 1637 Rene Descartes avaldab "Arutlusi meetodist", määratleb mehhanitsistliku maailmapildi ja tutvustab koordinaattelgede kasutamist. 1640 Ismaël Bullialdus pakub välja teooria, et kehade vaheline gravitatsioonijõud on pöördvõrdeline kehade vahelise kauguse ruuduga. 1641 William Gascoigne leiutab teleskoobi sihikujoonestiku. 1642 8. jaanuaril sureb Galileo, 25.detsembril sünnib Isaac Newton 1643 Evagelista Torricelli tekitab osaliselt elavhõbedaga täidetud suletud silindris vaakumi, ehitab esimese baromeetri ja näitab, et õhul on kaal.
4 0 d 4 d 2 0 0 Kui pinddtihedus ei võrdu ühega, vaid on mingi funktsioon x, y , siis tasandilise kujundi D inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes on IO x, y x 2 y 2 dxdy D Samuti saab siis leida inertsmomendid koordinaattelgede suhtes. Näide 33. Arvutada joontega y 2 1 x, x 0 ja y 0 piiratud tasandilise kujundi inertsmoment y-telje suhtes, kui pindtihedus igas punktis võrdub selle punkti ordinaadiga y 1 1 x 1 x2y2 1 x I yy yx 2 dxdy yx 2 dy dx 2 0 dx 0 0 0
mis saadakse ühiskonna tootlikke ressursse omavahel kombineerides. Pareto-efektiivsuse kriteerium väidab, et kõik punktid võimaliku tootmise piiril on efektiivsed ning asudes ühes neist punktidest saab ühe hüvise tootmise suurendamiseks ressursse ümber jaotada vaid teise hüvise tootmise vähendamise arvel. Kui ressursse tuleb juurde või nende kvaliteet paraneb, nihkub VTP pikaajaliselt majanduskasvu tõttu koordinaattelgede nullpunktist kaugemale. 2. Alternatiivkulu printsiip See tähendab, et mida enam soovitakse tarbida teist hüvist, seda enam tuleb esimese hüvise tarbimist piirata. Saamatajäänud tulu parimast alternatiivsest kasutamata jäänud võimalusest. 3. Nõudmise üldine seadus - Nõudlusseaduse kohaselt: Muude tingimuste samaks jäädes, mida kõrgem on hind, seda väiksem on nõutav kogus. 4
momendi projektsiooniga sellel teljel. 2) Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga tasapinna ja telje lõikepunkti suhtes võetava vastava märgiga. 48. Millal on jõu moment telje suhtes võrdne nulliga? Siis kui jõu mõjusirge on teljega paralleelne. 49. Kirjutada valemid jõu F momentide leidmiseks koordinaattelgede suhtes kui jõu rakenduspunkti koordinaadid on teada. 50. Sõnastada samasuunaliste paralleeljõudude liitmise 4 reeglit. 1) Resultant on liidetavate jõududega paralleelne ja samasuunaline 2) Resultandi moodul on võrdeline liidetavate jõudude moodulite summaga 3) Resultandi mõjusirge asub alati liidetavate jõudude mõjusirgete vahelisel alal 4) Resultandi kaugused jõudude rakenduspunktidest on pöördvõrdelised jõududega 51
momendi projektsiooniga sellel teljel. 2) Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga tasapinna ja telje lõikepunkti suhtes võetava vastava märgiga. 48. Millal on jõu moment telje suhtes võrdne nulliga? Siis kui jõu mõjusirge on teljega paralleelne. 49. Kirjutada valemid jõu F momentide leidmiseks koordinaattelgede suhtes kui jõu rakenduspunkti koordinaadid on teada. 50. Sõnastada samasuunaliste paralleeljõudude liitmise 4 reeglit. 1) Resultant on liidetavate jõududega paralleelne ja samasuunaline 2) Resultandi moodul on võrdeline liidetavate jõudude moodulite summaga 3) Resultandi mõjusirge asub alati liidetavate jõudude mõjusirgete vahelisel alal 4) Resultandi kaugused jõudude rakenduspunktidest on pöördvõrdelised jõududega 51
Vaba langemise korral kehtivad veel järgmised väited. 1. Vaba langemise kiirendus ei sõltu langeva keha massist. 2. Kui alg- ja lõppkõrgus on võrdsed, siis a) üleslennu aeg võrdub allalangemise ajaga, b) keha langeb maapinnale sama kiirusega, millega ta sealt üles visati. 2. Kõverjooneline liikumine-Vektorkujul või komponentkujul kirjutatud liikumisvõrranditel on see eelis, et nende abil on võimalik kirjeldada ka kõverjoonelist liikumist. Selleks lahutatakse liikumine koordinaattelgede sihilisteks, teineteisega ristuvateks ja seetõttu ka üksteisest sõltumatuteks komponentideks. Liikumisvõrrandid kirjutatakse välja iga telje sihis eraldi ja avaldatakse selliselt saadud võrrandisüsteemist otsitavad suurused. Kaldu horisondiga visatud keha liikumine-maksimaalne lennukaugus Sellest valemist saab teha järeldused: sin a(alfa)=cos(90-alfa ) siis 1) viskenurkade ja90 korral on lennukaugused võrdsed, 2) suurim lennukaugus on viskenurga 0 45 korral.
koordinaadi suund on paremale, Y-koordinaadi suund on üles ja Z-koordinaadi suund on joonisest välja, kuvarist joonestaja poole. Selle teljestiku omadusi muuta ei saa ja teda kasutatakse tavaliselt tasapinnaliste joonestustööde juures Teine, õigemini – teised teljestikud – kannavad nime Tarbijateljestikud (User Cordinate System, lühend UCS) ja neid võib olla joonises kui tahes palju. Tarbijateljestiku koordinaatide algpunkt võib asuda mis tahes ruumi osas, ka võivad koordinaattelgede suunad olla suvalised, kuid X-, Y- ja Z-telgede omavaheline asetus jääb vasaku käe reegli alusel alati samaks. Kuidas Tarbijateljestikku luua (käsk UCS) ja kasutada, seda vaatleme lähemalt kursuse teises osas ruumiliste objektide joonestamise juures. See kõrvalepõige oli vajalik lihtsalt selleks, et märkida: käsuga CHANGE saab muuta vaid neid objekte, mis asuvad kas Maailmateljestikuga määratud XY-tasandil (või sellega rööpsetel tasanditel). Käsu CHPROP
annaabi.ee 
