Ruutfunktsioon Ruutfunktsioon y = ax2 + c ja tema graafik Vaatleme niisugust muutujate x ja y vahelist seost, mis on esitatud valemiga y = ax2 + c, kus a ja c on antud arvud ning a 0. Määramispiirkonnaks on kõigi reaalarvude hulk või selle osahulk. NÄIDE 1. Joonestame ühes ja samas teljestikus ruutfunktsioonide y = 2x2 ja y = 2x2 + 2 graafikud. Lahendus: Koostame kõigepealt muutujate x ja y vastavate väärtuste tabeli. x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2x2 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 2x2 + 2 10 6,5 4 2,5 2 2,5 4 6,5 10 Punase joonega on märgitud ruutfunktsiooni y = 2x2 + 2 ja mustaga y = 2x2 graafik.
mõõtühikud käsuga UNITS. Käsuga LAYETR kujundame kihid: Abijooned; Kontuurid (jooneliik pidev joon) ; Teljed – jooneliik CENTER; Abijooned (jooneliik: kitsas pidev joon, punane) Lisaks nendele on kasutatud tööülesande, valmistamisel veel kihte: Mõõtmed – mõõtmete paigutuseks ja Tähised – punktide tähiste A . . . P paigutamiseks. Häälestame punkti asukoha täppismääramisteks valikud CEN, END ja INT. Joonestame kihis Teljed käsuga LINE rõhtsa ja püstja, mõlemad 200 mm pikkused telgjooned läbi punkti A (50,100) Muudame kasutatavaks kihiks kihi Abi. Kohe paistab silma, et telgjooned ei ole korralikud – nad lõikuvad lühikeste kriipsude kohalt ja kriipsud on liiga pikad – standardiga lubatud ~ 10 mm asemel hoopis ~ 50 mm. Ilmselt on vaja lühendada telgjoone kriipsude pikkusi. Kogu joonise ulatuses kõikidele katkendjoontele saab kriipsude ja tühikute pikkusi
Lahendus AB = 5 2 + (-4) 2 + 11 = 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB = a ning siis selle lõpp-punktist B vektori BC = b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori AC = a + b B a b b a C A AC = a + b
Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist B vektori BC b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori AC a b B a b b a C A AC a b Rööpkülikureegel
Lahendus AB 5 2 (4) 2 11 42 6,5 Tehted vektoritega, vektorite liitmine Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on esitatud geomeetrilisel kujul. Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse kolmnurgareeglit rööpkülikureeglit hulknurgareeglit Kolmnurgareegel Kahe vektori a ja b summa leidmiseks joonestame mingist punktist A esmalt vektori AB a ning siis selle lõpp-punktist B vektori BC b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori AC a b B a b b a C A AC a b Rööpkülikureegel
ühe. Võrdsustame astme aluse -1-ga, saame x+2=-1; x4=-3. Nüüd peame veel kontrollima, kas siis, kui x=-3 on astendaja paarisarv. (-3)2-(-3)=9+3=12. Seega ka lahend x4=-3 rahuldab võrrandit. Kontrollime nüüd lahendeid graafiliselt ja vaatame, kas sel võrrandil võib olla veel lahendeid. Joonestame funktsioonide y =(x+2)x2-x, y =1 graafikud ja leiame nende lõikepunktid, mis ongi võrrandi (x+2)x2-x=1 lahenditeks. Siit graafikult näeme, et tegelikult pole funktsioon y =(x+2)x2-x määratud reaalarvude hulgal kui x<-2, sest siis ei saa kõikide reaalarvuliste x väärtuste korral funktsioonile väärtusi leida. Samuti näeme, et võrrandil on just nimelt need neli lahendit, mis me juba
Kolmnurga mediaanid Lõik AM on kolmurga ABC üks mediaanidest. Lõiku, mis ühendab kolmnurga tippu vastaskülje keskpunktiga, nimetatakse kolmnurga mediaaniks. Teoreem: Kolmnurga mediaanid lõikuvad kõik ühes punktis, mis jaotab iga mediaani kaheks osaks nii, et tipupoolne osa on kaks korda pikem küljepoolsest osast. Tõestus: Lõikugu kolmnurgas ABC mediaanid BE ja CF punktis G. Joonestame välja lõigu AG ning pikendame seda nii palju, et ta lõikaks külge BC punktis D. Teoreemi tõestamiseks peame näitama, et 1. AD on mediaan, st. BD = DC ja 2. AG=2GD (BG=2GE ja CG=2GF) Esimese tõestuse võtmemomendina on meil vaja pikendada lõiku AD punktini K nii palju, et AD = GK ning ühendame tipu K kolmnurga tippude B ja C-ga. Teine võtmemoment seisneb näitamises, et BKCG on rööpkülik. Tõestame ära väite esimese osa, st. näitame, et AD on mediaan.
Trinistori katsetulemused IG Parame eter 13,7 15 16 16,5 18,5 19 U(BO) 220 200 182 162 118 16 IA 0,34 0,33 0,31 0,31 0,25 0,12 UG 0,66 0,73 0,77 0,79 0,85 0,86 UT 0,83 0,81 0,81 0,81 0,80 0,76 Joonestame saadud tulemuste põhjal sõltuvuste IA = f (UA) ja U(B0) = f (IG) graafikud. 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 Ia, A 0.15 0.1 0.05 0 220 200 182 162 118 16 Ubo, V
graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata pideva joonega. Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel. Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x teatava väärtuseni Joonestame näiteks funktsioonide y= x ja y = 4 -x2 graafikud. Ka nende funktsioonide graafikuid saab visandada ühe pideva joonega, kuid nad ise pole pidevad kogu arvteljel, vaid ainult oma määramispiirkonnas. Need on oma määramispiirkonnas pidevad funktsioonid. Katkevad funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb xtelje mitmest osast. Need on funktsioonid, mille väärtusi pole võimalik arvutada arvtelje mingil lõigul või
Telgjooned – joon: CENTER, tavaliselt sinine ja lukustatud, (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Mõõtmed – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Kontuur – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 50; Trepp – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Aknad – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Uksed – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Küte – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Sisustus – pidevjoon (W = 0) ja LINEWEIGHT = 25 Kirjapildi alusfailiks võtta ISOCPEUR. Järgnevalt joonestame telgjooned kihti Teljed, varustame nad tähistega ja lukustame kihi, Töö XII Maja plaan 4 1 2 3 4 C B A 1 2 3 4 Telgjooned ja nende tähised. Kiht lukustada!
8. 30,0 6,45 193,5 72,07% 2,5 83,3 215 2,58 3 9. 20,3 7,26 147,38 81,12% 1,69 83,2 357,64 4,30 5 10. 10,0 8,12 81,2 90,73% 0,83 83 812 9,78 f) Vastavale tabeli andmetele joonestame graafikud N1=f(I) ja =f(I) ühisele väljale (I-telg on ühine). g) Leiame graafikute järgi, millise voolu I väärtuse juures on kasulik võimsus N1 maksimaalne, kasutegur =50% ja R/r=1.
(õpilased peaksid ise märkama, et sirge joonistamiseks ei ole vaja leida nii palju punkte piisab vaid kahest, millest üks on alati punkt (0;0)). Probleemid võivad tekkida juhul, kui arv a on arvutamiseks ebamugav (näiteks harilik murd, mida ei saa täpselt kümnendmurruks teisendada). Sel juhul tasub x väärtused valida nii, et arvu a korrutamisel x väärtusega saame tulemuseks täisarvu. 2 5 Näide. Joonestame funktsioonide y = x ja y = - x graafikud. 3 6 x 0 3 x 0 6 y 0 2 y 0 5 Mitmed õpetajad soovitavad tabeli horisontaalpaigutuse asemel kasutada vertikaalpaigutust, sest sel juhul on tabelis olevad arvud samas järjekorras nagu punkti koordinaadid tasandil. x y 0 0 3 2 x y 0 0 6 5 Punkt (0; 0)
C=2r n n C=2 r 180 lim n sin n n Ringi pindala piirväärtusena Ringi pindala valemi leidmiseks joonestame samuti ringi sisse korrapärase kõõlhulknurga. Nagu ka ringi ümbermõõdu leidmise puhul oli, kehtib siin põhimõte, et mida rohkem nurki on hulknurgal, seda lähemal on hulknurga pindala ringi pindalale. Seega saame defineerida ringi pindala nii: Ringi pindalaks nimetatakse ringi sisse kujundatud korrapäraste kõõlhulknurkade pindalade jada piirväärtust hulknurga tippude arvu tõkestamatul kasvamisel.
Praeguseks momendiks peaksid tundma niisuguseid seosei muutujate x ja y vahel, nagu a võrdeline seos y = ax, pöördvõrdeline seos y ning lineaarseos ehk lineaarfunktsioon y = x ax + b. Kordame neid seoseid. Edasi vaatame ülesandeid. 1. Joonesta võrdelise seose y = 1,5x graafik ja leia selle abil muutuja y väärtused, kui x 2; 1; 0; 1; 2; 3 . Lahendus: Kõigepealt joonestame graafiku. Teame, et sirge joonestamiseks piisab kahest punktist. Võtame x = 0. Sel juhul on y = 1,5 . 0 = 0. Saime punkti (0; 0). Olgu nüüd x = 2, siis y = 1,5 . 2 = 3. Teine punkt on (2; 3). Kanname punktid koordinaatteljestikku ja ühendame. Vaatame ainult kahte punkti, kui x = 2 ja x = 3. Ülejäänud punkid jäävad iseseisvaks tööks. Kui x = 2, siis otsime x-teljelt üles väärtuse 2. Tõmbame vertikaalselt (ülevalt alla) sirge
lihtsam, kuigi x-i väärtuseks võib panna ka suurema arvu. 2. Moodustame väärtuste tabelid y=-0.5+0.5x y=4-x x 0 1 2 x 0 1 2 y -0.5 0 0.5 y 4 3 2 3. Joonestame sirged 4. Võrrandsüsteemi lahendiks on nende kahe sirgete lõikepunkti koordinaadid. (antud koordinaatteljestikul punkt G) = Vp= x-2y=1 x 3 Pp= x-2y=1 Vp=Pp Vp- Vasakpoolne Pp- Parempoolne y = 1 Vastus on: Kontroll: Vp= 3-2=1 Pp= 1 Vp=Pp Vp2=6+2=8 Pp2=8 Vp2=Pp2 Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmisvõttega: Võtame näiteks võrrandsüsteemi:
Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. P Leiame pindfunktsiooni tuletise P ' = lim . x 0 x Anname x-le muudu x , sellele vastab pindfunktsiooni muut P , mis on kõverjoonse trapetsi pindala lõigu [ x, x + x] kohal Olgu funktsiooni y = f ( x ) vähim ja suurim väärtus lõigul [ x, x + x] vastavalt m ja M. Joonestame sellele lõigule ristkülikud kõrgustega m ja M. Pindala P väärtus asub nende ristkülikute pindalade vahel: mx P Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const P Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 P
Def Pindfunktsioon on fikseeritud alguse ja muutuva lõpuga kõverjoonse trapetsi pindala funktsiooni y = f ( x ) graafiku all. S Leiame pindfunktsiooni tuletise S ' = lim . x 0 x Anname x-le muudu x , sellele vastab pindfunktsiooni muut S, mis on kõverjoonse trapetsi pindala lõigu [ x, x + x ] kohal Olgu funktsiooni y = f ( x ) vähim ja suurim väärtus lõigul [ x, x + x ] vastavalt m ja M. Joonestame sellele lõigule ristkülikud kõrgustega m ja M. Pindala S väärtus asub nende ristkülikute pindalade vahel: mx S Mx võrdus esineb vaid siis, kui y = f ( x ) = const S Seega m M x Kui x 0 , lähenevad nii m kui ka M funktsiooni väärtusele kohal x lim m = lim M = f ( x ) x0 x 0 S
rea lõpus oleval kolmurgal ▼ ja avaneb joonises olevate kihtide nimistu (kui nimistu on pikem, ilmub talle paremale servale ka liugriba): Klõps selle nimistu real TELGJOON, rida muutub siniseks ja nimistu sulgub. Tööriistakast Layers omandab nüüd kuju Ülesanne II Tihend 9 mis tähendab, et kasutatav kiht on nüüdsest alates nimega TELGJOON ja kõik, mis me joonestame, joonestatakse kriips-punkt-joonega. Igal inseneri ettevõtmisel peab alati olema ja läbi mõeldud olema mitu võimalust. Eeltoodut on otstarbekas kasutada näiteks siis, kui on vaja joonestada palju telgjooni. Kui aga neid on vaja joonestada vaid mõni üksik, võib kasutada lihtsamat moodust. Esialgselt on tühjale joonisele AutoCAD poolt sisestatud vaid kitsas pidevjoon nimega Continuous. Kasutatava joonetüübi seadistamine käsurea abil kasutame käsku LINETYPE
haarasid joonisel näidatud viisil. Arvutage suurema ringjoone raadius, kui väiksema raadius on r. R O E C R G BC r A F D rF Lahendus. Olgu suurema ringjoone raadius R = OC ja väiksema ringjoone raadius r = AB = BC. Joonestame mõlemale ringile kaks raadiust, et need oleksid teineteisega risti. Nüüd on tekkinud suure ruudu ADOE diagonaal AO ja väikse ruudu AFBG diagonaal AB. Avaldame suure ruudu diagonaali külje R kaudu kasutades Pythagorase teoreemi. AO 2 R 2 R 2 2R 2 AO 2R . Avaldame väikse ruudu diagonaali AB külje r kaudu kasutades Pythagorase teoreemi. AB 2 r 2 r 2 2r 2 AB 2r . Samas avaldub
Ringi ümbermõõdu valem oli c = 2 r . Meil on vaja teada ratta raadiust. Antud on c = 3,14 m ja teame, et = 3,14 . Asendades arvud valemisse, saame 3,14 = 2 . 3,14 . r; 3,14 1 r= = = 0,5 m. 2 3,14 2 4 Vastus: Ratta raadius on 0,5 m. 14. Kui suure ringi läbib vaaterattal sõitja, kui ratta raadius on 8 m? Ümarda vastus ühelisteni. Kui kõrgelt saab ta alla vaadata? Lahendus: Joonestame vaateratta. Leiame, kui suure ringi läbib vaaterattal sõitja ehk leiame ringi ümbermõõdu. Valem oli c = 2 r . c = 2 8 = 16 50,24 50 ( m) Kui kõrgelt saab vaaterattal sõitja alla vaadata? 2 . 8 = 16 m kõrguselt (Jätame arvestamata selle, et harilikult on vaateratas maast natuke kõrgemal.) 5
Ringi ümbermõõdu valem oli c = 2 r . Meil on vaja teada ratta raadiust. Antud on c = 3,14 m ja teame, et = 3,14 . Asendades arvud valemisse, saame 3,14 = 2 . 3,14 . r; 3,14 1 r= = = 0,5 m. 2 3,14 2 4 Vastus: Ratta raadius on 0,5 m. 14. Kui suure ringi läbib vaaterattal sõitja, kui ratta raadius on 8 m? Ümarda vastus ühelisteni. Kui kõrgelt saab ta alla vaadata? Lahendus: Joonestame vaateratta. Leiame, kui suure ringi läbib vaaterattal sõitja ehk leiame ringi ümbermõõdu. Valem oli c = 2 r . c = 2 8 = 16 50,24 50 ( m) Kui kõrgelt saab vaaterattal sõitja alla vaadata? 2 . 8 = 16 m kõrguselt (Jätame arvestamata selle, et harilikult on vaateratas maast natuke kõrgemal.) 5
Joon. 30 Joon. 31 4.3. Nurgad sirgete ja tasandite vahel 4.3.1. Nurk kahe lõikuva sirge vahel Nurga kahe lõikuva sirge vahel leiame kolmnurgast, mille üheks tipuks on sirgete lõikepunkt L. Teised tipud 1 ja 2 valime kummalgi sirgel ning ehitame saadud kolmnurga tõelise suuruse (joon.32). = L 2L1 -nurk sirgete a ja b vahel. 4.3.2. Nurk kiivsirgete vahel Vastava nurga leidmiseks joonestame valitud punktist abisirge a1 paralleelselt teise kiivsirgega a ning leiame saadud lõikuvate sirgete vahelise nurga (joon.33) 15 a a b L a1 2 L h 1 -
9 R3 R1 A B „Sirkliringid” raadiustega 15 ja 39 mm Joonestame nende abiringide ja püsttelje lõikepunktidest rõhtsad 120 mm pikkused jooned mille algpunktid leitud: INT abil ja lõpp-punktideni @-120,0 (miinusmärk kauguse ees, sest joon läheb vastu X-koordinaadi positiivset suunda), Töö 3 Klamber 4 120 5
Ülesanne nr. 6 Lähteandmed: Ø20H8/e8 H 8 0 , 033 1. Ø20 Piirhälbed tabelitest 2 ja 3. e8 0 , 040 0 , 073 Ava kaliibrite tolerantsid tuleb võtta 8. ja võlli omad 7. tolerantsijärgu järgi. Tabel 6. Z=5 Z1 = 3 H=4 H1 = 4 Y=4 Y1 = 3 Hp = 1,5 2. Joonestame istu skemaatiliselt mõõtkavas ja kanname sellele samas mõõtkavas kaliibrite tolerantsid. Ülevaatlikkuse mõttes paigutame ava kaliibrite tolerantsitsoonid istu kujutisest vasakule ja võlli omad paremale. 13 Töötlemistolerantsid: Kõik arvutused on mikromeetrites ja ei hakka tulemuste järele mõõtühikuid kirjutama. TDt = TD Z H = 33 5 4 = 24
moodustajate oma pöörlemistelje suhtes. 40. Mis juhtumil tasand lõikab pöördkoonust sirgeid mööda? Tasapind lõikab pöördkoonust mööda kahte lõikuvat sirget, kui lõikav tasand lõikab koonust kahte moodustajat mööda ja läbib ühtlasi ka koonuse tippu. 41. Nimetage kõik teist järku jooned. Ellips, hüperbool, parabool 42. Skitseerige konstruktsioon ellipsi punkti saamiseks, kui on antud ellipsi teljed (kaasdiameetrid). Joonestame ümber keskpunkti ringid raadiustega a ja b, valime suuremal ringil vabalt punkti ja tõmbame raadiuse, ühtlasi saame ka punkti väiksemal ringjoonel. Võtame saadud lõigu kolmnurga hüpotenuusiks ja joonestan täisnurkse kolmnurga, mille täisnurgaga nurk märgib ära ellipsi punkti. 43. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Silindriline kruvijoon on pöördsilindri moodustajat mööda ühtlaselt liikuva punkti trajektor, kui silinder pöörleb ühtlaselt ümber oma telje 44
vahelise nurgaga. hüperboloid, elliptiline 52. Skitseerige kolmvaates üldine teistjärku pind paraboloid,hüperboolne paraboloid. (elliptiline koonus,ellipsoid, ühe- ja 42. Skitseerige konstruktsioon ellipsi punkti kahekatteline hüperboloid, elliptiline saamiseks, kui on antud ellipsi teljed paraboloid, hüperbolne paraboloid). (kaasdiameetrid)? Joonestame ümber 53. Kuidas tekib joonpind? Tekib sirgjoone keskpunkti rinkid raadiustega a ja b, valime liikumisega nii, et ta lõikaks etteantud suuremal ringil vabalt punkti ja tõmbame juhtjooni. raadiuse, ühtlasi saame ka punkti vöiksemal 54. Nimetage kõik teist järku joonpinnad. ringjoonel. Võtame saadud lõigu kolmnurga Laotuvad joonpinnad: Kooniline pind
- - Leiame ristkorrutise. Saame 16. Arvuta. a) 30% 40-st Lahendus: 30% x 100% 40 - - Leiame ristkorrutise. Saame b) 5% 300-st Lahendus: 5% y 100% 300 - - Leiame ristkorrutise. Saame c) 120% 5-st Lahendus: 120% z 100% 5 - - Leiame ristkorrutise. Saame d) 80% 20-st Lahendus: 80% x 100% 20 - - Leiame ristkorrutise. Saame Protsentlesanded lahendustega 17. 30% tisnurkse komnurga pindalast on vrvitud siniseks. Kolmnurga kaatetite pikkused on 3 dm ja 4 dm. Mitu dm2 on vrvitud siniseks? Lahendus: Joonestame tisnurkse kolmnurga ja kanname mdud peale. 1) Leiame nd tisnurkse kolmnurga pindala. Valem on 2 a b S # = . ( 2 ) 6 dm 2 3 4 S = # = . 2) Leida on vaja 30% kolmnurga pindalast, s.o. 30% x 100% 6 dm2 - - Vastus: Tisnurkse kolmnurga pindalast on vrvitud siniseks 1,8 dm2. 18. Linnas A on 100 000 elanikku. Linna B elanike arv moodustab linna A elanike arvust 54%. Linna B elanikest 10% on krgharidusega. Kui palju on linnas B elanikke, kellel on krgharidus? Lahendus:
Kui tasand on paralleelne koonuse teljega. 40. Mis juhtumil lõikab tasapind pöördkoonust sirgeid mööda? Kui koonuse moodustajate alguspunkt kuulub lõikavale tasapinnale ja tasapinna kaldenurk on väiksem koonuse moodustajate omast telje suhtes. 41. Nimetage kõik teist järku jooned. Ellips, hüperbool, parabool 42. Skitseerige konstruktsioon ellipsi punkti saamiseks, kui on antud ellipsi teljed (kaasdiameetrid)? Joonestame ümber keskpunkti ringid raadiustega a ja b, valime suuremal ringil vabalt punkti ja tõmbame raadiuse, ühtlasi saame ka punkti väiksemal ringjoonel. Võtame saadud lõigu kolmnurga hüpotenuusiks ja joonestan täisnurkse kolmnurga, mille täisnurgaga nurk märgib ära ellipsi punkti. 43. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Tekib tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada pöördsilindriliseks pinnaks
suhtes). 40. Mis juhtumil lõikab tasapind pöördkoonust sirgeid mööda? Kui koonuse moodustajate alguspunkt kuulub lõikavale tasapinnale ja tasapinna kaldenurk on väiksem koonuse moodustajate omast telje suhtes. 41. Nimetage kõik teist järku jooned. Ellips, hüperbool, parabool 42. Skitseerige konstruktsioon ellipsi punkti saamiseks, kui on antud ellipsi teljed (kaasdiameetrid)? Joonestame ümber keskpunkti ringid raadiustega a ja b, valime suuremal ringil vabalt punkti ja tõmbame raadiuse, ühtlasi saame ka punkti väiksemal ringjoonel. Võtame saadud lõigu kolmnurga hüpotenuusiks ja joonestan täisnurkse kolmnurga, mille täisnurgaga nurk märgib ära ellipsi punkti. (vt lk 23 loengukonspektist) 43. Kuidas tekib silindriline kruvijoon? Tekib tasandile joonestatud sirgjoonest, kui tasand painutada pöördsilindriliseks pinnaks. (lk 24) 44
y sin x 0 1 0 -1 0 2 2 2 2 y 2 sin x 0 1 2 1 0 -1 -2 -1 0 Joonestame koordinaatteljestikus funktsiooni y 2 sin x graafiku lõigul 0; 2 . 13 14 y y = 2sin x - //
VI. KUMERUSOMADUSED, KÄÄNUPUNKTID 1. Arvutada y´´ . 2. Leida kriitilised punktid: a) y´´ =, b) y´´ = 0. 3. Koostada tabel kriitiliste punktide ja nende naaber- punktide iseloomustamiseks: a) y´´> 0 graafik on nõgus, b) y´´< 0 graafik on kumer, c) üleminekupunktid kumeruselt nõgususele või vastupidi KÄÄNUPUNKTID. VII. GRAAFIKU JOONESTAMINE 1. Telgede valimine. 2. Kanname joonisele leitud punktid. 3. Kanname joonisele leitud asümptoodid. 4. Joonestame läbi punktide asümptootide vahele joone, arvestades tabelites leiduvaid andmeid monotoonsus- ja kumerusomaduste kohta. 9 INTEGREERIMISVÕTTED MÄÄRAMATA INTEGRAALIS 1. Kas on tegemist TABELIINTEGRAALIGA? 2. Kas on võimalik jõuda tabeliintegraalideni, kasutades ALGEBRALISI või TRIGONOMEETRILISI teisendusi? 3. Kas on võimalik lihtsustada integraali, kasutades LINEAARSUSE OMADUST? 4. ASENDUSVÕTE:
Kui meri valmis, on aeg taevas teha. Selleks joonistame lihtsalt pilved. Pilve alumise osa ja küljele teeme tihedamad jooned. Rannal on liiv, aga tühi jääb? Joonistame kivid. Üksiku suurema kivi joonistame merele ranna lähedale. Pilt on enamvähem valmis. Edasine kaunistus=laskes oma fantaasial lennata. 6.2. Optkunst(ka õpetatakse koolis) Joonistame lihtsa pildi. Mitte väga keeruline. Mina näiteks joonistasin üksteisega kokkupuutuvad ringid. Edasi joonestame üle joonistuse ruudustiku. Kui see valmis, hakkame värvima üle ühe ruudu mustaks. NB! Suurte ruutude puhul on soovitav kasutada markerit, väikeste ruutude puhul tintenpenni. Kui on tihedalt väike ruudustik(ruudud kuni suurusega 4*4cm) siis soovitan varuda mitu tintenpenni. 6.3. Paberpatika.(Pilt, mis näeb vanaaegne välja). Vajalik: Õlipastellid, paber, must või tumesinine guassvärv, VANAD AJALEHED. Soovitavalt akvarellpaber, kuna tavaline paber võib katki minna.
4) nullkohaks on argumendi väärtus x0=1; graafik läbib punkti (1;0); 5) funktsioon on kasvav, kui a ¿ 1 ja kahanev, kui 0 0 ja samas x-2 0. x 1 x 2 > 0 (x+1)(x-2) > 0 , millest x = -1 ja x = 2. Kanname punktid x-teljele, joonestame abijoone, viirutame teljest üleval pool asuvat abijoone osa ja anname vastuse X ;1 2; . Ülesanne 7. Leida funktsiooni määramispiirkond. 1) y log x 2 x 3 ( X ;1 3; ) 2 3) y log 6 3x ( X ;2 ) 1 2x y log 1 y log 1
3 3 3 . 1.3. Määratud integraali mõiste Arvutame kõverjoonse trapetsi abBA pindala teisel teel. a, b x1 , x2 , , xn Jaotame lõigu n-osalõiguks. Osalõikude pikkused tähistame . Jaotuspunktides joonestame ordinaadid, mis jaotavad trapetsi n väiksemaks kõverjoonseks trapetsiks. xi 1, xi i Valime igal osalõigul vabalt ühe punkti . 1 , 2 , , n Saame . Kujundame igale osalõigule ristküliku, mille kõrguseks on graafiku ordinaat valitud punktis f 1 , f 2 , , f n
voimsusele, kuid neutraalpunkti potentsiaal muutub ning tekib pinge neutraalpunktide vahel.Pinge neutraalpunktide vahel leitakse kahe solme meetodi abil kus A Y , B Y ja C Y on kompleksfaasijuhtivused. Tarviti faasipinged erinevad generaatori (trafo) faasipingetest neutraali nihkumise tottu: Faasi- ja liinivoolud leitakse Ohmi seaduse abil: Generaatori faasipinged A U , B U ja C U moodustavad summeetrilise pingete susteemi. Seejarel joonestame neutraalpunktide vahelise pinge nN U . Neutraalpunktist n lahtuvad tarviti faasipinged a U , b U ja c U . 21. Kolmefaasiline kolmejuhiline süsteem kolmnurklülituses sümmeetrilise tarviti korral. Sümmeetrilisel koormusel ( AB BC CA Z = Z = Z ) on faasivoolud vordsed ja nad on nihutatud uksteise suhtes 120o. Liinivoolud saadakse analoogselt eelnevale Kirchhoffi I seaduse abil ja ka need moodustavad voolude summeetrilise susteemi. Sel juhul Ii=ruutjuur3 If 22. Kolmefaasiline võimsus. 23
Erijuhud: sirge võrrandiga x = a on joone püstasümptoot; sirge võrrandiga y = b on joone rõhtasümptoot; sirge võrrandiga y = mx + b on joone parempoolne kaldasümptoot parajasti siis, kui f ( x) m = lim , b = lim[ f ( x ) - mx] . x x x Võrrandi numbriline lahendamine- Võrrandi numbriliseks lahendamiseks on mitmeid võimalusi : 1. Graafiline lahendamine (joonestame graafiku ja analüüsime võrrandit selle põhjal) 2. Analüütline lahendamine (toetume teadaolevatele pidepunktidele ja lahendame võrrandi analüüsides) 3. Numbriline lahendamine 4. Puutujate meetod ehk Newtoni meetod (lahendame võrrandi teatud lõigul [a,b] , lõigu valime nii , et f(a)*f(b)<0 , st et f(a) aja f(b) on erimärgilised, võrrandi lahend
= +C (1 - m )( x - a ) m -1 Integraali rakendused 1.Pindala arvutamine. Määratud integraal annab kõvertrapetsi pindala. 2.Pöördkeha ruumala. Oletame et f y=f(x) pöörleb ümber x telje, tekib pöördkeha. b V = [ f ( x ) ] dx juhul kui pöörleb ümber x telje 2 a d V = [ g ( y ) ] dy juhul kui pöörleb ümber y telje 2 c 3.Funktsiooni keskmine väärtus lõigul Joonestame ristküliku, mille kaks külge on paralleelsed sirged x = a ja x = b ning teised kaks y = 0 ja y = k, kus k on funtsiooni f(x) keskmine väärtus lõigul [a;b]. Seesuguse kujundi pindala on (b - a ) k . Selle ristküliku pindala on võrdne joone y = f(x) (ja sirgete x=a ja x=b) b poolt moodustatud kõverjoonse trapetsi pindalaga. (b - a )k = S abBA = f ( x ) dx .
Kompleksarvu a + bi aga arvteljel kujutada ei b) korrutis on reaalarv; saa, kuna ta on määratud oma reaal- ja imaginaarosaga, s.t. reaalarvude järjestatud c) summa ja korrutis on mõlemad reaalarvud. paariga (a; b). Selline arvupaar määrab tasandil punkti. Joonestame kaks teineteisega ristuvat koordinaattelge. Sellist koordinaat-tasandit, milles kujutatakse kompleksarve, 829. On teada, et i2 = -1 ja 3,14. Kas võib järeldada, et > i ? Miks ? nimetatakse komplekstasandiks (vt vasakpoolset joonist). 830
t väärtused. • Matemaatikast teame, et sel juhul on tegemist võrdelise sõltuvusega ehk lineaarfunktsiooniga y võrdub ax, kus y on funktsioon ja x on argument. Mudeli loomine praktikas • Mõõtmistulemuste analüüs. Andmeid vaadates on näha, et mida suurema massiga on koormis, seda rohkem kumminöör pikeneb. Milline see sõltuvus aga täpsemalt on, saame öelda alles graafiku põhjal. Koostame katsetulemuste graafiku. Selleks joonestame esmalt sobivas mõõtkavas teljestiku, mille horisontaalteljele märgime katse käigus muudetud raskuste massi ja püstteljele kumminööri pikenemise. Seejärel kanname graafikule katsepunktid. • Me ei tohi nüüd katsepunkte otsekohe joonega ühendada. Selline teguviis väljendaks veendumust, et meie mõõtmised olid absoluutselt täpsed. Me peame märkima iga punkti ümber mõõtemääramatuse piirkonna ehk kasti, mille keskel paikneb katsepunkt ja
g K EG g pT0 ( 1 + pTE ) ( 1 + pTEM ) PTS ( 1 + pT ) ( 1 + pT ) j q ( 1 + pTEG ) ( 1 + pT0 ) S on elektron võimendi võimendustegur ehk ülekandetegur, mis võib muutuda kui joonestame LASK-i ja LFSK. Olukorras kui joonisel selgub, et meie poolt valitud võimendustegur pole piisav siis tuleb seda korrigeerida. Peatagaside muutub kui koostame lahtise süsteemi ülekandefunktsiooni ja koostame nende kohta LASK ja LFSK. Juhul kui seal selgub, et peatagaside koefitsent pole piisav, peame seda korrigeerima. 21 4
EXTMIN = 0.0000, 0..0000, 0.0000 EXTMAX= 420.0000, 297.0000, 0.0000 ÜLESANNE I Pinnatükk 39 Märkus. EXTMIN ja EXTMAX suurimad lubatud absoluutväärtused on suurusjärgus 1020 nii et pikkust „kümme miljonit valgusaastat” saab kilomeetrites väljendada. Esimeste tööde puhul me ei kasuta joonise kihilisust, joonestame arvuti poolt pakutud kihti, mille nimi on “0”. Põhimuutujad on otseselt kättesaadavad käsurea vahendusel. Kuvaril kõige ülemisel real on toodud teave selle kohta, millise AutoCAD- vorminguga on tegu ja mis on joonise nimi: AutoCAD 2013 Kuvar_19.DWG. Kui soovitakse täielikku rajakirjelduse kuvamist joonise paiknemise kohta arvutis, tuleb läbida rada OPTIONS → Open and Save → File Open → Display full path in title.
sin 13 Riigieksami küsimused navigatsioonis 2005 15. Laeva asukoha määramine kauguse järgi. Selleks mõõdetakse laevalt kaugus kahe või enama orientiirini. Seejärel tõmmatakse kaardile ringjooned, millede raadiused võrduvad mõõdetud kaugusega. Mõõtnud kauguse DT orientiirini T, joonestame kaardile ringjoone raadiusega DT . Pärast kauguse DS mõõtmist orientiirini S, saame teise ringjoone raadiusega DS. Nende ringide lõikepunkt annab meile laeva observeeritud asukoha L. Loginäit ja kellaaeg märgitakse teise mõõtmise hetkel. Orientiiride valikul tuleb silmas pidada, et nendevaheline rõhtnurk oleks 30° ja 150° vahel. Esimesena mõõdetakse kaugus, mis asub traaversi lähedal, sest see muutub kõige kiiremini.
2 2 x ja x 3 + ja x 3 – . 4x 3 4 4x 3 4x 3 lim lim lim x 2 3x 3 2 2 3x 2 2 3x x x 3 3 Funktsioon ei ole paaris ega paaritu, samuti pole perioodiline. Saadud tulemuste alusel joonestame funktsiooni graafiku. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 11 4x–3 FUNKTSIOONI f(x) = 2–3x GRAAFIK y 2 1 -2 -1 0 1 2 x -1
Määratud integraali rakendusi. 1. Tasapinnalise kujundi pindala. Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega y f x ja y g x ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x a ja x b, siis tema pindala saab leida valemist b S fx g x dx a Näide 12. Leida kõverate y cos x ja y cos 2x vahele lõigul 0, 2 olev pindala. Joonestame algul selle kujundi Näeme, et lõigul 0, 2 kõverad y cos x ja y cos 2x lõikuvad punktides, kus cos 2x cos x x 0, 23 , 43 , 2 Kuna kujund on sümmeetriline, piisab kui arvutame pinala lõigul 0, ja korrutame selle kahega 2 3 S 2 cos x cos 2x dx 2 cos 2x cos x dx
Käsitleme nihutuseta evolventhambumise kujundamist, kus jaotus- ja algringjoonte läbimõõdud on võrdsed st. d1 = d 1 = z1 m ja d 2 = d 2 = z2 m . Telgedevaheline jaotuskaugus a = 0,5(d1 + d 2 ) = 0,5( z1 + z2 ) m , ...(4.9) kuna algringjooned puutuvad teineteist hambumispooluses P (vt. joon. 26). Üldjuhul tähistatakse telgedevahelist kaugust, kui aw. Nihutuseta rattal on aw = a. Joonestame algringjoontele puutuja - ja sellega hambumisnurga moodustava hambumissirge n-n (sirgete tähised puuduvad joonisel 26). Nihutuseta ratastel on = , kus - lähtekontuuri (vt. järgmises punktis) profiilinurk. Seepeale tõmmatakse tsentritest O1 ja O2 hambumissirge ristsirged; saadakse punktid N1 ja N2. Evolventide kujundamiseks vajalike alusringjoonte raadiusteks võetakse pikkused ON1 = rb1 ja ON2 = rb2. Alusringjoonte läbimõõdud d b1 = d1 cos , db 2 = d 2 cos
pinna z = f (x; y) tasandil~oigeteks tasanditega y = b erinevate b v¨a¨artuste korral nimetatakse jooni z = f (x, y) y=b ja pinna z = f (x; y) tasandil~oigeteks tasanditega z = c erinevate c v¨a¨artuste korral nimetatakse jooni z = f (x, y) z = c, Viimaseid jooni nimetatakse ka pinna z = f (x, y) nivoojoonteks. N¨ aide 1. Joonestame pinna x2 +y 2 -z 2 = 0, kasutades selleks nivoojooni, mis tekivad pinna l~oikamisel tasanditega z = 0, z = ±1 ja z = ±2 ning l~oiget tasandiga x = 0. L~oigates pinda tasandiga xy-tasandiga z = 0, saame l~oikejooneks x2 + y = 0, z = 0 ehk koordinaatide alguspunkti, sest x2 + y 2 = 0 ainult juhul, 2 kui x = 0 ja y = 0. L~oigates pinda tasandiga tasandiga z = 1, saame l~oikejooneks x2 +y 2 = 1, z = 1 ehk ringjoone raadiusega 1, mis asub tasandil z = 1 keskpunktiga z- teljel.
paesõelmed, fotoliivad, põlevkivi tootmisel tekkiv aheraine jne. pingeid nurgapunkti all, on võimalik leida pinged mistahes punkti all Korrates teimi identse proovikehaga, kuid teistsuguse kambrisurve 3,2 juures, Maailmas üks tuntuimaid klassifitseerimissüsteeme on "ühtne pinnase ristkülikulisele pinnale ühtlast jaotatud koormuse mõjust. Selleks on vaja saame uue d,2 ja 1,2=3,2+d,2. Joonestame nüüd mõlema teimi kohta klassifitseerimissüsteem" , mille järgi jaotatakse kõik pinnased kahte suurde konstrueerida ristkülikud, mille nurgapunktid asuvad kohas mille all pingeringid. Kuna mõlema pingeringi puhul peapinged on sellised, mis gruppi - jämeterised ja peenterised pinnased. Esimestel on osakesi pinged on vaja määrata ja summeerida nendest põhjustatud pinged.
positiivselt laengult ja suunduvad negatiivsele laengule. 9 _ Jõujoonte konstrueerimisel toimime järgmiselt. Määrame võimalikult paljudes ruumipunktides nende punktlaengute ümber elektrivälja tugevuse vektorid, kasutades selle arvutusvalemit (10.3) ja superpositsiooni printsiipi (10.4), ning joonestame kõverad selliselt, et iga kõvera mistahes punkti rakendatud elektrivälja tugevuse vektor oleks sellele kõverale ühtlasi puutujaks. Niimoodi saadud jõujooni kujutavad joonisel pidevad kõverad. Samapotentsiaalipindade konstrueerimiseks arvutame valemit (10.7) ja superpositsiooni printsiipi kasutades erinevate ruumipunktide potentsiaalid ja eraldame välja ühesuguse potentsiaaliga ruumipunktid. Nendest moodustuvadki samapotentsiaalipinnad, mida kujutavad joonisel katkendlikud jooned.
See mõjub pinnaseproovile igast küljest, nii et radiaal- kui ka vertikaalsurve on mõlemad 3,1. Seejärel suurendatakse vertikaalsurvet kuni pinnas puruneb. Tähistame vertikaalsurve juurdekasvu, mis on vajalik pinnase viimiseks purunemiseni d,1. Purunemisel on maksimaalne peapinge siis 1,1 = 3,1 + d,1. Korrates teimi identse proovikehaga, kuid teistsuguse kambrisurve 3,2 juures, saame uue d,2 ja 1,2 = 3,2 + d,2. Joonestame nüüd mõlema teimi kohta pingeringid (joon 5.16). 56 c 3 ;1 3 ;2 1 ;1 1 ;2
annaabi.ee 
