Vektorid (0)

Vektorid
 
 
Vektorid
Matemaatikas, füüsikas jt. 
loodusteadustes vaadeldavad suurused
skalaarsed              
vektoriaalsed                    
(neid iseloomustab 
(neid iseloomustab lisaks 
kindel arv)
arvulisele väljendusele ka 
fikseeritud suund)
pikkus
kiirus
vanus
kiirendus
mass
jõud
 
 
Vektorid
Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on 
fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba 
lõpp-punktiks.
Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks.
Vektorit tähistatakse kas üheainsa  tähega  või kahe suure tähega, 
mille kohal on nool:  a, b, AB
Vektori kui suunatud lõigu  pikkuseks  nimetatakse selle lõigu 
pikkust. 


Vektori      pi
a
kkust märgitakse sümboliga        või
a
 a.
 
 
Vektori koordinaadid
Kui on antud vektori alguspunkt A (x ; y ; z ) ja lõpp-punkt        
1
1
1
B(x ; y ; z ), siis vektori           koor
AB
dinaatide leidmiseks lahutame 
2
2
2
lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid, 
s.t.
AB  (x  x ; y  y ; z  z )
2
1
2
1
2
1
Näide 
Leida vektori            koordi
AB
naadid, kui A (-1; -2;1) ja  B(4; -6; 2).
Lahendus
AB  (4  ( );
1
6
  ( 2
2
 )
1 
5
( 
1
4
 
 
Vektori pikkus
Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse  valemist
2
2
2
AB  X  Y  Z
kus X ,Y ja Z on vektori           koordi
AB
naadid.
Näide 
Leiame eelmises näites antud vektori     
A    
B     
       ;
5
(    
        )
1
4
 pikkuse.
Lahendus
AB  52  ( 4
 )2 11  42  5
6
 
 
Tehted  vektoritega, vektorite  liitmine
Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid on 
võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või  vektor on 
esitatud geomeetrilisel kujul.
Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse 
 kolmnurgareeglit
 rööpkülikureeglit
 hulknurgareeglit
 
 
Kolmnurgareegel


Kahe vektori      j
a a      s
b umma leidmiseks joonestame mingist 

punktist A  esmalt  vektori                  ni
AB  a
ng siis selle lõpp-punktist  

B vektori                . Ü
BC  b
hendades punktid A ja C, saame vektori 


AC  a  b


B
a


b
b
a
C


AC  a  b
A
 
 
Rööpkülikureegel


Kui joonestame liidetavad vektorid       j
a a      ühi
b
sest 
alguspunktist  A, siis neile vektoritele ehitatud rööpküliku 

diagonaalvektor alguspunktiga 
a A on ve
b
ktorite     ja      summa.


a
a



c  a  b

A
b

b
 
 
Hulknurgareegel
Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A 
ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpp-
punktist kolmanda jne. Nende vektorite  summaks  on siis punktist 
A viimase liidetava lõpp-punkti B  suunduv  vektor ABb


a

b
a

c

c

A
d
AB

d
 
 
B
Vektorite lahutamine
Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist.

b

a
 
b  a


 a
 a

b
 
 
Vektori korrutamine  arvuga



Vektori      j
a a positiivese arvu k  korrutiseks         on ve
a
k
ktoriga    a

samasuunaline vektor, mille pikkus on  k a


b
b
5
0

 b

b
2


b
5
0

 b
2

Vektori      j
a a negatiivse arvu -k (k > 0) korrutiseks nimetatakse 


vektori      
a
k   vastandvektorit  a
k
 
 
Tehted vektoritega koordinaatides

Olgu antud vektorid a  (X ;Y ; Z )
1
1
1
siis

b  (X ;Y ; Z )
2
2
2


a  b  (X  X ;Y  Y ; Z  Z )
1
2
1
2
1
2


a  b  (X  X ;Y  Y ; Z  Z )
1
2
1
2
1
2

a
m  (mX ; mY ; mZ )
 1
1
1
Näide Olgu antud a  ;
3
4
 1        s
;2)
iis 

b 
0
1
 )
5


a  b  3
(  ;
1 4
  ;
0 2  ( )
5 )  ( ;
4  ;
4  )
3


a  b  3
(  ;
1 4
  ;
0 2  ( )
5 )  ( ;
2  7
4 )
 
2a  ( 2
  ;
3 2
  ( )
4 ; 2
  2)  (
8
6
 )
4
 
 
Vektorite  skalaarkorrutis


Kahe vektori  a  (X ;Y ; Z ); b  (X ;Y ; Z     
) skalaar- 
1
1
1
2
2
2
korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite 
vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t.




a  b  a  b cos
kus  on vektorite vaheline nurk.
Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga 
arvutamisel. 
Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar-
korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis 
on null, siis vektorid on risti.
Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise 
valemist
  

 
a  b  X X  Y Y  Z Z
1
2
1 2
1
2
Vektorite skalaarkorrutis
Näide On antud kolmnurga  tipud  A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja 
C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk.
Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil.
Leiame kõigepealt vektorid        j
BA a BC
BA  (2  ( 0
3
 ;
1 1
  )
1  ;
5
(  ;
1 2
 )
BC  (0  ( );
3
2
  1
1  )
1  ;
3
( 
0
3
nende vektorite pikkused on vastavalt
BA  52  ( )
1 2  ( 2
 )2  30
BC  32  ( )
3 2  (0)2  18
 
 
Vektorite skalaarkorrutis
Vektorite        j
BA a BC skalaarkorrutis avaldub
BA  BC  5  3  ( )
1  ( )
3  ( 2
 )  0  18
Ja seega
BA  BC
18
3
cos  


BA  BC
30  18
5
ning
3
  arccos
 39 4
1 
5
 
 
Kollineaarsed  vektorid
Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis 
paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks.
Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund 
võib neil olla ka  vastupidine . 




Vektorite      j
a a     kol
b
lineaarsust tähistatakse sümboliga  a | b
Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t. 
kui 

a  (X ;Y ; Z )
1
1
1
X
Y
Z

siis
1
1
1


b  (X ;Y ; Z )
X
Y
Z
2
2
2
2
2
2
 
 
Kollineaarsed vektorid

Näide1 Vektorid a  (
1
8
4

b  1
( ;
2
3
24
4
8
1
on kollineaarsed, sest 


12
24
3

Näide2 Vektorid
a  (
1
6
4

b 
3
7
5
4
6
1
ei ole kollineaarsed, sest 
 
5
7
3
 
 
Kollineaarsed vektorid

Näide3 Vektorid
a 
0
8

b  (
0
4
on kollineaarsed, sest 
0
8
  (
2
0
4
ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.
 
 

Document Outline

• Vektorid
• Slide 2
• Slide 3
• Vektori koordinaadid
• Vektori pikkus
• Tehted vektoritega, vektorite liitmine
• Kolmnurgareegel
• Rööpkülikureegel
• Hulknurgareegel
• Vektorite lahutamine
• Vektori korrutamine arvuga
• Tehted vektoritega koordinaatides
• Vektorite skalaarkorrutis
• Slide 14
• Slide 15
• Kollineaarsed vektorid
• Slide 17
• Slide 18