Funktsiooni piirväärtus (1)

2.4 FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. FUNKTSIOONI PIDEVUS

Vaatleme funktsioone, mis on määratud valemiga y = f(x). Selliseid funktsioone võib liigitada nende määramispiirkonna järgi.
Funktsioonid, mis on määratud kogu reaalarvude hulgas. Need on
funktsioonid, mille väärtusi on võimalik arvutada argumendi x iga väärtuse korral.
Sellised funktsioonid on lineaarfunktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon , aga ka naturaalarvulise astendajaga astmefunktsioon .
Kõigile neile on ühine see, et funktsioonide graafikud on pidevad jooned ja kogu graafiku saab joonestada ilma pliiatsit paberilt tõstmata – pideva joonega . Öeldakse, et vaadeldavad funktsioonid on pidevad kogu arvteljel.
Funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb arvtelje ühest osast. Leidub funktsioone, mis on määratud vaid arvtelje ühel osal: poolsirgel, vahemikus või lõigul. Nende funktsioonide väärtusi saab arvutada kas argumendi x teatavast väärtusest alates või argumendi x teatava väärtuseni
Joonestame näiteks funktsioonide
ja
graafikud.
Ka nende funktsioonide graafikuid saab visandada ühe pideva joonega, kuid nad ise pole pidevad kogu arvteljel, vaid ainult oma määramispiirkonnas. Need on oma määramispiirkonnas pidevad funktsioonid.
Katkevad funktsioonid, mille määramispiirkond koosneb x–telje mitmest osast.
Need on funktsioonid, mille väärtusi pole võimalik arvutada arvtelje mingil lõigul või punktis, s.t. graafikut ei saa joonestada ühe pideva joonega. Selliseks funktsiooniks on näiteks , mille määramispiirkond , ja , mille määramispiirkond . Joonestame ka nende graafikud.
Näide 1. Vaatleme funktsiooni . Antud funktsiooni määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk, välja arvatud arv 1, sest x = 1 korral puudub funktsiooni väärtus. Seega funktsiooni graafikul on iga
korral punkt olemas, puudub aga väärtusel
x = 1. Koostame selle funktsiooni väärtuste tabeli ja joonestame graafiku.
x
-3
-2
-1
0
0,9
1
1,1
2
3
y
-2
-1
0
1
1,9
puudub
2,1
3
4
Graafikuks osutub sirge, millel puudub üks
punkt. Puuduvat punkti märgime kahe
vastastikku suunatud noolega.
Et graafikuks on sirge, ilmneb ka sellest, et
. Seega on
funktsioonide
ja y = x + 1 graafikud
samad, välja arvatud kohal x = 1.
Uurime, kuidas käitub funktsioon
erandliku punkti x = 1 ümbruses. Selleks arvutame funktsiooni väärtused
x = 1 väärtusele lähedastel kohtadel:
x
0
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
y
1
1,5
1,9
1,99
1,999
1,9999
Paneme tähele, et argumendi x lähenemisel arvule 1 koordinaattelje vasakult poolelt lähenevad funktsiooni väärtused arvule 2. Kui x erineb ühest väga väikese suuruse võrra ehk erinevus on ainult 1 – 0,9999 = 0,0001; jääb ka funktsiooni väärtusest 2 puudu üks kümnetuhandik.
Ka siis, kui arvutame funktsiooni väärtused argumendi väärtusest x = 1 paremale poole jäävatel kohtadel, näeme, et mida lähemal on x väärtus arvule 1, seda vähem erineb funktsiooni väärtus arvust 2:
x
1,00001
1,0001
1,001
1,01
1,1
1,5
y
2,00001
2,0001
2,001
2,01
2,1
2,5
Seega kui x  1, siis y  2. Kuigi funktsioonil puudub väärtus kohal x = 1, öeldakse, et tal on sellel kohal olemas piirväärtus.
Arvu 2 nimetatakse funktsiooni piirväärtuseks argumendi lähenemisel arvule 1 ja kirjutatakse .
Leiame veel mõningad selle funktsiooni piirväärtused. Ülaltooduga analoogilisi tabeleid koostades veendume, et:
ja .
Üldjuhul võime piirväärtuse mõiste määratleda järgmiselt.

Öeldakse, et funktsioonil f(x) on piirväärtus A kohal a, kui argumendi x väärtuste lähenedes kohale a funktsiooni väärtused f(x) lähenevad arvule A.

Kui x  a, siis f(x)  A (loetakse: kui x läheneb a-le, siis f(x) läheneb A-le).

Sümboleis: (loetakse: funktsiooni f(x) piirväärtus kohal a on A).

FUNKTSIOONI PIDEVUS

Kui argumendi väärtus a kuulub funktsiooni y = f(x) määramispiirkonda, siis defineeritakse funktsiooni pidevus järgmiselt.

Funktsiooni y = f(x) nimetatakse pidevaks kohal x = a, kui tema piirväärtus kohal a võrdub funktsiooni enda väärtusega sellel kohal: .

Näide 2. Funktsioon
on pidev kohal 2, sest
ja ka
nagu leidsime eespool .
Et funktsioon oleks pidev kohal a, peab olema täidetud kolm tingimust:

• funktsioonil on väärtus kohal a;
  
• funktsioonil on olemas lõplik piirväärtus kohal a;
  
• funktsiooni piirväärtus ja tema väärtus kohal a on võrdsed.
  

Kui vähemalt üks neist tingimustest ei ole täidetud, aga funktsioon on määratud koha a ümbruses, siis nimetatakse funktsioon katkevaks kohal a ja arvu a tema katkevuskohaks.
Näiteks võib funktsioon olla katkev juhul, kui määramispiirkonna kahe osa vahele jääb vaid üksainus punkt, milles funktsioon pole määratud. Sellist eraldiseisvat ehk isoleeritud punkti x- teljel nimetatakse samuti funktsiooni katkevuskohaks (näiteks punkt x = 1 funktsiooni
korral).
Ühe katkevuskohaga (kohal x = 0) on pöördvõrdelist sõltuvust kirjeldav funktsioon . Kui siin argumendi x väärtused lähenevad nullile , siis kasvavad funktsiooni absoluutväärtusedtõkestamatult, s.t. piirväärtuseks on kas + või –.
Katkevuskohti võib funktsioonil olla ka lõpmatu palju. Näiteks funktsiooni y = tan x graafik katkeb iga paaritukordse
kohal.
Näide 3. Vaatleme funktsiooni . Funktsioonil
puudub väärtus siis, kui x = –1. Funktsioonil
puudub ka (lõplik) piirväärtus
kohal x = –1. Järelikult on funktsioon
katkev kohal x = –1.
Ülesanne 7. Leia funktsiooni katkevuskohad.
1) 2) 3)
4) 5) 6)
FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUSE ARVUTAMINE
Tülikas ja aeganõudev on funktsiooni piirväärtust leida, arvutades funktsiooni väärtusi selle koha ümbruses. Piirväärtuse arvutamiseks kasutatakse tavaliselt funktsiooni piirväärtuse omadusi ning mitmesuguseid avaldiste lihtsustamise võtteid. Need on ühise teguri sulgude ette toomine, summa ja vahe ruutude ning kuupide abivalemeid, ruutkolmliikme teisendamine korrutiseks, taandamine jne.
Funktsiooni piirväärtuse arvutamisel on kasulik tunda piirväärtuse omadusi.
Olgu f(x) ja g(x) pidevad funktsioonid ning c konstant. Kehtivad järgmised omadused:

• 
  

• 
  

• , kui
  

• 
  

• 
  

Näide 4. Leiame .
Teeme otsese asenduse ( paneme kõikide x – de asemele 4):
Näide 5. Leiame , oletades funktsiooni pidevust.
Määramatus . Esineb olukordi , kus piirväärtuse omadusi ei saa vahetult rakendada. Kui
ja , siis arvutatakse piirväärtust
, saame näiliselt tulemuseks . Sellist juhtumit nimetatakse määramatuseks, sest ei ole teada, millega niisugune jagatis võrdub.
Selleks, et vabaneda määramatusest , tuleb murdu
teisendada nii, et murdu saab taandada teguriga, mis tekitab määramatuse.
Näide 6. Leiame .
Tulemuseks on määramatus, s.t. funktsioon ei ole kohal x = 0 pidev.
Teisendame nüüd funktsiooni avaldist , et vabaneksime määramatusest:
Teine võimalus määramatusest
vabanemiseks on kasutada l` Hospitali reeglit: määramatuse
korral taandatakse jagatise piirväärtuse leidmine nende funktsioonide tuletiste jagatise piirväärtuse leidmisele.
Saime uue sama tüüpi määramatuse. Kasutame veel kord l`Hospitali reeglit
Näide 7. Leiame .
L`Hospitali reeglit kasutades:
Määramatus . Määramatus
tekib
leidmisel siis, kui lugeja ja nimetaja on vaadeldavas piirprotsessis tõkestamatult kasvavad, s.t.
ja
. Kui f ja g on polünoomid ning piirprotsessiks on x  , siis tuleb määramatusest vabanemiseks jagada kõiki liikmeid argumendi x kõrgeima astmega murru nimetajas.
Näide 8. Leiame .
Kui kasutame piirväärtuse omadusi, siis jõuame määramatuseni . Et
sellest vabaneda, jagame murru lugejat ja nimetajat argumendi x kõrgeima
astmega, s.o. avaldisega x2. Selline jagamine on lubatud, sest , kuna ta
kasvab tõkestamatult.
Seega: = .
Näide 9. Leiame .
Määramatusest vabanemiseks jagame murru liikmeid avaldisega x4.
Saame:
Näide 10. Leiame .
Määramatusest vabanemiseks jagame murru lugejat ja nimetajat
avaldisega x3:
Näide 11. Leiame .
Määramatusest vabanemiseks jagame murru lugejat ja nimetajat
avaldisega x5:
Ülesanne 9. Leia piirväärtus.
1)
2) 3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10) 11) 12)
13) 14) 15)
16) 17) 18)
19) 20) 21)
15