EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID (0)

V kursus EKSPONENT- JA LOGARITMFUNKTSIOONID NING -VÕRRANDID
EKSPONENTFUNKTSIOON
Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis esitub valemina kujul y=ax
kus a on positiivne ühest erinev reaalarv ning muutuja x on reaalarv.
Uuri eksponentfunktsioonide omadusi graafiku põhjal avades faili lingil:
http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/eksponent.pdf
Saime teada, et eksponentfunktsiooni korral
1) positiivsusvahemik ühtib määramispiirkonnaga;
2) puuduvad nullkohad;
3) graafik läbib punkti (0;1);
4) funktsioon on kasvav, kui a ja kahanev, kui
Tutvu eksponentsiaalse kasvamise ja kahanemisega avades faili lingil:
http://www.allarveelmaa.com/wiris/expmuutumine.ht m
Valem A = a(1+ väljendab liitprotsendilist kasvamise seadust, kus panganduses on
a - algkapital, A – lõppkapital, p - intress ja n – aastate vm. arv .
Näide 1. Pank maksab 10% intressi aastas. Kui suureks kasvab 5000 euro suurune hoius nelja aastaga?
Kirjutame välja andmed: p = 10% A =
a = 5 000
n = 4 Vastus: A = 7320 eurot
EKSPONENTVÕRRAND
Eksponentvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb astendajas.
Pea meeles! , , ,
Näide 2. Lahendame eksponentvõrrandi ,
teisendades selle võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed .
Et
ja , siis saab võrrand kuju , millest
Vastus: x = -1
Ülesanne 1.Lahenda eksponentvõrrand.
1) ( x = 1 )
2) (
= -4, = 4 )
3) (x = -2 )
4) (x = 3 )
5) (= 2 ja = -3)
Näide 3. Lahendame eksponentvõrrandi
abitundmatut kasutades.
Et
ja , siis saab võrrand kuju , millest abitundmatuga
ja korrutades võrrandi pooli 2-ga saame ruutvõrrandi t suhtes
Siit ja
Vastus:
Ülesanne 2. Lahenda eksponentvõrrand.
1) (= 1 ja = -1)
2)
(x = 3 )
3) ( x = 2 )
4) ( x = 2 )
5) ( x = 3 )
Näide 4. Lahendame eksponentvõrrandi , kasutades logaritmimist.
Logaritmides alusel 10 võrrandi mõlemaid pooli, saame
Vastus:
Ülesanne 3. Lahenda eksponentvõrrand.
1) ( x = log6/log7 )
2) ( x =
3) ( x =
4)
(= 1/10 ja = 1000)
5)
( x = )
Ülesanne 4.Lahenda võrrand.
1) ( x = 2,5 )
2) (= -1 ja = 7 )
3) ( x = 0 )
4)
( x = 3 )
5) ( x = 2 )
6) ( x = 3 )
7) ( x = 3 )
8) (
9) ( x = 1 )
10) ( lahend puudub )
11)
(= -1 ja = -2 )
12) ( x = 0 )
13) (
14) (=
ja = -1,5 )
ARVU LOGARITM
Arvu logaritmi definitsioon:
Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, millega alust a astendades saadakse arv b.
logaritm on astendaja!
Pea meeles! , kus > 0, a >0 ja a ≠ 1
,
Näide 5. Arvuta a) b) 5 c) 25

, sest b) 5= 2 vt. valemit

25
Ülesanne 5. Arvuta.
1) ( 7 ) 3) ( 1 )
2) ( 8 ) 4) ( 2 )
Näide 6.
Ülesanne 6. Logaritmi avaldis
Siit leiad veel midagi huvitavat logaritmi kohta.
http://www.crjg.vil.ee/materjalid/kursus/logaritm.ppt
LOGARITMFUNKTSIOON
Funktsiooni y = logax nimetatakse logaritmfunktsiooniks.
Logaritm ja eksponentfunktsioon on
teineteise pöördfunktsioonid.
Nende funktsioonide graafikud on
sümmeetrilised sirge y = x suhtes.
Joonisel on kujutatud
eksponentfunktsiooni y = e^x ja
tema pöördfunktsiooni y = lnx
graafikud.
Uuri logaritmfunktsioonide omadusi nende graafikute põhjal avades faili lingil:
http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/logaritmid1.pdf
Saime teada, et logaritmfunktsiooni korral
1) määramispiirkonnaks on vahemik
2) muutumispiirkonnaks on vahemik
3) kui a, siis positiivsuspiirkonnaks
ja
negatiivsuspiirkonnaks
(vt joonist)
kui
positiivsuspiirkonnaks
ja
negatiivsuspiirkonnaks
4) nullkohaks on argumendi väärtus x0=1; graafik läbib punkti (1;0);
5) funktsioon on kasvav, kui a ja kahanev, kui .
Näide 7. Leiame funktsiooni määramispiirkonna.
Funktsioon on määratud, kui logaritmitav on positiivne st.
> 0 ja samas x-2 ≠0.
> 0
(x+1)(x-2) > 0 , millest x = -1 ja x = 2.
Kanname punktid x-teljele, joonestame abijoone, viirutame teljest üleval pool asuvat abijoone osa ja anname vastuse .
Ülesanne 7. Leida funktsiooni määramispiirkond.
1)
() 3)
2) () 4)
Kontrolli oma teadmisi alljärgneva test abil:
http://www.allarveelmaa.com/ematerjalid/logaritm.ht m
LOGARITMVÕRRAND
Logaritmvõrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb logaritmitavas või logaritmi aluses .
NB! Kõiki logaritmvõrrandi lahendeid tuleb kontrollida, et ei vastusesse ei satuks negatiivseid logaritmitavaid.
Näide 8. Lahendame võrrandi
logaritmi definitsiooni põhjal.
Kontroll:
on tõene, sest
Arv -3 on võõrlahend, sest negatiivne arv -4 aluseks ei sobi.
Vastus: x = 3
Ülesanne 8. Lahenda logaritmvõrrand.
1) ( x = 32 )
2) ( lahend puudub) NB! Alus ei tohi olla negatiivne ega ka 1
3) ( x = )
4) ( = 3 ja = 1 )
5) (= -5 ja = 7 )
Näide 9. Lahendame võrrandi
potentseerimise teel.
Kaotame logaritmi sümboli potenseerimise teel (jälgi eelnevalt, et kõikide avaldiste ees oleks log):
Kontroll:
Arv -18 ei sobi lahendiks , sest avaldisel log(-4) ja ka log(-16) väärtus puudub.
Vastus: x = 2
Ülesanne 9. Lahenda logaritmvõrrand.
1)
( x = 2/5 )
2) ( x = 3 ) NB! , sest
3)
( x = 3 )
4)
( x = 2 )
5)
( x = 6 )
Näide 10. Lahendame võrrandi
abitundmatut kasutades. Tegemist on ruutvõrrandiga
suhtes:
, seega , millest
või . Neist
ja
Kontroll:
Vastus:
ja
Ülesanne 10. Lahenda logaritmvõrrand.
1) (=
ja )
2) ( ja )
3) (= 8 ja = 1/4 )
4) ( ja )
5) ( ja )
Ülesanne 4. Lahenda võrrand.
1) ( x = 0,27 )
2) ( )
3) ( ja )
4) ( x = 125 )
5) ( x = 1 )
6) ( ja )
7) ()
8) ( ja ) NB!
9) (10 ja )
V kursus NÄIDISTÖÖ nr.1: eksponentfunktsioon ja -võrrand

Lahendada eksponentvõrrand teisendades see võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed.

Vaata lisaks ül.485-490

Lahendada eksponentvõrrand abitundmatut kasutades.

(0 ja 2) b) (2 ja -1)
Vaata lisaks ül.491-496
3. Lahendada eksponentvõrrand, kasutades logaritmimist.
a) b) c)
4. Skitseeri funktsiooni graafik, kui a) b)
5. Tööpink maksis uuena 150 000 krooni. Tema väärtus väheneb vananemise ja kulumise tõttu igal aastal 8 % võrra eelmise aasta väärtusest. Kui suur on tööpingi väärtus 10 aasta pärast? (65 200 kr)
Vaata lisaks ül.512-515
V kursus NÄIDISTÖÖ nr.2: logaritmfunktsioon ja -võrrand

Arvutada.

b)
Vaata lisaks ül.517-523
2. Logaritmida avaldis

Lahendada logaritmtvõrrand logaritmi definitsiooni põhjal.

(1 ja -7) b) (2)
Vaata lisaks ül.526-529

Lahendada logaritmvõrrand potentseerimise teel.

(37)

Vaata lisaks ül.530-535

Lahendada logaritmvõrrand abitundmatut kasutades.

log2x+logx=2 b) (0,25 ja 2)
Vaata lisaks ül.536,537
6. Leida funktsiooni määramispiirkond.
a) b) c)
7. Skitseeri funktsiooni
graafik, kui a) b)
Ülesanded on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. „Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel“ Tln.2006
Elve Vutt