Vektorid ja koordinaadid (0)

Vektorid
Vektorid
Matemaatikas, füüsikas jt.
loodusteadustes vaadeldavad suurused
skalaarsed vektoriaalsed
(neid iseloomustab (neid iseloomustab lisaks
kindel arv) arvulisele väljendusele ka
fikseeritud suund)
pikkus
kiirus
vanus
kiirendus
mass
jõud
Vektorid
Öeldakse, et lõigu AB puhul on määratud suund, kui on
fikseeritud, kumba punkti A või B loetakse alguspunktiks, kumba
lõpp-punktiks.
Lõiku, millel on määratud suund, nimetatakse vektoriks.
Vektorit tähistatakse kas üheainsa tähega või kahe suure tähega,
mille kohal on nool:
a, b, AB
Vektori kui suunatud lõigu pikkuseks nimetatakse selle lõigu
pikkust.
Vektori a pikkust märgitakse sümboliga a või a.
Vektori koordinaadid
Kui on antud vektori alguspunkt A (x1; y1; z1) ja lõpp-punkt
B(x ; y ; z ), siis vektori AB koordinaatide leidmiseks lahutame
2 2 2
lõpp-punkti koordinaatidest vastavad alguspunkti koordinaadid,
s.t. AB = ( x - x ; y - y ; z - z )
2 1 2 1 2 1
Näide
Leida vektori AB koordinaadid, kui A (-1; -2;1) ja B(4; -6; 2).
Lahendus
AB = ( 4 - ( -1);-6 - ( -2);2 -1) = (5;-4;1)
Vektori pikkus
Teades vektori koordinaate, saame leida selle pikkuse valemist
AB = X 2 +Y 2 + Z2
kus X ,Y ja Z on vektori AB koordinaadid.
Näide
Leiame eelmises näites antud vektori AB = (5;-4;1) pikkuse.
Lahendus
AB = 5 2 + (-4) 2 + 11 = 42 6,5
Tehted vektoritega, vektorite liitmine
Vektoreid saab liita, lahutada ja arvuga korrutada. Neid tehteid
on võimalik teha, kui on teada vektori koordinaadid või vektor on
esitatud geomeetrilisel kujul.
Geomeetrilisel kujul esitatud vektorite liitmiseks kasutatakse
kolmnurgareeglit
rööpkülikureeglit
hulknurgareeglit
Kolmnurgareegel
Kahe vektori a ja b summa leidmiseks
joonestame mingist
punktist A esmalt vektori AB = a ning siis selle lõpp-punktist
B vektori BC = b . Ühendades punktid A ja C, saame vektori
AC = a + b
B
a b
b a C
A AC = a + b
Rööpkülikureegel
Kui joonestame liidetavad vektorid a ja b ühisest
alguspunktist A, siis neile vektoritele
ehitatud rööpküliku
diagonaalvektor alguspunktigaa A on b vektorite ja summa.
a a c = a+b
b A
b
Hulknurgareegel
Mitme vektori summa leidmiseks joonestame mingist punktist A
ühe liidetava; selle lõpp-punktist teise liidetava; viimase lõpp-
punktist kolmanda jne. Nende vektorite summaks on siis punktist
A viimase liidetava lõpp-punkti B suunduv vektor AB
b
a a
b
c
A c
d
AB
d
B
Vektorite lahutamine
Vektorite lahutamine tähendab vastandvektori liitmist.
b
a
b -a
-a
-a
b
Vektori korrutamine arvuga
Vektori a ja positiivese arvu k korrutiseks ka on vektoriga a
samasuunaline vektor, mille pikkus on k a
b 0,5b
-b
2b - 0,5b
- 2b
Vektori a ja negatiivse arvu -k (k
> 0) korrutiseks nimetatakse
vektori ka vastandvektorit - ka
Tehted vektoritega koordinaatides
Olgu antud vektorid a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) siis
b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 )
a + b = ( X 1 + X 2 ; Y1 + Y2 ; Z 1 + Z 2 )
a - b = ( X 1 - X 2 ; Y1 - Y2 ; Z 1 - Z 2 )
ma = ( mX 1 ; mY1 ; mZ 1 )
Näide Olgu antud a = (3;-41 ;2) siis
b = (1;0;-5)
a + b = (3 + 1;-4 + 0;2 + (-5)) = (4;-4;-3)
a - b = (3 - 1;-4 - 0;2 - (-5)) = (2;-4;7)
- 2a = ( -2 3;-2 ( -4);-2 2) = ( -6;8;-4)
Vektorite skalaarkorrutis
Kahe vektori a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ); b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaar-
korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite
vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t.
a b = a b cos
kus on vektorite vaheline nurk.
Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga
arvutamisel.
Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar-
korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis
on null, siis vektorid on risti.
Koordinaatkujul antud vektorite korral leiame skalaarkorrutise
valemist
a b = X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2
Vektorite skalaarkorrutis
Näide On antud kolmnurga tipud A (2;0;-1), B (-3;1;1) ja
C (0; - 2; 1). Leida tipu B juures asuv nurk.
Lahendus Tipu B juures oleva nurga leiame skalaarkorrutise abil.
Leiame kõigepealt vektorid BA ja BC
BA = (2 - (-3);0 - 1;-1 - 1) = (5;-1;-2)
BC = (0 - (-3);-2 - 1;1 - 1) = (3;-3;0)
nende vektorite pikkused on vastavalt
BA = 5 2 + (-1) 2 + (-2) 2 = 30
BC = 3 2 + (-3) 2 + (0) 2 = 18
Vektorite skalaarkorrutis
Vektorite BA ja BC skalaarkorrutis avaldub
BA BC = 5 3 + (-1) (-3) + (-2) 0 = 18
Ja seega
BA BC 183
cos = = =
BA BC 30 18 5
ning
3
= arccos 39°14
5
Kollineaarsed vektorid
Vektoreid, mis asuvad kas ühel ja samal sirgel või siis
paralleelsetel sirgetel, nimetatakse kollineaarseteks.
Kollineaarsetel vektoritel on seega ühesugune siht, kuid suund
võib neil olla ka vastupidine.
Vektorite a ja b kollineaarsust tähistatakse sümboliga a || b
Kollineaarsete vektorite vastavad koordinaadid on võrdelised, s.t.
kui
a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ) X 1 Y1 Z 1
siis = =
b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) X 2 Y2 Z 2
Kollineaarsed vektorid
Näide1 Vektorid a = (4;8;1)
b = (12;24;3)
4 8 1
on kollineaarsed, sest 12 24 = 3
=
Näide2 Vektorid a = (4;6;1)
b = (5;7;3)
4 6 1
ei ole kollineaarsed, sest
5 7 3
Kollineaarsed vektorid
Näide3 Vektorid a = (8;0)
b = (-4;0)
on kollineaarsed, sest (8;0) = -2(4;0)
ja seega need vektorid asuvad paralleelsetel siregetel.