Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

Eukleides ja tema aksioomid (0)

1 Hindamata
Punktid
Eukleides

Eukleides:
Eukleides oli Kreeka matemaatik, keda tuntakse ka „ geomeetria  isana". Eukleides oli esimeste peaaegu täielikult
säilinud matemaatikateoste autor.
Eukleidese tähtsaim teos, 13 raamatust koosnev „Elemendid”,
sisaldab peaaegu kogu elementaargeomeetria. See tohutu suur, 465
lauset (definitsioonid, aksioomid , teoreemid) hõlmav töö
on kirjutatud ranges loogilises järjekorras ja on olnud paljude
aastasadade vältel geomeetriaõpikute koostamise aluseks.
Eukleidese aksioomid :

Tema põhiteos on 13nest raamatust koosnev "Elemendid", mis kujutab endast kogu Vana-Kreeka matemaatika suursaavutusi. Teos sisaldab geomeetria kõige varasema loogiliselt range ülesehituse.

Selle 13nest raamatustt I – VI on pühendatud planimeetriale, VII – IX aritmeetikale, X ühismõõdututele suurustele, XI – XIII stereomeetriale. Eukleidese poolt kasutatud teoreemide tõestamisviis on püsinud tänaseni. Iga tõestus algab eelduse ja väite esitamisega. Seejärel antakse tõestus koos viitamisega neile varem tõestatud lausetele või aksioomidele, millele rajaneb väite õigeks tunnistamine. Iga tõestus lõpeb sõnadega mida oligi tarvis tõestada. Eukleidesel oli võetud laused , mis oli aluseks ja millele rajanes kogu tema suurteos. Põhilaused jagas Eukleides kolme kategooriasse: definitsioonid, aksioomid ja postulaadid.
Postulaadid.

Nõutakse:
1. ...et igast punktist iga punktini võib tõmmata sirge.

2. ...et igat piiratud sirget võiks piiramatult jätkata.
3. ...et iga punkti ümber võiks igal kaugusel tõmmata ringjoone.
4. ...et kõik täisnurgad oleksid üksteisega võrdsed.
5. ...et iga kord, kui sirge lõikudes kahe teise sirgega moodustab nendega

sisemised lähisnurgad, mille summa on väiksem kui kaks täisnurka, need
sirged piiramatul jätkamisel lõikuksid sellel poolel, kus see summa on
väiksem kahest täisnurgast.
Aksioomid.
1. Kaks, mis on võrdsed ühe ja samaga, on omavahel võrdsed.
2. Kui võrdsetele lisame võrdsed, siis saame võrdsed.
3. Kui võrdsetest võtame ära võrdsed, siis saame võrdsed.
4. Kui mittevõrdsetele lisame võrdsed, saame mittevõrdsed.
5. Kui kahekordistame võrdsed, saame võrdsed.
6. Pooled võrdsetest on võrdsed.
7. Ühtimisse viidavad on omavahel võrdsed.
8. Terve on suurem kui osa.
9. Kaks sirget ei saa määrata ruumi.
Eukleidese postulaatidest mitmed, näiteks 1. ja 5. läksid mõnevõrra
modifitseeritult geomeetria hilisemate rangelt loogiliste ülesehituste aksioomidesse.

Kolmemõõtmeline eukleidiline ruum ehk  tasane kolmruum on 
vektorruum, mida enamasti seostatakse  ruumiga füüsikas. Selle ruumi elemente nimetatakse vektoriteks või täpsemalt geomeetrilisteks vektoriteks, kui neid on vaja eristada abstraktsemast vektori (ehk mis tahes vektorruumi elemendi) mõistest. Eukleidilises ruumis on antud kahe vektori skalaarkorrutis ning kaugusvektori pikkus ja vektorite vaheline nurk. Vektorid on esitatavad kolme reaalarvulise koordinaadi abil.
Elementaarmatemaatikas määratletakse kolmemõõtmelise eukleidiline ruum vektori mõisteta. See ruum "koosneb" punktidestsirgetest ja tasanditest. Samuti eeldatakse Eukleidese aksioomide kehtivust. Viimasesse käsitlusse saab vektori mõiste sisse tuua loomulikul teel fikseerides ruumis ühe punkti, mida nimetatakse  nullpunktiks , ja vaadeldes kõiki teisi punkte kui vektoreid, mis on suunatud nullpunktist vaadeldavasse ruumi punkti. Nullpunkti ennast samastatakse nullvektoriga.



Eukleides ja tema aksioomid #1 Eukleides ja tema aksioomid #2
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 2 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2012-05-30 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 15 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor Kätrin Türin Õppematerjali autor

Sarnased õppematerjalid

Kõrgem matemaatika- lineaaralgebra
81
pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Skalaarkorrutise ja vektori pikkus ortonormaalse baasi järgi. 16. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 17. Sirge parameetrilised ja kanoonilised võrrandid. Sirge üldvõrrand ja normaalvektor, normaalvektori koordinaadid üldvõrrandist. Punkti kaugus sirgeni, selle leidmise valem tasandilise sirge korral. Tasandi vektorvõrrand ja parameetrilised võrrandid, tasandi üldvõrrand, tasandi normaalvektor, tema seos tasandi üldvõrrandiga, tasandi normaalvõrrand ja selle kordajate ja vabaliikme geomeetriline tõlgendus. Punkti kauguse arvutamine tasandist. Nurg kahe sirge vahel. Tema arvutamisvalem taandatud kujul antud sirgete jaoks. Nurk kahe tasandi vahel. Nurk sirge ja tasandi vahel. 18. Ringjoone definitsioon ja võrrand. Ellipsi definitsioon ja kanooniline võrrand. Ellipsi fookused. Ellipsi ekstsentrilisus ja juhtjooned. Ellipsi optiline omadus

Algebra I
Kõrgem matemaatika
156
pdf

Kõrgem matemaatika

mentide vahed: D = A - B, dij = aij - bij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.3) Definitsioon 1.6 Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga nimetatakse maat- riksit A, mille elemendid saadakse maatriksi A vastavate elementide läbikorrutamisel arvuga : A = ·A = (cij ), cij = ·aij , i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. (1.4) Definitsioon 1.7 Me nimetame maatriksit nullmaatriksiks, kui kõik tema elemendid võrduvad nulliga, s.t. 0 0 ··· 0 .. .. . . .. O= . . , oij = 0, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. . . 0 0 ··· 0 (1.5)

Kõrgem matemaatika
Matemaatika - Õhtuõpik
816
pdf

Matemaatika - Õhtuõpik

tegurdamine ............................................. 269 lahendamine . ................................... 176 Kuidas peita kolmekesi ühist varandust? ...... 271 Võrrandi teisendamisest üldisemalt ............. 176 Ruutfunktsioon ja tema lahendivalem ......... 272 Väike võrrandijutt ........................................ 179 Veel võrrandi lahendamisest ........................180 eksponentsiaalfunktsioon . ............... 280 Eksponentsiaalfunktsioon ja astendamine ...281 võrrand ja geomeetria ...................... 184

Matemaatika
Surmalähedased kogemused
317
pdf

Surmalähedased kogemused

Kuid seda on siiski püütud teha ja need pakutud lahendused jagunevad kahte suurde liiki. Näiteks üks neist liikidest käsitleb keha ja vaimu kahesusest ehk dualismist. Prantsuse filosoof René Descartes arvas, et füüsiliste kehade maailm ja inimese teadvus erinevad üksteisest täielikult. Näiteks füüsilised kehad hõlmavad alati mingisuguse ulatuse ruumis – nad võtavad ruumi, neil on mõõtmed. Neil on kindlad asukohad ruumis ja neid on võimalik jaotada osadeks. Kuid tema arvates ei hõlma inimese mõte ruumilist ulatust ja see ei koosne osadest. Mõttel ei ole oma asukohta ruumis. Sellepärast erinevadki omavahel füüsiliste kehade maailm ja inimese teadvus. Füüsiline maailm koosneb füüsilistest kehadest. Seetõttu on Descartesi arvates olemas kaks maailma: vaimumaailm ja füüsiliste kehade maailm. Kuid teine lahendus keha ja vaimu ühtsuse probleemile leiavad tänapäeva teadlased (

elektromagnetism
Maailmataju
477
pdf

Maailmataju

Schmidt ja G. Thews, Tartu 1997. 3 Maailmataju olemus, struktuur ja uurimismeetodid ,,Inimesel on olemas kõikvõimas tehnoloogia, mille abil on võimalik mõista ja luua kõike, mida ainult kujutlusvõime kannatab. See tehnoloogia pole midagi muud kui Tema enda mõistus." Maailmataju Maailmataju ( alternatiivne nimi on sellel ,,Univisioon", mis tuleb sõnadest ,,uni" ehk universum ( maailm ) ja ,,visioon" ehk nägemus ( taju ) ) kui nimi tähistab teaduse, religiooni ja kunsti sisuga teatmeteost. Teatmeteose all mõeldakse siin pigem kui ( kunsti ) loomingut. Tegemist on sellise ,,kunstivormiga", mille väljundiks ei ole kaunid maalid, muusika ega arhitektuur, vaid just informatsioon. Seda võib nimetada ka kui ,,informatsioonikunstiks" ehk

Karjäärinõustamine
Maailmataju uusversioon
343
pdf

Maailmataju uusversioon

F. Schmidt ja G. Thews, Tartu 1997. 2 Maailmataju olemus, struktuur ja uurimismeetodid ,,Inimesel on olemas kõikvõimas tehnoloogia, mille abil on võimalik mõista ja luua kõike, mida ainult kujutlusvõime kannatab. See tehnoloogia pole midagi muud kui Tema enda mõistus." Maailmataju Maailmataju kui nimi tähistab teatmeteost, mille sisu hõlmab teaduse, religiooni ja kunsti erinevaid valdkondasid. Alternatiivne nimi on sellel ,,Univisioon", mis tuleb sõnadest ,,uni" ehk universum ( maailm ) ja ,,visioon" ehk nägemus ( taju ). Teatmeteose all võib mõista ka kui inimese loodud ( kunsti ) loomingut. Tegemist on sellise ,,kunstivormiga", mille väljundiks ei ole kaunid maalid, muusika ega arhitektuur, vaid just informatsioon. Seda võib

Teadus
Maailmataju ehk maailmapilt 2015
990
pdf

Maailmataju ehk maailmapilt 2015

2 Maailmataju olemus, struktuur ja uurimismeetodid „Inimesel on olemas kõikvõimas tehnoloogia, mille abil on võimalik mõista ja luua kõike, mida ainult kujutlusvõime võimaldab. See tehnoloogia pole midagi muud kui Tema enda mõistus.“ Maailmataju Maailmataju kui nimi tähistab teatmeteost, mille sisu hõlmab teaduse, religiooni ja kunsti erinevaid valdkondi. Näiteks Piibel tähistab ristiusu kanoniseeritud pühakirja. Teost ei liigitata ilu- ega uudiskirjanduse alla, vaid tegemist on pigem teatmekirjandusega. Maailmataju alternatiivne nimi on „Univisioon“, mis tuleb sõnadest „uni“ ehk universum ( maailm ) ja „visioon“ ehk nägemus ( taju )

Üldpsühholoogia




Kommentaarid (0)

Kommentaarid sellele materjalile puuduvad. Ole esimene ja kommenteeri



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun