Lineaari eksami materjal (2)

Determinandid

Def.1-eeskirja £, mis seab hulga V igale elemendile x vastavusse hulga W teatava elemendi y, nimetatakse kujutuseks hulgast V hulka W.
Def.2-kui mistahes xϵV on eeskirja £ alusel vastavusse seatud üks kindel y hulgast W, siis öeldaksem et on määratud ühene kujutus hulgast V hulka W.
Permutatsioon on teatava hulga kõikidest elementidest moodustatud mingi konkreetne järjestus Pn=n! Öeldakse, et kui väiksem indeks asetseb suurema indeksi ees, siis nad moodustavad loomuliku järjestuse. Vastasel juhul räägitalse, et nad moodustavad inversiooni.
Determinant on arv, mis seatakse vastavusse igale ruutmaatriksile ja selle arvu väärtus leitakse ruutmaatriksi enda elementide korrutistest moodustatud summe põhjal, kasutades seejuures permutatsiooni ja inversiooni mõistet.
Determinandi omadused

Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber paigutada lA™l=lAl

Kui determinandis 2 rida/ veergu omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks.

Determinandi mingi rea/ veeru kõigi elementide korrutamisel ühe ja sama arvuga korrutub kogu determinant sama arvuga.

Kui determinandis on mingid 2 rida/veergu võrdsed või võrdelised, siis determinant võrdub nulliga.

Kui determinandis mingi rea/veeru iga element kujutab endast kahe liidetava summat , võrdub determinant 2 sama järku deteerminantide summana.

Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingile reale/veerule liita mistahes arvuga korrutatud teatav teine rida või veerg.

Kahe n-järku determinandi A ja B korrutis A*B on võrdne teatava uue n-järku determinandiga C, mille i-nda rea ja j-nda veeru ühine element cij saadakse determinandi A i-nda rea ja determinandi B j-nda veeru kõigi vastavate elementide korrutamisel ning saadud tulemuste liitmisel.

Kui determindandi mingi rea/veeru kõik elemendid on nullid , siis determinant võrdub nulliga.

Kui kõik allpool/ülalpool peadiagonaali asetsevad elemendid on nullid, siis võrdub determinandi väärtus peadiagonaali elementide korrutise e. Pealiikmega.

Determinant võrdub nulliga siis ja ainult siis ( parajasti siis), kui tema ridade/veergude hulk on lineaarselt sõltuv.
Crameri peajuhtum: Determinantide abiga saab lahendada lvs, kus tundmatuid ja võrrandeid on ühe ja samapalju. Tundmatute ees olevatest kordajatest moodustatakse (süsteemi)determinant ning see ei tohi võrduda nulliga. Selle korral on lvs-l olemas üheselt määratud lahend , mis avaldub valemiga xn=Dk/D, kui D=0, siis see ei kehti, lahendid puuduvad, kui D1=Dn=0, siis on lvs-l mitu lahendit.
Determinanditeooria põhivalem:

Kompleksarvud

Kui hulgas on määratud mingisugune tehe ja selle hulga mistahes kahe elemendiga sooritatud tehte tulemus osutub alati selle sama hulga elemendiks , siis öeldakse, et hulk on vaadeldava tehte suhtes kinnine .α,βϵC ; α+βϵC
Hulka C, mille elementideks on kõik sellised 2x2 järku ruutmaatriksid, kus iga maatriksi korral tema peadiagonaali elemendid on võrdsed ning kõrvaldiagonaali elemendid on teineteise vastandarvud , nimetatakse kompleksarvude hulgaks, ning tema elemente nimetatakse kompleksarvudeks.
Arve kujul a+bi, kus a ja b on mistahes reaalarvud ja i imaginaarühik, nim. kompleksarvudeks. Arvu a nim. kompleksarvu reaalosaks, arvu bi imaginaarosaks, b on imaginaarosa kordaja.
(a+bi)+(c+di)=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)−(c+di)=a+bi−c−di=(a−c)+(b−d)i
Kompleksarvu kujud:

Algebraline: α=a+bi

Maatriks : α=

Trigonomeetriline: α=r*(+i*) ; Euleri valem:

Eksponentkuju : α=r*

Vektorkuju : α=(a;b)
Moivre’i valem:
Algebralised süsteemid
Hulka M, kus on defineeritud vähemalt üks arvutusoperatsioon ehk tehe, nim. algebraliseks süsteemiks.
Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse seadust, nim. poolrühmaks.
Aditiivne poolrühm:kehtib ainult (a+b)+c=a+(b+c)
Multiplikatiivne poolrühm: kehtib ainult (a*b)*c=a*(b*c)
Algebralist süsteemi M, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab assotsiatiivsuse ja kommutatiivsuse seadust, nim. kommutatiivseks poolrühmaks.
Multiplikatiivses süsteemis M leidub ülimalt üks ühikelement, nullelement, vastandelement ja üks pöördelement.
Arvutusoperatsioon, mis seab hulga M elementide järjestatud paarile vastavusse nende jagatise, nimetatakse jagamiseks. Nullelement on liitmisel neutraalne element. Vastandelement on elementi ennast neutraliseeriv element.
Aditiivset poolrühma, milles leidub nullelement ja igale elemendile vastandelement, nim. aditiivseks rühmaks.
Multiplikatiivset poolrühma, milles leidub ühikelement ja igale elemendile pöördelement, nim. multiplikatiivseks rühmaks.
Rühma, millest defineeritud arvutusoperatsioon rahuldab kommutatiivsuse seadust, nim kommutataiivseks rühmaks ehk Abeli rühmaks.

(a+b)+c=a+(b+c )

a+b=b+a

a+£=a (nullelemendi leidumise seadus)

a*=£

(a*b)*c=a*(b*c)

ab=ba

ea=e

a*=e
kahe arvutusoperatsiooniga määratud algebralist süsteemi nimetatakse ringiks, kui:

• M on liitmise suhtes abeli rühm
  
• M on korrutamise suhtes poolrühm
  
• Süsteemis M on korrutamine distributiivne liitmise suhtes
  

(a+b)+c=a+(b+c)

A+b=b+a

a+£=a

a+(-a)= £

(ab)c=a(bc)

(a+b)c=ac+bc

C(a+b)=ca+cb
Ringi, milles korrutamine on kommutatiivne, nim kommutatiivseks ringiks. Omadused on samad, ainult ab=bc.
Kommutatiivset ringi, milles leidub üksikelement ja ei leidu nullelemente, nim. integriteetkonnaks. Lisaks ea=a, ab=£
Ringi, mille kõik nullelemendist erinevaid elemendid moodustavad rühma korrutamise suhtes, nim. korpuseks. Ringi om+ ea=ae=a + š
Korpust , milles korrutamine on kommutatiivne, nim. kommutatiivseks korpuseks. Komm ring + eelmise om + š kompleksarvude hulk on algebraliste süsteemide mõistes kommutatiivne korpus.
Aditiivset Abeli rühma, milles on defineeritud skalaariga korrutamine, mis rahuldab postulaate 1*-4*, nim. vektorruumiks.

Lineaarkujutus ja –teisendus

Kahe vektorruumi V ja W korral määratud kujutust nimetatakse lineaarkujutuseks, kui on täidetud tingimus £(α*ӑ+βǧ)=α*£(ӑ)+β*£(ǧ)

£(a+b)= £(a)+ £(b) lineaarkujutuse distributiivsus vektorite liitmise suhtes

Β=0 £(α*a)=α£(a) lineaarkujutuse kommutatiivsus skalaariga korrutamise suhtes

Lineaarkujutus seab ühe vektorruumi nullvektorile vastavusse teise vekotrruumi nullvektori.
Vektorruumi V korral määratud lineaarkujutust f: V→V, nim. selle vektorruumi V lineaarteisenduseks. Näited: vektori lüke, pööre, peegeldus, korrutamine arvuga. Lineaarkujutuse f ja g summa ja korrutamine arvuga α*f. (f+g)(ӑ)=f(ӑ)+g(ӑ); (α*f)(ӑ)=f(α*ӑ) Kõik kujutused, mis rahuldavad eelpool mainitud tingimusi nim. lineaarkujutuste vektorruumiks ja märgime L.
Nullvektorist erinevat vektorit, mis teatava lineaarteisenduse f korral rahuldab tingimust f(x´)=λ*x’ nim. selle lineaarteisenduse omavektoriks ja arvu λ selle omaväärtuseks.

Vektorarvutus

Aksioomid :

Eksisteerib vähemalt üks punkt

Igale kahele kindlas järjekorras võetud punktile A ja B on seatud vastavusse parajasti üks vektor AB.

Iga punkti A ja iga vektori a korral leidub parajasti üks punkt B nii, et punktidele A ja B vastab vektor.

Rööpkülikuteooria kui AB’=CD’, siis AC’=BD’
Vektorite liitmine: AB’+BC’=AC’
Aksioomid:

Igale paarile ( lambda , a’) seame vastavusse parajasti ühe vektori b’=lamda*a’, mida nimetame vektori korrutamiseks arvuga.

λ(µ*a’)=(λµ)a’

λ(a’+b’)=λa’+λb’

(λ+µ)a’=µa’+λa’

Λa’=a’

Δ: ᴲ e1’,e2’,e3’ nii, et ¥x’ on avaldatav kujul: x’=x1e1’+x2e2’+x3e3’ seejuures on võimalik vaid siis, kui kehtib järmine: x1’=x2’=x3’=0’ (nõuab, et baasivektorid oleksid lineaarselt sõltumatud.)
Punktide hulga, vektorite hulga ja reaalarvude hulga ühendit, mille korral on rahuldatud aksioomide 1-4 ja 1-6 nõudeid nim. kolmemõõtmeliseks afiinseks ruumiks. Tähis A3, A3=PUVUR
Aksioomid

Igale sellisele paarile (x’,y’)seame vastavusse parajasti ühe reaalarvu mida nim. vektorite skalaarkorrutiseks. Y’*x’

Skalaarkorrutis on kommutatiivne

Skalaarkorrutis on distributiivne vektorite liitmise suhtes

Skalaari saab sulgude ette tuua

Vektori korrutis iseendaga pole negatiivne.
Afiinset ruumi A3, milles on def.skalaarkorrutis nii, et kehtivad Aksioomid 1-5 nim. kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks. Tähis E3.
ReeperKõik ühikvektorid ja omavahel paarikaupa risti nim. ristreepriks.
Kahele vektorile seame vastavusse ühe reaalarvu, mida tähistatakse a’Λb’, nim vektorite areaalkorrutiseks, mis võrdub nende vektorite koordinaatidest moodustatud determinandiga.

Antikommutatiivsus

Areaalruut võrdub nulliga

Kui vektorid on kollineaarsed, siis nende areaalkorrutis on 0.

a’Λ(λb’)=(λa’)Λb’=λ(a’Λb’)

(a’+b’)Λc’=a’Λc’+b’Λc’
Lagrange’i seadus: (a’Λb’)^2=-(a’*b’)^2 Rööpküliku pindala võrdub vektorite areaalkorrutise absoluutväärtusega.

Ruutvormid

F= ruutvorm , lineaarvorm:
Ruutvormi kordajatest saab moodustada nxn järku sümmeetrilise maatriksi. At=A. Ruutvormi maatrikskuju: F=Xt*A*X (X on ruutvormi muutujate maatriks nx1)
Muutujte regulaarse teisendamise tulemusena saame esialgse ruutvormi asemele uue ruutvormi. Otsitakse võimalikult lihtsat kuju. F=
Kõik ruutvormid on muutujate regulaarse tisenduse tulemusena viidavad kanoonilisele kujule . Seejuures ilmneb, et ruutvormi kanooniline kuju pole üheselt määratav.Võib olla rohkem kui 1 lahend, k. A. Lõpmatus.