Seosed täisnurkses kolmnurgas (0)

Seosed täisnurkses 
kolmnurgas
neljapäev, 29. jaanuar 2015. 
a
 
 
Teoreem :
 Täisnurkses kolmnurgas hüpotenuusile 
joonestatud kõrgus jaotab  selle 
kolmnurga kaheks kolmnurgaks, mis on 
sarnased  esialgse  kolmnurgaga ja 
omavahel.
C
 
B
 
A
D
 
 
A
A
C
D
B
D
C
D
B
C
Δ BDC  Δ BCA (NN tunnus)
Δ CDA  Δ BCA (NN tunnus)
 
Δ BDC  Δ CDA (NN t  unnus)
m.o.t.t.
Geomeetriline keskmine 
 Kui a, b ja x on mittenegatiivsed 
arvud, siis nimetatakse arvu x arvude 
a ja b
geomeetriliseks keskmiseks,
 
kui ta on  ruutjuur  nende arvude 
korrutisest
x  a b
 
 
Kaatetite projektsioonid
 Hüpotenuusile joonestatud kõrgus 
jaotab hüpotenuusi kaheks osaks, mida 
nimetatakse kaatetite 
projektsioonideks hüpotenuusil
C
f –  kaateti  a projektsioon
g – kaateti b projektsioon
a
b
h
f
g
 
B
 
A
D
c
Teoreem täisnurkse 
kolmnurga kõrgusest 
 Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile 
tõmmatud kõrgus on kaatetite 
projektsioonide geomeetriline 
keskm
C
ine
h  fg
a
b
h
ehk
h2  fg
f
g
B
A
 
D
 
A
A
C
g
b
g
a
b
h
c
D
h
B
D
f
C
D
f
h
B
C
a
 
 
A
C
b
g
a
h
B
D
C
f
D
h
f
h
Δ BDC  Δ CDA =>
  võrde põhiomadusest
h
g
 
2
 
 h  fg  h  fg
m.o.t.t.
Näide 1

Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus BD on 4 
cm

Leia lõik CD, kui lõik AD on 2 cm
2
h  fg
B
42  2 x  x  42 : 2  (
8 cm)
4 cm
2 cm
x cm
C
 
A  
D
Ülesanne 1

Täisnurkse kolmnurga ΔABC jaotab 
hüpotenuusi AC kaheks osaks: 4 cm ja 5 cm.

Leia kolmnurga ΔABC pindala.
B
C
A
 
 
Eukleidese teoreem
 
 
Eukleides

Vana-Kreeka  matemaatik  ja 
filosoof

sündinud umbes 325 eKr 

tähtsaim teos, 13 raamatust 
koosnev „Elemendid”

sisaldab peaaegu kogu 
elementaargeomeetria

465 lauset (definitsioonid, 
aksioomid , teoreemid) 
hõlmav tööon kirjutatud 
ranges  loogilises järjekorras

on olnud paljude sajandite 
vältel peaaegu ainsaks 
geomeetria õpikuks

surnud umbes 265 eKr
 
 
Teoreem 
 Täisnurkse kolmnurga kaatet on 
oma  projektsiooni  ja hüpotenuusi 
geomeetriline keskmine.
C
a  fc  a2  fc
ehk
a
b
h
b  gc  b2  gc
f
g
B
 
 
A
D
Näide 2

Täisnurkse kolmnurga ΔABC kõrgus jaotab AC 
kaheks osaks, mille pikkused on 3 cm ja 6 cm.

Leia kaatetite AB ja BC pikkused. 
c = AC = AD + DC = 3 + 6 = 9 (cm)
x  39  3 3(cm)
B
y  69  3 6(cm)
x
y
3 cm D
6 cm
A
C
 
 
c
Pythagorase  teoreem
 
 
Pythagoras

Vana-Kreeka matemaatik 
ja filosoof

sündis umbes 569 eKr 
Samoses (Kreekas)

rajas Lõuna-Itaaliasse 
Krotonisse  usulis -
filosoofilise vennaskonna 
pütagoorlaste liidu

arvasid, et iga asi on arv

paarituid arve loeti 
halbadeks, paarisarve 
headeks

teadsid, et hästi kõlavad 
kokku vaid need 
pillikeeled, mille pikkused 
suhtuvad nagu täisarvud 

suri umbes 475 eKr. 
 
 
Teoreem:
 Täisnurkses kolmnurgas võrdub kaatetite 
ruutude  summa hüpotenuusi  ruuduga
C
2
2
2
a  b  c
a
b
c
B
A
 
 
    Võtame 4 võrdset täisnurkset kolmnurka ja 
 Iga sellise täisnurkse 
paigutame need järgmiselt: 
kolmnurga pindala on 
½ ab
 Suure ruudu pindala 
ühelt poolt avaldub 
seega:
4 · ½ ab + c2
  Teiselt  poolt on suure 
ruudu pindala:
(a + b)2
 Seega:
bb
cc
ab
2
a
4
 c 
2
(a  b)
2
2
2
2
2ab  c  a  2ab  b
2
2
2
2
2
2
c  a  2ab  b  2ab  c  a  b
m.o.t.t.
 
 
Pythagorase teoreemi…
 … kasutatakse täisnurkse 
kolmnurga külje pikkuse leidmiseks 
kahe ülejäänud külje kaudu
 hüpotenuus2 = kaatet12 + kaatet22
 kaatet12 = hüpotenuus2 – kaatet22
 kaatet22 = hüpotenuus2 – kaatet12
 
 
Näide
  Sukelduja  ujus vee all 20 m kivini, 
mis asub mere põhjas. Poi paikneb 
veepinnal täpselt kivi kohal, 
kusjuures  kivi kaugus poist on 10m. 
Kui kaugel asub poi kohast, kus 
sukelduja oma sukeldumist alustas?
 Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga 
joonis, kanna andmed joonisele ja leia 
otsitav suurus.
 
 
10 m
20 m
 
 
Näide
 16 m  redel  seisab maja seina 
najal . Redeli alumine serv asub 
maja  seinast  2 m kaugusele. Kui 
kõrgele maja seinale redel ulatub? 
 Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga 
joonis, kanna andmed joonisele ja 
leia otsitav suurus.
 
 
16 m
2 m
 
 
Näide
 Täisnurkse kolmnurga kujuline puri 
on 30 m kõrgune. Selle laius on 10 
m.  Milline on  purje  hüpotenuusi 
pikkus?
 Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga 
joonis, kanna andmed joonisele ja leia 
otsitav suurus.
 
 
30 m
3
1 0
0  ft.
m
 
 
Näide
 Mari ja Jüri lennutavad tuulelohet. 
Lohe on õhus täpselt Mari kohal, 
paiknedes 12 m kõrgusel. Jüri 
hoiab  lohet  kinni 30 m nööri otsas. 
Kui kaugel on Mari Jürist?
 Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga 
joonis, kanna andmed joonisele ja leia 
otsitav suurus.
 
 
30 m
12 m
 
 
Näide
 Täisnurkse kolmnurga üks külg on 
45 m. Selle kolmnurga hüpotenuus 
on 80 m. Leia kolmnurga kolmas 
külg.
 Tee tekkinud täisnurkse kolmnurga 
joonis, kanna andmed joonisele ja leia 
otsitav suurus.
 
 
80 m
45 m
 
 
Pythagorase kolmikud:
 Arve a, b ja c, kui need rahuldavad 
tingimust
a² + b² = c²
  nimetatakse Pythagorase 
kolmikuteks. 
 Kui kolmnurga külgede pikkused 
moodustavad Pythagorase kolmiku, siis 
on see  kolmnurk  täisnurkne.
 
 
Pythagorase kolmikud:
3
a
3
5
7
8
9
11 12 13 16 20 20 28 33 36 9
8
b
4
12 24 15 40 60 35 84 63 21 99 45 56 77 0
8
c
5
13 25 17 41 61 37 85 65 29 101 53 65 85 9
 Kõige tuntumaks Pythagorase kolmikuks 
on arvud 3, 4 ja 5
 Selliste külgedega kolmnurka 
nimetatakse ka Egiptuse kolmnurgaks
 
 

Document Outline

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32