+ = ;x a= ;v0 = 4.1. x y z 4.2. t at 2 5) Lahenda süsteem S = V0 t + ;a 4.2. 2 4 x + 14 - y =3 5) Lahenda võrrand 2 x + x + 6 = 14 x + 2 y - 25 = 1 6) Lahenda võrratused 5 5 7x + 4 6) Lahenda võrratused <0 x-5 6.1. 5( x + 1) >0 6.1. 2 x + 7 6.2. x - 2 x - 3 0 2 6.2. x + 2 x + 3 0 2
ktsioonina undmatud vasakule ja kitsendustele ,," lisatakse abimuutujad. a võrrandite kujul, milles igaühes esineb baasimuutuja so. muutuja s Optimiseerimisülesanne koosneb: - Meie poolt mõjutatavatest otsustusmuutujatest: x1 ja x2 Antud näites nemad tähistavad kahe kauba toodetavat kogust - 1 on kitsendus mingi materjali kohta: x1 kauba tootmisel kulub seda 3 ühikut ( ja x2 kauba tootmisel kulub seda 1 ühik, ning kokku on seda kasutada 9 ühiku (samamoodi teised võrratused) - x 0 kitsendus - Negatiivne x1 kordaja II võrrandis võiks olla näiteks CO2 kitsendus puu korr auto korral suureneb - Sihifunktsioonist Z, mida me maksimeerime või minimeerime. Antud näides o müügist saadav kasum: - x1 kauba kasum on 4 (selle kordaja) ja x2 kauba kasum on 3 gust ulub seda 3 ühikut (3 on x1 kordaja) a kasutada 9 ühikut kitsendus puu korral hulk väheneb, me. Antud näides on Z kauba n3 x2 I
- x < - 25 x > 25. Vastus: x (25; ). Ülesandeid Lahendada lineaarvõrratused: 2 1) 4x ( 8x 7 ) < 1 2) 7(2y -3) 4(5y 7) 1 3) 0 25 - x RUUTVÕRRATUSED. Kõrgema astme võrratused. Ruutvõrratuste lahendamiseks on mitu meetodit. Piirdume intervallide meetodiga. Intervallide meetodi algoritm: 1. Leida avaldise nullkohad (võrdsustada nulliga). Avaldist võib lahutada tegureiks. 2. Paigutada nullkohad arvsirgele. 3. Uurida avaldise märki igas saadud intervallis (igas intervallis valime suvalist arvu, asendame selle arvu ja uurime saadud märki). Intervallid omavad kas ,,+" või ,, ,, märki
> x Ø Graafik asub x- teljest ülevalpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg positiivsed > xR Graafik asub x- teljest allpool - funktsiooni väärtused on kogu aeg negatiivsed > x Ø Kokkuvõte: Ruutvõrratuse lahendamiseks 1) skitseerin parabooli a)määran, kas parabool avaneb alla või üles b)leian nullkohad 2) leian jooniselt võrratuse lahendid Lahenda järgmised võrratused: x 2 2 x 15 > 0 x 2 2 x 15 < 0 x 2 2 x 15 0 x 2 2 x 15 0
Ettevalmistus matemaatika riigieksamiks Taimi TammVask Teemad I Reaalarvud ja avaldised; II Lineaar, ruut, murdvõrrandid ja võrratused; III Vektor tasandil. Joone võrrand Teemad IV Funktsioonid ja nende graafikud; V Arvjada ja selle piirväärtus; VI Logaritm ja eksponentfunktsioonid. Logaritm ja eksponentvõrrandid ning võrratused; Teemad VII Trigonomeetrilised funktsioonid. Trigonomeetrilised võrrandid; VIII Funktsiooni piirväärtus ja tuletis; IX Geomeetria tasandil ja ruumis; X Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika. Gümnaasiumi lõpetaja õpitulemused oskab arvutada peast, kirjalikult või arvutusvahendite abil ja oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi; oskab teisendada algebralisi avaldisi; oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning
Võrrandid ja võrratused Põhiteadmised · Võrdus, võrrand, samasus; · võrrandisüsteem ja selle lahendusvõtted; · arvvõrratus, selle omadused; · võrratus, mis sisaldab muutujat, ja selle lahendamisel kasutatavad teisendused. Põhioskused · Lineaar-, ruut- ja murd- ja nendeks taanduvate võrrandite ning võrratuste lahendamine; · kahest kahe tundmatuga lineaarvõrrandist koosnevate võrrandisüsteemide ja lihtsamate ruutvõrrandisüsteemide lahendamine; · ühe tundmatuga lineaarvõrratuste süsteemide lahendamine; · tekstülesannete lahendamine võrrandi ja võrrandisüsteemi abil. Valemid b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a · Ruutvõrrand 2 p p x + px + q = 0 x 1;2...
Matemaatika valemid VÕRRANDID JA VÕRRATUSED ruutvõrrand murdvõrrand nimetaja ei võrdu nulliga! vajadusel leian ühise nimetaja kontroll! juurvõrrand võtan mõlemad pooled ruutu trigonomeetriline võrrand - logaritm eksponentfunktsioon ja eksponentvõrrandid 1. eksponentvõrrand 2. eksponentvõrrand 3. kolmeliikmeline eksponentvõrrand ehk logaritmfunktsioon ja logaritmvõrrand logaritmfunktsioon: logaritmvõrrandite lahendusvõtted: 1. potentseerimine 2. asendusvõte 3. logaritmi definitsiooni kasutamine võrrandisüsteem ja võrratussüsteem liitmis- või asendusvõte! GEOMEETRIA Tasandilised kujundid kolmnurk Heroni valem: r – siseringjoone raadius täisnurkne kolmnurk koosinusteoreem siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring,...
71 + 65 83 + K 71 50 + 74 27 - K 77 46 + K 83 1 - K 89 89 + 98 Seeriate arv Ns = 12, pikima seeria pikkus = 6, käänupunkte p =15. Käänupunktide graafik Aegrea mediaankriteeriumi võib lugeda juhuslikuks, kui võrratused kehtivad võrratused: --- --- Ns= 12 --- p = 15 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B Andmed: B1 xi 1,2 2,9 1,9 4,9 4,3 yi 7,9 9,9 7,7 20,3 14,1 B2 4,7 5,5 7,4 3,1 4,9 4,4 3,7 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur
Hinnang selle rea negatiivsele elemendile saadakse sihifunktsiooni rea elemendi jagamisel hinnatava elemendiga Duaalne ülesanne Igale LP ülesandele saab seada vastavusse temaga duaalse LP ülesande Duaalse ülesande lahend iseloomustab lähteülesande lahendi tundlikkust kitsenduste suhtes Standardkujul antud lähteülesande korral ontemaga duaalne ülesanne miinimumülesanne, kitsendused aga tüüpi võrratused Järeldused duaalteoreemidest · sihifunktsioonide optimaalsed väärtused on võrdsed · lähteülesande põhimuutujate optimaalsete väärtuste korrutis duaalse ülesande lisa- muutujate optimaalsete väärtustega on 0 · lähteülesande lisamuutujate optimaalsete väärtuste korrutis duaalse ülesande põhi- muutujate optimaalsete väärtustega on 0
Confidential Page 1 10.11.2004 Created by Allar Veelmaa Kodune kontrolltöö teemal „Lineaarvõrrandid- ja võrratused“ 1. Lahenda võrrand ja kontrolli lahendit. a) 3(4x – 1) – 2(-x – 5) = - 1; b) 4x – 3 – 2(2x – 1) = -3; c) (2x – 1)(x + 2) = 2x2 – 3(x – 4); d) -3,5(2,5x – 2,5) = 12,25x – 5,25; e) –(2x + 3) + 1 = -2x – 2. 2. Leia võrrandi lahendid. 3x − 1 3x − 5 a) = ; x+2 x +1 4x − 1 1 b) + 3x − 1 = − (2 x − 5) ; 2 3 − 3x − 1 3x + 1 1
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine;
ALGEBRA KONKURSS Ülesanded harjutamiseks Lihtsusta Lahenda võrrandid ja võrratused 1. 2a + 3b - 4a = 21. ( x - 2) 2 - ( x + 3) 2 = 5 x -1 2 - x 2. 2a - 2a (a 2 +1) = 22. + = 0,25 2 3 2 3. 16 - (a - 4) 2 = 23. x +1 = x 4. - 2a - (a 2 - a ) = 24. x 2 + x = 0,75 4 3 25. x 2 - 0,05 x - 0,05 = 0 5. + = a 2a 6
Jüri Afanasjev Tartu 2003 Juhendmaterjal on jätkuks TÜ Teaduskooli I kursusel läbitöötatud brosüürile E. Tamme "Algebraliste võrrandite lahendamisest". Vaadeldakse kõrgema astme võrratuste lahendamist intervallmeetodiga, absoluutväärtusi sisaldavaid võrratusi ja juurvõrratusi. Õppematerjali koostamisel kasutatud kirjandus: Abel, E. jt Aritmeetika ja algebra. Tartu, 1984 Gabovits, J. Võrratused. Tartu, 1970 Jürimäe, E., Velsker, K. Matemaatika käsiraamat IX - XI klassile. 2. tr. Tallinn, 1984 Litvinenko, V. N. jt Praktikum po reseniju matematitseskih zadats. Moskva, 1984 (vene keeles). 2 VÕRRATUSED Kaks algebralist avaldist, mis on omavahel seotud märkidega >, või < , moodustavad võrratuse.
Võrratused NÄIDE 1. LINEAARVÕRRATUS x 1 a) Vabaneda murdudest ja sulgudest 0 |∙ (−5) 5 b) Viia tundmatud ühele ja vabaliikmed 𝑥−1>0 teisele poole võrdusmärki 𝑥>1 c) Koondada ja jagada tundmatu ees oleva 1 x kordajaga V: 𝑥 ∈ (1 ; ∞) 2. RUUTVÕRRATUS 3(5 x 11) x(5 x 11) a) Viia kõik liikmed vasakule poole 5𝑥 2 − 4𝑥 − 33 > 0 võrdusmärki, korrastada võrratus Nullkohad: 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −2,2 b) Leida nullkohad c) Joonistada parabool ...
2 i) Leidke a ja b nii , et sirge 8x+2y+7=0 on puutujaks funktsiooni graafikule punktis P(1;-7,5) . a 0,5; b 4 Vastus: 7.Logaritmvõrrandid ja võrratused Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! log( 3 2 x) log 3 1 log( 1 x ) 2 a) Vastus: x = 0,75 1 log x 5 log( 2 x 3) 1 log 30 2 b) Vastus x = 6
Võrratussüsteemid. Funktsiooni määramispiirkond. Kui tuleb lahendada võrratussüsteem, mis sisaldab n ühe muutujaga võrratust, siis lahendatakse ükshaaval kõik süsteemi kuuluvad võrratused; süsteemi lahendihulgaks on üksikute võrratuste lahendihulkade ühisosa. Näiteks, k 4,5 2k 9 0 k 3 Lahendame võrratussüsteemi | : (-2) (k 3)( k 4) 0
3 2. Skitseerige samas koordinaatteljestikus funktsioonide y = 6 x , y = 3 x ja y = 0,3 x graafikud. Missuguste argumendi väärtuste korral kehtib võrratus 6 x > 3 x ? (viiruta). Iseloomusta funktsiooni y = 3 x (vähemalt viis kõige olulisemat omadust). 3. Kui suureks kasvab summa 570 eurot nelja aasta pärast, kui pank maksaks kuus 1% intressi? 4. Lahendage võrratused, põhjenda (miks): a) 0,12 x 0,1 ja b) 8 2 2 x -3 > 43. x -1 1 5. Lahendage võrrandid: a) 4 2 x = 64 , b) e 0,2x = e -1,2, c) =5 25
Võrratused 10. klass Võrratus Võrratuseks nim. kaht matemaatilist avaldist, mis on seotud märkidega >,<, või . Näiteks: 5>0; 4a+2-1; 3x2-1<8. < ja > on ranged võrratusemärgid; ja on mitteranged võrratusemärgid. Võrratuse omadused Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. Näiteks: Kui 3<7, siis 7>3. Võrratuse liikmeid võib viia ühelt võrratuse poolelt teisele, muutes üleviidava liikme märki. Näiteks: Kui 8>3, siis 8-3>0. Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) nullist erineva arvuga. Negatiivse arvuga jagades võrratuse märk muutub! Positiivse arvuga jääb samaks. Näiteks: Kui 5<7 |·3, siis 15<21. Aga 5< 7 |·(-3), siis -15>-21. Võrratuse lahend Kui võrratus sisaldab muutujat, siis saame rääkida võrratuse lahendamisest. Võrratuse neid muutuja väärtusi, mille korral võrratus osutub tõeseks nim. võrratuse lahendeiks ja kõiki koos võrratuse ...
3. Reaalarvu absoluutväärtus pealt x telge. a, a 0 18. Intervallide meetod a = - a, a < 0 19. Murdvõrratused (Pascali kolmnurk) 20. Võrratussüsteemid 4. Murru vabastamine irratsionaalsusest 21. Absoluutväärtust sisaldavad 5. Ligikaudne arvutamine võrratused/võrranid x = a ( ± a ) 22. Trigonomeetria sin 2 + cos 2 = 1 6. Suhteline e. relatiivne viga a sin S = tan = a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1
40 - 91 85 + K 91 69 - K 95 82 + k 96 39 - 96 Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 14 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 3) => H0 Seeriate arvu järgi ( Ns = 14 ) => H0 Käänupunktide arvu järgi (p = 17) => H0 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks a = 0.05. (t-statistik on 3,1824 ja z-statisik on 1,9602) i xi yi x-xkesk y-ykesk (x- (y- (x-xkesk)(y-ykesk) xi*yi
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5. Kui võrrand on kujul ax = b, siis jagatakse võrrandi pooled tundmatu ees oleva arvuga (a...
54 "+" 30 "-" K 94 "+" K 37 "-" K 87 "+" K 43 "-" 32 "-" K 94 "+" K 43 "-" 18 "-" K 89 "+" K 85 "+" 41 "-" 54 "+" 62 "+" 88 "+" K 49 med 15 "-" K 19 "-" Seeriate arv Ns=16 Pikkim seeria Lmax=3 Käänupunktide arv p=14 Mediaanikriteerium. Otsuse vastuvõtmiseks kontrollin võrratusi: Mõlemad võrratused kehtivad järelikult on tegimist juhusliku aegreaga Käänupunkti kriteerium Kontrollin võrratust: Võrratus kehtib. Järelikult on selle kriteeriumi järgi ka tegemist juhusliku reaga. Osa B. 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks = 0.05. D=r2=0,89 t0,975(3)= 3,1824 |t| > t1-/2 (f), x ja y voib lugeda korreleeritud suurusteks. | Z0,975=1,96
.., xm} ja Y = {y1, y2, ..., yn} vahel. Seame relatsioonile R vastavusse m×n-maatriksi, kus maatriski element . Nt, jaguvusrelatsioon. c. Graaf: Relatsioone lõpliku hulga X elementide vahel saab kujutada suunatud graafi abil. Kujutame hulga X elemente graafi tippudena ja joonistame tipust x tippu y kaare, kui kehtib xRy. Nt, jaguvusrelatsioon d. Avaldis: algebralised avaldised, nt võrratused. 22) Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse a. refleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt samasusrelatsioon. Maatriksil on peadiagonaalis kõik ühed, graafis on iga tipu juures silmus. b. antirefleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt relatsioon . Maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest, graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja .
48 79 - k 79 81 + k 77 81 + 39 94 - 19 97 - Pikim seeria Lmax = 3 Seeriate arv Ns = 14 Lmax < 3,3(log N + 1); Ns > 0,5(N + 1 – 1,96 ) Kuna mõlemad võrratused kehtivad, siis võib aegrea mediaanikriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Käänupunktide kriteeriumi järgi: Käänupunktid on reas esinevad lokaalmaksimumid ja lokaalmiinimumid. Käänupunktide arv p = 15 p > (2(N – 2) – 1,96 )/3 Seega võrratus kehtib ning algrea võib käänupunktide järgi lugeda juhuslikuks. Osa B Andmed: paarisvalim (xj,yj) mahuga 2x5 arvu (valim B1, N = 5) ja korduskatsete sari dispersiooni määramiseks mahuga 7 arvu (valim B2, w = 7).
o) log 4log16256 + log4 2 Vastus 0,75 p) 81log9 5 - log8110 Vastus 2,5 r)0,5 log 16 - log 0,0001 + log 25 Vastus 4 ä) 2log 0,5 + log1,2 - 0,5 log 900 Vastus -2 -5- - 6. Eksponentvõrrandid ja -võrratused Lahenda järgmised võrrandid või võrratused x 2 3 x a) 3 9 x 3 Vastus x1 = 2 x2 = 3 b) 4x + 1 -4x-1 = 60 Vastus x = 2 c) 52x = 3 Vastus x 0,341 d) 2 x 3 x 216 Vastus x = 6 x 1 e) 3 x+1
Sel juhul on see võrrand parameetrit sisaldav võrrand. Lahendada parameetreid sisaldav võrrand tähendab leida, milliste parameetri väärtuste puhul on võrrand lahenduv ja kuidas tundmatu x nende parameetrite väärtuste korral avaldub. Kasulik on leida võrrandi määramispiirkond, samuti parameetri need väärtused, mille korral võrrandi iseloom kvalitatiivselt muutub. Üldisi reegleid parameetritega võrrandite lahendamiseks ei ole. Võrratused 4.1 Arvvõrratuste omadused. Võrratuste samaväärsus. · Kui vahetada võrratuse pooled, muutub võrratuse märk vastupidiseks. · Võrratuse mõlemale poolele võib liita ühe ja sama arvu, jättes võrratuse märgi endiseks. · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) ühe ja sama positiivse arvuga, jättes võrratuse märgi endiseks. · Võrratuse mõlemaid pooli võib korrutada (jagada) ühe ja sama negatiivse arvuga, muutes võrratuse märgi
Kuna kõik Qi on kumerad, siis x1,x2 kuuluvad igasse Qi-sse. Kumerte hulkade ühisosa võib olla ka tühihulk, mis omakorda on kumer hulk, kuna ei sisalda ühtegi elementi. 5. Lineaarsete võrratuste süsteemid, vastuoluline süsteem !! ... !! ! ! Axb, kus = ... ... ... ,= ... ,= ... . !! ... !" ! ! Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte
71 + k 87 15 - k 94 96 + k 95 4 - k 96 87 + k 98 Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 10 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 2) => H0 2=Lmax<3.3(log25+1)7,9 Seeriate arvu järgi ( Ns = 14 ) => H0 Käänupunktide arvu järgi (p = 20) => H0 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B Andmed: paarisvalim (xj,yj) mahuga 2x5 arvu (valim B1, N = 5), pluss korduskatsete sari dispersiooni määramiseks mahuga 7 arvu (valim B2, w = 7). 10. Leida ühefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1 x ja analüüsida selle täpsust (võttes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks a = 0.05): 10.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1
k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Seeriate (märgirea osad, mis koosenvad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: NS = 20 Pikima seeria pikkus (Lmax = 2) => H0: 2 = Lmax < 3,3(logN + 1) 7,9 Seeriate arvu järgi (NS = 20) => H0: 20= NS > 0,5(N + 1 1,96 ( N -1) ) 8 Aegrida mediaankriteeriumi järgi võib lugeda juhuslikuks, sest võrratused kehtivad. Käänupitde arvu järgi (p = 20) => H0: 20 = p > (2(N - 2) 1,96 (1,6 N - 2,9) ) / 3 11 Aegrida käänupunktide kriteeriumi järgi saab lugeda juhuslikuks, sest võrratus kehtib. OSA B 10. Valimi B1 ja B2 korrelatsioonitegur ja regresioonimudel koos statistikutega t ja z (x- (y- (x-xkesk)(y-
71 + k 87 15 - k 94 96 + k 95 4 - k 96 87 + k 98 Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 10 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 2) => H0 2=Lmax<3.3(log25+1)7,9 Seeriate arvu järgi ( Ns = 14 ) => H0 Käänupunktide arvu järgi (p = 20) => H0 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B Andmed: paarisvalim (xj,yj) mahuga 2x5 arvu (valim B1, N = 5), pluss korduskatsete sari dispersiooni määramiseks mahuga 7 arvu (valim B2, w = 7). 10. Leida ühefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1 x ja analüüsida selle täpsust (võttes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks a = 0.05): 10.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1
b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a · Arv a on arvust b 100 % b b-a · Arv b on arvust a suurem 100 % a b-a · Arv a on arvust b väiksem 100 % b 2. Võrrandid ja võrratused b · Lineaarvõrrand ax + b = 0 x=- a 2 p p x 2 + px + q = 0 x 1;2 = - ± -q 2 2
maatriks, seega 6. Duaalse ülesande sihifunktsiooni väärtusele w nõuda miinimumi, kui esialgse ülesande sihifunktsiooni väärtusele z nõutakse maksimumi; ja vastupidi. 7. Duaalse ülesande j-nda tingimuse märk ( ≤ , ≥ või = ) määratakse esialgse ülesande vastavale tundmatule (s.t. xj-le) kehtestatud nõude alusel (vt. lk. 26- 27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõik kitsendused on ≥- tüüpi võrratused. 8. Duaalse ülesande tundmatule yi kehtestatav nõue (≤ , ≥ või märgi poolest kitsendamata) fikseeritakse esialgse ülesande vastava (s.t. i-nda tingimuse märgi alusel (vt. lk. 26-27). Märkus: Max-põhikujulise ülesandega duaalse ülesande kõikidelt tundmatutelt nõutakse mittenegatiivsust (yi ≥ 0). Järgnevalt selgitame duaalse ülesande tingimustesüsteemi tingimuste märkide ja duaalsetele tundmatutele esitavate nõuete määramist. Kõigepealt sõltub see
7 reaalharu 4 4 4 53 üldharu 3 3 3 50 matem.eriklassid 5 5 5 56 Gümnaasiumi ossa kavandati järgmised matemaatikakursused: 1. Reaalarvud ja avaldised (humanitaarharus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 2. Võrrandid ja võrratused (hum. harus 20 tundi, reaalharus 30 tundi) 3. Trigonomeetria (20, 30) 4. Vektor tasandil. Joone võrrand (30, 30) 5. Funktsioonid, vastavad võrrandid ja võrratused (30, 60) 6. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis (30, 60) 7. Stereomeetria. Vektor ruumis (10, 30) 8. Integraal ja selle rakendusi (25, 45) 9. Tõenäosusteooria ja mat. statistika (25, 30). Viimane, 9. kursus oli uus ja lülitus programmi esmakordselt pärast 1930ndaid aastaid
Seepärast eeldatakse (s.t. postuleeritakse), et reaalarvude hulgas R kehtib järgmine väide, mida nimetatakse pidevuse aksioomiks: (P) igal ülalt tõkestatud mittetühjal hulgal X ⊂ R leidub ülemine raja. Reaalarvude hulga seda omadust nimetatakse tema täielikkuseks. Järgneva lause kohaselt järeldub aksioomist (P) alumise raja olemasolu igal alt tõkestatud alamhulgal. Selle tõestamisel rakendame me mitmel korral järjestuse aksioomidest järelduvat omadust võrratused a < b ning −b < −a on samaväärsed. Tuua näiteid alumise ja ülemise raja kohta: Alumine raja (infX): [0,2) minX = 0 Ülemine raja (maxX): (0,2] maxX = 2 3. Pidevuse aksioom (*) Esitada pidevuse aksioom (P) - Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. Tõestada, et igal alt tõkestatud hulgal on alumina raja: Eeldame, et X ⊂ R on mittetühi alamhulk, mis on alt tõkestatud reaalarvuga m, s.t
k k k k k k k k k k k k k k Märgirida on moodustatud esimese rea põhjal, mille elemendiks on ,,+", kui ja ,,-" kui ; kui , siis element jääb vahele. Mediaan on leitud ülesandes 1, . Pikima seeria pikkus on ning seeriate arv on . Otsuse vastuvõtmiseks kontrollin võrratusi Mõlemad võrratused kehtivad, seega aegrea võib lugeda mediaani kriteeriumi järgi juhuslikuks. Käänupunktideks on reas esinevad lokaalmaksimumid ning lokaalmiinimumid . Käänupunktide arv on . Otsuse vastuvõtmiseks kontrollin võrratust Võrratus kehtib, seega aegrea võib lugeda käänupunktide kriteeriumi järgi juhuslikuks. Osa B 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida x ja
transport ja logistika ökoloogia seired (atmosfääri, mere, maakoore) juhtimine finantsmajandus äri- ja kaubandustegevus rakendusteadused Matemaatilise modelleerimise mõiste Tegelikkuseteadlikku asendamist mudeliga nimetatakse modelleerimiseks, aga ka kunstiks. Modelleerimine on teadus mudelite koostamisest ja analüüsist. Täiendades: matemaatiline mudel on mudel, mis on koostatud kasutades matemaatilisi kontseptsioone (nagu funktsioonid, võrrandid, võrratused jm). Modelleerimise peamine eesmärk on süsteemi oleku kirjeldamine abistada inimest otsustamisel ja prognoosimisel. SÜSTEEMI OLEK (seisund) väljendub tema elementide (olekumuutujate) omaduste kaudu. ANDMED on süsteemi elementide omaduste arvulised väärtused. PROTSESSID (sündmused) on süsteemi elementide omaduste ajalis-ruumilised muutused. Süsteemi olek. Entroopia Asugu mingi süsteem olekus X (x1,x2 .. xn), kus süsteemi iga
a Var. rida 47 47 48 53 68 70 75 75 79 94 96 99 Märgirid + - - - + - - + - + + + a Käänup. K K K K K K K K Kontroll mediaanikriteeriumi järgi: Seeriate arv Ns = 14 Pikima seeria pikkus Lmax = 3 Nullhüpotees võetakse vastu, kui kehtivad võrratused Lmax < 3,3(log N + 1) 3 < 7,9 N s > 0,5( N + 1 - 1,96 ( N - 1)) 14 > 8, 2 Võrratused kehtivad ja aegrea võib lugeda mediaanikriteeriumi järgi juhuslikuks. Kontroll käänupunktide kriteeriumi järgi: Käänupunktide arv p = 16 Nullhüpotees võetakse vastu, kui kehtib võrratus (2( N - 2) - 1,96 (1, 6 N - 2,9)) p> 16 > 11,35 3 Võrratus kehtib ja aegrea võib lugeda ka käänupunktide kriteeriumi järgi juhuslikuks. OSA B
piirkond? Kuidas neid leida? Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antub piirkonnas kasvavaks. iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) > f (x1) Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotonselt kasvav iga x1 , x2 E X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoonselt kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoonselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a)
35 79 - k 87 82 + k 51 84 + 1 87 - k 69 87 + Pikim seeria Lmax = 4 Seeriate arv Ns = 13 Lmax < 3,3(log N + 1); Ns > 0,5(N + 1 1,96) Kuna mõlemad võrratused kehtivad, siis võib aegrea mediaanikriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Käänupunktide kriteeriumi järgi: Käänupunktid on reas esinevad lokaalmaksimumid ja lokaalmiinimumid. Käänupunktide arv p = 18 p > (2(N 2) 1,96 ) / 3 18 > 11,33 Seega võrratus kehtib ning algrea võib käänupunktide järgi lugeda juhuslikuks. Osa B Andmed: paarisvalim (xj,yj) mahuga 2x5 arvu (valim B1, N = 5) ja korduskatsete sari dispersiooni määramiseks mahuga 7 arvu (valim B2, w = 7). 10
46 - k 94 75 + 96 79 + 99 Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 15 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 3) => H0 3=Lmax<3.3(log25+1)7,9 Seeriate arvu järgi ( Ns = 15 ) => H0 Käänupunktide arvu järgi (p = 15) => H0 (2(N - 2) 1,96 (1,6 N - 2,9) ) / 3 11 Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Osa B 10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur. Kontrollida t- statistiku ja z-statistiku abil, olulisuse nivoo = 0,05. (x- (y- x- y- xkesk)^ ykesk)^ (x-xkesk)(y-
Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsiooni antud piirkonnas kasvavaks. iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) > f (x1) Kui piirkonnas X vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus, siis nimetatakse seda funktsooni antud piirkonnas kahanevaks. iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) < f (x1) Kui rangete võrratuste asemel mitteranged võrratused, siis monotoomsel kasvav iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) ja monotoomsel kahanev iga x1 , x2 e X korral kehtib seos x2>x1 siis f(x2) f (x1) iga kasvav (kahanev) funktsioon on monotoomselt kasvav (kahanev), kuid vastupidine väide ei kehti. 5. Mis on funktsiooni lokaalsed ekstreemumid? Kuidas neid leida? f´(x)=0 Öeldakse, et funktsioonil y=f(x) on kohal a lokaalne maksimum, kui leidub selline ümbrus, et f(x) f(a)
04 0.17 Fkr = F1-α (k-1, N-k) = F0,95 (4;20) = 2,87 Fkr : nii see on (0,17 < 2,87). eskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks Käänupunkt Pikim seeria Lmax = 3 Seeriate arv Ns = 14 Lmax < 3,3(log N+1) ja Ns > 0,5(N+1-1,96√(N-1)) Kuna mõlemad võrratused kehtivad, siis võib aegrea mediaankr. järgi luge k Käänupunktide arv p = 15 p > (2(N-2) - 1,96√(1,6N-2,9))/3 k Võrratus kehtib ning aegrea käänupunktide järgi võib lugeda juhuslikuks k k k k k k k k k k k k k Jrk. nr Järj. rida Empiiriline Ühtlane 1 1 0.04 0.01 2 2 0.08 0.02
(põhikitsendused) (kitsendused otsustusmuutujatele) Sihifunktsioon: funktsioon, mille optimaalset (maksimaalset või minimaalset) 2 väärtust kindlustavat otsustusmuutujate väärtuste komplekti otsitakse Põhikitsendused: kitsendused, mis piiravad otsuse tegemist; antud juhul on nendeks probleemi kirjelduse põhjal moodustatud võrratused Kitsendused otsustusmuutujatele: vaatleme ainult selliseid otsustusmuutujate väärtusi, mille korral neil muutujatel on mõtet; antud juhul muidugi 6. Milline on lineaarse planeerimise ülesande kanooniline kuju? Kuidas see saadakse standardsest kujust? Me teisendame standardse kuju kanoonilisele kujule lisamuutujate abil 7. Mis on planeerimisülesande lubatav hulk?
kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.
kujule, kus murru nimetajas (lugejas) ei esine enam juuri (ega ka murrulist astet). 3 Irratsionaalavaldisi (juuravaldisi), mis erinevad üksteisest ainult juuremärgi ees olevate kordajate poolest (või ei erine üldse), nimetatakse sarnasteks. Summat, mille liidetavate hulgas on sarnaseid juuravaldisi, saab koondada. Võrrandid ja võrratused Võrduse moodustavad kaks avaldist, mis on ühendatud võrdusmärgiga. Võrdust, mis on tõene tundmatu mistahes võimalike väärtuste korral, nimetatakse samasuseks. Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamise eesmärgiks on leida kõik tundmatu väärtused, mille asendamisel võrrandisse tundmatu kohale võrrandi mõlemad pooled võrdsustuvad.
05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest ,,+" või ,,-" märkidest) arv: Ns = 7 Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 3) => H0 3=Lmax<3.3(log25+1)7,91 juhuslik Seeriate arvu järgi ( Ns = 7 ) => H0 pole juhuslik Ns <8,2 järelikult pole tegemist juhusliku aegreaga (7<8,2). Käänupunktide arvu järgi (p = 13) => H0 juhuslik Kuna kõik võrratused ei kehti, ei saa aegrida mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. lähterid järjestatu a käänup d 54 + 9 32 - 15 30 - k 18 54 + 19 89 + k 30 54 + 32 9 - k 33
.,ym 2. Duaalse ül kitsenduste süsteemi vabaliikmeteks on esialgse ül sihifunktsiooni kordajad c1,c2 Duaalse ül kitsenduste arv sõltub esialgse ül muutujate arvuga 3. DÜ kitsenduste süsteemi kordajate maatriks on esialgse ül kitsenduste süsteemi kordajate maatriksi transponeeritud kuju. 4. DÜ nõutakse sihifunktsiooni miinimumi. 5. Max –põhikujulise ül duaalse ül kõik kitsendused on võrratused ≥ 6. Max-põhikujulise ül DÜ muutujuatelt yi nõutakse mittenegatiivsust yi ≥0 1. Esialgse ülesande igale kitsendusele seada vastavusse duaalse ülesande tundmatu ehk esialgse ülesande m tingimusele vastavad duaalsed tundmatud yi ( y1, y2, ..., ym). 2. Esialgse ülesande n tundmatule xj (x1 , x2 ,…, xn) seada vastavusse sama arv tingimusi duaalses ülesandes. 3. Duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks võtta esialgse ülesande
.……. 28 3.14 Võrratus ………………………………………………………...…… 31 3.15 Lineaarvõrratus ………………………………………………..…… 31 3.16 Lineaarne võrratussüsteem ……………………………………...….. 32 3.17 Ruutvõrratus …………………………………………………….….. 33 3.18 Kõrgema astme võrratus ……………………………………………. 34 3.19 Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused ………………………...…… 35 3.20 Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest …………..… 35 3.21 Logaritmid ………………………………………………………..…. 41 3.22 Summa märk ………………………………………………….……. 44 3.23 Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..….. 46 1 1. ARVUHULGAD
b Kui a > 1, siis võrratuse märk jääb samaks f ( x ) a , f ( x) g(x ) . Kui 0 < a < 1, siis võrratuse märk muutub vastupidiseks f ( x ) ab , f ( x) g( x ) . Tuleb meeles pidada, et logaritmitav on alati positiivne! Logaritmvõrrandi kontroll on kohustuslik. Näiteid: Lahendada võrratused 1) log 2 ( x-1 )> 5 . Logaritmi alus on 2 ( > 1), s.t. võrratuse mark säilib x-1>25 , ning logaritmitav on positiivne x-1>0 . Seega saame võrratuste süsteemi { x-1> 0 { x -1> 32 x >33 x >1 . Lahendite ühiseks osaks on x> 33 , mis ongi antud ülesande vastuseks. Vastus: x ( 33; ) . 2) log 0,5 ( 2 x+7 )>log 0,5 (3 x-4) . Logaritmi alus on 0,5 (< 1), s.t
Algülesande sihifunktsiooni kordajad on duaalse ülesande vabaliikmeteks ja vastupidi; algülesande vabaliikmed on duaalse ülesande sihifunktsiooni kordajateks, kusjuures maksimum muutub miinimumiks või vastupidi. 3. Algülesande ja duaalse ülesande kitsenduste süsteemi maatriksid on teineteise suhtes transponeeritud, Kusjuures võrratuste märgid muutuvad vastupidisteks. 4. Juhul kui algülesandes esinevad mõlemasuunalised võrratused, siis enne duaalse ülesande koostamist muudetakse võrratused samasuunalisteks: ,,max" ülesande korral ,, " ja ,,min" ülesande korral ,, ". Duaalsuse põhiteoreem: Kui ühel ülesannetest alg- või duaalsel on olemas optimaalne lahend, siis on see olemas ka teisel ülesandel, kusjuures optimaalsete lahendite korral on sihifunktsioonide väärtused võrdsed: ckxk = biyi. Näide 1: Koostada antud ülesandele duaalne ülesanne ja lahendada mõlemad ülesanded
annaabi.ee 
