Matemaatiline modelleerimine inseneridele (0)

Matemaatiline 
modelleerimine  
inseneridele (4 EAP)
TE.0933
eve. aruvee @emu.ee
Õppeaines käsitletavad teemad on:
 1. Mudelite liigid ja  modelleerimise  käsitlused.
2. Tutvumine programmipakettiga SCILAB.
3.  Maatriksid  ja lineaarvõrrandisüsteemid ( rakendused ). 
Võrrandid ja võrrandisüsteemid ning nende lahendamine.
4. Funktsioonide lähendamine.
5. Polünoomidega interpoleerimine.
6. Harilikud diferentsiaalvõrrandid, osatuletistega 
diferentsiaalvõrrandid, nende ligikaudse lahendamise 
meetodid.
7. Numbrilised meetodid. Simulatsioonid ja numbrilised 
eksperimendid .
8. Optimaalse juhtimise teooria elemendid.
9. Dünaamiliste protsesside modelleerimine.
MUDEL
on (tunnetatava) objekti analoog, mis 
tunnetusprotsessis  seda objekti asendab.
[J.  Lotman .  Kultuurisemiootika   http://www.ut.ee/lotman/ee/teosed/kultuurisemiootika/kunstmod.ht m]
Mudel on meie arusaam sellest, kuidas miski toimub (kuidas
mingid protsessid toimuvad). Mudelid võimaldavad mõista 
reaalelu probleeme imiteerides tegelikke protsesse 
lihtsustatult.
Tegelikult tuleb ülesannete lahendamisel alati eelistada 
täpseid lahendeid, kuid kahjuks see enamasti ei õnnestu, 
seda eriti loodusteaduslike ja üldse rakenduslike protsesside 
uurimisel .
MATEMAATILINE MUDEL
 TÄPSED MÕISTED VAADELDAVA SÜSTEEMI VÕI NÄHTUSE KIRJELDAMISEKS
 KÕIK SAAVAD ÜHTMOODI ARU
 MIDA SAAB ÖELDA  MATEMAATIKA  VAHENDITEGA, SEDA SAAB VÄLJENDADA KA 
IGAPÄEVAKEELES
Matemaatiline modelleerimine nõuab koostööd praktikute 
ja akadeemiliste ringkondade vahel. See ongi 
tööstusmatemaatika.
( Industrial  Mathematics)
Tööstusmatemaatika huvi- ja 
rakendusvaldkonnad 
 tootmine 
  tehnoloogia  
 toorainete töötlemine 
  energeetika
 transport ja logistika
 ökoloogia
 seired (atmosfääri, mere, maakoore)
 juhtimine
  finantsmajandus
 äri- ja kaubandustegevus 
 rakendusteadused
Matemaatilise modelleerimise mõiste
 Tegelikkuse teadlikku asendamist mudeliga
nimetatakse modelleerimiseks, aga ka 
kunstiks.
 Modelleerimine on teadus mudelite
koostamisest  ja analüüsist.
Täiendades: matemaatiline mudel on mudel, 
mis on koostatud kasutades matemaatilisi 
kontseptsioone (nagu funktsioonid,
võrrandid, võrratused jm).
Modelleerimise peamine eesmärk
on süsteemi oleku kirjeldamine
abistada inimest  otsustamisel  ja
prognoosimisel.
 SÜSTEEMI OLEK (seisund) väljendub tema 
elementide (olekumuutujate) omaduste kaudu. 
 ANDMED on süsteemi elementide omaduste 
arvulised väärtused. 
 PROTSESSID (sündmused) on süsteemi elementide 
omaduste ajalis-ruumilised muutused. 
Süsteemi olek.  Entroopia
 Asugu mingi süsteem olekus X (x1,x2 .. xn), kus süsteemi iga 
elemendi esinemise tõenäosustõenäosus oleks P(xi)= pi
 Süsteemi entroopia 𝑯 𝑿 = −  𝒏𝒊=𝟏 𝒑𝒊𝒍𝒐𝒈𝒑𝒊
ENTROOPIA H(X) mõõdab juhusliku suuruse X juhuslikkust. Mida 
väiksem entroopia seda korrastatum on süsteemi olek, mida suurem 
on entroopia, seda korratum e. juhuslikum on X. Konstant ei ole 
juhuslik, seetõttu on konstandi entroopia 0. 
Ökoloogiline entroopia väljendab bioloogilist mitmekesisust – mida liigirikkam 
on ökosüsteem, seda suurem on entroopia s.o. seda juhuslikum on mingi kindla 
liigi esinemine juhuslikus väljavõttes 
Kas jää sulamisega klaasis muutub süsteem ühtlasemaks ja 
süsteemi entroopia hoopis kahaneb, kuna süsteem ühtlustub 
ning konstandi entroopia on 0 ? 
Süsteemi mikrooleku määramiseks on aga vaja teada 
kõigi süsteemi kuuluvate osakeste koordinaate ja 
Jää  sulamine  klaasis –
tüüpiline näide
impulsse. Kõigi osakeste koordinaatide ja impulsside 
kasvava 
entroopiaga süsteemist
ruumi nimetatakse faasiruumiks. Faasiruum on 6-
mõõtmeline ruum, mille  koordinaatideks  on lisaks 
tavalistele ruumikoordinaatidele osakeste kiiruste või 
impulsside komponendid. 
Me ei vaata kontsentratsiooni vaid faasiruumi s.o. iga 
üksikut osakest liikumises. Jääs on osakesed 
kristalliliselt fikseeritud, vees on osakeste 
liikumisvõimalused suuremad, võimalikke  olekuid  
rohkem ning ning nende jaotus on juhuslikum. 
Matemaatiliste mudelite 
klassifitseerimine
Pidev – diskreetne
Lineaarne – mittelineaarne
 Deterministlik  – stohhastiline
Staatiline - dünaamiline
Statsionaarne  mudel kirjeldab süsteemi, kus süsteemi oleku 
(seisundi)  parameetrid  ei muutu, dünaamiline mudel aga 
süsteemi, kus oleku parameetrid muutuvad. statsionaarne 
dünaamiline Vaatleme tünnis olevat vett, kui süsteemi, 
mille oleku parameetriks on veetase (H)
Sisse- ja 
Sisse- ja 
väljavool on 
väljavool on 
võrdsed
erinevad
𝑑𝐻 = 0
𝑑𝐻
𝑑𝑡
≠ 0
𝑑𝑡
statsionaarne 
dünaamiline 
Matemaatilised mudelid jaotuvad
empiirilisteks ja teoreetilisteks.
Empiirilised  mudelid  kirjeldavad  mõõdetud 
seoseid  mitmesuguste 
lähendusfunktsioonide abil, nad on saadud 
induktiivsel teel.
Teoreetilised mudelid lähtuvad 
ettekujutusest modelleeritava
nähtuse mehhanismi (ehituspõhimõtte) 
kohta, nad võidakse tuletada deduktiivsel 
teel.
SÜSTEEMI PARAMEETRID 
AEG on protsesside kirjeldamisel levinud sõltumatuks 
argumendiks. Kui argumenti pole täpsustatud (näiteks lausega 
rõhu sõltuvus temperatuurist), siis sõltumatuks argumendiks 
on aeg. 
Süsteemi elemendi omaduse muutumise kirjeldamine, 
(erinevalt püsivast seisundist - staatikast) nõuab vähemalt 
kaht parameetrit, millest üks on argumendiks (sõltumatult 
muutuvast omadusest), teine aga väljendab omaduse 
muutumist ennast. Aja muutumine pole meie poolt 
kontrollitav ja seetõttu kulgevad looduslikud protsessid 
olekute ajalise järgnevusena. 
Matemaatika vaatepunktist on aeg universaalne ja väga 
kasulik vahemuutuja, mille abil saab siduda üsnagi erinevate 
protsesside võrrandeid. Tunnetuslikust  seisukohast  on aja 
kulgemiskiiruse  tajumine  sõltuv vaatleja füüsilisest ja 
hingelisest seisundist. 
SÜSTEEMI PARAMEETRID 
RUUM - süsteemi elemendi asukoha või tema 
omaduste asukohaliste muutuste kirjeldamiseks 
kasutatakse ruumikoordinaate. 
KOORDINAADID. Asukoha määramiseks  piisab  
kolmest arvust ( tinglikult pikkus, laius ja kõrgus). 
Nende kolme arvu saamiseks tuleb konstrueerida 
KOORDINAATSÜSTEEM - reeglistik nimetatud 
arvude leidmiseks. Lihtsaim ja sagedamini 
kasutatav on RISTKOORDINAADISTIK (ka 
René  Descartes  (1596- 1650
Descartes'i või  Cartesiuse  koordinaadid): kolm 
üksteisega risti olevat ühikvektorit, mille suunale 
projekteeritakse kirjeldatav kohavektor.)
Matemaatilise mudeli koostisosad
 Muutujad e. otsustusparameetrid e. juhitavad 
parameetrid
 Konstandid, ka kalibreeritavad parameetrid
 Sisendparameetrid e. andmed
 Faasimuutujad e. seisundiparameetrid
 Väljundparameetrid
 Müra e. juhuslikud parameetrid
Mudeli koostamine on mõistlik jagada
järgmisteks  osadeks  (1):
 Probleemi püstitamine, mudeli eesmärgid.
 Suurem süsteem tuleb jagada alammudeliteks.
 Määrame põhimuutujad, märgiühikud;
Tuleb hoida  lihtsust  (põhimuutujaid mõõdukalt).
 Valime juhtimismuutujad;
Tuleb hoida lihtsust (arvesta ainult peamisi arenguid).
 Määrame juhtimismuutujate parameetrid (ühikutega).
 Hindame mudelit võimalike vastuolude mõttes.
 Vajadusel kasutame lisakitsendusi.
 Määrame mudeli tööaja ja ajasammu.
Mudeli koostamine on mõistlik jagada
järgmisteks osadeks (2):
 Käivitame mudeli, testime ajasammu ja muudame viimast
senikaua kuni tulemused ei erine oluliselt (nt. kaks korda).
 Varieerime parameetreid ekstreemsete väärtusteni, 
täiustame mudelit.
 Võimalusel võrdleme tulemust eksperimendiga.
 Muudame parameetreid ja ka mudelit, et saada suuremat
kompleksust ja vähendada erinevusi eksperimentaalsete
tulemustega.
 Püstitame uued küsimused, probleemi; kordame skeemi 
uuesti.
Mudeli koostamise põhimõtted:
1. Fikseerime protsessi võtmeelemendid ja vaatlustulemused;
2. Määrame põhimuutujad abstraktse versiooni koostamiseks;
3. Määrame seosed põhimuutujate vahel;
4. Käivitame mudeli.
5. Hindame tulemusi.
Modelleerimine on lõputu protsess, me võrdleme saadud tulemusi
tegelikkusega, parandame ja täiendame mudelit, käivitame uuesti
jne. Kui mudel on simuleeritud arvutiga, siis on iga mudeli element
määratud algtingimustega ja arvuti leiab vastuseid probleemidele
vastavalt elementide vahel määratud seostele.
Modelleerimise kasutusala
 Modelleerimisel on kolm põhilist kasutusala:
1. Hea mudel lubab varieerida komponente ja 
näha selle mõju ülejäänud süsteemile.
2. Hea mudel lubab ennustada dünaamilise 
süsteemi (protsessi) tulevikku.
3. Hea mudel stimuleerib järgmisi küsimusi 
süsteemi käitumise kohta ja avastatud printsiipide
rakendatavusest teiste süsteemide 
modelleerimisel.
Muutumise kiirus
f(t+t)
f(t)
𝒅𝑪
∆𝑪
= 𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦 𝒕𝒂𝒏𝜷 = 𝒕𝒂𝒏𝜶
𝒅𝒕
∆𝒕→𝟎 ∆𝒕
𝜷→𝟎
Modelleerimine on seotud süsteemi elementide omaduste 
muutumise kiiruste kirjeldamisega. 
Ka statsionaarne mudel sisaldab protsesside kiirusi. 
ANDMETE MÕÕTMINE 
PÕHISUURUSED JA  TULETATUD  SUURUSED
Mistahes tuletatud suuruse Q saame avaldada 
põhisuuruste A kaudu üldistatud valemi abil
𝑸 =   𝒏
𝜶𝒊
𝒊=𝟏 𝑨𝒊 , 
Q – tuletatud suurus
 - tegur
Ai – põhisuurus
i – positiivne või negatiivne murd- või täisarv
Praktikas kasutatakse ülaltoodud valemi asemel suuruste 
ühikute väärtustevahelisi seoseid. Suurused on 
kokkuleppeliselt grupeeritud vastavate suuruste 
süsteemidesse. 
SUURUSE DIMENSIOON
SUURUSE DIMENSIOON (mõõtühik) on  avaldis , mis väljendab 
suuruste süsteemi kuuluvat suurust selle süsteemi põhisuurusi 
tähistavate tegurite  astmete  korrutisena. 
 Rahvusvahelise standardi ISO 31-0 kohaselt tähistatakse suuruse 
Q  dimensiooni  tähisega dimQ. 
 Eeltoodud suuruste üldise valemi alusel saab tuletatud suuruse 
dimensiooni avaldada:
dimQ = ABC
kus A, B, C, …. – põhisuuruste A,B,C, … dimensioonid, α, β, γ, …. -
dimensioonide astmenäitajad.
Näide
Kiiruse dimensioon: dimV = LT-1 [m s-1] , kus V – kiirus, L – pikkus, T 
– aeg.
Põhiühikud
 SUURUS 
ÜHIK 
TÄHIS 
 Aeg 
sekund 
s 
 Pikkus 
meeter 
m 
 Mass 
kilogramm  
kg 
 Temperatuur 
kelvin
K 
 Ainehulk 
mool  
mol
 Valgus-tugevus 
kandela
cd 
 Elektrivoolu tugevus  amper 
A 
Põhiühikutele lisanduvad põhiühikutest tuletatud ühikud ning 
kümnendkordajad. Kõik tähised ja eesliited  on standardiseeritud. 
Ühtlaselt kiireneva liikumise võrrandi 
liikmete mõõtühikud (dimensioonid):
1)Kui võrrandi mõlemal poolel on samad ühikud, siis ei pruugi veel olla tagatud, 
et võrrand on õige. 
2)Kui võrrandi liikmed on kirjeldatud erinevates ühikutes, siis on garanteeritud, 
et võrrand on vale! 
võrrandi 
liige ühik 
q 
L3/T 
an
L3/T 
bnc
L3/T 
Võrrandi kõik liikmed peavad olema ühikuga L3/T 
1) Korterite arv n väljendab elanike arvu, seejuures iga elanik  
tarbib teatud koguse vett ööpäevas 
2) an väljendab elanike püsivat pideva tarbimise komponenti 
3) bnc väljendab elanike samaaegse veetarbimise 
tõenäosuslikku komponenti