Rakendusstatistika arvutusgraafiline töö (0)

RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ
Osa A
Valimi A mahuga N=25 variatsioonirida :
22 96 91 75 74 75 25 79 12 38 95 10 71 0 79 24 86 91 96 5 40 85 69 82 39
1.Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud .
Keskväärtus:
Excel : AVERAGE
x̅=58,36
Dispersioon:
Excel: VAR
Sx²=1072,74
Standardhälve:
Excel: STDEV
Sx=32,75
Mediaan:
Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral.
Excel: MEDIAN
Me=74
Haare:
=96-0=96
R=96
2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks α = 0.10).
Keskväärtuse usaldusvahemik :
α = 0,10
t0,1; 24= 1,711 (Studenti tabelist)
(Arvutatud excelis väärtuste ümardusi rakendamata)
Usaldusvahemiku poollaius:
11,2
Dispersiooni usaldusvahemik:
α = 0,10
ja
(leitud Exceli CHIINV funktsiooniga)
3. Kontrollida järgmisi hüpoteese (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks α = 0.10):
3.1 H0: μ = 50 alternatiiviga H1: μ  50
1
Et Hüpotees vastu võetaks, peab tkr > t; 1,711 > 1,28. Hüpotees H0 võetakse vastu.

H0: σ2 = 800 alternatiiviga H2: σ2  800
Et hüpotees H0 vastu võetaks peab
jääme kahe kriitilise väärtuse vahele:
13,84
4.Leida valimile vastav empiiriline histogramm võrdlaiade vahemikega 0-20, 20-40, 40-60, 60-80 ja 80-100 ning kontrollida - testi järgi olulisuse nivool α = 0,10 järgmisi hüpoteese
intervalli nr
vahemik
elemente
tõenäosus
intervalli keskmine
1
0-20
4
0,16
6.75
 
2
20-40
5
0,2
29,6
 
3
40-60
1
0,04
40,0
 
4
60-80
7
0,28
74,57
 
5
80-100
8
0,32
90,25
 
4.1 Põhikogumi jaotiseks on normaaljaotus
Keskväärtuse hinnang: et tunnused on esitatud sagedustabelina, siis
(arvutatud Excelis väärtuste ümardusi rakendamata)
Dispersiooni hinnang: et tunnused on esitatud sagedustabelina, siis
Teststatistik:
 
k
Xm
ui
ni
φ(ui)
pi
ni'
(ni-ni')2/ni'
 
1
20
-1,17
4
-0,379
-0,121
3,025
0,314
 
2
40
-0,56
5
-0,212
0,167
4,169
0,166
 
3
60
0,05
1
0,020
0,232
5,805
3,977
 
4
80
0,66
7
0,245
0,225
5,627
0,335
 
5
100
1,27
8
0,398
0,255
6,375
0,414
Kokku
 
 
 
25
 
 
25
5,207
vabadusastmete arv k = m – 1 – r = 5 – 1 – 2 = 2 (r = 2, sest normaaljaotusel on kaks parameetrit)
Et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr>χ². Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ja järeldama, et üldkogumi jaotus ei ole normaaljaotus.
4.2 Põhikogumi jaotuseks on eksponentjaotus
Eksponentjaotuse parameeter :
 
k
xm
ni
F0
pi
ni'
(ni-ni')2/ni’
 
1
20
4
0,290
0,290
7,254
1,459
 
2
40
5
0,496
0,206
5,149
0,004
 
3
60
1
0,642
0,146
3,655
1,929
 
4
80
7
0,746
0,104
2,595
7,480
 
5
100
8
0,820
0,074
1,842
20,591
Kokku
 
 
25
 
 
20,494
31,464
χ² vabadusastmete arv k=m-1-r=5-1-1=3 (r=1, sest eksponentjaotusel on üks parameeter)
Selleks, et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr>χ², kuid siin nii ei ole. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaoks on mingi teine jaotus.
4.3 Põhikogumi jaotuseks on ühtlane jaotus fikseeritud parameetritega a=0, b=100.
 
k
xm
ni
F0
pi
ni'
(ni-ni')2/ni’
 
1
20
4
0,2
0,2
5
0,2
 
2
40
5
0,4
0,2
5
0
 
3
60
1
0,6
0,2
5
3,2
 
4
80
7
0,8
0,2
5
0,8
 
5
100
8
1
0,2
5
1,8
Kokku
 
 
25
 
 
25
6
χ² vabadusastmete arv k=m-1-r=5-1-2=2 (r=2, sest ühtlasel jaotusel on 2 parameetrit)
χ²kr(0,10;2)=4,605. Selleks, et hüpotees vastu võetaks peab χ²kr>χ², kuid siin nii ei ole. Seega peab hüpoteesi tagasi lükkama ning järeldama, et üldkogumi jaoks on mingi teine jaotus.
5. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud :
Vahemik
xm
ni
emp
ni
norm
ni
eksp
ni
ühtl
f
norm
f
eksp
f
ühtl
0
0,00249
0,01714
0,01
0-20
20
4
3
7
5
0,00613
0,01216
0,01
20-40
40
5
4
5
5
0,01041
0,00863
0,01
40-60
60
1
6
4
5
0,01247
0,00613
0,01
60-80
80
7
6
3
5
0,00979
0,00435
0,01
80-100
100
8
6
2
5
0,00543
0,00309
0,01
Kokku
25
25
21
25
Excel:
NORMDIST
EXPOMDIST
5.1 Empiirilise jaotuse histogramm graafik
5.2 hüpoteesile 4.1 vastava normaaljaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik
5.3 hüpoteesile 4.2 vastava eksponentjaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik
5.3 hüpoteesile 4.2 vastava ühtlase jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik.
Kõik ühes graafik
. Konstrueerida samas teljestikus järgmised graafikud:
6.1 empiirilise jaotusfunktsiooni graafik
6.2 parameetritega a = 0, b = 100 ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni graafik
7. Kontrollida Kolmogorovi-Smirnovi testi abil hüpoteesi, et põhikogumi jaotuseks on fikseeritud parameetritega a = 0, b = 100 ühtlane jaotus (võttes α = 0,10, st teststatistiku DN kriitiliseks väärtuseks on Dkr = 0,238.
Empiirilise ja ühtlase jaotuse jaotusfunktsiooni maksimaalne erinevus:
(graafikult, aga ka arvutades)
Et hüpotees vastu võetaks, peab DN≤Dkr, siin on 0,25˃0,238 ja seega lükatakse hüpotees tagasi, üldkogumi jaotuseks pole ühtlane jaotus.
8. Kontrollida nii moodustatud rühmade keskväärtuste homogeensushüpoteesi H0: µ1=µ2=µ3=µ4=µ5 (kasutades dispersioonanalüüsi metoodikat ja võttes olulisuse nivooks a = 0.05).
i\ r
1
2
3
4
5
s2i
1.-5.
22
96
91
75
74
71,6
862,3
6.-10.
75
25
79
12
38
45,8
897,7
11.-15.
95
10
71
0
79
51,0
1850,5
16.-20.
24
86
91
96
5
60,2
1813,3
21.-25.
40
85
69
82
39
63,0
496,5
Kokku
291,6
5920,3
Üldine rühmasisene dispersioon:
Üldkeskmine:
Rühmadevaheline dispersioon:
F-statistik:
F-statistiku kriitiline väärtus (tabelist):
Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks
9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, kontrollida olulisuse nivoo α = 0.05 juures selle
juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. 22 96 91 75 74 75 25 79 12 38 95 10 71 0 79 24 86 91 96 5 40 85 69 82 39
Lähterida
Märgirida
Käänupunktid
Järjestatud rida
22
 -
0
96
K
5
91
10
75
12
74
K
22
75
K
24
25
K
25
79
K
38
12
K
39
38
40
95
K
69
10
K
71
71
K
Xmed=74
0
K
75
79
K
75
24
K
79
86
79
91
82
96
K
85
5
K
86
40
91
85
K
91
69
K
95
82
k
96
39
96
Seeriate ( märgirea osad, mis koosnevad järjestikustest „+“ või „-“ märkidest) arv: Ns = 14
Pikima seeria pikkuse järgi (Lmax = 3) => H0
Seeriate arvu järgi ( Ns = 14 ) => H0
Käänupunktide arvu järgi (p = 17) => H0
Kuna kõik võrratused kehtivad, võib aegrea mediaankriteeriumi järgi ja käänupunktide kriteeriumi
järgi lugeda juhuslikuks.
Osa B
10. Leida x ja y seose jaoks korrelatsioonitegur ja determinatsioonitegur . Kontrollida x ja y korreleerimatust t-statistiku ja z-statistiku abil, võttes olulisuse nivooks a = 0.05.
(t-statistik on 3,1824 ja z-statisik on 1,9602)
i
xi
yi
x-xkesk
y-ykesk
(x-xkesk)2
(y-ykesk)2
(x-xkesk)(y-ykesk)
xi*yi
1
5,1
15,3
2,06
6,24
4,24
38,93
12,85
78,03
2
2,8
6,9
-0,24
-2,16
0,06
4,67
0,52
19,32
3
1,1
7,2
-1,94
-1,86
3,76
3,46
3,61
7,92
4
2,2
6,1
-0,84
-2,96
0,71
8,76
2,49
13,42
5
4
9,8
0,96
0,74
0,92
0,55
0,71
39,2
∑
15,2
45,3
0
0
9,69
56,37
20,18
157,89
Xkesk=3,04
Ykesk=9,06
Vx=9,69
Vy=56,37
Determinatsioonitegur
Korreleerimatuse kontroll:

t-statistiku abil
3,1824 => H1
(b) z-statistiku abil
1,9602 => H1
Seega mõlema teststatistiku jargi saab H0 tagasi lukata ja tuleb lugeda x ja y korrelatsioon oluliseks.
11. Leida ühefaktoriline lineaarne regressioonimudel y = b0 + b1 x ja analüüsida selle täpsust (võttes vastavates testides jm arvutustes olulisuse nivooks a = 0.05):
11.1 leida mudeli parameetrite hinnangud b0 ja b1
Keskmine
Xi
5,1
2,8
1,1
2,2
4
3,04
yi
15,3
6,9
7,2
6,1
9,8
9,06
Excel: INTERCEPT
Excel: SLOPE
Regressioonimudel:
11.2 leida mudeli parameetrite hinnangute b0 ja b1 usaldusvahemikud
r
y̅0
3,6
2,6
1,3
0,2
1,9
0,7
4,2
3,6
2,07
2,19
Hinnangu b0 usaldusvahemik:
Hinnangu b1 usaldusvahemik:
11.3 kontrollida mudeli liikmete olulisust (ent jättes edaspidi igal juhul mõlemad liikmed mudelisse alles)
Mudeli liikme b1 võib lugeda oluliseks
Mudeli liikme b0 võib lugeda oluliseks
11.4 kontrollida mudeli adekvaatsust
Fkr > F (4,53 > 1,667), see tähendab, et leitud mudelit võib lugeda katseandmetega kooskõlas olevaks.
11.5 leida mudeli poolt prognoositava väljundi usaldusvahemikud punktides x = 1, x = 3 ja x = 5
Punktis x = 1
Punktis x = 3
Punktis x = 5
11.6 joonistada regressioonisirge graafik koos katsepunktide ja punktis 11.5 leitud usaldusvahemikega
Kokkuvõte
Kolmandas ülesandes kehtisid võrratused ning hüpoteesid võeti vastu. Neljandas ülesandes võis vastusetest järeldada, et üldkogumite jaoks on mingid teised väärtused. Seitsmendas ülesandes pidi taaskord hüpoteesi tagasi lükkama ja järeldama, et üldkogumi jaotuseks pole ühtlane jaotus. Kuid kaheksandas ülesandes oli võimalik hüpotees vastu võtta – keskväärtused on seal tõesti homogeensed. Üheksanda ülesande aegrida on juhuslik. Kümnendast korrelatsiooniülesandest selgus, et korrelatsioon on oluline. Lõpuks veel üheteistkümnes ülesanne, kus võis leitud mudeli lugeda katseandmetega kooskülas olevaks.