Kui detailid töötavad õlis, tungib viimane pragudesse. Kontaktialas praod surve tagajärjel sulguvad ning neis olev õli satub kõrge rõhu alla, mis omakorda soodustab pragude suurenemist. Nii kordub see seni, kuni pragusid sulgevad metalliosakesed ära murduvad. Kui aga kontaktpinged ei ületa praktikaga kindlaksmääratud lubatavat väärtust siis murenemist ei esine.17. Tehted vektoitega- Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga-Vektor a ja posit skalaari korutiseks on n vector mille suurus on a * n jam is on suunatud samas suunas kui a. Vektor a ja negat skalaari korrutiseks on n vector jam is on suunatud vastas suunda kui a. Vektorite liitmine- Selleks, et liita mitut vektorit, tuleb esimese (I) vektori lõpust tõmmata teine vektor (II), II vektori lõpust kolmas (III) vektor jne. Liitmise tulemuseks on vektor, mis on tõmmatud I vektori algusest viimase vektori lõppu. Vektorite lahutamine-Selleks, et
2. Vektorite liitmine, lahutamine ja korrutamine skalaariga Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c . Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a . Lahutamine on liitmine vastandmärgiga: a - b = a + (-b) . Miinusmärk ei muuda vektori suurust. Ta muudab vektori suuna vastupidiseks. Skalaariga korrutamine muudab vektori absoluutväärtust (välja arvatud juhtum, kus skalaari absoluutväärtus on 1). Kui skalaar on negatiivne arv, muutub vektori suund vastupidiseks. 2 3. Kahe vektori skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis saadakse, kui korrutatakse vektorite absoluutväärtused ja nendevahelise nurga koosinus: a b = ab cos . ( ) Skalaarkorrutis saab koosneda ainult kahest tegurist, sest a b c on juba
tingimusi |x| = x,kui x0 ja |x| = -x,kui x< 0. 4. Reaalarvude hulk koosneb kõikidest ratsionaal- ja irratsionaalarvudest. 5. 6. Samasuseks nimetatakse matemaatikas tõest arvvõrdust sisaldavat võrdust, mis osutub tõeseks muutuja kõigi lubatud väärtuste korral. 7. Võrrand on võrdus, mis sisaldab ühte või mitut muutujat, mida vaadeldakse tundmatute suurustena. 8. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. 9. Juurvõrrand on võrrand, milles muutuja esineb juuritavas. 10. Kui punktid A(x1; y1) ja B(x2;y2) on lõigu otspunktid, siis selle lõigu keskpunkti C(xc;yc) koordinaadid on 11. Vektor on lõik, millel on suund, siht ja pikkus. 12. Vektoreid saab liita, kui liita vektorite vastavad koordinaadid. 13. Vektori vastandvektoriks nim. vektorit, millel on antud vektoriga sama siht ja pikkus,
1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2
Füüsika kordamisküsimused 1. Mis on vektor? Mis on skalaar? Vektor on suuna ja sihiga füüsikaline suurus. Skalaar on suuna ja sihita füüsikaline suurus. Mõlemal on olemas arvuline väärtus. Skalaari puhul muutub miinusmärgiga korrutades suuruse väärtus positiivsega võrreldes vastupidises, vektori puhul miinus ühega korrutades pikkus jääb samaks, aga aeg muutub vastupidiseks. Vektoriaalsed suurused on nt kiirus ja jõud. Skalaarsed suurused on nt aeg, pikkus, mass, temperatuur. 2. Kirjelda eukleidilist ruumi, labotsevski ruumi ja reimani ruumi. Eukleidiline ruum ehk kolmemõõtmeline ruum- Kõige keerulisem ruum, mida inimesed enda ümber tajuvad
Füüsika konspekt Skaalariks nimetatakse suurust, mis on täielikult iseloomustatav üheainsa arvuga(arvväärtuse ja mõõtühikute abil). Skalaari puhul ei ole suund oluline. Näiteks keha mass, ruumala, tihedus ja temperatuur. Vektoriks nimetatakse suurust, millel on lisaks väärtusele ka kindel suund. Näiteks jõud, kiirus, kiirendus. Nihe Nihkevektor ehk nihe on vektoriaalne suurus(on olemas kindel suund). Nihe on liikumine algpunktist lõpppunkti(punktist A punkti B). Nihke tähis on s, mille peal on nool. Aeg, Ruum ja Mateeria Põhjuslikkuse tagajärje seos: Kui 1 sündmus kutsub esile teise, siis on esimene
...................... 15 1. Skalaarkorrutis, norm ja kaugus. Aritmeetiline punktiruum ja vektorruum. Näidata, et x Rn korral rahuldavad normi aksioome suurused ||x||2 := xk 2 k , || x ||1 := k | x k | ja || x || := max | x k | . Ruumi Rn vektorite x = (x1; ... ; xn) ja y = (y1; ... ; yn) skalaarkorrutis (xy) defineeritakse seosega xy = x1y1 + ... + xnyn Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v V seab vastavusse skalaari d(u; v) R, kusjuures on täidetetud järgmised tingimused: Aritmeetilseks punktiruumiks Rn nimetatakse otsekorrutist Rn, kus R tähistab reaalarvude hulka. Aritmeetilseks vektorruumiks Rn nimetatakse hulka Rn, mille elementidel on defineeritud liitmine ja arvuga korrutamine järgnevalt (x1;..
1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks
on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3 Kolme vektori segakorrutiseks nim kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga
AC AB BC Kompleksarvude jagamine: 1/ 2 = ( x1 iy1)/( x2 iy2) , eeskiri, alt i ei jääks. Kordumine: MAATRIKSID. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks Kompleksarvude astendamine: m×n- maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust nimetatakse vektorit c, n=(x+iy)n koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit mis rahuldab tingimusi:
1*(Normi ja kauguse def. Näidata, et reaalarvu abs.väärtus rahuldab normi ja aksioome)Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 1). *Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile seab vastavusse skalaari d(u,v), kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). *Lause: Reaalarvu absoluutväärtus rahuldab normi aksioome. Tõestus: 2*( -ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused)Punkti - ümbrukseks nim. hulka *Reaalarvu a R korral saame U(a) = {x R|a - < x < a + }. *Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0.
3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Geomeetriline vektor on kujutatud järgmisel joonisel. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Def. 4. Vektorite AB ja BC summaks nimetatakse vektorit AC ja tähistatakse AC = AB + BC . Def. 5. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c , mis rahuldab tingimusi: 1) vektor c on paralleelne vektoriga ; 2) kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . Seega c P , c = c . Liitmist ja skalaariga korrutamist nimetatakse lineaarseteks teheteks
nulliga. · Kui determinandis on kaks proportsionaalset rida, siis determinant 5. Determinandi definitsioon võrdub nulliga. Determinant on lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Näide: 7. Maatriksi arvuga korrutamise reegel · Teist järku ruutmaatriksi Maatriksi A = (aij) ja arvu (või korpuse elemendi) k korrutis kA on maatriks C =
määramiseks piisab üheainsast arvväärtusest, nimetatakse skalaarideks. Suurusi, mida iseloomustab arvväärtus(moodul) ja suund, nimetatakse vektoriteks. Tehted vektoritega: a)Vektori korrutamine skalaariga. av = av Vastuseks uue pikkusega, kuid samasuunaline vektor. b)Vektorite liitmine. v=v1+v2 Vastuseks uus vektor, ei olene vektorite järjekorrast. c)Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutamisega.v1v2cosα=vˉˉ1∙vˉˉ2 d)Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise siinuse korrutisega, siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi järgi. v1xv2sinα=vˉˉ1∙vˉˉ2 2. Kinemaatika - a)Ühtlane kulgliikumine v=s/t=const
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed Lõpmata väikeseid (suuri) suurusi α(x) ja β(x) piirprotsessis x → a nimetatakse ekvivalentseteks ümbrused. Lõpmatuse ümbrused selles piirprotsessis, kui Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari || 8. Funktsiooni pidevus punktis. Uhepoolne pidevus. Katkevuspunktide liigid. u|| ∈ R, kusjuures on taidetud järgmised tingimused: Funktsiooni f(x) nimetatakse pidevaks punktis a, kui on taidetud kolm tingimust: 1 ∀u ∈ V ||u|| >= 0; ||u||= 0 ⇔ u = Θ 1) ∃f(a); 2) ∃ limx→a f(x); 3) limx→a f(x) = f(a). Tahistatakse f(x) ∈ C(a)
Astendamine: [r (cos + i sin )] = r (cos n + i sin n ) + 2k + 2k Juurimine: n r (cos + i sin ) = n r + i sin n n 3. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Geomeetriliseks vektoriks nimetatakse suunatud lõiku. Liitmine: AB + BC = AC . Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit c, mis rahuldab tingimusi: 1. vektor c on paralleelne vektoriga ; 2. kui c 0 , siis vektori c suund ühtib vektori suunaga, c < 0 korral aga on vektorid c ja vastassuunalised; 3) vektori c pikkus saadakse vektori pikkuse a korrutamisel arvu c absoluutväärtusega c . 4. Aritmeetiline vektor. Lineaarsed tehted aritmeetiliste vektoritega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Aritmeetiliste vektorite skalaarkorrutis
1. Norm ja kaugus (meetrika). Ümbrused. ε-ümbruse definitsioon. Reaalarvu ühepoolsed ümbrused. Lõpmatuse ümbrused. Kauguseks ruumis V nimetatakse reeglit, mis igale kahele selle ruumi elemendile u,v ∈V seab vastavusse skalaari d(u,v) ∈R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1 ∀u,v∈V d(u,v) ≥ 0; d(u,v) = 0⇔v = u 2 ∀u,v∈V d(u,v) = d(v,u) 3 ∀u,v,w∈V d(u,v) ≤ d(u,w) +d(w,v) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u|| ∈ R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: 1)∀u ∈ V ||u|| ≥ 0; ||u|| = 0 ⇔ u = 0, 2)∀u ∈ V, α ∈ R ||αu|| = |α| ||u||,
suhtes, mida tähistatakse f ( x i … x n ) ehk f ' ' xixj (x i … x n ) . Segatuletise väärtus ei sõltu ∂xj ∂ˇxi üksikute tuletiste võtmise järjekorrast, st kehtib võrdus f ′′xixj = f ′′xjxi 18. Mis on skalaarväli ja vektorväli? n-muutuja funktsiooni nimetatakse ka n-mõõtmeliseks skalaarväljaks. Mõiste tuleneb sellest, et taoline funktsioon seab etteantud vektorile vastavusse reaalarvu ehk skalaari. Olgu antud 2n muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u1, . . . un. Kujutist, mis seab igale vektorile x = (x1, . . . , xn) teatud hulgast X ⊆ Rn vastavusse ühe kindla vektori u = (u1, . . . , un) nimetatakse n- mõõtmeliseks vektorväljaks. 19. Defineerida skalaarvälja gradient. Mis on nabla? Olgu antud skalaarväli u = F(x). Skalaarvälja F gradiendiks kohal x nimetatakse järgmist vektorit: gradF ( ⃗x )=¿) Gradiendi tähistamiseks kasutatakse ka sümbolit ⃗
funktsiooni z=f(x,y) tuletiseks punktis (x;y) vektori s suunas ja tähistatakse sümboliga , st. Seega Järeldub, et teades osatuletisi, on kerge leida tuletist mistahes suunas s . 14. Gradient (definitsioon + teoreemi 13.1 tõestus + kolm järeldust). Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) seab igale punktile M(z;y) funktsiooni määramispiirkonnast D vastavusse muutuja z väärtuse ehk skalaari. Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutuja funktsioonist kõneleda kui skalaarväljast. Kolme muutuja funktsiooni u=(x,y,z) seab igale ruumi punktile M(x,y,z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st. piirkonnas V tekitab kolme muutuja funktsioon skalaarvälja. Skalaarvälja z=f(x,y) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Skalaarvälja u=f(x,y,z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit
(a+b)+c=a+(b+c) liitmise suhtes 2. A+b=b+a 4. Skalaari saab sulgude ette tuua 3. a+£=a 5. Vektori korrutis iseendaga pole
maatriks on A T =bij Rmn . bij= aij iga i ja j korral AB T T ¿ Reeglid ( A ) = A , ( A+ B)T = A T + BT , ¿ (CA)T =CA T , ¿ 9) Determinandi definitsioon ja omadused. Determinant-on lin.algebra fuktsioon,mis seab igale ruutmaatriksile skalaari.2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on kaks rida (veergu)omavahel ümber paigutada, siis muutub determinandi märk vastupidiseks, Determinandi
2.Vektorite liitmine: võnkumine.-Kahe samasihilise,kuid erineva sagedusega kineetilise energia gaasi rõhu ja ruumalaga.Molekulide 3.Vektorite skalaarne korrutamine: kahe vektori harmoonilise võnkumise liitmisel on tulemuseks keskmise kinetilise energia saame leida valemiga skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari,mis on võrdne mitteharmooniline võnkumine. =i/2kT; kus i-molekulide vabadus aste,k-Boltzmanni nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga Kahe vastastiku ristuva võnkumise liitmisel oleneb konstant ja T-temp. koossinuse korrutisega: tulemus võnkumiste sagedusest ja faasidest: 32.Ülekandenähtused gaasides:Difusioon (massi 4
.., xn) = 0 kui leidub punkti A selline ümbrus U, et PU korral F1(P)=...=Fm(P)=0 ja PAf(A)>f(P) Hulka nim sidusaks, kui selle hulga iga kaks punkti saab ühendada selles hulgas sisalduva joonega Väljateooria põhimõisted: u=f(x,y,z)-skalaarväli; F=(X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z))-vektorväli Vektorit f/x(P), f/y(P), f/z(P), nim skalaarvälja f gradiendiks punktis P(x,y,z) ja tähistatakse (grad f)(P)= f/x(P), f/y(P), f/z(P) X Y Z ( P) + ( P) + ( P) Skalaari x y z nim vektorvälja F divigradientsiks punktis P ja X Y Z ( P) + ( P) + ( P) tähistatakse (div f)(P)= x y z Z Y X Z Y X ( P) - ( P ), ( P) - ( P ), ( P) - Vektorit y z z x x y ( P ) nim vektorvälja F rootoriks
skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v , F . Tehted vektoritega: 1. Vektori korrutamine skaalariga. av = av 2. Vektorite liitmine. v = v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega , siht on risti tasandiga , milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga .
seos. limxa+ f(x) = b, f(x) b (noole kohal on xa+ ) Lause. Fun-nil f eksisteerib piirväärtus punktis a parajasti siis kui iga jada { xn}, mis koondub 1. Normiks vektorruumis V nim. reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari ||u|| punktis a (xn a) korral jada { f(xn)} koondub arvuks b. R, kusjuures on täidetud järgmised tingimused: Omadused: u V ||u|| 0; ||u|| = 0 u= Lause. Konstantse fun-ni piirväärtuseks on see konstant, st x X(f(x) = c) limxa f(x) = c.
Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a Vektorkorrutis a x b=-b x a. Samasihiliste vektorite vektorkorrutis on null. sel juhul vektorite vaheline nurk alfa =0kraadi või 180kraadi ja sinalfa =0 Jõupaari põhiomadused jäiga keha seisund ei muutu kui asendada üks jõupaar teise samas tasandis mõjuva samasuunalise jõupaariga mille momendil on sama moodul
Libisevate vektorite rakenduspunkti võib ümber paigutada mööda sirget millel vektor asub. Rakendatud vektorid on vektorid mille rakenduspunkt on kinnistatud. Tehted vektoritega kahe vektori liitmine a=a1+a2 mitme vektori liitmine a123=a12+a3=a1+a2+a3. Mitem vektori geom. summa võrdub nulliga kui vektorite hulknurga korral viimase vektori lõpp langeb ühte esimese vektori algusega Vektorite lahutamine c=a-b=a+(-b) Vektori korrutamine ja jagamine skalaariga vektori a ja pos. skalaari n korrutiseks nim veketorit mille suurus on an ja mis on suunatud samuti nagu a. Jagatiseks a/n kus n>0 nim vektorit mille suurus on a/n ja mis on suunatud samuti nagu a Vektorkorrutis a x b=-b x a. Samasihiliste vektorite vektorkorrutis on null. sel juhul vektorite vaheline nurk alfa =0kraadi või 180kraadi ja sinalfa =0 Jõupaari põhiomadused jäiga keha seisund ei muutu kui asendada üks jõupaar teise samas tasandis mõjuva samasuunalise jõupaariga mille momendil on sama moodul
piirväärtuse ühesuse tõestus.jada Jadaks nimetatakse funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N seab vastavusse skalaari ¿∨u∨¿ ∈ R , kusjuures on täidetud = {1, 2, 3, ...}. Jada x väärtusi x(n) (n ∈ N) tähistame xn ja nimetame jada liikmeteks. Jada x tähistame {x1, x2, . . .} või {xn} või
Gaussimeetodi rakendamisel kirjutatakse LVS laiendatud maatriks kasutatakse teisendusi a) ja b) ridadega.mingi arvu teisendamise abil saadakse (( )) maatriksis saadakse K-järku ühikmaatriks . Maatriksile süsteemist s aadakse antus süsteemi lahendid.lahendid võivad ola 3 tüüpi. 11. 2 ja 3 järku determinantide mõiste ja nende arvutamine. Determinant-on lin.algebra fuktsioon,mis seab igale ruutmaatriksile skalaari. 2 ja 3 järgu ruutmatritsatele seatakse nende vastava elementide abil arv mis on arvutatud reegli abil- diagonaali reegel,sarruse reegel. Kõrgemate determinantide väärtused arvutatakse üldiste reeglite järgi. 12. 2 ja 3 järku determinantide kasutamine vastavate lin.võrrandite süsteemi lahendamiseks. 13. Determinantide omadused (2 järku determinantide põhjal) Determinant ei muutu, kui tema read ja veerud vastavalt ümber vahetada, Kui determinandis on
Kui suund punktis 1` punkti 2` ühtib suunaga n , loetakse projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga a koosinuse korrutisega. Vektorkorrutis. a®*b®= c® , I a®l * l b®l * sin a = l c®l, a= a®Ù b® Liikumisvõrrand- r = t(t)- kohasõltuvus ajast. a = dv / d t = Dv / Dt = =v2-v1 / Dt, kui a = const, v2 = v1+at ê*d t , v2 d t = v1dt + at * dt. Liikumisvõrrand kirjeldab keha koordinaadi muutust ajaühikus valemi näol (x=20+23t; x=t-10t2) Oletame lihtsuse mõttes, et kiirendus ( ) on konstantne
Füüsika konspekt 1. Skalaarid- suurused, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest (aeg, mass. Inertsmoment). Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari, mis n võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga cos korrutisega. 2. vektor- suurusi, mida iseloomustavad arvväärtus ( moodul) ja suund.(kiirus, jõud, moment). Kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nende vahelise nurga sin korrutisega; siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 3
sellist vektorite hulka nurka suletuks hulknurgaks, mis võrdub 0'ga. Vektorite lahutamine- kahe vektori a ja b vaheks nim vektorit c, mis lahutatavaga liidetult annab vektori c e. c= a-b Ühe vektori lahutamisel teisest tuleb vähendatava ja lahutatava alguspunkt asetada samasse punkti. Vektori vahe alguspunkt on lahutatava vektori lõpppunkt a ja lõpppunkt vähendatava vektori lõpppunkt. Vektori korrutamine ja jagamine skalaaarvuga: Vektori a ja positiivse skalaari n korrutiseks on vektor, mille suurus on an ja see on suunatud samas suuna s kui vektor a. Vektori projektsioon teljel: olgu meil telg x ja vektorid, mis pole paralleelsed selle teljega. Vektori AB projektsioon teljel x nim telje lõigu a1b1 pikkust, mille alguseks on vektori alguspunkt projektsioon teljel ja lõpppunkt.... Projektsioon on võetus positiivne kui lõigu suund õhtib telje suunaga, a1b1=positiivne, aga d1c1=negatiivne (suund on vastupidine telje suunaga)
Kineetiline energia ( Ek) võrdub tööga, mida tuleb teha, et panna keha massiga (m) liikuma moodul on võrdne ühega. kiirusega (v). A = ʃmvdv = mv2/2 = Ek Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga 6. Pöördliikumise dünaamika - ε=M/I -pöördliikumine a=F/m -külgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse (ε) korrutisega Mz=Izε. koosinuse korrutisega.
mõjusirget ümberpaikneda; Rakendatud- rak-punkt kinnistatud. 17. Tehted vektoritega Vektorite liitmiseks rakendame nad nii, et esimese vektori lõpp-punkt ühtib teise vektori alguspunktiga ja summavektor ühendab esimese vektori alguspunkti teise vektori lõpp- punktiga. Vektorite lahutamiseks tuleb vähendatava ja lahutatava vektori alguspunkt asetada samasse punkti. Vahe alguspunkt on lahutava vektori lõpp-punkt ja lõpp-punktiks vähendatava vektori lõpp-punkt. Vektori a ja skalaari n korrutiseks on vektor, mille mooduliks on a*n ja suund ühtib algvektoriga. Vektori korrutamisel neg arvuga suund muutub. Jagamisel arvuga n, pikkus väheneb n-korda. 18. Jõupaari põhiomadused 1.Jõupaari võib üle kanda mistahes asukohta tema tasapinnas, ilma et muutuks ta mõju jäigale kehale. 2. Kaks ühes tasapinnas asuvat ja võrdsete momentide ning ühesuguse pöörlemissuunaga jõupaari on ekvivalentsed. 19. Kahe paralleelse jõu liitmine
vektoritest on nullvektor või kui vektorid on kollineaarsed. Vektorkorrutis on nullvektor siis ja ainult siis kui korrutavad vektorid on kollinearsed. Seega vektorite kollineaarsuse tingimus on ab=0 2. kui vektorid on omavahel risti siis kahe vektori vektorkorrutis on pikkuselt võrdne vektorite pikkuste korrutisega. 3. tegurite ümberpaigutamisel muutub vektorite märk vastupidiseks ab=ba 4. kahe vektori vektorkorrutis on assotsiativne skalaari suhtes k(ab)= ka x b 5.vektorkorrutis on distributiivne a(b+y)=ab+ay 6. vektorkorrutis ei ole assotsiatiivne vektori suhtes a(b x y) (a x b) y Vektorite kollineaarsuse tunnuse a1/b1=a2/b2=a3/b3 Kolme vektori segakorrutiseks nim kahe vektori vektorkorrutise skalaarset korrutist kolmanda vektoriga
=f(x,y)/ x*x+f(x,y)/ y*y+ 1x+ 2y/r*r r=x+y limr(x->0,y->0)=0 Tõkestatud suurused: lx/rl<=1 ly/rl<=1 dz=f/x*x+f/y*y=z/x*dx+z/y*dy q.e.d. 30. Vektorvälja potentsiaal ja potentsiaali väli - ??? Olgu u = f(x, y, z) ja F = (X(x, y, z), Y (x, y, z),Z(x, y, z)) . Öeldakse, et funktsioon f määrab skalaarvälja ja vektorväärtustega funktsioon F vektorvälja, st f seab igale punktile P (x, y, z) funktsiooni f määramispiirkonnast vastavusse skalaari ja F seab igale punktile P (x, y, z) funktsioonide X, Y ning Z määramispiirkondade ühisosast vastavusse vektori. Skalaarvälja näiteks sobib temperatuuriväli ja vektorvälja näiteks kiiruste väli. Definitsioon 1. Vektorit (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) nimetatakse skalaarvälja f gradiendiks punktis P(x, y, z) ja tähistatakse grad f, st (grad f) (x, y, z) def. = (fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y, z)) (1.12.1) ehk lühidalt grad f = (fx, fy, fz) . Definitsioon 2
(k1 - k2) / n = q1 - q2 + (r1 - r2)/n Z => (r1 - r2)/n Z <=> r1 - r2 = 0 <=> r1 = r2 w1 = w2 <=> k1 ja k2 annavad n-ga jagamisel sama jäägi. Erinevateks juurteks on parajasti w0, ..., wn-1 Igal nullist erineval kompleksarvul z = r(cos + isin) leidub parajasti n erinevat n-dat juurt. Need juured saadakse avaldisest z 1/n = r1/n(cos(( + 2k)/n) + isin(( + 2k)/n)) andes arvule k järjest väärtused 0, 1, ..., n-1 3. Korpuse defnitsioon. Skalaari mõiste. Korpuste näiteid. Korpuseks nimetatakse hulka K, kus on kaks tehet, + ja *, mis rahuldavad omadusi 1-9 Skalaariks nimetatakse mis tahes korpuse elemente. Korpuse näiteid: 1. Q, R, C 2. jäägiklassikorpus Zp (p - algarv); Zp {0, 1, ..., p-1} i, j Zp; ij = i+j, kui i+j <= p-1; i+j-p, kui i+j >= p 4. Geomeetriline vektor. Lineaarsed tehted geomeetriliste vektoritega ja nende omadused. Geomeetriline vektor on suunatud lõik tasandil või ruumis.
|x| = x sgn x. Absoluutva¨ artuse ¨ tuletis (|x|) = sgn x. ¨ G. Tamberg (TTU) YMM3731 Matemaatilne analu¨ us ¨ I 9 / 25 Reaalarvud ¨ Umbrused Definitsioon (Norm) Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile u V seab vastavusse skalaari u R, kusjuures on taidetud ¨ ¨ jargmised tingimused: 1 u V u 0; u = 0 u = 2 u V , R u = || u 3 u, v V u+v u + v Reaalarvu x R korral sobib normiks absoluutva¨ artus ¨ x, x 0 |x| :=
1.Skaalarid ja vektorid Suurusi , mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest,nimetatakse skalaarideks. Näiteks: aeg , mass , inertsmoment jne. Suurusi , mida iseloomustab arvväärtus (moodul) ja suund , nimetatakse vektoriks. Näiteks: kiirus , jõud , moment jne. Vektoreid tähistatakse sümboli kohal oleva noolekesega v . 1. Vektori korrutamine skaalariga. av= av 2. Vektorite liitmine. v= v1 + v2 3.Vektorite skalaarne korrutamine. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse skalaari , mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. ( v1 v2 ) = v1· v2 = v1 v2 cos , kusjuures v1· v2 = v2· v1 4. Vektorite vektoriaalne korrutamine. Kahe vektori vektorkorrutis on vektor , mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega , siht on risti tasandiga , milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga . [v1 v2]= v1 × v2 = v1 v2 sin , kusjuures [v1v2= [v2v1] 2
31) konservatiivse jõu komponendi vastandväärtus võrdub potentsiaalse energia osatuletisega vastava koordinaadi järgi. Seega konservatiivne jõud kui vektor avaldub järgmiselt E p E p E p F =- i - j- k = -grad E p . (5.32) x y z Konservatiivne jõud võrdub potentsiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. Näidata, et homogeenses raskusjõu väljas, kus potentsiaalne energia on E p = mgz , saame grad E p = -k mg = -Fg . kx 2 Elastsusjõu väljas, kus E p = , vastavalt 2 grad E p = -i kx = -Fel .
ja teise ma. vastandmaatriksi summa. 4) Maatriksite korrutamine: m*n ma. A=(aij), n*q ma. B(bjk), kus i=1,...,m; j=1,...,n; k=1,...q). A(aij)*B(bjk) = (m*q ma.) C(cik), kus cik = n j=1 aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + ... ainbnk. Omadused: A(BC)=(AB)C; A(B+C)=AB+AC; (B+C)A=BA+CA; kui A=B, siis CA=CB; kui A=B, siis AC=BC;k(AB)=(kA)B=A(kB). 3. Determinandi mõiste, järk, tähistused. Miinor, alamdeterminant. Determinant-lineaaralgebras teatav funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari. Determinandi järk tähistab determinandi môôtmeid (read = veerud). Tähistused: Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt det(A), det A või |A|. Miinor rittaarendamise meetodit kasutades leitavad determinandid (alamdeterminandi osa) Alamdeterminant miinor, koos nende positsiooni kirjeldavate kordajatega algdeterminandis 4. Teist- ja kolmandat järku determinantide arvutuseeskirjad.
projektsioon positiivseks, vastasel juhul on projektsioon negatiivne (joon.6.) Tähistatakse: vektori A projektsiooni suunal n tähistatakse An. Ühikvektor. Igale vektorile A võib seada vastavusse ühikvektori Aühik , mille suund ühtib vektori A suunaga ning moodul on võrdne ühega. Vektorite skalaarkorrutis. Töö avaldise võib esitada jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena. Kahe vektori A ja B skalarkorruti-seks nim. skalaari, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nen-devahelise nurga koosinuse korrutisega. Vektorkorrutis. a*b= c , I al * l bl * sin = l cl, = a b §6.Mõõtühikute süsteemid SI ja CGS. Eksisteerib mitu süs., mis erinevad põhiühikute valiku poolest. Süsteeme, mille aluseks on pikkuse, massi ja aja ühikud, nim. absoluutseteks. SI põhiühikud on: pikkuse ühik meeter (m), massi ühik kilogramm (kg), aja ühik sekund (s). Seega kuulub SI absoluutsete süs. hulka
punkti. Seda reeglit nimetatakse kolmnurka reegliks. Mõnikord on otstarbekas kasutada vektorite liitmisel ka nn rööpküliku reeglit, mis seisneb järgnevas: Vektorite liitmisel viiakse teise liidetava alguspunkt esimese liidetava alguspunkti. Vektorite summaks on vektor, mis väljub nende ühisest alguspunktist ja on niisuguse rööpküliku diagonaal, mille külgedeks on liidetavad vektorid. Definitsioon. Arvu (skalaari) ja geomeetrilise vektori korrutiseks nimetatakse vektorit mis rahuldab tingimusi 1) vektor on paralleelne vektoriga 2) kui siis vektori suund ühtib vektori suunaga, korral aga on vektorid ja vastassunalised 3) vektori pikkus saadakse vektori pikkuse korrutamisel arvu absoluutväärtusega e. Teoreem. Vektorite liitmine ja skalaariga korrutamine kõigi geomeetriliste vektorite hulgal V rahuldavad järgmised omadused: V5
võrdne absoluutväärtusega kaarepikkuse s tuletusest aja t järgi. Kiirus on keha kohavektori muutus mingi aja jooksul. Kiirenduseks nim kiiruse muutumise kiirust, iseloomustab kiirust ajaühikus. dv v=ds/dt a = = v dt 97. Mis vahe on avaldistel v ja v ? Esimene on kiirusvektori tuletis aja järgi. Teine on skalaari tuletis aja järgi. 98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi.
võrdne absoluutväärtusega kaarepikkuse s tuletusest aja t järgi. Kiirus on keha kohavektori muutus mingi aja jooksul. Kiirenduseks nim kiiruse muutumise kiirust, iseloomustab kiirust ajaühikus. dv v=ds/dt a = = v dt 97. Mis vahe on avaldistel v ja v ? Esimene on kiirusvektori tuletis aja järgi. Teine on skalaari tuletis aja järgi. 98. Kas punkti normaalkiirendus võib olla null juhul, kui punkti kiirus on nullist erinev? Jah, võib küll keha sirgjoonelisel liikumisel. 99. Millega on võrdsed punkti kiiruse ja kiirenduse projektsioonid Descartes'i koordinaattelgedel? Kiiruse projektsioonid koordinaattelgedel on võrdsed punkti vastavate koordinaatide esimeste tuletistega aja järgi.
potentsiaalsete energiate vahest trajektoori alg- ja lõpp-punktis nim konseravtiivseteks jõududeks. Samapotentsiaalipindadeks nimetatakse selliseid pindu, mille igas punktis on vaadeldava proovikeha potentsiaalne energia ühesugune. Konservatiivne jõud võrdub potensiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. 13. Põrge. Absoluutselt mitteelastne põrge. Põrkeks nimetatakse keha liikumisoleku järsku muutust kokkupuutel teise kehaga. Absoluutselt elastne põrge on selline, mille käigus kehade summaarne kineetiline energia ei muutu: kogu kineetiline energia muutub deformatsiooni potentsiaalseks energiaks ja see omakorda muutub täielikult kineetiliseks energiaks. Pärast põrget
Kui suurused x,y, ∆x ja ∆y on fikseeritud, reeglit, mis igale vektorile u ∈ V seab vastavusse skalaari ||u || ∈ R, kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 2 +𝑙 2 +𝑙 2 2 +𝑙 2 +𝑙 2 √𝑙 2 +𝑙 2 +𝑙 2 √𝑙 2 +𝑙 2 +𝑙 2
vastava koordinaadi järgi. Seega konservatiivne jõud kui vektor avaldub järgmiselt r ∂E p r ∂E p r ∂E p r F =− i− j− k = −grad E p . (5.32) ∂x ∂y ∂z Konservatiivne jõud võrdub potentsiaalse energia gradiendiga. Skalaarse suuruse gradiendiks nimetatakse niisugust vektorit, mille komponentideks on selle skalaari osatuletised vastava koordinaadi järgi. Skalaarse suuruse gradient näitab selle suuruse kõige kiirema kasvu suunda. Näiteks homogeenses raskusjõu väljas, kus potentsiaalne energia on E p = mgz , saame ∂E r r grad E p = − p k = − k mg . ∂z See on vertikaalselt allapoole suunatud vektor, mille moodul on mg, järelikult on tegemist raskusjõuga. kx 2
Metsatüübi nimetus koosneb kasvukohatüübi ja enamuspuuliigi nimetusest (näiteks mustikakuusik, rabamännik). Eraldatud tüpoloogiliste üksuste omavahelised suhted ning ökoloogiline olemus ilmnevad selgemini korrastatuna ökoloogilisteks seeriateks. Ordinatsiooniskeemil on kasvukohatüübid korrastatud nii, et nähtub nende asend peamiste varieeruvust põhjustavate ökoloogiliste tegurite kui ka teineteise suhtes. Horisontaaltelje (üldistatud juurtoitumistingimuste skalaari) juhtivaks teguriks on mullareaktsioon, mis automorfsetel muldadel sõltub lähtekivimi karbonaatsusest, hüdromorfsetel muldadel aga ka põhjavee mineraalainetesisaldusest ja liikuvusest. Mullareaktsioon määrab aineringe iseloomu ja põhiliste mullatekkeprotsesside - leetumise ja kamardumise - vahekorra. Vertikaaltelg (üldistatud niiskusreziimi skalaar) iseloomustab niiskustingimusi, sellega seostuvaid aeratsiooni- jt. reziime ning soostumise ulatust.
annaabi.ee 
