Vajad kellegagi rääkida?
Küsi julgelt abi LasteAbi
Logi sisse

1 eksami kordamisküsimused ja vastused (9)

5 HEA
Punktid

Lõik failist

1)Skalaarsed ja vektoriaalsed suurused. Suurusi, mis on täielikult iseloomustatud oma arvväärtusega nimetatakse skalaarideks (skalaarna suurus). Skalaari saab esitada arvteljel. Suurusi, mis on iseloomustatud oma arvväärtuse (suuruse), sihi ja suunaga nimetatakse vektoriteks. (arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), suund on määratud punktide järjestusega.) Vastandvektor – sama suurus ja siht, aga erinev suund. Vabavektor – vektori alguspunkt ei ole fikseeritud. Nullvektor – pikkus on null, siht ja suund määramata. Ühikvektor . pikkus/arvväärtus on üks. Võrdsed vektorid – sama siht suund ja arvväärtus. Kollineaarsed vektorid – pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel sirgel. Komplanaarsed – vektorite kolmik, pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil.
2)Lineaarsed tehted vektoritega. ( liitmine ja arvuga korrutamine ) Vektorite liitmine – operatsioon, mis seab kahele vektorile vastavusse kolmanda. Kolmnurga reegel – summavektoriks on vektor , mis algab ühe liidetava alguspunktist ja lõpeb teise liidetava lõpp punktis: AB+BC=AC. Rööpküliku reegel – summavektori määrab rööpküliku diagonaal, millel on ühine alguspunkt liidetavatega. Liitmise omadused: kommutatiivsus : järjekorda võib muuta; assotsatiivsus: sulge võib vabalt ümber paigutada; nullvektori omadus a+0=a. Vektorite korrutamine arvuga vektori korrutamisel saadakse esialgsega kollineaarne vektor, muutuda võivad pikkus ja suund. Korrutamise omadused: assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes; distributiivsus arvude liitmise suhtes; distributiivsus vektorite liitmise suhtes; arvu üks omadus 1*a=a.
3)Vektorite lineaarne sõltuvus ja sõltumatus. Vektoreid α1; α2;...αn nimetatakse lineaarselt sõltuvaiks, kui leiduvad arvud a1; a2;...an, mis ei ole korraga nullid ning mille puhul kehtib seos (lineaarne kombinatsioon) α1a1 + α2a2+...+αnan=0 . Kui kõik kordajad on nullid on süsteem lineaarselt sõltumatu.
4)Vektorruum ja tema baas. Vektori koordinaadid antud baasi suhtes. Vektorruumi baas on tema max lineaarselt sõltumatute vektorite hulk/süsteem. Mistahes vektori lisamisel muutub süsteem lineaarselt sõltuvaks. Me võime avaldada lisatud vektori baasi elementide kaudu. Antud baasis on vektorite koordinaadid üheselt määratletud; võrdsetel vektoritel on võrdsed koordinaadid. Baasivektorite arvu me nim selle vektori mõõtmeks(dimensioon).
5) Polaarkoordinaadid tasandil. (kõverjoonelised koordinaadid), mis on määratud polaarraadiuse(pikkus) ja polaarnurgaga. Seosed riskoordinaatidega x=r*cosψ ja y=r*sinψ ning r=√x2+y2 ja ψ=arctan y/x.
6) Maatriks , parameetrid , erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; m≠n ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks , ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: aij-maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j.
7) Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad. Maatriksi korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks, mille elemendid saadakse lähtemaatriksi kõikide elementide korrutamisel antud arvuga. Kahe maatriksi korrutamiseks peab esimese maatriksi veergude arv võrduma teise maatriksi ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese maatriksi ridade arvuga ja veergude arv võrduv teise maatriksi veergude arvuga. Selleks et saada i-nda rea k-ndat elementi tuleb esimese maatriksi i-s reavektor korrutada teise maatriksi k-nda veeruvektoriga skalaarselt. Maatriksite korrutamine ei ole üldjuhul kommutatiivne. Kahe nullist erineva maatriksi korrutis võib anda nullmaatriksi. Mingi maatriksi korrutamisel ühikmaatriksiga saame korrutiseks esialgse maatriksi.
8)n-järku determinandid . Teist ja kolmandat järku determinandid kui erijuhtumid . N-järku ruutmaatriksile seatakse vastavusse realarvuline parameeter , mida nimetatakse n-ndat järku determinandiks, mis on sobivalt valitud märgiga. Kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja veergudest. Teist järku determinant sisaldab 2 liidetavat mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe. Kolmandat järku determinant koosneb 3 liidetavast, mis on maatriksi 3 elemendi korrutused ja nende märgid määratakse vastavalt sarruse reeglile.
9)Determinantide omadusi, nende rakendamine determinantide arvutamisel. Determinant ei muutu maatriksi transponeerimisel – read ja veerud on samaväärsed. Paigutades determinandis 2 rida või veergu ümber, muutub determinandi märk vastupidiseks. Determinandi rea või veeru korrutamisel mingi arvuga korrutub kogu determinant selle arvuga. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida või veergu siis võrdub see determinant nulliga. Kui determinandi kaks rida või veergu on omavahel võrdsed, siis võrdub see determinant nulliga.
Kui determinandi mingi rea või veeru iga element kujutab endast kahe liidatava summat, siis võime selle determinandi avaldada kahe sama järku determinandi summana. Ülejäänud read ja veerud jäävad aga endiseks. Elementaarteisendused ei muuda determinanti. Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi kolmnurksele kujule, siis võrdub determinant peadiagonaali elementide korrutisega.
10)Alamdeterminant ja miinor: mõiste ja arvutamine. Miinoriks Mij nimetatakse ühe võrra madalamat järku determinanti, mis saadakse determinandist välja jättes i-nda rea ja j-nda veeru. Alamdeterminant on sobiva märgiga valitud miinor. Akl = (–1)k+l Mkl .
11)Determinantide arvutamine alamdeterminantide ja elementaarteisenduste abil. Elementaarteisenduste abil teisendada determinant kolmnurk -kujule, siis on determinant võrdne peadiagonaali korrutisega./Saavutame mingisse ritta või veergu elementaarteisenduste abil ainult ühe nullist erineva elemendi. Arendame determinandi selle rea/veeru järgi kasutades alamdeterminanti. Jätkame elementaarteisendusi ja arendamist vähemalt niikaua kuni oleme jõudnud teist järku alamdeterminandini ning kasutame arvutuseeskirja või omadusi.
12)Maatriksi astak, tema määramine elementaarteisenduste abil. Maatriksi astakuks nimetatakse peadiagonaalil olevate 0st erinevate elementide arvu, selleks elementaarteisendused trapetskujule ning astak on määratud peadiagonaali nullist erinevate elementide arvuga.
13)Pöördmaatriks ja tema olemasolu tingimused. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks, mille korral maatrikskorrutise(maatriks ja pöördmaatriks) tulemuseks on ühikmaatriks(mõlemat pidi ehk kommutatiivne), siis seda maatriksit nimetatakse pöördmaatriksiks. Pöördmaatriksi olemasolu tingimus on see, et tegemist on ruutmaatriksiga mille determinant on 0st erinev – regulaarsel maatriksil.
14)Pöördmaatriksi leidmine alamdeterminantide ja elementaarteisenduste abil. Alamdeterminantide abil pöördmaatriksi leidmiseks tuleb kõigepealt leida, kas tegemist on regulaarse maatriksiga ja kas determinant on 0st erinev. Seejärel leiame elementidele vastavad alamdeterminandid ning moodustame nendest maatriksi ning transponeerime selle. Pöördmaatriksi saame, kui korrutame omavahel transponeeritud pöördmaatriksi ja esialgse maatriksi determinandi pöördväärtuse. Elementaarteisenduste abil pöördmaatriksi leidmiseks koostame me laiendatud maatriksi, mis koosneb esialgsest maatriksist ja ühikmaatriksist. Teostame maatriksi ridadega elementaarteisendusi, nii et esialgse maatriksi koha peale tekiks ühikmaatriks. Selle tulemusena tekkib esialgse ühikmaatriksi koha peale pöördmaatriks. Mõlemal juhul tuleb tulemust kontrollida, korrutades selleks maatriksi oma pöördmaatriksiga ja vastupidi. Tulemuseks peab tekkima ühikmaatriks(kommutatiivne).
15)Pöördmaatriksite rakendusi, seos vektori kordinaatide vahel erinevates baasides. Vektori kordinaadid erinevates baasides on omavahel seotud baasiteisendusmaatriksi kaudu. Selleks, et leida vektori koordinaadid uues baasis leiame baasiteisendusmaatriksi pöördmaatriksi ja transponeerime selle. Vektori koordinaadid uues baasis võrduvad transponeeritud pöördmaatriksi ja vana baasi kordinaatide maatriksi korrutisega.
16)Lineaarsed võrrandisüsteemid, nende lahendid, lahendite olemasolu tingimus. Esimeses astmes olevaid tundmatuid sisaldavaid võrrandeid nimetatakse lineaarseteks. Lineaarse võrrandsüsteemi kordajatest moodustatud maatriksit nimetame selle süsteemi maatriksiks. Lisades süsteemi maatriksile vabaliikmete veeru saame me laiendatud maatriksi. Tähistades tundmatute veeru saame süsteemi esitada maatrikskujul AX=B. Iga tundmatute komplekt X mis rahuldab kõiki süsteemi võrrandeid nimetatakse lineaarse võrrrandsüsteemi lahendiks. Süsteemi lahendit, mis sõltub omakorda mingitest tundmatutest nimetatakse üldlahendiks. Lahendid, mis saadakse üldlahendi parameetrite fikseerimise teel nimetakse erilahenditeks. Lineaarne võrrandsüsteem lahendub siis, kui süsteemimaatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga.
17)Crameri peajuhtum. AX=B, m=n, D≠0. Kui lineaarse võrrandisüsteemi tundmatute arv on võrdne võrrandite arvuga, siis on tegu crameri peajuhtumiga, süsteemimaatriksi determinant ei tohi võrduda nulliga ja samuti peab olema süsteemimaatriks ruutmaatriks. Alati lahenduv viis lineaarse võrrandisüsteemi lahendamiseks, lahend on ühene. Lahendiks on tundmatutest xi koostatud maatriks, mis avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks on süsteemimaatriksi determinant |A | ja lugejaks determinant |Ai |, mis on eelmisest saadud i-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga. xi=|Ai|/|A|.
18)Lineaarse võrrandsüsteemi lahendamine maatrikskujul. Maatrikskujul antud võrrand AX=B lahendub maatrikskujul parajasti siis, kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1. Seega, kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriks on regulaarne , ehk ta on nullist erineva determinandiga ruutmaatriks, siis on süsteemi võimalik lahendada maatrikskujul: X = A-1B.
19)Homogeenne lineaarne võrrandsüsteem, tema lahendite fundamentaalsüsteem ja üldlahend. Kui lineaarse võrrandsüsteemi vabaliikmete veerg koosneb nullidest AX=B, B=0, siis nimetatakse seda süsteemi homogeenseks. Homogeenne võrrandsüsteem on alati lahenduv. Lahendit X=0 nimetatakse triviaalseks. Kui võrrandis on maatriksi astak võrdne veergude arvuga, siis on olemas ainult triviaalne lahend. Kui aga veergude arv on suurem maatriksi astakust siis on olemas mittetriviaalne lahend. Homogeense süsteemi n-r mõõtmelise lahendite ruumi erilahenditest koosnevat baasi nimetatakse selle süsteemi lahendite fundamentaal­süsteemiks ning homogeense süsteemi üldlahend on fundamentaal­süsteemi elementide lineaarne kombinatsioon.
20)Mittehomogeenne lineaarne võrrandisüsteem, tema üldlahend. Lineaarset võrrandsüsteemi AX=B nimetetakse mittehomogeenseks, kui tema vabaliikmete hulgas kasvõi üks on nullist erinev element. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX=B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX=0 üldlahendi X summana: XMHÜ=XMHE+X. 21)Gaussi meetod lineaarse võrrandsüsteemi lahendamiseks. Universaalne meetod lineaar­sete võrrandi­süsteemide lahenda­miseks. 1-Kirjutame välja süsteemi AX=B laiendatud maatriksi. 2-Teostame elementaarteisendusi ridadega ja teisendame maatriksi trapetskujule. 3- Järeldused: Kronecker-Capelli teoreem - Kui maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga siis süsteem lahendub. Toimub tundmatute jaotus. Üldlahendi Xmhü leidmiseks tuleb baasitundmatud avaldada vabade tundmatute kaudu. 4- jätkame elementaarteisendusi, et saavutada 0-d ka diagonaali kohale, soovitatav on, et a11, a22 jne oleks arvud 1(ühikmaatriks). Kirjutada välja lähtesüsteemiga ekvivalentne süsteem. 5- Avaldada sellest süsteemist baasitundmatud vabade tundmatute kaudu. 6- Kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHÜ=B, AXHÜ=0. 7- Kirjutada (võimalusel, vajadusel) välja mittehomogeense võrrandi erilahend XMHE ja kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHE=B. 8- Kirjutada (vajadusel) välja homogeense süsteemi AX=0 normaalne lahendite fundamentaal­süsteem X1, X2,..., Xn-r.Kontrollida maatrikskujul, et igaüks neist on homogeense süsteemi erilahend: AXk =0, k = 1, 2, ... , n-r.
22)Kahe vektori skalaarkorrutis: definitsioon, omadused, arvutamine ristkordinaatides ja rakendused. Kahe vektori skalaarkorrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja nende vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist – tulemuseks on skalaar(arv). Omadused: kommutatiivsus ehk võime vektorite järjekorda muuta, assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes ehk võime arvu ja vektorite korrutamise järjekorda muuta. Distributiivsus ehk võime sulud avada ja eraldi läbi korrutada. Skaalkorrutis ristkoordinaatides avaldub samanimeliste korrutiste summana. Juhul kui kaks vektorit on risti, siis nende vektorite skalaarkorrutis on 0. Lisaks veel saab kasutada vektori pikkuse leidmiseks ja vektorite vahelise nurga leidmiseks.
23)Kahe vektori vektorkorrutis: definitsioon, omadused, arvutamine ristkordinaatides ja rakendused. Vektorkorrutiseks nimetatakse vektorit(tulemuseks vektor), mille pikkus on võrdne vektorite pikkuste korrutise ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Omadused: antikommutatiivsus ehk muutes vektorite järjekorda muutub märk vastupidiseks. Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes - ehk võime sulge ümber paigutada. Distributiivsus ehk võime sulge avada, sulgude ees olev vektor korrutub läbi mõlemaga sulgude sees. Ristkoordinaatides arvutades leiame korrutisvektori koordinaadid 2-järku determinantide abil, mis on moodustatud lähtevektorite koordinaatidest. Kui vektorite vektorkorrutis on võrdne nullvektoriga, siis need vektorid on paraleelsed. Vektorkorrutise pikkus on arvuliselt võrdne vektoritest ehitatud rööpküliku pindalaga või poole kolmnurga pindalaga.
24)Kolme vektori segakorrutis: definitsioon, omadused, arvutamine ristkordinaatides ja rakendused. Skalaarkorrutise ja vektorkorrutise omavahelist korrutamist nimetatakse segakorrutiseks(kahe esimese vektori vektorkorrutise skalaarkorrutis kolmanda vektoriga). Segakorrutis on skalaarne suurus mille absoluutväärtus on arvuliselt võrdne nendele vektoritele ehitatud rööptahuka ruumalaga või kuuendiku tetraeedri ruumalaga. Kui vektorite segakorrutis võrdub 0-ga siis kas üks vektoritest on nullvektor või on need 3 vektorit komplanaarsed, ehk paraleelsed ühe tasandi suhtes. Omadused: Kommutatiivsus: Paigutades ümber segakorrutise kaks liiget muutub korrutise märk vastupidiseks, ühe vahetuse puhul märk ei muutu. Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes, ehk segakorrutise korrutamisel mingi arvuga ei ole oluline, mis järjekorras me seda teeme. Distributiivsus lubab meil sulge avada ja eraldi läbi korrutada. Ristkoordinaatides segakorrutise leidmiseks koostame vektoritest determinandi ja lahendame selle.
25)Hüperpindade määramine, esimest ja teist järku algebralised hüperpinnad. Hüperpind on matemaatiline hulk, mis koosneb n-mõõtmelise ruumi punktidest, mille koordinaadid rahuldavad võrrandit F(X1,X2…Xn)=0. Punktihulka, mille koordinaadid rahuldavad võrrandid nimetatakse (n-1) mõõtmeliseks pinnaks. Hüpperpinna määramiseks leiame, milline punktihulk on antud võrrandiga määratud, ehk kui palju on tundmatuid ja millises astmes nad on. Kui onkaks tundmatut ja nad on esimeses astmes siis on tegemist esimest järku algebralise hüperpinnaga tasandil. Kui tundmatud on teises astmes, siis on tegemist teist järku algebralise hüperpinnaga.
26)Sirged tasandil: üldvõrrand, üld- ja eriasendilised sirged, joonised. Sirge üldvõrrand on AX+BY+C=0. Punktihulka, mille koordinaadid rahuldavad üht lineaarset võrrandit, me nimetame sirgeks. Esimest järku algebraline hüperpind tasandil. Eriasendiliseks nimetatakse sirget, mis on paralleelne mingi teljega. Üldasendiline sirge ei ole paralleelne ühegi teljega ja on määratud kahe punktiga .
27)Tasandi sirgega seotud vektorid ja arvkarakteristikud, nende määramine. Tasandil asuva sirgega on seotud sirge sihivektor s=(-B; A) ja sirge normaalvektor n=(A; B). Sirgel on kolm arvkarakteristikut: sirge tõus k, algabstsiss a ja algordinaat b. Sirge tõusu leidmiseks avaldame sirge üldvõrrandist Y, tõus k on x kordajaks. Algabtsissi leidmisel võtame Y=0 ja algordinaadi leidmisel X=0.
28)Tasandi sirge võrrandi erikujud. Vektorvõrrand, parameetriline võrrand.
29)Sirge ja punkti vastastikkune asend tasandil. Kahe sirge vastastikkune asend tasandil. Kaks tasandil asuvat sirget on paraleelsed siis, kui sirgete tõusud on võrdsed ehk K1=K2. Sirged on risi siis, kui K1=-1/K2 või kui sirgete kordajate skalaarkorrutus on null. Mingi punkti kauguse leidmiseks sirgest tuleb punkti koordinaadid asendada sirge üldvõrrandisse ning võtta sellest absoluutväärtus ja jagada tulemus sirge normaalvektori pikkusega.
30) Tasandid ruumis: üldvõrrand, üld ja eriasendilised tasandid, joonised. Tasandiks ruumis nimetatakse niisuste ruumi punktide hulka, mille koordinaadid rahuldavad üht lineaarset võrrandit. Üldvõrrand AX+BY+CZ+D=0. Kus A, B ja C on tasandi normaalvektori koordinaadid. Üldasendiline tasand ei ole paraleelne ühegi teljega ega tasandiga ega läbi nullpunkti. Üldasendiline tasand ei ole paralleelne ühegi teljega.
31)Tasandi määramine ruumis, tema normaalvektor. Tasandiga on seotud ainult üks vektor, see on risti iga tasandil oleva vektoriga. N=(A;B;C). Tasandi määramiseks on vaja punkti ja normaali või kolme punkti abil, mille puhul tehakse 3-järku determinant koordinaatidest.
32)Tasandi ja punkti vastastikkune asend. Kahe tasandi vastastikune asend ruumis. Kontrollida kas punkti koordinaadid rahuldavad tasandi võrrandit, saab teada kas punkt asub tasandil. Kaugus tasandist – leiame punktist tasandile langetatud ristsirge pikkuse, mille saame arvutada tasandi võrrandisse asetatud punkti koordinaatide absoluut­väärtuse ja tasandi normaali pikkuse jagatisega. Tasandite vastastikuse asendi uurimiseks tuleb võrrelda tasandite normaalide koordinaate, kui need on võrdelised on tasandid paralleelsed; kui normaalid on risti(skalaarkorrutis on null) siis on ka tasandid omavahel risti.
33)Sirged ruumis: nende võrrandid.Kanooniline võrrand Parameetriline võrrand Punktidega määratud
Sirge võrrand vektorkujus avaldub
sirge sihivektori ja realarvulisi väärtusi omandava parameetri korrutisena. Sirge parameetriliste võrrandite saamiseks avaldame me sirge kordinaadid algkordinaadi ja realarvuga läbikorrutatud sihivektori summana. Kanoonilise võrrandi saamiseks lahutame me kordinaatidest algkordinaadid ja jagame need sihivektori vastavate kordinaatidega.
34)Sirge kui kahe tasandi lõikejoon. Kahe tasandi lõikusmisel tekkib lõikejoon ehk sirge. Sirge sihivektori kordinaatide leidmiseks leitakse kahe tasandi võrranditest moodustatud determinandid, sarnaselt vektorkorrutise leidmisele ristkordinaatides.
35)Sirge ja tasandi lõikepunkti leidmine. Sirge ja tasand ruumis kas lõikuvad, on paraleelsed või sirge asub tasandil. Kui sirge ei ole tasandiga paraleelne ega asu tasandil, siis saame leida sirge ja tasandi lõikepunkti. Selleks esitame sirge võrrandi parameetrilisel kujul ja asendame avaldatud kordinaadid tasandi võrrandisse. Saame välja arvutada realarvulisi väärtusi omandava parameetri, mille asendame sirge parameetrilisse võrrandisse, ning leiame lõikepunkti kordinaadid. 36)Kahe sirge vastastikkune asend ruumis. Ruumi kaks sirget võivad olla ühtivad, paraleelsed, lõikuvad või kiivsed. Sirgete vastastikkuse asendi määramiseks kasutame sirgete sihivektorite skalaar ja vektorkorrutist. Kui sihivektorite skalaarkorrutis on 0 siis antud sirged on risti, Kui sihivektorite vektorkorrutis on 0 siis on antud sirged paraleelsed.
37)Ellipsid: definitsioon, kanooniline võrrand, arvkarakteristikud, omadused, joonis. Ellipsiks nimetatakse tasandilist joont, mille iga punkti kaugused kahest etteantud punktist ehk fookustest annavad konstantse summa. Kanooniline võrrand: X väärtuse ruut jagatud suurema pooltelje ruuduga pluss Y väärtuse ruut jagatud väiksema pooltelje ruuduga võrdub ühega. Arvkarakteristikud: suurem pooltelg, väiksem pooltelg, fookustevaheline kaugus, fokaalparameeter ehk joone laius fookuse kohal. //Tasandi punktide hulk, mille kauguste summa kahest etteantud punktist on konstantne . Arvkarakteristikud: a-suur pooltelg, b-väike pooltelg, c2=a2-b2-pool fookustevah kaugusest, e=c/a-ekstsentrilisus, fokaalparameeter. Olulised punktid: Tipud; fookused. Olulised sirged: juhtsirged.
38)Hüperboolid: definitsioon, kanooniline võrrand, arvkarakteristikud, omadused, joonis. Punktide hulk tasandil, mille kauguste vahe on absoluutväärtuselt konstantne. Arvkarakteristikud: a-reaal­pooltelg; b-imaginaar­pooltelg;c2=a2+b2 – pool fookuste­­vahelisest kaugusest: ektsentrilisus e=c/a; fokaalparameeter. Olulised punktid: fookused, tipud; Olulised sirged: asümptioodid; juhtsirged. //Tasandi punktide hulk, mille kaugus kahest etteantud punktist on võrdne kaugusega etteantud sirgest. Arvkarakteristikud: fokaalparameeter p, ekstsentrilisus e=1; olulised punktid: fookus(p/2;0), tipp(0;0); olulised sirged: juhtsirge x=-p/2. //Hüperbooliks nimetatakse tasandilist joont, mille iga punkti kaugused kahest etteantud punktist ehk fookusest annavad konstantse vahe. Kanooniline võrrand Xväärtuse ruut jagatud reaalpooltelje ruuduga miinus Yväärtuse ruut jagatud imaginaarpooltelje ruuduga võrdub 1. Arvkarakteristikud: reaalpooltelg, imaginaarpooltelg, fookustevaheline kaugus ehk kahekordne pooltelgede vaheline kaugus, asümptoodid ehk sirged millele hüperbool lõpmatult läheneb, juhtsirged, fokaalraadiused.
39)Paraboolid: definitsioon, kanooniline võrrand, arvkarakteristikud, omadused, joonis. Parabooliks nimetatakse joont, mille iga punkt asub võrdsel kaugusel ühest kindlast punktist ehk fookusest ja ühest kindlast sirgest ehk juhtjoonest. Kanooniline võrrand: Y ruut on võrdne kahekortse fokaalparameetri ja X ruudu korrutisega. Arvkarakteristikud: ekstsentrilisus, fokaalraadius, fokaalparameeter.
1 eksami kordamisküsimused ja vastused #1 1 eksami kordamisküsimused ja vastused #2
Punktid 50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.
Leheküljed ~ 2 lehte Lehekülgede arv dokumendis
Aeg2009-01-11 Kuupäev, millal dokument üles laeti
Allalaadimisi 504 laadimist Kokku alla laetud
Kommentaarid 9 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid
Autor ivokos Õppematerjali autor
39 lineaaralgebra ja analüütlise geomeetria küsimust ja vastust

Sarnased õppematerjalid

thumbnail
19
doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a

Kõrgem matemaatika
thumbnail
19
doc

Õppematerjal

1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a

Kõrgem matemaatika
thumbnail
5
doc

algebra konspekt

Sirged ja tasandid Joonte ja pindade võrrandite mõiste Võrdust F(x,y,z)=0 nim pinna S võrrandiks antud koordinaatide süsteemis, kui selle pinna kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L k?

Algebra ja analüütiline geomeetria
thumbnail
7
doc

Kõrgem matemaatika

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib paralleellükke abil muuta. Kahte vektorit nim võrdseks, kui nad on võrdsete moodulitega ning samasuunalised. Vektorite võrdsus erineb lõikude võrdsusest. Vektoreid nim kollineaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal sirgel. Võivad olla sama või vastassuunalised. . Vektoreid nim komplanaarseteks, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel ja samal tasand

Kõrgem matemaatika
thumbnail
5
docx

Lineaaralgebra Eksami küsimuste vastused

1. Kompleks arvude põhimõiste,põhilised definatsioonid. K.arvude liitmine,korrutamine,jagamine algebralisel kujul. DEF. k.arvuks nim. Arvufoori (a,b) kus a,bR. esitatakse z=a+bi (a-reaalosa,b- imaginaar osa,i- imaginaar ühik). Põhimõiste olgu z1=a1+b1i,z2=a2+b2i z1=z2 kui a1= a2 ja b1=b2, z=0 kui a=0 ja b=0,k-arvu z1=a1-b1i nim.kaas k-arvuks z1=a1+b1i. Arvutamine z1+z2= (a1+a2)+(b1+b2)i, z1-z2= (a1-a2)+(b1-b2), z1*z2= (a1+b1i)*(a2+b2), 2. K.geomeetriline kujutamine, trigonomeetriline kuju.korrutamine ja jagamine trigonomeetrilisel kujul. geomeetriline kujutamine k-arv/reaalarvu paar (a,b).saab k-arvu z=a+bi kujutada xy tasandil kus kordinaadid a-reaal osa, b- imaginaar osa ja vastavalt X-telg k-arvu reaal telg ja Y-telg ­ imaginaar telg.XY tasandi iga punkt M(x,y) ongi z=x+iy trigonomeetriline kuju tähistame nurk X-teljel ja vektori pikkus r ,siis a=rcos ja b=rcos.avaldist z=r(cos+isin) ongi trigonomeetriline kuju. Arvutamine z1*z2=

Lineaaralgebra
thumbnail
9
doc

Lineaaralgebra

Lineaaralgebra I kontrolltöö teooriaküsimused 1. Kompleksarvu mõiste, imaginaarühik, kaaskompleksarv, kompleksarvude võrdsus ja nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja trigonomeetriline kuju. Kompleksarvuks z nimetatakse avaldist z = a + bi , (1) kus a ja b on reaalarvud ja i on niinimetatud imaginaarühik, mis on määratud võrdustega i = -1 või i 2 = -1 ; Kaht kompleksarvu z = a + bi ja z = a - bi , mis erinevad ainult imaginaarosa märgi poolest, nimetatakse kaaskompleksarvudeks. Kokkuleppe põhjal 1) kaht kompleksarvu z1 = a1 + b1i ja z2 = a2 + b2i loetakse võrdseteks ( z1 = z2 ) , kui a1 = a2 ja b1 = b2 , s.t. kui nende reaalosad on võrdsed ja imaginaarosad on võrdsed; 2) kompleksarv võrdub nulliga, s.o.

Lineaaralgebra
thumbnail
81
pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor

Algebra I
thumbnail
25
doc

Algebra ja geomeetria kordamine

MAATRIKS: Maatriks ­ nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed ­ Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk ­ Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid ­nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused ­ Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks ­maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks ­maatriks, mille ridade arv

Algebra ja geomeetria




Kommentaarid (9)

freicher profiilipilt
freicher: natukene aitas, aga väga kah ei soovitaks
19:05 29-05-2012
myrka profiilipilt
myrka: mind aitas küll, hästi koostatud
16:07 21-12-2010
ranel profiilipilt
ranel: 5lk? väga kesine 1lk tegelikult
10:48 06-11-2009



Sellel veebilehel kasutatakse küpsiseid. Kasutamist jätkates nõustute küpsiste ja veebilehe üldtingimustega Nõustun